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高一数学必修1


集合与函数概念
§1.1 集合
(一)集合的有关概念 ⒈定义:一般地,我们把研究对象统称为元素,一些元素组成的总体叫集合,也简称集。 2.表示方法:集合通常用大括号{ }或大写的拉丁字母 A,B,C?表示, 而元素用小写的拉丁字母 a,b,c?表示。 3.集合相等:构成两个集合的元素完全一样。 4.元素与集合的关系:(元素与集合的关系有“属于 ? ”及“不属于 ? 两种) ⑴若 a 是集合 A 中的元素,则称 a 属于集合 A,记作 a ? A; ⑵若 a 不是集合 A 的元素,则称 a 不属于集合 A,记作 a ? A。 5.常用的数集及记法: 非负整数集(或自然数集) ,记作 N; 正整数集,记作 N*或 N+;N 内排除 0 的集. 整数集,记作 Z; 有理数集,记作 Q; 实数集,记作 R;

6.关于集合的元素的特征 ⑴确定性:给定一个集合,那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了。 如: “地球上的四大洋” (太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋)“中国古代四大发明” 。 (造纸,印刷,火药,指南针)可以构成集合,其元素具有确定性;而“比较大 的数”“平面点 P 周围的点”一般不构成集合,因为组成它的元素是不确定的. , ⑵互异性:一个集合中的元素是互不相同的,即集合中的元素是不重复出现的。. 如:方程(x-2)(x-1)2=0 的解集表示为 ? 1,-2 ? ,而不是 ? 1,1,-2 ? ⑶无序性:即集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换。 练 1:判断以下元素的全体是否组成集合,并说明理由: ⑴大于 3 小于 11 的偶数; ⑵我国的小河流; ⑶非负奇数; ⑷方程 x2+1=0 的解; ⑸某校 2011 级新生; ⑹血压很高的人; ⑺著名的数学家; ⑻平面直角坐标系内所有第三象限的点 7.元素与集合的关系:(元素与集合的关系有“属于 ? ”及“不属于 ? ”两种) ⑴若 a 是集合 A 中的元素,则称 a 属于集合 A,记作 a ? A; ⑵若 a 不是集合 A 的元素,则称 a 不属于集合 A,记作 a ? A。 例如,我们 A 表示“1~20 以内的所有质数”组成的集合,则有 3∈A,4 ? A,等等。 练:A={2,4,8,16},则 4 ? A,8 ? A,32 ? A. (二)例题讲解: 例 1.用“∈”或“ ? ”符号填空:
1

⑴8

N;

⑵0

N;

⑶-3

Z;

⑷ 2 A,美国

Q; A,印度 A,英国 A。

⑸设 A 为所有亚洲国家组成的集合,则中国 练:5 页1题

例 2.已知集合 P 的元素为 1, m , m ? m ? 3 , 若 2∈P 且-1 ? P,求实数 m 的值。
2

练:⑴考察下列对象是否能形成一个集合? ①身材高大的人 ②所有的一元二次方程 ③直角坐标平面上纵横坐标相等的点 ④细长的矩形的全体 ⑤比 2 大的几个数 ⑥ 2 的近似值的全体 ⑦所有的小正数 ⑧所有的数学难题 ⑵给出下面四个关系: 3 ? R,0.7 ? Q,0 ? {0},0 ? N,其中正确的个数是:( ) A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个 ⑶下面有四个命题: ①若-a ? Ν ,则 a ? Ν ②若 a ? Ν ,b ? Ν ,则 a+b 的最小值是 2 2 ③集合 N 中最小元素是 1 ④ x +4=4x 的解集可表示为{2,2} ⑶其中正确命题的个数是( ⑷由实数-a, a, a , a 2, - 5 a 5 为元素组成的集合中,最多有几个元素?分别为什么? ⑸求集合{2a,a2+a}中元素应满足的条件? ⑹若
1? t 1? t
? {t},求 t 的值.

一、集合的表示方法 ⒈列举法:把集合中的元素一一列举出来, 并用花括号“ ? ? ”括起来表示集合的方法叫列举法。如: {1,2,3,4,5},{x2,3x+2,5y3-x,x2+y2},?; 说明:⑴书写时,元素与元素之间用逗号分开; ⑵一般不必考虑元素之间的顺序; ⑶在表示数列之类的特殊集合时,通常仍按惯用的次序;

⑷集合中的元素可以为数,点,代数式等;
⑸列举法可表示有限集,也可以表示无限集。当元素个数比较少时用列举法比较简单;若集合中 的元素较多或无限,但出现一定的规律性,在不发生误解的情况下,也可以用列举法表示。 ⑹对于含有较多元素的集合,用列举法表示时,必须把元素间的规律显示清楚后方能用省略号, 象自然数集N用列举法表示为 ?1, 2, 3, 4, 5, ......? 例 1.用列举法表示下列集合: (1) 小于 5 的正奇数组成的集合; (2) 能被 3 整除而且大于 4 小于 15 的自然数组成的集合; (3) 从 51 到 100 的所有整数的集合; (4) 小于 10 的所有自然数组成的集合;
2 (5) 方程 x ? x 的所有实数根组成的集合;

⑹ 由 1~20 以内的所有质数组成的集合。
2

⒉描述法:用集合所含元素的共同特征表示集合的方法,称为描述法。 。 方法:在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线, 在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。 一般格式: ? x ? A p ( x ) ? 如:{x|x-3>2},{(x,y)|y=x2+1},{x|直角三角形},?; 说明:描述法表示集合应注意集合的代表元素,如{(x,y)|y= x2+3x+2}与 {y|y= x2+3x+2}是不同的两个集 合,只要不引起误解,集合的代表元素也可省略,例如:{整数},即代表整数集 Z。 辨析:这里的{ }已包含“所有”的意思,所以不必写{全体整数}。写法{实数集},{R}也是错误的。 用符号描述法表示集合时应注意: 1、弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)是数还是点、还是集合、还是其他形式? 2、元素具有怎么的属性?当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时,要去伪存真,而不能 被表面的字母形式所迷惑。 例 2.用描述法表示下列集合: 2 (1) 由适合 x -x-2>0 的所有解组成的集合; (2) 到定点距离等于定长的点的集合; (3) 方程 x ? 2 ? 0 的所有实数根组成的集合
2

(4) 由大于 10 小于 20 的所有整数组成的集合。 说明:列举法与描述法各有优点,应该根据具体问题确定采用哪种表示法,要注意, 一般集合中元素较多或有无限个元素时,不宜采用列举法。 练习:5 页 2 题 1.用适当的方法表示集合:大于 0 的所有奇数 2.集合 A={x|
4 x?3

∈Z,x∈N},则它的元素是
2



3.已知集合 A={x|-3<x<3,x∈Z},B={(x,y)|y=x +1,x∈A},则集合 B 用列举法表示 是 4.判断下列两组集合是否相等? (1)A={x|y=x+1}与 B={y|y=x+1}; 二、集合的分类 观察下列三个集合的元素个数 1. {4.8, 7.3, 3.1, -9}; 2. {x ? R∣0<x<3}; 2 3. {x ? R∣x +1=0} 由此可以得到 (2)A={自然数}与 B={正整数}

集合的分类 ? 无 限 集 : 含 有 无 限 个 元 素 的 集 合 ?

?有 限 集 : 含 有 有 限 个 元 素 的 集 合 ? ? 空 集 : 不 含 有 任 何 元 素 的 集 合 ? ( em p ty ? set )

三、文氏图 集合的表示除了上述两种方法以外,还有文氏图法,即 画一条封闭的曲线,用它的内部来表示一个集合,如下图所示: A 3,9,27
3

表示任意一个集合 A

表示{3,9,27}

典型例题 【题型一】 元素与集合的关系 2 1、设集合 A={1,a,b},B={a,a ,ab},且 A=B,求实数 a,b. 2 2 2、已知集合 A={a+2, (a+1) ,a +3a+3}若 1∈A,求实数 a 的值。 【题型二】 元素的特征 1、⑴已知集合 M={x∈N∣ ⑵已知集合 C={
6 1? x 6 1? x

∈Z},求 M

∈Z∣x∈N},求 C x,满足
6 1? x

点拔:要注意 M 与 C 的区别,集合 M 中的元素是自然数 C 是的元素是整数 练习:
6 1? x

是整数,集合

,满足条件是 x∈N

1.给出下列四个关系式:① 3 ∈R;②π ? Q;③0∈N;④0 ? ? 其中正确的个数是( A.1 B.2 ?x ? y ? 3 2.方程组 ? 的解组成的集合是(
?x ? y ? 1

)

C.3 )

D.4

A.{2,1} B.{-1,2} C.(2,1) D.{ (2,1) } 3.把集合{-3≤x≤3,x∈N}用列举法表示,正确的是( ) A.{3,2,1} B.{3,2,1,0} C.{-2,-1,0,1,2}D.{-3,-2,-1,0,1,2,3} 4.下列说法正确的是( ) A.{0}是空集 B. {x∈Q∣
2

6 x

∈Z}是有限集

C.{x∈Q∣x +x+2=0}是空集 D.{2,1}与{1,2}是不同的集合 二填空题: 5、以实数为元素构成的集合的元素最多有 个; 2 6、以实数 a ,2-a.,4 为元素组成一个集合 A,A 中含有2个元素,则的 a 值为 7、集合 M={y∈Z∣y=
8 3? x

.

,x∈Z},用列举法表示是 M=



8、已知集合 A={2a,a2-a} ,则 a 的取值范围是 。 三、解答题: 2 9、设 A={x∣x +(b+2)x+b+1=0,b∈R}求 A 的所有元素之和。 3 2 10.已知集合 A={a,2b-1,a+2b}B={x∣x -11x +30x=0},若 A=B,求 a,b 的值。

集合间的基本关系
比较下面几个例子,试发现两个集合之间的关系: (1) A ? {1, 2, 3} , B ? {1, 2, 3, 4, 5} ; (2) C ? {北 京 一 中 高 一 一 班 全 体 女 生 } , D ? {北 京 一 中 高 一 一 班 全 体 学 生 } ; (3) E ? { x | x 是 两 条 边 相 等 的 三 角 形 } , F ? { x x 是 等 腰 三 角 形 } 观察可得:
4

⒈子集:对于两个集合 A,B,如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素,我们说这 两个集合有包含 关系,称集合 A 是集合 B 的子集(subset) 。 记作: A ? B ( 或 B ? A ) 读作:A 包含于 B,或 B 包含 A 当集合 A 不包含于集合 B 时,记作 A?B(或 B?A) 用 Venn 图表示两个集合间的“包含”关系: B A 表示: A ? B

⒉集合相等定义:如果 A 是集合 B 的子集,且集合 B 是集合 A 的子集,则集合 A 与集合 B 中的元素是一样的,因此集合 A 与集合 B 相等,即若 A ? B 且 B ? A ,则 A ? B 。 如:A={x|x=2m+1,m ? Z},B={x|x=2n-1,n ? Z},此时有 A=B。 ⒊真子集定义:若集合 A ? B ,但存在元素 x ? B , 且 x ? A ,则称集合 A 是集合 B 的真子集。 记作:A B(或 B A) 读作:A 真包含于 B(或 B 真包含 A) 4.空集定义:不含有任何元素的集合称为空集。记作: ? 用适当的符号填空:
?

? 0? ; 0

? ; ?

{ ? }; ? 0 ?

{? }

5.几个重要的结论: ⑴空集是任何集合的子集;对于任意一个集合 A 都有 ? ? A。 ⑵空集是任何非空集合的真子集; ⑶任何一个集合是它本身的子集; ⑷对于集合 A,B,C,如果 A ? B ,且 B ? C ,那么 A ? C 。 练习:填空: ? {2} ⑴2 N; N; A; ⑵已知集合 A={x|x -3x+2=0},B={1,2},C={x|x<8,x∈N},则 A B; A C; {2} C; 2 C 说明: ⑴注意集合与元素是“属于” “不属于”的关系,集合与集合是“包含于” “不包含于”的关系; ⑵在分析有关集合问题时,要注意空集的地位。 ⑶结论:一般地,一个集合元素若为 n 个,则其子集数为 2n 个,其真子集数为 2n-1 个, 特别地,空集的子集个数为 1,真子集个数为 0。 (二)例题讲解: 【题型1】集合的子集问题 1、写出集合{a,b,c}的所有子集,并指出其中哪些是真子集,哪些是非空的真子集。 2、已知集合 M 满足{2,3} ? M ? {1,2,3,4,5}求满足条件的集合 M 3、已知集合 A={x|x2-2x-3=0},B={x|ax=1}若 B A,则实数 a 的值构成的集合是( ) A.{-1,0,
1 3
2



B.{-1,0}

C.{-1,

1 3



D.{

1 3

,0}

4.设集合 A={2,8,a}B={2,a2-3a+4}且 B A,求 a 的值。 5.已知集合 A ? ? x ? 2 ? x ? 5 ? , B ? ? x ? m ? 1 ? x ? 2 m ? 1? 且 A ? B , 求实数 m 的取值范围。 (m ? 3 ) 练习: 1、判断下列集合的关系. (1) N_____Z; (2) N_____Q; (3) R_____Z; (4) R_____Q; 2 2 (5) A={x| (x-1) =0},B={y|y -3y+2=0}; (6) A={1,3},B={x|x2-3x+2=0}; (7) A={-1,1},B={x|x2-1=0}; (8)A={x|x 是两条边相等的三角形},B={x|x 是等腰三角形}。 2、设 A={0,1},B={x|x ? A},问 A 与 B 什么关系? 3、判断下列说法是否正确?
5

(1)N ? Z ? Q ? R; (4)N ? Z;

(2) ? ? A ? A; (3){圆内接梯形} ? {等腰梯形}; (5) ? ? { ? }; (6) ? ? { ? }

4.有三个元素的集合 A,B,已知 A={2,x,y},B={2x,2,2y},且 A=B,求 x,y 的值。 解答题: 1.已知集合 A ? { x | a ? x ? 5} , B ? { x | x ≥ 2 } ,且满足 A ? B ,求实数 a 的取值范围。 2.已知三个元素集合 A={x,xy,x-y},B={0,∣x∣,y}且 A=B,求 x 与 y 的值。

1.1.3 集合间的基本运算(共 1 课时)
考察下列集合,说出集合 C 与集合 A,B 之间的关系: C ? ?1, 2, 3, 4, 5, 6 ? ; (1) A ? {1, 3, 5} , B ? {2, 4, 6} , (2) A ? { x x 是 有 理 数 } , B ? { x x 是 无 理 数 } ,
C ? ?x x 是 实 数? ;

1.并集:一般地,由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成的集合,称为集合 A 与集合 B 的并集,即 A 与 B 的所有部分, 记作 A∪B, 读作:A 并 B 即 A∪B={x|x∈A 或 x∈B}。 Venn 图表示:

说明:定义中要注意“所有”和“或”这两个条件。 讨论:A∪B 与集合 A、B 有什么特殊的关系? A∪A= , A∪Ф = , A∪B B∪A A∪B=A ? , A∪B=B ? . 巩固练习(口答) : ①.A={3,5,6,8},B={4,5,7,8},则 A∪B= ; ②.设 A={锐角三角形},B={钝角三角形},则 A∪B= ; ③.A={x|x>3},B={x|x<6},则 A∪B= 。 2.交集定义: 一般地, 由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组成的集合, 叫作集合 A、 的交集 B (intersection set) , 记作:A∩B 读作:A 交 B 即:A∩B={x|x∈A,且 x∈B} Venn 图表示: (阴影部分即为 A 与 B 的交集)

常见的五种交集的情况: B A A(B) A B A B A B

说明:当两个集合没有公共元素时,两个集合的交集是空集,而不能说两个 集合没有交集 讨论:A∩B 与 A、B、B∩A 的关系? A∩A= A∩ ? = A∩B B∩A A∩B=A ? A∩B=B ? 巩固练习(口答) : ①.A={3,5,6,8},B={4,5,7,8},则 A∩B= ; ②.A={等腰三角形},B={直角三角形},则 A∩B= ③.A={x|x>3},B={x|x<6},则 A∩B= 。 3.一些特殊结论

;

6

⑴若 A ? B ,则 A∩B=A;

⑵若 B ? A ,则 A ? B=A;

⑶若 A,B 两集合中,B= ? ,,则 A∩ ? = ? , A ? ? =A。 【题型一】 并集与交集的运算 【例 1】设 A={x|-1<x<2},B={x|1<x<3},求 A∪B。 解:A∪B={x|-1<x<2}∪{x|1<x<3}={x|-1<x<3}. -1 【例 2】设 A={x|x>-2},B={x|x<3},求 A∩B。 解:在数轴上作出 A、B 对应部分如图 A∩B={x|x>-2}∩{x|x<3}={x|-2<x<3}。 1 2 3

-2

3

【例 3】已知集合 A={y|y=x2-2x-3,x∈R},B={y|y=-x2+2x+13,x∈R}求 A∩B、A∪B 【题型二】 并集、交集的应用 例:设集合 A={∣a+1∣,3,5},B={2a+1,a2+2a,a2+2a-1},当 A∩B={2,3}时,求 A∪B 解:∵∣a+1∣=2 ∴a=1 或-3 当 a=1 时,集合 B 的元素 a2+2a=3,2a+1=3, 由集合的元素应具有互异性的要求可知 a≠1. 当 a=-3 时,集合 B={-5,2,3} ∴A∪B={-5,2,3,5} 练:.已知{3,4,m2-3m-1}∩{2m,-3}={-3},则 m= 。 练习: 1.设 A={x|x 是等腰三角形},B={x|x 是直角三角形},则 A∩B= 。 {x|x 是等腰直角三角形}。 2设 A={4,5,6,8},B={3,5,7,8},则 A∪B= 。 3设 A={x|x 是锐角三角形},B={x|x 是钝角三角形},则 A∪B= 。 4.已知集合 M={x|x-2<0},N={x|x+2>0},则 M∩N 等于 。 4设 A={不大于 20 的质数} ,B={x|x=2n+1,n∈N*},用列举法写出集合 A∩B= 。 6.已知集合 M={x|y=x2-1},N={y|y=x2-1},那么 M∩N 等于( ) A. ? B.N C.M D.R 7、若集合 A={1,3,x},B={1,x2},A∪B={1,3,x},则满足条件的实数 x 的个数有() A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 8.满足条件 M∪{1}={1,2,3}的集合 M 的个数是 。 9.已知集合 A={x|-1≤x≤2},B={x|2a<x<a+3},且满足 A∩B= ? ,则实数 a 的聚取值啊范 围是 。

集合的基本运算㈡
思考 1. U={全班同学}、A={全班参加足球队的同学}、 B={全班没有参加足球队的同学},则 U、A、B 有何关系? 集合 B 是集合 U 中除去集合 A 之后余下来的集合。 (一). 全集、补集概念及性质: ⒈全集的定义:一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素,那么 就称这个集合为全集,记作 U,是相对于所研究问题而言的一个相对概念。 ⒉补集的定义:对于一个集合 A,由全集 U 中不属于集合 A 的所有元素组成的集合,叫作集 合 A 相对于全集 U 的补集, 记作: C U A ,读作:A 在 U 中的补集,即 C U A ? ? x x ? U , 且 x ? A ? Venn 图表示: (阴影部分即为 A 在全集 U 中的补集)
7

U A CUA
说明:补集的概念必须要有全集的限制 讨论:集合 A 与 C U A 之间有什么关系?→借助 Venn 图分析
A ? C A? ? , U CU U ? ? , A? U C CU ? ? U A ? ,U
U

C (

U

C) A ?

A

巩固练习(口答) : ①.U={2,3,4},A={4,3},B=φ ,则 C U A =

, CU B =

; ; 。

②.设 U={x|x<8,且 x∈N},A={x|(x-2)(x-4)(x-5)=0},则 C U A = ③.设 U={三角形},A={锐角三角形},则 C U A = 【题型 1】求补集 【例 1】 .设全集 U ? ? x x 是 小 于 9 的 正 整 数 ? , A ? ?1,,? , B ? ? 3,,,? , 23 456 求 CU A , CU B .

【例 2】设全集 U ? ? x x ? 4 ? , 集 合 A ? ? x ? 2 ? x ? 3? , B ? ? x ? 3 ? x ? 3? ,求 C U A ,
A ? B , A ? B , C U ( A ? B ), ( C U A ) ? ( C U B ), ( C U A ) ? ( C U B ), C U ( A ? B ) 。

(结论: C U ( A ? B ) ? ( C U A ) ? ( C U B ), C U ( A ? B ) ? ( C U A ) ? ( C U B ) ) 【例 3】设全集 U 为 R, A ? x x ? p x ? 1 2 ? 0 ,
2

?

?

B ? x x ? 5 x ? q ? 0 ,若
2

?

?

( C U A ) ? B ? ? 2 ? , A ? ( C U B ) ? ? 4 ? ,求 A ? B 。 (答案: ? 2 , 3, 4 ? )

【例 4】设全集 U={x|-1≤x≤3},A={x|-1<x<3},B={x|x2-2x-3=0},求 C U A ,并且判断 C U A 和集合 B 的关系。 【题型 1】集合的混合运算 已知全集为 R,集合 P={x|x=a2+4a+1,a∈R},Q={y|y=-b2+2b+3,b∈R}求 P∩Q 和 P∩ C R Q 。 (III)课堂练习: ⑴若 S={2,3,4},A={4,3},则 CSA={2} ; ⑵若 S={三角形},B={锐角三角形},则 CSB={直角三角形或钝角三角形} ; ⑶若 S={1,2,4,8},A=? ,则 CSA= S ; ⑷若 U={1,3,a2+2a+1},A={1,3},CUA={5},则 a= ;-1 ?
5

⑸已知 A={0,2,4},CUA={-1,1},CUB={-1,0,2},求 B={1,4}; ⑹设全集 U={2,3,m2+2m-3},A={|m+1|,2},CUA={5},求 m 的值; (m= - 4 或 m=2) 2 ⑺已知全集 U={1, 2,3, 4}, A={x|x -5x+m=0,x∈U},求 CUA、m; (答案:CUA={2, 3},m=4; UA={1, C 4},m=6) ⑻已知全集 U=R,集合 A={x|0<x-1 ? 5},求 CUA,CU(CUA)。 ⑼已知 M={1},N={1,2},设 A={(x,y)|x∈M,y∈N},B={(x,y)|x∈N,y∈M},求 A∩B,A ∪B。[A∩B={(1,1)},A∪B={(1,1),(1,2),(2,1)}] ⑽已知集合 M ? {4,7,8},且 M 中至多有一个偶数,则这样的集合共有( ); A 3个 B 4个 C 6个 D5 个 ⑾设集合 A={-1,1}, B={x|x2-2ax+b=0}, 若 B ? ? , 且 B ? A , 求 a, b 的值
8

(1 2 ) 集 合 A ? { n |

n 2

? Z }, B ? { m |

m ?1 2

? Z }, 则 A ? B ? _ _ _ _ _ _

(1 3) 集 合 A ? { x | ? 4 ? x ? 2}, B ? { x | ? 1 ? x ? 3}, C ? { x | x ? 0 或 x ? 那 么 A ? B ? C ? ______________, A ? B ? C ? _____________;

5 2

}

提高内容: ⑴已知 X={x|x2+px+q=0,p2-4q>0},A={1,3,5,7,9},B={1,4,7,10},且 X ? A ? ? , X ? B ? X ,试 求 p、q; ⑵集合 A={x|x2+px-2=0},B={x|x2-x+q=0},若 A ? B={-2,0,1},求 p、q; ⑶A={2,3,a2+4a+2},B={0,7,a2+4a-2,2-a},且 A ? B ={3,7},求 B

22.某班举行数、理、化三科竞赛,每人至少参加一科,已知参加数学竞赛的有 27 人,参加物理竞赛的有 25 人,参加化学竞赛的有 27 人,其中参加数学、物理两科的有 10 人,参加物理、化学两科的有 7 人,参 加数学、化学两科的有 11 人,而参加数、理、化三科的有 4 人,求全班人数。

集合中元素的个数
在研究集合时,经常遇到有关集合中元素的个数问题。我们把含有有限个元素的集合 A 叫做有限集, 用 card(A)表示集合 A 中元素的个数。例如:集合 A={a,b,c}中有三个元素,我们记作 card(A)=3. 结论:已知两个有限集合 A,B,有:card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B). 例 1 学校先举办了一次田径运动会,某班有 8 名同学参赛,又举办了一次球类运动会,这个班有 12 名 同学参赛,两次运动会都参赛的有 3 人,两次运动会中,这个班共有多少名同学参赛? 解设 A={田径运动会参赛的学生},B={球类运动会参赛的学生}, A∩B={两次运动会都参赛的学生},A∪B={所有参赛的学生} 因此 card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)=8+12-3=17. 答:两次运动会中,这个班共有17名同学参赛. 1.在某校高一(5)班的学生中参加物理课外小组的有20人参加数学课外小 组的有25人,既参加数学课 外小组又参加物理课外小组的有10人,既未参加物理课外小组又未参加数学课外小组的有15人,则 这个 班的学生总人数是 A. 70 B. 55 C. 50 D. 无法确定 2. 给出下列命题: 给出下列命题: ① 若 card(A)=card(B),则 A=B; ② 若 card(A)=card(B), 则 card(A∩B)=card(A∪B) , ③ 若 A∩B=Φ 则 card(A∪B)-card(A)=card(B) ④ 若 A=Φ ,则 card(A∩B)=card(A) ⑤ 若 A ? B,则 card(A∩B)=card(A) , 其中正确的命题的序号是③④

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高一数学必修 1 集合练习题 1
一.选择题 1.下列说法正确的是 B.所有小正数组成的集合 C.集合{1,2,3,4,5}和{5,4,3,2,1}表示同一个集合 D. 1, 0 .5,
1 3 6 , , , 2 2 4 1 4

( )

A.某个村子里的年青人组成一个集合

这些数组成的集合有五个元素

2.下面有四个命题: (1)集合N中最小的数是否; (2)0是自然数; (3) {1,2,3}是不大于3的自然数组成的集合; (4) a ? N , B ? N 则 a ? b 不 小 于 2 其中正确的命题的个数是 A.1个
1 2

( C.3个

) D.4个

B.2个

3.给出下列关系: (1)
? R;

(2) 2 ? Q ; (3) ? 3 ? N ? ; (4) ? 3 ? Q . 其中正确的个数为 A.1个 B.2个 4.给出下列关系: (1) {0}是空集; (2) 若 a ? N , 则 ? a ? N ; (3)集合 A ? x ? R x ? 2 x ? 1 ? 0
2



) C.3个 D.4个

?

?

(4)集合 B ? ? x ? Q
?

?

6

? ? N? x ?
10

其中正确的个数为 A.1个 B.2个 5.下列四个命题: (1)空集没有了集;



) C.3个 D.0个

(2)空集是任何一个集合的真子集; (3)空集的元素个数为零; (4)任何一个集合必有两个或两个以上的子集. 其中正确的有 A.0 个 ( B.1 个 ) C.2 个 D.3 个 ( )

6.已知集合 A ? ? x ? R x ? 5 ? , B ? ? x ? R x ? 1? , 那么 A ? B 等于 A. {1,2,3,4,5} C. {2,3,4} 7.已知全集 I ? ? 0, ? 1, ? 2 . ? 3, ? 4 ? , 集合
M ? ? 0, ? 1, ? 2 ? , N ? ? 0, ? 3, ? 4 ? , 则 ? ?I M

B. {2,3,4,5} D. ? x ? R 1 ? x ? 5 ?

?? N

?(

) C. ? ? 1, ? 2 ? D. ?

A. {0}

B. ? ? 3, ? 4 ?

二.填空题 8.方程的解集为 x ? R 2 x ? 3 x ? 2 ? 0 , 用列举法表示为____________.
2

?

?

2? x 7x ? ? 2 ? x ? 1 ? ? 3 ? 2 ? 1, ? 9.用列举法表示不等式组 ? 的整数解集合为____________. x?5 ? ? 3x ? ?1 ? 2 ?

10. 已知A= {菱形} B= , {正方形} C= , {平行四边形} 那么A, , B, C之间的关系是__________. 11.已知全集U=N,集合 A ? ? x ? R x ? 5 ? ,则 ?U A 用列举法表示为_____________.

三.解答题 12.已知 A ? x x ? 2 x ? 3 ? 0 , B ? ? x x 2 ? 5 x ? 6 ? 0 ? , 求 A ? B .
2

?

?

13.已知 A ? y y ? x ? 4 x ? 6, y ? N , B ? y y ? ? x ? 2 x ? 1 8, y ? N , 求 A ? B .
2 2

?

?

?

?

14.若集合 A ? ?1, 3, x ? , B ? ? x 2 ,1? , 且 A ? B ? ?1, 3, x ? , 则满足于条件的实数 x 的个数有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

( )

15.设集合 A ? ? ? 3, 0,1? , B ? ? t 2 ? t ? 1? , 若 A ? B ? A ,则实数 t ? ______________.
11

16

已 知 全 集 U ? R , A ? ? x ? 4 ? x ? 2 ? , B ? ? x ? 1 ? x ? 3? , P ? ? x x ? 0 或 x ?
?

?

5? ?, 那 么 2?

A ? B ? _ _ _ _ _ _ _ , A ? B ? ? ?U P ? ? _ _ _ _ _ _ _ _ .

17. A ? x x ? p x ? q ? 0 , B ? x x ? p x ? 2 q ? 0 , 且 A ? B ? ? ? 1? , 求 A ? B .
2 2

?

?

?

?

18.设 A ? ? x x ? 1? , B ? ? x x ? a ? , 且 A ? B ,求 a 的取值范围.

19.试用适当的符号把 2 ?

3 ?

2?

3 和 a ? b 6 a ? R , b ? R 连接起来.

?

?

20.已知集合
A ? x x ? 4 x ? 3 ? 0 , B ? x x ? ax ? a ? 1 ? 0 , C ? x x ? m x ? 1 ? 0 ,
2 2 2

?

?

?

?

?

?

且 A ? B ? A , A ? C ? C , 求 a , m 的值或取值范围.

12


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