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2013届惠州市一模理科数学试题(2013惠州一调)


惠州市 2013 届高三第一次调研考试
数学 (理科)
(本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟) 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡 上. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用橡皮 擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如 需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案 无效. 参考公式:如果在事件 A 发生的条件下,事件 B 发生的条件概率记为 P( B | A) , 那么 P( AB) ? P( A) P( B | A) . 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目 要求. 1. 已知集合,集合,则 A ? B ? ( A. B. C. 2.若 p 是真命题, q 是假命题,则( A. p ? q 是真命题 3. (2x ? A.6 ) D. ) C. ? p 是真命题 D. ? q 是真命题

B. p ? q 是假命题 )

x ) 4 的展开式中 x 3 的系数是(
B.12 C.24

D.48 )

4.在 ?ABC 中, a, , 分别为角 A, , 所对边,若 a ? 2b cos C ,则此三角形一定是( b c B C A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰或直角三角形

5.已知实数 4, m,9 构成一个等比数列,则圆锥曲线

x2 ? y 2 ? 1的离心率为( m
5 D. 或7 6
开始



A.

30 6

B. 7

C.

30 或 7 6

6.阅读右图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果是 ( A. 3 ) . B. 11 C. 38 D. 123

a ?1
a ? a2 ? 2

7.已知 x 、 y 的取值如下表所示:若 y 与 x 线性相关,

a ? 10?




数学试题(理科)

第 1 页,共 10 页 输出 a

结束

? 且 y ? 0.95x ? a ,则 a ? (

) 3 4.8 4 6.7 D、 2.6

x
y
A、 2.2

0 2.2 B、 2.9

1 4.3 C、 2.8

8. 对实数 a 和 b , 定义运算 ? ” a ? b ? ? “ :

? , 1 ?a, a b ? 2 . 设函数 f ? x ? ? ? x ? 2 ? ? ? x ? 1? ,x ? R . 若 1 . ?b, a ? b ?
).

函数 y ? f ? x ? ? c 的图象与 x 轴恰有两个公共点,则实数 c 的取值范围是( A. ? ?1,1? ? ? 2, ??? B. ? ?2, ?1? ? ?1,2? C. ? ??, ?2? ? ?1, 2?

D. ??2, ?1?

二、填空题(本大题共 7 小题,分为必做题和选做题两部分.每小题 5 分,满分 30 分) (一)必做题:第 9 至 13 题为必做题,每道试题考生都必须作答. 9.复数Z=

(1 ? i ) 2 (i 是虚数单位)则复数Z的虚部等于 1? i



10.若向量 a ? ?1,1? , b ? ? ?1, 2? ,则 a 与 b 夹角余弦值等于_____________. 11.已知函数 f ( x) ? ? 12.计算:

?

?

?

?

?e x , x ? 0, 1 则 f [ f ( )] = e ?ln x, x ? 0,




?

1

?1

1 ? x 2 dx ?

多面体 三棱锥 三棱柱 正方体 …

面数(F) 4 5 … …

顶点数(V) 4 6 … …

棱数(E) 6 … … …

13.18 世纪的时候,欧拉通过研究,发现凸多面体 的面数 F、 顶点数 V 和棱数 E 满足一个等式关系. 请你研究你熟悉的一些几何体(如三棱锥、三棱 柱、正方体……) ,归纳出 F、V、E 之间的关系 等式: . (二)选做题:第 14、15 题为选做题,考生只能选做其中一题,两题全答的,只计前一题的得分。 14. (坐标系与参数方程选做题)设点 A 的极坐标为 ? 2 2, 极坐标方程为 ... . A B O ·

? ?

??

? ,直线 l 过点 A 且与极轴垂直,则直线 l 的 4?
D C

15.(几何证明选讲选做题)如图,从圆 O 外一点 A 引圆的切线 割线 ABC ,已知 AD ? 2 3 , AC ? 6 ,圆 O 的半径为 3 ,

AD 和
则圆心

O 到 AC 的距离为



数学试题(理科)

第 2 页,共 10 页

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? )(? ? 0,0 ? ? ? ? ) 为偶函数,其图象上相邻的两个最高点之间的距离为

2? .
(1)求 f ( x) 的解析式 ; (2)若 ? ? (?

? ?

5? ? 1 , ), f (? ? ) ? ,求 sin(2? ? ) 的值. 3 3 2 3 3

17. (本小题满分 12 分) 某班从 6 名干部中(其中男生 4 人,女生 2 人)选 3 人参加学校的义务劳动. (1)设所选 3 人中女生人数为 ? ,求 ? 的分布列及 E? ; (2)求男生甲或女生乙被选中的概率; (3)在男生甲被选中的情况下,求女生乙也被选中的概率.

18. (本小题满分 14 分) 如图,已知 AB ? 平面 ACD ,DE//AB ,△ ACD 是正 三角形,

AD=DE=2AB ,且 F 是 CD 的中点.
(1)求证: AF// 平面 BCE ; (2)求证:平面 BCE ? 平面 CDE ; (3)求平面 BCE 与平面 ACD 所成锐二面角的大小。 19. (本小题满分 14 分) 等差数列 {an } 中, a1 ? 1 ,前 n 项和为 Sn ,等比数列 {bn } 各项均为正数, b1 ? 2 ,且 s2 ? b2 ? 7 ,

s4 ? b3 ? 2 .
(1)求 an 与 bn ; (2)设 cn ?

a2 n ?1 , Tn ? c1 ? c2 ? c3 ??? cn a2 n

求证: Tn ?

1 2 n

(n ? N ? ) .

20.(本小题满分 14 分)

数学试题(理科)

第 3 页,共 10 页

x2 y 2 3 已知椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a > b >0)的离心率 e ? ,连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为 4。 a b 2
(1)求椭圆的方程: (2)设直线 l 与椭圆相交于不同的两点 A, B 。已知点 A 的坐标为(- a ,0),点 Q (0, y0 )在线段 AB 的 垂直平分线上,且 QA? =4。求 y0 的值。 QB

??? ??? ? ?

21. (本小题满分 14 分) 已知三次函数 f ? x ? ? ax ? bx ? cx ? a, b, c ? R ? .
3 2

(1)若函数 f ( x) 过点 (?1, 2) 且在点 1, f ?1? 处的切线方程为 y ? 2 ? 0 ,求函数 f ? x ? 的解析式; (2)当 a ? 1 时,若 ?2 ? f (?1) ? 1, ?1 ? f (1) ? 3 ,试求 f (2) 的取值范围; (3)对 ?x ???1,1? ,都有 f ?( x) ? 1 ,试求实数 a 的最大值,并求 a 取得最大值时 f ? x ? 的表达式.

?

?

惠州市 2013 届高三第一次调研考试
数学 (理科)参考答案与评分标准
一.选择题:共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分 题号 答案 1 A 2 D 3 C 4 C 5 C 6 B 7 D 8 B

1. 【解析】由交集的定义选 A. 2. 【解析】或( ? )一真必真,且( ? )一假必假,非( ? )真假相反,故选 D 3. 【解析】 Tr ?1 ? C (2 x)
r 4 4? r

(x ) ? 2

1 2 r

4? r

C x

r 4

1 4? r ? r 2

?2

4? r

C x

r 4

1 4? r 2

,令 4 ?

1 r ? 3? r ? 2 2

2 x3 的系数为 24?2 C4 ? 24 .故选 C .

4.【解析】在 ?ABC 中,若 a ? 2b cos C ,则 sin A ? 2sin B cos C 即 sin( B ? C ) ? 2sin B cos C
? s i nB ? C ) 0 B ?C.故选 C . ( ? ?

5. 【解析】因 4, m, 9 成等比,则 m2 ? 36 ? m ? ?6 当 m ? ?6 时圆锥曲线为椭圆

30 x2 ; ? y 2 ? 1 其离心率为 6 6

数学试题(理科)

第 4 页,共 10 页

当 m ? ?6 时圆锥曲线为双曲线 y 2 ?

x2 ? 1 其离心率为 7 故选 C 6

6. 【解析】第一步: a ? 12 ? 2 ? 3 ? 10 ,第二步: a ? 32 ? 2 ? 11 ? 10 ,输出11 .故选 B 7. 【解析】 x ? 2 , ? 4.5 ,线性回归直线过样本中心点 y

(2 , ? 4.5 ? 0.95 ? 2 ? a ? a ? 2.6 .故选 D. 4.5)
8. 【解析】由题设 f ? x ? ? ?

? x2 ? 2,

? 1 ? x ? 2, ? x ? 1, x ? ?1或x ? 2
, A ? 2,1? , 出,直线

画出函数的图象,函数图象的四个端点(如图)为

B ? 2,2? , C ? ?1, ?1? , D ? ?1, ?2? . 从图象中可以看

y ? c 穿过点 B ,点 A 之间时,直线 y ? c 与图象有且只有两个公共点,同时,直线 y ? c 穿过点 C ,
点 D 时,直线 y ? c 与图象有且只有两个公共点,所以实数 c 的取值范围是 ? ?2, ?1? ? ?1,2? .故选B 二.填空题:共 7 小题,每小题 5 分,满分 30 分.其中 14~15 题是选做题,考生只能选做一题.

9.1

10.

10 10

11.

1 e

12.

? 2

13.

14. ? cos? ? 2

15. 5

(1 ? i)2 2i(1 ? i) ? ? ?1 ? i .虚部为 1. 1? i 2 ? ? ? ? a ?b 10 10. 【解析】 cos ? a , ?? ? ? ? b 10 a b
9. 【解析】 11.【解析】因函数 f ( x) ? ?

?e x , x ? 0,

所有 f [ f ( )] ? f ?ln ? ? f (?1) ? e?1 ? e e ? e? ?ln x, x ? 0,
2 2

1

? 1?

1

12.【解析】由该定积分的几何意义可知为半圆: x ? y ? 1( y ? 0) 的面积。 13.【解析】 三、解答题: 16. (本小题满分 12 分) 解: (1)? 图象上相邻的两个最高点之间的距离为 2? ,

? . 2

?T ? 2? , 则 ? ?

2? ? 1 .? f ( x) ? sin(x ? ? ) . T

???2 分

? f (x) 是偶函数, ? ? ? k? ?

?

2

(k ? Z ) ,

又 0 ? ? ? ? ,? ? ?

?
2



数学试题(理科)

第 5 页,共 10 页



f ( x) ? cos x .

???5 分

(2)由已知得 cos( ? ? 则 sin(? ?

?
3

)?

1 ? ? ? 5?  ? ? ? (? , ) ,? ? ? ? (0, ) . ,  3 3 2 3 6
???8 分

?
3

)?

2 2    . 3

? sin(2? ?

5? 2? ? ? 4 2 ?12 分 ) ? ? sin(2? ? ) ? ?2 sin(? ? ) cos(? ? ) ? ? 3 3 3 3 9

17.(本小题满分 12 分) 解: (1) ? 的所有可能取值为 0,1,2,依题意得:
3 C4 1 C 2 C1 3 C1C 2 1 ? ; P(? ? 1) ? 4 3 2 ? ; P(? ? 2) ? 4 3 2 ? 3 C6 5 C6 5 C6 5

P(? ? 0) ?

--------3分

? ? 的分布列为

?

0

1

2

P
1 3 1 ? E? ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 1 5 5 5

1 5

3 5

1 5
----------------5分

(2)设“甲、乙都不被选中”为事件 C ,则 P(C ) ?

3 C4 4 1 ? ? 3 C6 20 5

? 所求概率为 P(C ) ? 1 ? P(C ) ? 1 ?

1 4 ? 5 5

-------------8分

(3)记“男生甲被选中”为事件 A , “女生乙被选中”为事件 B ,
1 C52 10 1 P ? BA? ? C44 ? 1 C1 1 P( A) ? 3 ? ? ; P( B ? A) ? 33 ? C66 5 C6 20 2 C 5 1 P( BA) 2 C4 4 2 P( B | A) ? ? (或直接得 P( B | A) ? 2 ? ? P( A) 5 C5 10 5

------------10 分

------------12分

18. (本小题满分 14 分)解: (1)解:取 CE 中点 P,连结 FP、BP, ∵F 为 CD 的中点,∴FP//DE,且 FP= 又 AB//DE,且 AB=

1 DE . 2

1 DE . ∴AB//FP,且 AB=FP, 2
-------------------2 分 -------------------4 分

∴ABPF 为平行四边形,∴AF//BP。 又∵AF ? 平面 BCE,BP ? 平面 BCE, ∴AF//平面 BCE。 (2)∵△ACD 为正三角形,∴AF⊥CD。 ∵AB⊥平面 ACD,DE//AB, ∴DE⊥平面 ACD,又 AF ? 平面 ACD,
数学试题(理科)

第 6 页,共 10 页

∴DE⊥AF。又 AF⊥CD,CD∩DE=D, ∴AF⊥平面 CDE。 --------------------------------6 分 又 BP//AF,∴BP⊥平面 CDE。又∵BP ? 平面 BCE, ∴平面 BCE⊥平面 CDE。 ------------------------8 分 (3)法一、由(2) ,以 F 为坐标原点, FA,FD,FP 所在的直线分别为 x,y,z 轴(如图) , 建立空间直角坐标系 F—xyz.设 AC=2, 则 C(0,—1,0) B(? 3,0,1), E, (0,1,2).----------------------------9 分 ,
设n ? ( x, y, z )为平面BCE的法向量, ?? 3 x ? y ? z ? 0, 则n ? CB ? 0, n ? CE ? 0,即? 令z ? 1, 则n ? (0,?1,1). ?2 y ? 2 z ? 0.

------11 分

显然, m ? (0,0,1) 为平面 ACD 的法向量。 设面 BCE 与面 ACD 所成锐二面角为 ? , 则 cos ? ?

| m?n | 1 2 ? ? . ? ? ? 45? . | m|?| n | 2 2

即平面 BCE 与平面 ACD 所成锐二面角为 45°. -----14 分 法二、延长 EB、DA,设 EB、DA 交于一点 O,连结 CO. 则 面EBC ? 面DAC ? CO . 由AB是 ?EDO 的中位线,则 DO ? 2 AD .
0 ? 在 ?OCD中, OD ? 2 AD ? 2 AC , ?ODC ? 60 .

OC ? CD ,又 OC ? DE .

? OC ? 面ECD, 而CE ? 面ECD. ? OC ? CE,? ?ECD为所求二面角的平面角 .----------------------------12 分
在Rt?EDCK中, ED ? CD, ?ECD ? 450 ? ?
即平面 BCE 与平面 ACD 所成锐二 面角为 45°.-------------------------14 分 19. (本小题满分 14 分) 解: (1)设等差数列 ?an ? 的公差为 d,等比数列 {bn } 的公比为 q, 由题知: s 2 ? b2 ? 7 , s 4 ? b3 ? 2 解直得,q=2 或 q=-8(舍去) ,d=1;

? d ? 2q ? 5 , 3d ? q 2 ? 1 ? 0
----------------------5 分 ------------------------7 分

? an ? 1 ? (n ? 1) ? n

bn ? 2 n ;

数学试题(理科)

第 7 页,共 10 页

(2)证明:? c n ?

a 2 n ?1 2n ? 1 1 3 5 2n ? 1 ,? cn ? . Tn ? ? ? ? ? ? 2n 2 4 6 2n a2n
1 2 n
------------------8 分 对一切正整数成立.

法一、 下面用数学归纳法证明 Tn ? (1) 当n ? 1时, T1 ?

1 2 ?1 ? 1 ? ,命题成立. 2 2 ?1

(2) 假设当n ? k时命题成立, Tk ? ?

1 2 k

则当 n ? k ? 1时, Tk ?1 ? Tk ? ?

1 2k ? 1 2k ? 1 1 2k ? 1 = ? 2(k ? 1) 2 k 2(k ? 1) 2 k ? 1 2 k k ? 1



1 4k 2 ? 4k ? 1 ? ,这就是说当 n ? k ? 1 时命题成立。--12 分 2 4k ? 4k 2 k ?1 2 k ?1

1

综上所述原命题成立. 法二、?

-----------------------------------14分

n ?1 n ? n ? 2 n ?1 1 1 3 3 5 5 2n ? 1 2n ? 1 1 1 2 3 4 5 2n ? 2 2 n ? 1 1 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Tn ? ? ? ? ? ? ? 2 2 3 4 5 6 2n ? 1 2n 4n 2 2 4 4 6 6 2n 2n

? Tn ?

1 2 n

--------------------------14 分

法三、设数列 ?An ?, An ?

nTn ,则 An?1 ? n ? 1Tn?1

---------------9 分

A (2n ? 1) n ? 1 2n ? 1 ? n ?1 ? ? ? An 2(n ? 1) n 2 n ?1 n

4n 2 ? 4n ? 1 ?1 4n 2 ? 4n
1 2

--------12 分

? 数列 ?An ?单调递增,于是 An ? An?1 ? ? ? A1 ,而 A1 ?

? Tn ?

1 2 n

------------------------------14 分

20. (本小题满分 14 分) (1)解:由 e ?

c 3 2 2 2 2 2 ,得 3a ? 4c ,再由 c ? a ? b ,得 a ? 2b ----2 分 ? a 2

由题意可知,

?a ? 2b 1 ? 2a ? 2b ? 4,即ab ? 2 解方程组 ? 得 a ? 2, b ? 1 ---5 分 2 ?ab ? 2
x2 ? y2 ? 1 4
--------6 分

所以椭圆的方程为

(2)解:由(1)可知 A(-2,0) 。设 B 点的坐标为(x1,,y1),直线 l 的斜率为 k,
数学试题(理科) 第 8 页,共 10 页

则直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 2) ,

--------7 分

? y ? k ( x ? 2) ? 于是 A,B 两点的坐标满足方程组 ? x 2 由方程组消去 y 并整理, 2 ? ? y ?1 ? 4 2 2 2 得 (1 ? 4k ) x ? 16k x ? (16k 2 ? 4) ? 0 --------8 分
16k 2 ? 4 2 ? 8k 2 4k , 得 x1 ? , 从而y1 ? , --------9 分 2 2 1 ? 4k 1 ? 4k 1 ? 4k 2 8k 2 2k , ) 以下分两种情况: 设线段 AB 是中点为 M,则 M 的坐标为 (? 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2
由 ?2 x1 ? (1)当 k=0 时,点 B 的坐标为(2,0) 。线段 AB 的垂直平分线为 y 轴,于是

QA ? (?2, ? y0 ), QB ? (2, ? y0)由QA? =4,得y0 = ? 2 2 ------11 分 QB
②当 k ? 0 时,线段 AB 的垂直平分线方程为 y ? 令 x=0,解得 y0 ?
? ?

?

?

?

?

?6 k 1 ? 4k 2

2k ?1 8k 2 ? (x ? ) 1 ? 4k 2 k 1 ? 4k 2
?

由 QA ? (?2, ? y0 ), QB ? ( x1 , y1 ? y0)

?

?2(2 ? 8k 2 ) 6k 4k 6k QA? ? ?2 x1 ? y0 ( y1 ? y0)= QB ? ( ? ) 2 2 2 1 ? 4k 1 ? 4k 1 ? 4k 1 ? 4 k 2
整理得 7k 2 ? 2, 故k ? ?

4(16k 4 ? 15k 2 ? 1) = ?4 (1 ? 4k 2 )2

14 2 14 ---13 分 所以y0 = ? 7 5 2 14 。--------14 分 5

综上 y0 = ? 2 2或y0 = ?

21. (本小题满分 14 分) 解: (1)∵函数 f ( x) 过点 (?1, 2) ,∴ f (?1) ? ?a ? b ? c ? 2 , ①

2 又 f ?( x) ? 3ax ? 2bx ? c ,函数 f ( x) 点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? 2 ? 0 ,

∴?

? f (1) ? ?2 ?a ? b ? c ? ?2 ,∴ ? , ? f ?(1) ? 0 ?3a ? 2b ? c ? 0



3 由①和②解得 a ? 1 , b ? 0 , c ? ?3 ,故 f ( x) ? x ? 3x ; -------------4 分

(2)法一、 f ( x) ? ax ? bx ? 1
3 2

? f (1) ? 1 ? b ? c, f (?1) ? ?1 ? b ? c
----------------------6 分

可得: c ?

f (1) ? f (?1) f (1) ? f (?1) ? 1, b ? 2 2

f (2) ? 8 ? 4b ? 2c ? 3 f (1) ? f (?1) ? 6

----------------7 分

? ? 2 ? f (?1) ? 1,?1 ? f (1) ? 3 。?1 ? f (2) ? 16 .----------9 分

数学试题(理科)

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法二、 f (1) ? 1 ? b ? c, f (?1) ? ?1 ? b ? c

又 ? 2 ? f (?1) ? 1,?1 ? f (1) ? 3

? ?2 ? b ? c ? 2,?1 ? b ? c ? 2. (★)
作出(★)不等式表示的平面区域如图:目标函数: f (2) ? 4b ? 2c ? 8 ------7 分 如图示当直线 z ? 4b ? 2c 过点 A(2,0) 时,

f (2) ? 4b ? 2c ? 8 取最大值 16.
当 直 线 z ? 4b ? 2c 过 点 B ( ? 时,

3 1 ,? ) 2 2

f (2) ? 4b ? 2c ? 8 取最小值 1.
综上所得:?1 ? f (2) ? 16 --9 分 (3)∵ f ?( x) ? 3ax 2 ? 2bx ? c ,



? f ?(0) ? c ? ? f ?( ?1) ? 3a ? 2b ? c , 可 得 ? f ?(1) ? 3a ? 2b ? c ?
? 6a ? f (? 1 ) f ? ? ( 1 ) f . -------10 分 ? ? 2 ( 0 )

∵当 ?1 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 1,∴ f ?(?1) ? 1, f ?(0) ? 1 , f ?(1) ? 1, ∴ 6 | a |? f ?(?1) ? f ?(1) ? 2 f ?(0) ? f ?(?1) ? f ?(1) ? 2 f ?(0) ? 4 ,----12 分

2 2 ,故 a 的最大值为 , 3 3 ? f ?(0) ? c ? 1 ? 2 当 a ? 时, ? f ?(?1) ? 2 ? 2b ? c ? 1 ,解得 b ? 0 , c ? ?1 , 3 ? ? f ?(1) ? 2 ? 2b ? c ? 1 2 3 ∴ a 取得最大值时 f ? x ? ? x ? x .------------------------------14 分 3
∴a ?

数学试题(理科)

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