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【全国百强校首发】湖北省武汉市第二中学2016-2017学年高二下学期期中考试数学(理)试题

【全国百强校首发】湖北省武汉市第二中学 2016-2017 学年高二下学 期期中考试数学(理)试题 一、解答题 1.已知 (1)求 (2)令 (3)存在 , . 的单调区间; ,则 且 时有两个不同的根,求 的取值范围; ,使 ,单调递减区间为 成立,求 的取值范围. .(2) (3) 【答案】(1)单调递增区间为 【解析】 试题分析:(1)利用导数求函数单调区间,首先确定定义域,再求导函数,最后根据导函 数符号确定单调区间(2)利用导数研究方程根的个数,首先确定定义区间,再求导函数, 讨论导函数有没零点,有零点情况下,研究零点在不在定义区间:①当 时,导函数无零 点,函数单调,不满足题意;②当 时,定义区间有零点,且存在最小值,因此要满足题 意,需保证最小值小于 1 即可(3)本题关键点,根据绝对值定义,将不等式转化为对应函 数单调性:当 , ,原不等式转化为 , 令令 ,则 在 存在减区间,即 有解,即 试题解析:解:(1) 时, 综上, (2) ①当 ②当 时, 时, , .令 单调递减. 得 , 时, , 单调递增; 单调递增区间为 ,单调递减区间为 . ,单调递减,故不可能有两个根,舍去 时, , 单调递减, 时, 综上, (3)不妨设 , 单调递增.所以 得 . ,由(1)知 ,等价于 时, 单调递减. 即 存在 , 令 且 , ,使 在 存在减区间 有解,即 , , 单调递减, 时, , , 单调递增, 成立 有解,即 令 , 时, . 考点:利用导数求函数单调区间,利用导数研究方程根的个数,利用导数研究不等式有解问 题 【名师点睛】1.利用导数确定三次式、分式、以 e 为底的指数式、对数式及三角式方程根的 个数或函数零点的方法(1)构建函数 g(x)(要求 g′(x)易求,g′(x)=0 可解),转化为确 定 g(x)的零点个数问题求解,利用导数研究函数的单调性、极值,并确定定义区间端点值的 符号(或变化趋势)等,画出 g(x)的图像草图,数形结合求解. (2)利用零点存在性定理:先 用该定理判断函数在某区间上有零点,然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间 端点值的符号,进而判断函数在该区间上零点的个数. 2.根据三次式、分式、以 e 为底的指数式、对数式及三角式方程根的个数或函数零点的个数 求参数取值范围的方法:构建函数 g(x)(要求 g′(x)易求,g′(x)=0 可解),利用导数研究 函数的单调性、极值,并确定定义区间端点值的情况等,画出 g(x)的图像草图,数形结合得参 数的取值范围或关于参数的不等式(组)再求解. 2.某公司在迎新年晚会上举行抽奖活动,有甲、乙两个抽奖方案供员工选择; 方案甲:员工最多有两次抽奖机会,每次抽奖的中奖率为 .第一次抽奖,若未中奖,则抽 奖结束.若中奖,则通过抛一枚质地均匀的硬币,决定是否继续进行第二次抽奖,规定:若 抛出硬币,反面朝上,员工则获得 500 元奖金,不进行第二次抽奖;若正面朝上,员工则须 进行第二次抽奖,且在第二次抽奖中,若中奖,获得奖金 1000 元;若未中奖,则所获奖金 为 0 元. 方案乙:员工连续三次抽奖,每次中奖率均为 ,每次中奖均可获奖金 400 元. (1)求某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金 (元)的分布列; (2)某员工选择方案乙与选择方案甲进行抽奖,试比较哪个方案更划算? 【答案】(1)详见解析;(2)选甲方案. 【解析】试题分析: (1)计算出 取值 时的概率,画出分布列. 的均值,选择更大的一种方案. (2)比较选择方案甲和方案乙进行抽奖所获奖金 试题解析: , , 所以某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金 (元)的分布列为 0 500 1000 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知,选择方案甲进行抽奖所获奖金 的均值 若选择方案乙进行抽奖中奖次数 抽奖所获奖金 的均值 故选择方案甲较划算. 3.如图,在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中, ,则 , 在线段 上。 (1)若 D 为 AA1 中点,求证:平面 B1CD 平面 B1C1D; (2)若二面角 B1—DC—C1 的大小为 60°,求 AD 的长. 【答案】(1)见解析;(2) . 【解析】试题分析:(1)要证明面面垂直,根据判断定理先证明线面垂直,根据观察可先 证明 , ,即证明 平面 ,就证明了平面 平面 ;(2) 根据已知以 为原点建立空间直角坐标系,设 ,先求平面 和平面 的法向量 , 试题解析:(1)∵ 又由直三棱柱性质知 ,∴ 又 故平面 ,所以 平面 B1C1D. 平面 ACC1A1,在平面 ACC1A1 内过 为二面角 ,求 的值. ,∴ ,∴ ,即 , 平面 ACC1A1.∴ 由 D 为中点可知, 平面 B1C1D,又 平面 B1CD, (2)解法一:由(1)知 C1 作 交 CD 于 E,连 EB1,由三垂线定理可知 B1—DC—C1 的平面角,∴ 由 B1C1=2 知, ∵ ,设 ,则 ,解得 ,即 的面积为 1,∴ (2)解法二:以 C 为原点,CA、CB、CC1 所在直线为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系. 设 AD=a ,则 D 点坐标为(1,0,a), . 得 , ,得 ,故 , 设平面 B1CD 的法向量为 则由 又平面 C1DC 的法向量为 则由 4.某中学数学老师分别用两种不同教学方式对入学数学平均分和优秀率都相同的甲、乙两个 高一新班(人数均为 20 人)进行教学(两班的学生学习数学勤奋程度和自觉性一致),数学期终 考试成绩茎叶图如下: (1)学校规定:成绩不低于 75 分的优秀,请填写下面的 2×2 联表,并判断有多大把握认为“成 绩优秀与教学方式有关”. 甲班 优秀 不优秀 合计 a c 乙班 b d 合计 附:参考公式及数据 P(x ≥k) k 2 0.15 2.072 0.10 2.706 0.05 3.841


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