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1.5.1-2 曲边梯形的面积、汽车行驶的路程


1.5 定积分的概念

1.5.1 曲边梯形的面积 1.5.2 汽车行驶的路程

了解求曲边梯形的面积、汽车行驶的路程 的求解方法,了解“以直代曲”、“以不 变代变”的思想方法.

本节重点:曲边梯形的面积、汽车行驶路 程的求法. 本节难点:“以直代曲”、“以不变代变” 的思想方法.

? 1 .正确理解曲边梯形的概念是研究曲边 梯形面积的关键,实际上,曲边梯形是由 曲线段和直线段所围成的平面图形. ? 2 .曲边梯形与“直边图形”的主要区别 是前者一边是曲线段,而“直边图形”的 所有边都是直线段. ? 3.求曲边梯形面积的思想方法 ? 一般地,对曲边梯形,我们可采用分割、 以直代曲、求和、取极限的思想方法求出 其面积.

? 4 .求做变速直线运动物体路程的思想方 法 ? 一般地,如果物体做变速直线运动,速度 函数为v=v(t),那么我们可以采用分割、 近似代替、求和、取极限的方法,求出它 在a≤t≤b内所走的位移s.
? 事实上,类似于求曲边梯形面积的过程, 汽车行驶的路程s就是由直线t=a,t=b, v=0和曲线v=v(t)所围成的曲边梯形的面 积.

? 1.连续函数 ? 如果函数 y = f(x) 在某个区间 I 上的图象是一条连 续不断的曲线,那么就把它称为区间I上的连续函 数. ? 2.曲边梯形的面积 ? (1) 曲边梯形:由直线 x = a , x = b(a≠b) , y = 0 和 曲线 y=f(x) 所围成的图形称为曲边梯形 ( 如 图①). ? (2)求曲边梯形面积的方法与步骤: ? ①分割:把区间[a,b]分成许多小区间,进而把 曲边梯形拆分为一些 小曲边梯形(如图②);

以直代曲 ? ②近似代替:对每个小曲边梯形“ ”,即用 矩形的 面 积 近 似 代 替 小 曲 边 梯形的面积,得到每个小曲边梯形面积的 近似值 (如图②); ? ③求和:把以近似代替得到的每个小曲边 梯形面积的近似值 求和 ;

? ④取极限:当小曲边梯形的个数趋向无穷 时,各小曲边梯形的面积之和趋向一个 定值 ,即为曲边梯形的面积.

? 3.求变速直线运动的位移(路程) ? 如果物体做变速直线运动,速度函数为v 分割,近似代替,求和,取极限 =v(t),那么也可以采用 的方法,求出它在 a≤t≤b 内 所作的位移s.

? [例1] 求由直线x=0,x=1,y=0和曲线 y=x(x-1)围成的图形面积. ? [ 分析 ] 只要按照分割、近似代替、求和、 取极限四步完成即可.

[解析]

(1)分割

1 2 将曲边梯形分割成 n 个小曲边梯形,用分点n,n,?, n-1 n 把区间[0,1]等分成 n 个小区间:
? i -1 i ? ?n-1 n? ? 1? ? 1 2 ? ? ? ? ? ?0, ?,? , ?,?,? , ? , , ? , ?,简写 ? n n n n? n? ? ? ? ? ? n ? n ?i-1 i ? ? 作? (i=1,2,?,n). , ? n ? n? ?

i i-1 1 每个小区间的长度为 Δx= - = . n n n

? 过各分点作x轴的垂线,把曲边梯形分成n 个小曲边梯形,它们的面积分别记作: ΔS1,ΔS2,?,ΔSi,?,ΔSn. ? (2)近似代替 ? 用小矩形面积近似代替小曲边梯形面积:

? i -1 i ? ? 在小区间? 上任取一点 , ? n n? ? ?

ξi(i=1,2,?,n),为

了计算方便,取 ξi 为小区间的左端点,用以点 ξi 坐标 f(ξi)
?i-1??i-1 ? ? ?? ? =? 以小区间长度 - 1 ?? n ?为其一边, n ? ?? ?

1 Δx=n为邻边的

小矩形面积近似代替第 i 个小曲边梯形面积,可以近似地 表示为
?i-1??i-1 ?1 ? ?? ? ΔSi≈f(ξi)Δx=? (i=1,2,?,n). - 1 ?? n ?· n n ? ?? ?

? (3)求和 ? 因为每一个小矩形的面积都可以作为相应 的小曲边梯形面积的近似值,所以n个小矩 形面积的和就是曲边梯形面积 S的近似值, 即
S= ?ΔSi≈ ?f(ξi)Δx
i=1 i=1 n n

??i-1??i-1 ?? 1 ?? ?? ?? = ? ?? - 1 ?? n ??· n ?? ?? n i=1 ??
n

1 2 1 2 2 2 =n3[0 +1 +2 +?+(n-1) ]-n2[0+1+2+?+(n-1)]

1 1 1 n(n-1) =n3· 6n(n-1)(2n-1)-n2· 2
? -n2+1 1? 1 = 6n2 =6?n2-1?. ? ?

(4)取极限 当分割无限变细,即 Δx 无限趋近于 0 时,n 无限趋近
? 1? 1 于+∞,此时6?n2-1?无限趋近于 S.从而有: ? ? ? 1? 1 1 ? ? -1 =- . S=linm →∞ 6?n2 6 ?

所以由直线 x=0,x=1,y=0 和 y=x(x-1)围成的图 1 形面积为6.

? [点评] (1)分割的目的在于更精确地“以 直代曲”.上例中以“矩形”代替“曲边 梯形”,随着分割的等份数增多,这种 “代替”就越精确.当n愈大时,所有小 矩形的面积就愈逼近曲边梯形的面积. ?i-1 i ?
(2)在“近似代替”中,教材在每一个小区间? ?
?

n

? , ? n?

上取左端,事实上可以取右端点或区间上的任意点,可以 自己试一下取右端点时的情形.

? (3)求曲边梯形的面积,通常采用分割、近 似代替、求和、取极限的方法.

? 求直线x=1,x=2,y=0与曲线y=x3所 围成的曲边梯形的面积.

[解析]

(1)分割:

把求面积的曲边梯形 ABCD 分割成 n 个小曲边梯形, n+1 n+2 n+(n-1) 用分点 , ,?, 把区间[1,2]等分成 n 个 n n n
? ? ? ?n+i n+i+1? n+1? ? ? ?n+1 n+2? ? ? 小区间?1, , , ? , ,?, , , ? ? n n ? n ? n ? ? ? ? n ? ? ? ?n+(n-1) ? ? ? 每个小区间的长度为 , 2 ? ?, n ? ?

n+i+1 n+i Δx= - = n n

1 n,过各分点作 x 轴的垂线,把曲边梯形 ABCD 分割成 n 个 小曲边梯形,如图,

它们的面积分别记作 ΔS1,ΔS2,?,ΔSn. (2)近似代替: 取各小区间的左端点 ξi,用以点 ξi 的纵坐标(ξi)3 为一 1 边, 以小区间长 Δx= 为另一边的小矩形面积近似代替第 n i 个小曲边梯形面积,可以近似地表示为:
?n+i? 1 ?3 ΔSi≈(ξi) ·Δx=? (i=0,1,2,3,?,n-1). ? n ? · n ? ?
3

? (3)求和: ? 因为每一个小矩形的面积都可以作为相 应的小曲边梯形面积的近似值,所以n个 小矩形面积的和就是曲边梯形ABCD面积 S的近似值,即
S= ?ΔSi≈ ?
i=0 n-1 n-1 ? ? ?n+i?3 i=0

? ?

n

? ?

1 ·(i=0,1,2,3,?,n-1)① n

? (4)求极限: ? 当分点数目愈多,即 Δx 愈小时,和式① 的值就愈接近曲边梯形ABCD的面积S.因 此, n→ + ∞ 即 Δx→0 时,和式①的极限 就是所求的曲边梯形ABCD的面积.
因为 ?
n-1 ? ? ?n+i?3

? i=0 ?

n

? ?

1 1 n -1 ·= 4 ? (n+i)3 n n i=0

1 n-1 3 = 4 ? (n +3n2i+3ni2+i3) n i=0

1 4 1 1 2 n(n-1) = n4 [n + 3n · 2 + 3n· 6 (n - 1)n(2n - 1) + 4 (n - 1)2n2], 所以
? S=nlim ? →+∞ i=0 ?
n-1 ? n+i?

?

n

3 1 15 ?3 1 =1+2+1+4= 4 . ? · n ?

? [例2] 已知某运动物体做变速直线运动, 它的速度v是时间t的函数v(t),求物体在t =0到t=t0这段时间内所经过的路程s.
[解析] (1)分割
?i-1 i ? ? ? 等份: ?, t , t ? n 0 n 0?(i=1,2, ? ?

将时间区间[0, t0]分成 n

t0 n),每个小区间所表示的时间为 Δt= ; n 各区间物体运动的距离记作 Δsi(i=1,2,?,n).

? (2)近似代替 ? 在每个小区间上以匀速直线运动的路程 近似代替变速直线运动的距离:
? i -1 i ? ? ? 在小区间? t0, t0?上任取一时刻 ξi(i=1,2,?,n), n ? ? n

用时刻 ξi 的速度 v(ξi)近似代替第 i 个小区间上的速度.由 匀速直线运动的路程公式,每个小区间物体运动所经过的 距离可以近似地表示为 Δsi≈v(ξi)Δt(i=1,2,?,n).

? (3)求和 ? 因为每个小区间上物体运动的距离可以用 这一区间上做匀速直线运动的路程近似代 替,所以在时间 [0 , t0] 范围内物体运动的 距离 s就可以用这一物体分别在 n个小区间 上做 n 个匀速直线运动的路程和近似代替,
即 s= ?Δsi≈ ?v(ξi)Δt.
i=1 i=1 n n



? (4)取极限 ? 求和式①的极限:
t0 当所分时间区间愈短,即 Δt= n 愈小时,和式①的值 t0 就愈接近 s.因此,当 n→∞,即 Δt= n →0 时,和式①的极 限,就是所求的物体在时间区间[0,t0]上所经过的路程. 由此得到 s=lim n→∞ ?v(ξi)Δt.
i=1 n

? [点评] 求变速直线运动的路程问题, 方法和步骤类似于求曲边梯形的面积, 仍然利用以直代曲的思想,将变速直线 运动问题转化为匀速直线运动问题,求 解过程为:分割、近似代替、求和、取 极限.

? 一辆汽车在直线形公路上作变速行驶, 汽车在时刻t的速度为v(t)=-t2+5(单位: km/h).试计算这辆汽车在0≤t≤2(单位:h) 这段时间内行驶的路程s(单位:km).

[解析]

(1)分割: 在[0,2]上等间隔插入 n-1 个点将区
?2(i-1) 2i? ? 个小区间为? , ? ?(i= n n ? ?

间分成 n 个小区间,记第 i

? 2? ?2 4? 2 1,2,?,n),Δt=n,则汽车在时间段?0,n?,?n,n?,?, ? ? ? ? ?2(n-1) 2n? ? ? , ? ?上行驶的路程分别记为:Δs1,Δs2,?,Δsn, n n ? ?

有 sn= ?Δsi.
i=1

n

2i (2)近似代替:取 ξi= n (i=1,2,?,n).
?2i? ? ?2i? ?2 2 Δsi≈v? n ?·Δt=?-? n ? +5?· ? ? ? ? ? ?n

4i2 2 10 =- n2 · n+ n (i=1,2,?,n).
? 4i2 2 10? + ? (3)求和:sn= Δsi= ?- n2 · n n? i=1 i=1 ?

?

n

?

n

4×12 2 4×22 2 4×n2 2 =- n2 · n- n2 · n-?- n2 · n+10

8 2 =- 3(1 +22+?+n2)+10. n 1?? 1? 1? ?1+ ??1+ ?+10. =-8· n?? 2n? 3? (4)取极限: s=lim n→∞sn =lim n→∞
? ? 22 1? 1 ? 1?? ? ? ? ? ? ? 1 + 1 + - 8· · + 10 ? ?= 3 . 2n? 3 ? n?? ? ?

一、选择题 1.当 n 很大时,函数 f(x)=x 可以用________近似代替
?1? A.f?n? ? ? ?i? C.f?n? ? ? ?2? B.f?n? ? ?
2

?i-1 i ? ? 在区间? , ? n ?上的值 n ? ?

(

)

D.f(0)

? [答案] C

[ 解析]

f(x)=x

2

?i-1 i ? ? 在区间? , ? n ?上的值可以用区间 n ? ?

?i-1 i ? ? ? ? n ,n?上每一点对应的函数值近似代替,故应选 ? ?

C.

2.函数 f(x)=x

2

?i-1 1? ? 在区间? , ? n ?上( n ? ?

)

? ? ? ? ? ?

A.f(x)的值变化很小 B.f(x)的值变化很大 C.f(x)的值不变化 D.当n很大时,f(x)的值变化很小 [答案] D [ 解析 ] 由求曲边梯形面积的流程中近似 代替可知D正确,故应选D.

? 二、填空题 ? 3.求由抛物线f(x)=x2,直线x=1以及x轴 所围成的平面图形的面积时,若将区间 [0,1]5 等分,如图所示,以小区间中点的 纵坐标为高,所有小矩形的面积之和为 ________.

? ? ? ?

[答案] 0.33 [解析] 由题意得 S=(0.12+0.32+0.52+0.72+0.92)×0.2 =0.33.

? 三、解答题 ? 4.汽车行驶的速度为v=t2,求汽车在0≤t≤1 这段时间内行驶的路程s. ? [解析] (1)分割
将区间等分为 n
? 1? ?1 2? 个 小 区 间 ?0,n? , ?n,n? , ? , ? ? ? ?

?i-1 i ? ?n-1 n? ? ? ? ? , ? , , , ? n ? ? n ?, n n ? ? ? ?

i i -1 1 每个小区间的长度为 Δt= - = . n n n

(2)近似代替
? i -1 i ? i -1 ? ? 在区间? , ?上,汽车近似地看作以时刻 n 处的速 n n? ?



?i-1? ?i-1? ? ? ?2 v? = ? n ? ? n ? 作匀速行驶,则在此区间上汽车行驶的路 ? ? ? ?

? i - 1? 1 ?2 程为? . ? n ? · n ? ?

(3)求和 在所有小区间上,汽车行驶的路程和为
?n-1? 1 ?1? 2 1 ?2? 2 1 1 2 ? ?2 1 ? ? ? ? sn = 0 × n + n × n + n × n + ? + ? ? × n = n3 [1 + n ? ? ? ? ? ?
2

22+?+(n-1)2]

1?? 1? 1 (n-1)n(2n-1) 1? ?1- ??1- ?. =n3× = n?? 2n? 6 3? (4)取极限 汽车行驶的路程 1? ? 1? 1 1? ?1- ??1- ?= . s=lim lim →∞ n→∞sn=n n? ? 2n? 3 3?



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