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高中数学必修2立体几何知识点,1,2章


第一章 空间几何体 1.1 柱、锥、台、球的结构特征(略) 棱柱: 棱锥: 棱台: 圆柱: 圆锥: 圆台: 球: 1.2 空间几何体的三视图和直观图 1 三视图: 正视图:从前往后 侧视图:从左往右 俯视图:从上往下 2 画三视图的原则: 长对齐、高对齐、宽相等 3 直观图:斜二测画法 4 斜二测画法的步骤: (1).平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴; (2).平行于 y 轴的线长度变半,平行于 x,z 轴的线长度不变; (3).画法要写好。 5 用斜二测画法画出长方体的步骤: (1)画轴(2)画底面(3)画侧棱(4)成图 1.3 空间几何体的表面积与体积 (一 )空间几何体的表面积 1 棱柱、棱锥的表面积: 各个面面积之和 2 圆柱的表面积 S 4 圆台的表面积 S

? 2?rl ? 2?r 2

3 圆锥的表面积 S

? ? rl ? ? r 2
2

? ? rl ? ? r 2 ? ? Rl ? ? R 2

5 球的表面积 S ? 4? R

6 扇形的面积公式 S扇形

n? R 2 1 ? ? lr (其中 l 表示弧长, r 表示半径) 360 2
1 2 锥体的体积 V ? S 底 ? h 3

(二)空间几何体的体积 1 柱体的体积 V ? S底 ? h 3 台体的体积

1 V ? (S ? 3 上

S S ? 下S ) 上 下

? h

4 球体的体积 V ?

4 ? R3 3

第二章 直线与平面的位置关系 2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1 1 平面含义:平面是无限延展的,无大小,无厚薄。 2 平面的画法及表示 (1)平面的画法:水平放置的平面通常画成一个平行四边形,锐角画成 450,且横边画成邻边的 2 倍长 (2)平面通常用希腊字母α 、β 、γ 等表示,如平面α 、平面β 等,也可以用表示平面的平行 四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示,如平面 AC、平面 ABCD 等。 3 三个公理: (1)公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内

A?l ? B ?l ? ? 符号表示为 ??l ?? A ?? ? B ?? ? ?
公理 1 作用:判断直线是否在平面内 (2)公理 2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。 符号表示为:A、B、C 三点不共线 ? 有且只有一个平面α ,使 A∈α 、B∈α 、C∈α 。 公理 2 作用:确定一个平面的依据。 补充 3 个推论: 推论 1:经过一条直线与直线外一点,有且只有一个平面。 推论 2:经过两条平行直线,有且只有一个平面。 推论 3:经过两条相交直线,有且只有一个平面。 (3)公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 符号表示为: p ?? ? ? ? ? ? ? ? l , 且p ? l 公理 3 作用:判定两个平面是否相交的依据 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系: 相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点; 共面直线 平行直线:同一平面内,没有公共点; 异面直线: 不同在任何一个平面内,没有公共点。 2 公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为:设 a、b、c 是三条直线,

a // b ? ? ? a // c c // b ?

强调:公理 4 实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用。 公理 4 作用:判断空间两条直线平行的依据。 3 等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补。 定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等. 4 异面直线定理:连结平面内一点与平面外一点的直线,和这个平面内不经过此点的直线是异面直线 符号表示: A ?? , B ?? , l ? ? , B ? l ? 直线AB与直线l异面 。 5 注意点: ① 异面直线 a1与b1 所成的角的大小只由它们的相互位置来确定,与选择的位置无关,为简便一 般取在两直线中的一条上; ②
0 两条异面直线所成的角: ? ? ? 0 , 90 ] 0

③ 当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线互相垂直,记作 a⊥b; ④ 两条直线互相垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形; ⑤ 计算中,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。 2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系: (1)直线在平面内 —— 有无数个公共点 (2)直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点 (3)直线在平面平行 —— 没有公共点 特别指出:直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外,可用 a ? ? 来表示

a α a∩α =A a∥α 2.2.直线、平面平行的判定及其性质 2.2.1 直线与平面平行的判定 1、直线与平面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面 平行。简记为:线线平行,则线面平行。
a ??? ? 符号表示: b ? ? ? ? a // ? a // b ? ?

2.2.2 平面与平面平行的判定 1、两个平面平行的判定定理:一个平面内的两条交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行。 a?? ? b?? ? ? ? 符号表示 : a ? b ? A? ? ? // ? 简记为:线线平行,则面面平行。 a // ? ? ? b // ? ? ? 2、判断两平面平行的方法有三种: (1)用定义; (2)判定定理; (3)垂直于同一条直线的两个平面平行。符号表示为: ? ? a, ? ? a ? ? // ? 2.2.3 — 2.2.4 直线与平面、平面与平面平行的性质 1、定理:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
? ? 简记为:线面平行,则线线平行。符号表示: a ? ? ? ? a // b ? ? ? ? b? ? a // ?

作用:利用该定理可解决直线间的平行问题。 2、定理:如果两个平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行。

? // ? ? ? 符号表示: ? ? ? ? a ? ? a // b ,简记为:面面平行,则线线平行 ? ? ? ? b? ?
作用:可以由平面与平面平行得出直线与直线平行

3、两个平面平行具有如下的一些性质: ⑴如果两个平面平行,那么在一个平面内的所有直线都与另一个平面平行 ⑵如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行. ⑶如果一条直线和两个平行平面中的一个相交,那么它也和另一个平面相交 ⑷夹在两个平行平面间的所有平行线段相等 2.3 直线、平面垂直的判定及其性质 2.3.1 直线与平面垂直的判定 1、 定义:如果直线 l 与平面α 内的任意一条直线都垂直, 我们就说直线 l 与平面α 互相垂直, 记作 l

?? ,

直线 l 叫做平面α 的垂线,平面α 叫做直线 l 的垂面。直线与平面垂直时,它们唯一公共点 P, 点 P 叫做垂足。 2、判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。 符号表示: l ? a, l ? b, a ? ? , b ? ? , a ? b ? A ? l ? ? ,简记为:线线垂直,则线面垂直。 注意点: a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视; b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。 3、补充性质: a // b, a ? ? ? b ? ?
4、直线与平面所成的角的范围为: [00 ,900 ]

2.3.2 平面与平面垂直的判定 1、二面角的概念:表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形 A 梭 l β B α 2、二面角的记法:二面角α -l-β 或α -AB-β ,平面之间二面角范围是 [00 ,1800 ] 3、两个平面互相垂直的判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。 符号表示: l

? ? ,l ? ?,? ? ? ?

,简记为:线面垂直,则面面垂直。

4、线面角的求法,在直线上任找一点作平面的垂线,则直线和射影所成的角就是了。 2.3.3 — 2.3.4 直线与平面、平面与平面垂直的性质 1、定理:垂直于同一个平面的两条直线平行。符号表示: 补充性质: (1)a

a ? ?,b ? ?,? a ? b


? ? , b // ? ? a ? b , (2)a ? ? , b // a ? b ? ?
, (4)a

(3)a ? ? , a ? ? , ? ? // ?
符号表示:

? ? , ? // ? , ? a ? ?

2 性质定理: 两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

a ? ? ,? ? ? ? l , a ? ? , a ? l , ? a ? ? ,面面垂直,则线面垂直。


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