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2014届高三数学一轮必备“高频题型全掌握”10.平面向量的综合性题型

【精选三年经典试题(数学) 】2014 届高三全程必备《高频题型全掌 握系列》 10.平面向量的综合性题型 → → → 3OA-OB 1.(皖南联考)已知点 O、A、B 不在同一条直线上,点 P 为该平面上一点,且OP= , 2 则( ) A.点 P 在线段 AB 上 B.点 P 在线段 AB 的反向延长线上 C.点 P 在线段 AB 的延长线上 D.点 P 不在直线 AB 上 → → → 解析:由于 2OP=3OA-OB, → → → → → → ∴2OP-2OA=OA-OB,即 2AP=BA. → 1→ ∴AP= BA,则点 P 在线段 AB 的反向延长线上,选 B. 2 答案:B 2.(郑州市质检)在直角△ABC 中,CD 是斜边 AB 上的高,则下列等式不成立的是( → → → A.|AC|2=AC·AB → → → B.|BC|2=BA·BC → → → C.| AB|2=AC·CD → → → → → ? AC·AB? ×? BA·BC? D.|CD|2= → |AB|2 ) 解析:对选项 C,如图所示, → → AC·CD → → =|AC|·|CD|·cos(π -∠ACD) → → =-|AC|·|CD|cos∠ACD -1- → → = -|CD|2≠|AB|2. 答案:C 3.(2012· 湖南师大附中月考)若|a|=1, b|= 2, a⊥(a-b), | 且 则向量 a, 的夹角为( b ) A.45° B.60° C.120° D.135° 4.(2011· 广州模拟)已知向量 a=(sin x, x), cos 向量 b=(1, 3), a+b|的最大值( 则| ) A.1 B. 3 C.3 D.9 5.()武汉市调研已知向量 a=(1,2),b=(2,-3).若向量 c 满足(c+a)∥b,c⊥(a+b), 则 c=( ) 7? ?7 7? ? 7 A.? , ? B.?- ,- ? 9? ?9 3? ? 3 7? ?7 7? ? 7 C.? , ? D.?- ,- ? 3? ?3 9? ? 9 【3-5 题答案】 2 3.A [由 a⊥(a-b),得 a -a·b=0, 即 a =a·b,所以|a| =|a||b|cos θ . 因为|a|=1,|b|= 2,所以 cos θ = 2 , 2 2 2 又θ ∈[0°,180°],所以θ =45°.] 4.C [由 a+b=(sin x+1,cos x+ 3), 得|a+b|= ? sin x+1? 2 +? cos x+ 3? 2 = 2sin x+2 3cos x+5 3 ?1 ? 4? sin x+ cos x?+5 2 2 ? ? π? ? = 4sin?x+ ?+5≤ 4+5=3.] 3? ? 5.D [设 c=(x,y),则 c+a=(x+1,y+2), 又(c+a)∥b, ∴2(y+2)+3(x+1)=0.① 又 c⊥(a+b), ∴(x,y)·(3,-1)=3x-y=0.② 7 7 由①②解得 x=- ,y=- .] 9 3 = 6.(12 分)(2010·天津一中高三第四次月考)设 A,B,C 为△ABC 的三个内角,m=(sin B+sin C,0),n=(0,sin A)且|m|2-|n|2=sin Bsin C. (1)求角 A 的大小; (2)求 sin B+sin C 的取值范围. 6.解 (1)∵|m| -|n| =(sin B+sin C) -sin A 2 2 2 =sin B+sin C-sin A+2sin Bsin C……………………………………………………(3 分) 依题意有, 2 2 2 sin B+sin C-sin A+2sin Bsin C=sin Bsin C, 2 2 2 ∴sin B+sin C-sin A=-sin Bsin C,…………………………………………………(6 分) 2 2 2 由正弦定理得:b +c -a =-bc, 2 2 2 2 -2- ∴cos A= b2+c2-a2 -bc 1 = =- ,∵A∈(0,π ) 2bc 2bc 2 2π 所以 A= .………………………………………………………………………………(8 分) 3 2π π (2)由(1)知,A= ,∴B+C= , 3 3 π ? ? ∴sin B+sin C=sin B+sin? -B? ?3 ? 1 3 ? π? = sin B+ cos B=sin?B+ ?.………………………………………………………(10 分) 3? 2 2 ? π π ∵B+C= ,∴0<B< , 3 3 π π 2π 3 ? π? 则 <B+ < ,则 <sin?B+ ?≤1, 3? 3 3 3 2 ? 即 sin B+sin C 的取值范围为? ? 3 ? ,1?.……………………………………………(12 分) ?2 ? -3-


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