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《高考调研》2015届高考数学总复习(人教新课标理科)配套课件:5-2 平面向量基本定理及坐标运算


高考调研

新课标版 · 高三数学(理)

第 2 课时

平面向量基本定理及坐标运算

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2014?考纲下载

1.了解平面向量的基本定理及其意义. 2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. 3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算. 4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.

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请注意!

平面向量的坐标运算承前启后,不仅使向量的加法、减法和 实数与向量的积完全代数化,也是学习向量数量积的基础,因此 是平面向量中的重要内容之一,也是高考中命题的热点内容.在 这里,充分体现了转化和数形结合的思想.

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1.平 面 向 量 的 基 本 定 理 如 果 e1,e2 是 同 一 平 面 内 的 两 个 面 内 的 任 一 向 量 a, 有 且 只 有 一 对 实 数

不共线向 量 , 那 么 对 这 一 平 λ e +λ e λ1、λ2 使 a= 1 1 2 2 x轴、y轴正方向相同 的 两 个 单
a, 有 唯 一 一 对 a的 直 角 坐 标 , 记 作

.

2.平 面 向 量 的 坐 标 表 示 在 直 角 坐 标 系 内 , 分 别 取 与 位 向 量 i,j 作 为 基 底 , 对 任 一 向 量

实 数 x,y,使 a=(x,y),

得 : a=xi+yj, (x,y) 叫 做 向 量

显 然 i= (1,0) ,j= (0,1) ,0= (0,0) .
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3.平 面 向 量 的 坐 标 运 算 1 ( ) 设 a=(x1,y1),b=(x2,y2), 则 a+b= (x1+x2,y1+y2) , a-b= (x1-x2,y1-y2) , λa= (λx1,λy1) . 2 ( ) 设 A(x1,y1),B(x2,y2), → = (x2-x1,y2-y1) , 则AB → |= |AB
?x2-x1?2+?y2-y1?2.

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4.向量平行与垂直的条件 设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 1 ( ) a∥b? x1y2-x2y1=0 . 2 ( ) a、b 均 不 为 3 ( ) a≠0, 则 与
x1x2+y1y2=0 . a ± a 平行的单位向量为 |a| .

0 时,a⊥b?

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1. 下 列 向 量 组 中 , 能 作 为 表 示 它 们 所 在 平 面 内 所 有 向 量 的 一 组 基 底 的 是 A.a=2 1 ) ( , C.a=2 3 ) ( ,
答案 B

(

) ,b=0 ) ( , ,b=6 9 ) ( , B.a=(1, -2 ) ,b=5 3 ) ( , 3 1 D.a=(-4,2),b=(3, -2 )

解析

根据平面向量基底的定义知, 两个向量不共线即可作

为基底.故选 B.

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2.已知点 A(-1,1),点 B(2,y),向量 a=2 1 ) ( , 则实数 y 的值为( A.5 C.7
答案 C

→ ∥a, ,若AB

) B.6 D.8

解析

→ =(3,y-1),a=2 AB 1 ) ( ,

→ ∥a,则 2×3=1×(y ,AB

-1),解得 y=7,故选 C.

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3. 已 知 向 量 +λb)∥c,则 λ=( 1 A.4 C.1
答案 B

a=2 1 ) ( , )

,b=0 1 ) ( ,

,c=4 3 ) ( ,

.若 λ 为实数,(a

1 B.2 D.2

解析 可得 a+λb=(1+λ,2),由(a+λb)∥c,得(1+λ)×4 1 -3×2=0,∴λ=2.

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4. 已 知

→ +3BC →= O 是坐标原点,A(2,-1),B(-4,8),且AB

→ 的坐标是________. 0,则向量OC
答案 (-5 2 ) ,

解析

设 C(x,y), 由 题 意 有

(-6,9)+3(x+4,y-8)=0 ) ( ,



→ =(-2,5). 解得 x=-2,y=5,即OC

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5. 2 ( 0 1 3 ·

→ ⊥AB → ,|OB → |=|OB → |=1,AP →= 重庆)在平面上,AB 1 2 1 2 ( )

1 → → → → |的 AB1+AB2.若|OP|<2,则|OA 取 值 范 围 是 5 A.(0, 2 ] 5 C.( 2 , 2]
答案 D

5 7 B.( 2 , 2 ] 7 D.( 2 , 2]

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解 析 在 直 线 为 → ⊥AB →, 因 为 AB 以 以 1 2 所

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A为 原 点 , 分 别 以

→, → AB 1 AB2所

x轴 , y轴 建 立 平 面 直 角 坐 标 系 . 设

B1(a ,0 ) ,B2(0,b),

O(x,y), → =AB → +AB → =(a,b), 则AP 即 P(a,b). 1 2 → |=|OB → |=1, 2 2 2 2 由|OB 得 ( x - a ) + y = x + ( y - b ) =1 . 1 2 所 以 (x-a)2=1-y2≥0,(y-b)2=1-x2≥0 . 1 → 2 2 1 由|OP|<2, 得 (x-a) +(y-b) <4, 1 即 0≤1-x +1-y <4.
2 2
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7 2 2 7 所 以 4<x +y ≤2, 即 2 < x2+y2≤2 . → |的 所 以 |OA 取 值 范 围 是 7 ( 2 , 2], 故 选 D.

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例1

如 图 所 示 ,

→ |=|OB → |=1,|OC → |= 3,∠A |OA O B =6 0 ° ,

→ ⊥OC →, → =xOA → +yOB → .求 x,y 的 OB 设 OC 值 .

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【解析】 过 C 作 CD∥OB,交 OA 的 反 向 延 长 线 于 点

D,

→ |=1,|OC → |= 3,OB → ⊥OC → ,得∠OCB=3 连接 BC,由|OB 0 ° . 又∠ → =OD → +OB → =-2OA → +OB → .∴x= COD=30° ,∴BC∥OD,∴OC -2,y=1.

【答案】

x=-2,y=1

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探究 1 注意转化思想在本题中的应用, 通过本题可以发现, 只要是平面内不共线的两个向量都可以作为基底.

思考题 1 在平行四边形 A B C D

中,E,F 分 别 是

BC,CD )

→ ,BC → 分别为 a,b,则AH → =( 的中点,DE 交 AF 于 H,记AB 2 4 A.5a-5b 2 4 C.-5a+5b 2 4 B.5a+5b 2 4 D.-5a-5b

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→ =λAF → ,DH → =μDE →. 【解析】 设AH 1 → → → → 而DH=DA+AH=-b+λAF=-b+λ(b+2a), 1 → → DH=μDE=μ(a-2b). 1 1 因此,μ(a-2b)=-b+λ(b+2a).

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由于 a,b 不共线,因此由平面向量的基本定理,得 1 ? ?μ=2λ, ? ?-1μ=-1+λ. ? 2 4 2 解之得 λ=5,μ=5.

1 2 4 → → 故AH=λAF=λ(b+2a)=5a+5b.故选 B.
【答案】 B

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例2

已 知 A(-4 2 ) ,

→ =a, ,B(3, -1 ) ,C(-3, -4 ). 设 AB

→ =b,CA → =c, → =3c,CN →= BC 且 CM - 2b. 1 ( ) 求 3a+b-3c; 2 ( ) 求 满 足 a=mb+nc 的 实 数 m,n;

3 ( ) 求 M、N 的 坐 标 及 向 量

→的 MN 坐 标 .

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【 解 析 】

由 已 知 得 .

a=(5, -5 ) ,b=(-6, -3 ) ,c=8 1 ) ( , 1 3 ( )

a+b-3c=3 5 ( ,-5 ) +(-6, -3 ) -8 3 1 ) ( ,

=1 ( 5 -6-3, -1 5 -3-2 4 ) =(6, -4 2 ) . 2 ( ) ∵mb+nc=(-6m+n, - 3m+8n),
? ?-6m+n=5, ∴? ? - 5, ?-3m+8n=

解 得

? - 1, ?m= ? ? -1 . ?n=

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→ =OM → -OC → =3c, 3 ( ) ∵CM → =3c+OC → =2 ∴OM 3 4 ( ,) ∴M2 0 ( ,) .

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+(-3, -4 ) =2 0 ( ,)



→ =ON → -OC →= 又∵CN - 2b, →= → =1 ∴ON - 2b+OC 6 ( 2 ) , ∴N2 9 ) ( , +(-3, -4 ) =2 9 ) ( , .

→ =(9, .∴MN -1 8 ) .

【答案】 6 1 ( )

,-4 2 )

2 ( )

? ?m=-1, ? ? ?n=-1

9 3 ( )

,-18)

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探究 2 向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则 进行.若已知有向线段两端点的坐标,则应先求出向量的坐标, 解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则.
思考题 2 1 ( ) (高 考 题 改 编 → =4 一条对角线,若AB 2 ) ( , )在平行四边形 A B C D 中, AC 为

→ =3 ,AC 1 ) ( ,

→ =________. ,则BD

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→ =BC → =AC → -AB → =(-1,-1),BD → =BA → +AD → 【解析】 AD =(-2,-4)+(-1,-1)=(-3,-5).
【答案】 (-3,-5)

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2 ( ) 设向量 a,b 满足|a|=2 5,b=1 2 ) ( , 反,则 a 的坐标为________.

,且 a 与 b 的方向相

【解析】 设 a=(x,y),x<0,y<0,则 x-2y=0 且 x2+y2 =20, 解 得 4,-2).
【答案】 (-4,-2)

x=4,y=2(舍去), 或 者

x=-4,y=-2,即 a=(-

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例 3 平面内给定三个向量 a=2 3 ) ( , 答下列问题: 1 ( ) 若(a+kc)∥(2b-a),求实数 k;

, b=(-2 1 ) ,

, c=1 4 ( ,

). 回

2 ( ) 设 d=(x,y)满足(d-c)∥(a+b)且|d-c|=1,求 d.
【解析】 1 ( ) a+kc=2 3 ) ( , 2b-a=(-2,4)-2 3 ) ( , +k1 4 ) ( , =(3+4k,2+k),

=(-5,2),

3+4k 2+k 16 ∴ = 2 .∴6+8k=-10-5k.∴k=-13. -5
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2 ( ) d-c=(x,y)-1 4 ) ( , ∵(d-c)∥(a+b),

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=(x-4,y-1 ) ,a+b=4 2 ) ( ,



x-4 y-1 ∴ 2 = 4 , 即 y-1=2 ( x-4 ) .① 又|d-c|=1, ∴ ?x-4?2+?y-1?2=1 .② 1 ①代 入 ②, 得 5 ( x -4 ) =1,∴x=4 ± . 5
2

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5 ? ?x=4+ 5 , ∴? ?y=2 5+1 5 ?

5 ? ?x=4- 5 , 或? ?y=-2 5+1. 5 ?

5 2 5 5 2 5 ∴d=(4+ 5 , 5 +1)或 d=(4- 5 ,- 5 +1).
【 答 案 】 5 2 5 - 5 +1 ) 5, 1 6 1 ( ) k= -1 3 5 2 5 2 ( ) d=(4+ 5 , 5 +1 ) 或 d=(4-

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探究 3

两 个 向 量 共 线 的 充 要 条 件 在 解 题 中 具 有 重 要 的 应 的 值 , 那 么 利

用 , 一 般 地 , 如 果 已 知 两 个 向 量 共 线 , 求 某 些 参 数

用“若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a∥b 的充要条件是:x1y2- x2y1=0”比 较 简 捷 .

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思 考 题 b不 共 线 , 要 使

3

已 知 c=ma+nb, 设 a,b,c 有 共 同 起 点 , a,b,c, 终 点 在 一 直 线 l上 , 则 m,n 满 足(

a, )

A.m+n=1 B.m+n=0 C.m-n=1 D.m+n=-1

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→ =λAB → ,∴c-a=λ(b-a). 【解析】 ∵AC ∴ma+nb-a=λb-λa. ∴(m-1+λ)a+(n-λ)b=0.
? ?m-1+λ=0, ∴? ? ?n-λ=0

?m+n=1.

【答案】

A

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1.解 题 时 , 要 适 当 地 选 取 基 底 , 使 其 他 向 量 能 够 用 基 底 来 表 示 , 选 择 了 不 共 线 的 两 个 向 量 a都 可 以 用 e1、e2 唯 一 表 示 为 e1、e2, 平 面 上 的 任 何 一 个 向 量 a=λ1e1+λ2e2, 这 样 几 何 问 题 就 转 e1、e2 的 代 数 运 算 . A、B、C 三 点 共 线 , 只 要 k的 值 或 利 用 向

化 为 代 数 问 题 , 转 化 为 只 含 有 2. 根 据 向 量 共 线 的 充 要 条 件 , 若

→ =λBC → (或AC → =λAB → ), 满 足 AB 就 可 以 列 方 程 求 出 量 平 行 的 充 要 条 件 求 出 k的 值 .
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1. 如 果 的 是( ) e1,e2 是 平 面

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α内 的 一 组 基 底 , 那 么 下 列 命 题 正 确

A. 若 实 数

2 λ1,λ2, 使 λ1e1+λ2e2=0, 则 λ2 + λ 1 2=0

B. 空 间 内 任 一 向 量 λ 2 ∈R

a, 都 可 以 表 示 为

a=λ1e1+λ2e2 其中 λ1,

C.λ1e1+λ2e2 不 一 定 在 平 面 D. 对 于 平 面 有 无 数 组
答案 A
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α内 , λ1,λ2∈R a,使 a=λ1e1+λ2e2 的 实 数 λ1、λ2

α内 任 一 向 量

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解析

B中 不 能 是 空 间 向 量 ,

C 中 λ1e1+λ2e2 一定在平面 α

内,D 中 λ1,λ2 是唯一的.

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→ =7 中 , AD 3 ) ( , )

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2.在?A B C D →等 则CO 于(

→ =(-3 ,AB 2 ) ,

, 对 称 中 心 为

O,

1 A.(-2,5 ) 1 C.(2, -5 )
答案 B

1 B.(-2, -5 ) 1 D.(2,5 )

1→ 1 → → 1 → 解析 CO=-2AC=-2(AD+AB)=-21 ( 0 ,)

1 =(-2, -5).

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3. 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 , =b,其中 a=1 3 ) ( , ,b=3 1 ) ( ,

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O为 坐 标 原 点 , 设 向 量

→ =a, → OA OB

→ =λa+μb,且 0≤λ≤μ≤1, .若OC )

C 点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是(

答案

A
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解析

由 题 意 知

→ =(3λ+μ,λ+3μ),取特殊值,λ=0,μ OC λ=0, μ=1, 知 所 求 区 域 包 含 3 1 ) ( , ,

=0, 知 所 求 区 域 包 含 原 点 , 取 从而选 A.

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4 . 如 图 所 示 , 直 线 于 E1,E2 两 点 , 记 x=2 与 双 曲 线

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x2 2 C:4 -y =1 的 渐 近 线 交 C 上的点 P, _ _ _ _ _ _ _ _ .

→ =e ,OE → =e .任 OE 双 曲 线 1 1 2 2 取

→ =ae +be (a, 若OP b∈R), 则 a, b满 足 的 一 个 等 式 是 1 2

答案

4ab=1

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解析 E11 2 ) ( , → =a1 ∴OP 2 ) ( ,

,E2(2,-1). +b(2,-1)=(2a+2b,a-b).

∴P(2a+2b,a-b).代入双曲线方程,得 4ab=1.

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