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2017-2018学年高中数学人教A版选修2-2课件:第三章 3.1 3.1.1 数系的扩充和复数的概念_图文

3.1.1 数系的扩充和复数的概念 预习课本 P102~103,思考并完成下列问题 (1)实数系经过扩充后得到的新数集是什么?复数集如何分类? (2)复数能否比较大小?复数相等的充要条件是什么?纯虚数、 虚数、实数、复数关系如何? [新知初探] 1.复数的有关概念 我们把集合 C= a+bi|a,b∈R 中的数, 即形如 a+bi(a, b∈R) 的数叫做复数,其中 i 叫做 虚数单位 . 全体复数所成的集合 C 叫做 复数集 . 复数通常用字母 z 表示,即 z=a+bi(a,b∈R),这一表示形式 叫做复数的 代数形式 . 对于复数 z=a+bi,以后不作特殊说明都有 a,b∈R,其中的 a 与 b 分别叫做复数 z 的 实部 与 虚部 . ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? [点睛] 复数概念的三点说明 (1)复数集是最大的数集,任何一个数都可以写成 a +bi(a,b∈R)的形式,其中 0=0+0i. (2)复数的虚部是实数 b 而非 bi. (3)复数 z=a+bi 只有在 a,b∈R 时才是复数的代 数形式,否则不是代数形式. 2.复数相等 在复数集 C= a+bi|a,b∈R 中任取两个数 a+bi, c+di(a, b, c , d∈R) , 我 们 规 定 : a + bi 与 c + di 相 等 的 充 要 条 件 是 a=c 且 b=d . 3.复数的分类 对于复数 a+bi,当且仅当 b=0 时,它是实数;当且仅当 a =b=0 时,它是实数 0;当 b≠0 时,叫做虚数;当 a=0 且 b≠0 时,叫做纯虚数.这样,复数 z=a+bi 可以分类如下: 复数 ? ?实数(b=0), z? ? ?虚数(b≠0)(当a=0时为纯虚数). ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? [点睛] 复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之 间的关系 [小试身手] 1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若 a,b 为实数,则 z=a+bi 为虚数. (2)若 a 为实数,则 z=a 一定不是虚数. (× ) (√ ) (3)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于 0,那么这两个 复数相等. (√ ) 2.(1+ 3)i 的实部与虚部分别是 A.1, 3 C.0,1+ 3 B.1+ 3,0 D.0,(1+ 3)i ( ( ) 答案:C 3.复数 z=(m2-1)+(m-1)i(m∈R)是纯虚数,则有 A.m=± 1 C.m=1 答案:B ) B.m=-1 D.m≠1 复数的概念及分类 [典例] x2-x-6 实数 x 分别取什么值时,复数 z= + x+3 (x2-2x-15)i 是(1)实数?(2)虚数?(3)纯虚数? [解] (1)当 x 2 ? ?x -2x-15=0, 满足? ? ?x+3≠0, 即 x=5 时,z 是实数. (2)当 x 2 ? ?x -2x-15≠0, 满足? ? ?x+3≠0, 即 x≠-3 且 x≠5 时,z 是虚数. 2 x ? ? -x-6=0, ? x+3 (3)当 x 满足? 2 ?x -2x-15≠0, ? ?x+3≠0, 即 x=-2 或 x=3 时,z 是纯虚数. 复数分类的关键 (1)利用复数的代数形式, 对复数进行分类, 关键是根据分类标 准列出实部、虚部应满足的关系式.求解参数时,注意考虑问题要 全面,当条件不满足代数形式 z=a+bi(a,b∈R)时应先转化形式. (2)注意分清复数分类中的条件 设复数 z=a+bi(a,b∈R),则①z 为实数?b=0,②z 为虚数 ?b≠0,③z 为纯虚数?a=0,b≠0.④z=0?a=0,且 b=0. [活学活用] 当 m 为何值时,复数 z=m2(1+i)-m(3+i)-6i,m∈R,是 实数?是虚数?是纯虚数? 解:∵z=(m2-3m)+(m2-m-6)i, ∴(1)当 m 满足 m2-m-6=0, 即 m=-2 或 m=3 时, z 为实数. (2)当 m 满足 m2-m-6≠0,即 m≠-2 且 m≠3 时,z 为虚数. (3)当 m 2 ? ?m -3m=0, 满足? 2 ? ?m -m-6≠0, 即 m=0 时,z 为纯虚数. 复数相等 [典例] 已知关于 x 的方程 x2+(1-2i)x+(3m-i)=0 有实 数根,则实数 m 的值为________,方程的实根 x 为________. [解析] 设 a 是原方程的实根, 则 a2+(1-2i)a+(3m-i)=0, 即(a2+a+3m)-(2a+1)i=0+0i, 所以 a2+a+3m=0 且 2a+1=0, 1 ? 1 ?2 1 所以 a=- 且?-2? - +3m=0, 2 ? ? 2 1 所以 m= . 12 1 1 [答案] - 12 2 [一题多变] 1.[变条件]若将本例中的方程改为:x2+mx+2xi=-1-mi 如何求解? 解 : 设 实 根 为 x0 , 代 入 方 程 , 由 复 数 相 等定 义 , 得 2 ? ?x0+mx0=-1, ? ? ?2x0=-m, ? ?x0=1, 解得? ? ?m=-2 ? ?x0=-1, 或? ? ? m = 2, 因此,当 m=-2 时,原方程的实根为 x=1,当 m=2 时,原方程的实根为 x=-1. m 2.[变条件]若将本例中的方程改为:3x - x-1=(10-x 2 -2x2)i,如何求解? m 2 解:设方程实根为 x0,则原方程可变为 3x0- x0-1=(10 2 2 -x0-2x2 0)i,由复数相等定义,得: m ? 2 ?3x0- x0-1=0, 2 ? 2 ? ?10-x0-2x0=0, 5 ? ? ?x0=-2, ?x0=2, 解得? 或? ? ?m=11 ?m=-71, 5 ? 因此,当 m=11 时,原方程的实根为 x=2; 71 5 当 m=-


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