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2018版高考数学大一轮复习第十三章推理与证明算法复数13.1归纳与类比课件理_图文

§13.1 归纳与类比

内容索引

基础知识 题型分类

自主学习 深度剖析

课时作业

基础知识

自主学习

知识梳理

1.归纳推理
根据一类事物中 部分事物 具有某种属性,推断该类事物中每一个事物 __________ 都有这种属性.我们将这种推理方式称为归纳推理.简言之,归纳推理是 由 部分 到 整体 ,由 个别 到 一般 的推理. 归纳推理的基本模式:a,b,c∈M且a,b,c具有某属性, 结论:任意d∈M,d也具有某属性.

2.类比推理 由于 两类不同对象 具有某些类似的特征,在此基础上,根据 一类对象 的 其他特征,推断 另一类对象 也具有类似的其他特征,我们把这种推理 过程称为类比推理.简言之,类比推理是两类事物特征之间的推理. 类比推理的基本模式:A:具有属性a,b,c,d; B:具有属性a′,b′,c′; 结论:B具有属性d′. (a,b,c,d与a′,b′,c′,d′相似或相同)

3.归纳推理和类比推理是最常见的合情推理,合情推理的结果 不一定正确 .

4.演绎推理是根据已知的事实和正确的结论,按照严格的逻辑法则得到新
结论的推理过程.

思考辨析 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1) 归纳推理得到的结论不一定正确,类比推理得到的结论一定正 确.( × ) (2) 由平面三角形的性质推测空间四面体的性质,这是一种合情推 理.( √ ) (3) 在类比时,平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对 象较为合适.( × )

(4)“所有3的倍数都是9的倍数,某数m是3的倍数,则m一定是9的 倍数”,这是三段论推理,但其结论是错误的.( √ ) (5) 一个数列的前三项是 1,2,3 ,那么这个数列的通项公式是 an = n(n∈N+).( × ) (6) 在 演 绎 推 理 中 , 只 要 符 合 演 绎 推 理 的 形 式 , 结 论 就 一 定 正 确.( × )

考点自测

1.观察下列各式:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+

b5=11,?,则a10+b10等于
A.28 B.76

答案

解析

C.123

D.199

从给出的式子特点观察可推知,等式右端的值,从第三项开始,后一

个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和,
依据此规律,a10+b10=123.

2.下面几种推理过程是演绎推理的是 答案 解析 1 1 A.在数列{an}中,a1=1,an=2(an-1+ )(n≥2),由此归纳数列{an} an-1
的通项公式 B.由平面三角形的性质,推测空间四面体性质 C.两直线平行,同旁内角互补,如果∠A 和∠B 是两条平行直线与第 三条直线形成的同旁内角,则∠A+∠B=180° D.某校高二共 10 个班,1 班 51 人,2 班 53 人,3 班 52 人,由此推测 各班都超过 50 人

A、D是归纳推理,B是类比推理,C符合三段论模式,故选C.

3.(2017· 济南质检)类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”

的性质,可得出空间内的下列结论:
①垂直于同一个平面的两条直线互相平行;

②垂直于同一条直线的两条直线互相平行;
③垂直于同一个平面的两个平面互相平行;

④垂直于同一条直线的两个平面互相平行. ①④ 答案 解析 则正确的结论是________.
显然①④正确;对于②,在空间中垂直于同一条直线的两条直线可以平

行,也可以异面或相交;对于③,在空间中垂直于同一个平面的两个平
面可以平行,也可以相交.

4.(教材改编)在等差数列{an}中,若a10=0,则有a1+a2+?+an=a1+
a2+?+a19-n (n<19,n∈N+)成立,类比上述性质,在等比数列{bn}中, b1b2?bn=b1b2?b17-n(n<17,n∈N+) 若b9=1,则存在的等式为_________________________________.
答案 解析

利用类比推理,借助等比数列的性质,
2 b9 =b1+n· b17-n,可知存在的等式为 b1b2?bn=b1b2?b17-n(n<17,n∈N+).

5.(2016· 西安质检)观察下列式子: 1,1+2+1,1+2 +3 +2+1,1 +2+3 +4+3+2+1,?,由以上可推测出一个一般性结论:对于n∈N+,
2 n 1+2+?+n+?+2+1=______. 答案

解析

∵1=12,1+2+1=22, 1+2+3+2+1=32, 1+2+3+4+3+2+1=42,?, ∴归纳可得1+2+?+n+?+2+1=n2.

题型分类

深度剖析

题型一 归纳推理 命题点1 与数字有关的等式的推理 例1 (2016· 山东)观察下列等式:
? ? ?sin ? ? ? ?sin ? ? ? ?sin ? ? ? ?sin ? ? π? 2π? 4 ?-2 ? ?-2 +?sin 3 ? =3×1×2; 3? ? ? ? ? ? ? π? 2π? 3π? 4π? 4 ?-2 ? ?-2 ? ?-2 ? ? -2 +?sin 5 ? +?sin 5 ? +?sin 5 ? =3×2×3; 5? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? π? 2π? 3π? 6π? 4 ?-2 ? ?-2 ? ?-2 ? ?-2 ? +?sin ? +?sin ? +?+?sin ? = ×3×4; 7? 7? 7? 7? 3 ? ? ? ? ? ? π? 2π? 3π? 8π? 4 ?-2 ? ?-2 ? ?-2 ? ?-2 +?sin 9 ? +?sin 9 ? +?+?sin 9 ? =3×4×5; 9? ? ? ? ? ? ? ?

?
? π ?-2 ? 2π ? - 2 ? 3π ? - 2 照 此 规 律 , ?sin 2n+1? + ?sin 2n+1? + ?sin 2n+1? + ? + ? ? ? ? ? ? ? 2nπ ?-2 4×n×(n+1) ?sin ? =_____________. 3 2n+1? ?

答案

解析

4 观察等式右边的规律:第 1 个数都是3, 第 2 个数对应行数 n,第 3 个数为 n+1.

命题点2 与不等式有关的推理
例2 1 (2016· 山西四校联考)已知 x∈(0,+∞),观察下列各式:x+x ≥2,

4 x x 4 27 x x x 27 a x+x2=2+2+x2≥3,x+ x3 =3+3+3+ x3 ≥4,?,类比得 x+xn≥n+ 答案 解析 nn 1(n∈N+),则 a=________.

第一个式子是n=1的情况,此时a=11=1;
第二个式子是n=2的情况,此时a=22=4;

第三个式子是n=3的情况,此时a=33=27,归纳可知a=nn.

命题点3 与数列有关的推理 例 3 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数,如三角形数

n?n+1? 1 2 1 1,3,6,10,?,第 n 个三角形数为 2 =2n +2n,记第 n 个 k 边形数为 N(n,k)(k≥3),以下列出了部分 k 边形数中第 n 个数的表达式:

三角形数 正方形数 五边形数 六边形数

1 2 1 N(n,3)=2n +2n, N(n,4)=n2, 3 2 1 N(n,5)=2n -2n, N(n,6)=2n2-n.

1 000 可以推测N(n,k)的表达式,由此计算N(10,24)=____________.
答案 解析

由N(n,4)=n2,N(n,6)=2n2-n,可以推测:当k为偶数时,
k-2 2 4-k N(n,k)= 2 n + 2 n,

24-2 4-24 ∴N(10,24)= 2 ×100+ 2 ×10
=1 100-100=1 000.

命题点4 与图形变化有关的推理

例4

(2017· 大连月考)某种树的分枝生长规律如图所示,第1年到第5年
答案 解析

的分枝数分别为1,1,2,3,5,则预计第10年树的分枝数为

A.21

B.34

C.52

D.55

由2=1+1,3=1+2,5=2+3知,从第三项起,每一项都等于前两项

的和,
则第6年为8,第7年为13,第8年为21,第9年为34,第10年为55,故

选D.

思维升华
归纳推理问题的常见类型及解题策略 (1) 与数字有关的等式的推理 . 观察数字特点,找出等式左右两侧的规 律及符号可解. (2) 与不等式有关的推理 . 观察每个不等式的特点,注意是纵向看,找 到规律后可解. (3) 与数列有关的推理 . 通常是先求出几个特殊现象,采用不完全归纳 法,找出数列的项与项数的关系,列出即可. (4) 与图形变化有关的推理 . 合理利用特殊图形归纳推理得出结论,并 用赋值检验法验证其真伪性.

跟踪训练1 (1)(2015· 陕西)观察下列等式:

1 1 1-2=2, 1 1 1 1 1 1-2+3-4=3+4, 1 1 1 1 1 1 1 1 1-2+3-4+5-6=4+5+6,
1 1 1 1 1 1 1 1-2+3-4+?+ -2n= + 2n-1 n+1 n+2 据此规律,第n个等式可为______________________________________

?

1 +?+2n _______________. 答案

解析

(2)(2016· 抚 顺 模 拟 ) 观 察 下 图 , 可 推 断 出 “x” 处 应 该 填 的 数 字 是 183 ________.
答案 解析

由前两个图形发现:中间数等于四周四个数的平方和,
∴“x”处应填的数字是32+52+72+102=183.

题型二 类比推理
例5 → → (1)(2017· 西安质检)对于命题: 如果 O 是线段 AB 上一点, 则|OB|OA

→ → + |OA|OB = 0 ;将它类比到平面的情形是:若 O 是 △ABC 内一点,有 → → → S△OBC· OA+S△OCA· OB+S△OBA· OC=0;将它类比到空间的情形应该是:若 → → → VO-BCD· OA+VO-ACD· OB+VO-ABD· OC O 是四面体 ABCD 内一点,则有__________________________________ → + V · OD =0 答案 解析 O-ABC ________________.

线段长度类比到空间为体积,再结合类比到平面的结论,可得空间中的 → → → → 结论为 VO-BCD· OA+VO-ACD· OB+VO-ABD· OC+VO-ABC· OD=0.

(2) 求

1+ 1+ 1+? 的 值 时 , 采 用 了 如 下 方 法 : 令

1+ 5 1+ 1+ 1+?=x,则有 x= 1+x,解得 x= 2 (负值已舍去). 可用类比的方法,求得 1+ 2+ 1 1 1

1+ 3 的值为________. 2

答案

解析

1+ 1 2+ ?

令 1+ = x ,则有 1 + = x , 1 1 2+ 2+ x ?
1+ 3 解得 x= 2 (负值已舍去).

1

1

思维升华
(1)进行类比推理,应从具体问题出发,通过观察、分析、联想进行类 比,提出猜想.其中找到合适的类比对象是解题的关键. (2)类比推理常见的情形有平面与空间类比;低维的与高维的类比;等 差数列与等比数列类比;数的运算与向量的运算类比;圆锥曲线间的 类比等.

跟踪训练2

在平面上,设ha,hb,hc是三角形ABC三条边上的高,P为

三角形内任一点,P到相应三边的距离分别为Pa,Pb,Pc,我们可以得 Pa Pb Pc 到结论: + + =1.把它类比到空间,则三棱锥中的类似结论为 ha hb hc Pa Pb Pc Pd + h + h + h =1 h 答案 解析 a b c d ______________________. 设ha,hb,hc,hd分别是三棱锥A-BCD四个面上的高,P为三棱锥 A-BCD内任一点,P到相应四个面的距离分别为Pa,Pb,Pc,Pd,
Pa Pb Pc Pd 于是可以得出结论: h + h + h + h =1. a b c d

题型三 演绎推理
例6 设各项均为正数的数列{an}的前 n 项和为 Sn,满足
2 4Sn=an+1-4n

-1,n∈N+,且 a2,a5,a14 构成等比数列. (1)证明:a2= 4a1+5; 证明
2 当 n=1 时,4a1=a2 - 5 , a 2 2=4a1+5,

又 an>0,∴a2= 4a1+5.

(2)求数列{an}的通项公式; 解答

1 1 1 1 (3)证明:对一切正整数 n,有a a +a a +?+ <2. anan+1 1 2 2 3
1 1 1 a1a2+a2a3+?+anan+1

证明

1 1 1 1 = + + +?+ 1×3 3×5 5×7 ?2n-1??2n+1?

1 1 1 1 1 1 =2[(1-3)+(3-5)+?+( - )] 2n-1 2n+1

1 1 1 =2(1- )<2. 2n+1

思维升华
演绎推理是由一般到特殊的推理,常用的一般模式为三段论,演绎推 理的前提和结论之间有着某种蕴含关系,解题时要找准正确的大前提, 一般地,若大前提不明确时,可找一个使结论成立的充分条件作为大 前提.

跟踪训练3

(1)某国家流传这样的一个政治笑话:“鹅吃白菜,参议员

先生也吃白菜,所以参议员先生是鹅.”结论显然是错误的,是因为
答案 解析

A.大前提错误

B.小前提错误

C.推理形式错误

D.非以上错误

因为大前提“鹅吃白菜”,不是全称命题,大前提本身正确,
小前提“参议员先生也吃白菜”本身也正确,

但不是大前提下的特殊情况,鹅与人不能类比,
所以不符合三段论推理形式,所以推理形式错误.

(2)(2016· 洛阳模拟 )下列四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理

正确的是

答案

解析

A.大前提:无限不循环小数是无理数;小前提:π是无理数;结论:π

是无限不循环小数
B.大前提:无限不循环小数是无理数;小前提:π是无限不循环小数;

结论:π是无理数
C.大前提:π是无限不循环小数;小前提:无限不循环小数是无理数;

结论:π是无理数
D.大前提:π是无限不循环小数;小前提:π是无理数;结论:无限不

循环小数是无理数

高频小考点10

高考中的合情推理问题

考点分析

合情推理在近年来的高考中,考查频率逐渐增大,题型多为选择、填 空题,难度为中档. 解决此类问题的注意事项与常用方法: (1)解决归纳推理问题,常因条件不足,了解不全面而致误.应由条件多 列举一些特殊情况再进行归纳. (2)解决类比问题,应先弄清所给问题的实质及已知结论成立的缘由, 再去类比另一类问题.

典例

(1)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用

小石子表示数.他们研究过如图所示的三角形数:

将三角形数1,3,6,10,?记为数列{an},将可被5整除的三角形数按从小
到大的顺序组成一个新数列{bn},可以推测: 5035 项; 答案 ①b2 014是数列{an}的第________
解析

5k?5k-1? 2 ②b2k-1=________.( 用k表示)

答案

解析

由①知 b2k-1= 5k?5k-1? = . 2

?2k-1+1 ??2k-1+1 ? ? ?? ? × 5 - 1 × 5 2 2 ? ?? ?

2

(2)设S , T 是 R的两个非空子集,如果存在一个从 S 到 T的函数y=f(x)满 足:(1)T={f(x)|x∈S};(2)对任意x1,x2∈S,当x1<x2时,恒有f(x1)<f(x2). 那么称这两个集合 “ 保序同构 ”. 以下集合对不是 “ 保序同构 ” 的是 ④ 答案 解析 ________. ①A=N+,B=N; ②A={x|-1≤x≤3},B={x|x=-8或0<x≤10}; ③A={x|0<x<1},B=R; ④A=Z,B=Q.

课时作业

1.(2016· 重庆检测)演绎推理“因为对数函数 y=logax(a>0 且 a≠1)是增函 数,而函数 y=log 1 x 是对数函数,所以 y=log 1 x 是增函数”所得结论错
2

2

误的原因是

答案

解析



A.大前提错误 C.推理形式错误

B.小前提错误 D.大前提和小前提都错误

因为当a>1时,y=logax在定义域内单调递增,

当0<a<1时,y=logax在定义域内单调递减,所以大前提错误.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

2.下列推理是归纳推理的是

答案

解析

A.A,B为定点,动点P满足|PA|+|PB|=2a>|AB|,则P点的轨迹为椭圆



B.由a1=1,an=3n-1,求出S1,S2,S3,猜想出数列的前n项和Sn的表
2 2 x y C.由圆x2+y2=r2的面积πr2,猜想出椭圆 2+ 2 =1的面积S=πab a b D.科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇

达式

从S1,S2,S3猜想出数列的前n项和Sn,是从特殊到一般的推理,所以

B是归纳推理,故应选B.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

3.(2016· 西 A.22项









考 C.24项

)












答案 解析



1?1,1?2,2?1,1?3,2?2,3?1,1?4,2?3,3?2,4?1,?,则式子3?5是第 B.23项



D.25项

两数和为2的有1个,和为3的有2个,和为4的有3个,和为5的有4个,和 为6的有5个,和为7的有6个,前面共有21个,3?5是和为8的第3项,所 以为第24项.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11

4.(2016· 泉州模拟)正偶数列有一个有趣的现象:①2+4=6;②8+10+ 12=14+16;③18+20+22+24=26+28+30,?按照这样的规律,则 2 016所在等式的序号为 A.29 B.30
答案 解析

C.31 √

D.32

由题意知,每个等式正偶数的个数组成等差数列 3,5,7,?,2n+1,?, n[3+?2n+1?] 其前 n 项和 Sn= =n(n+2)且 S31=1 023,即第 31 个等式中 2 最后一个偶数是 1 023×2=2 046,且第 31 个等式中含有 63 个偶数,故 2 016 在第 31 个等式中.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

a1+a2+?+an 5.若数列{an}是等差数列, 则数列{bn}(bn= )也为等差数列. n 类比这一性质可知, 若正项数列{cn}是等比数列, 且{dn}也是等比数列, 则 dn 的表达式应为
c1+c2+?+cn A.dn= n n cn+cn+?+cn 1 2 n C.dn= n
答案 解析

c1 · c2· ?· cn B.dn= n


1

D.dn= c1· c2· ?· cn

n

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11

6.把正整数按一定的规则排成如图所示的三角形数表, 设aij(i,j∈N+)是位于这个三角形数表中从上往下第i 行,从左往右数第 j 个数,如 a42 = 8 ,若 aij= 2 009 , 107 则i与j的和为________.
答案 解析

由题可知奇数行为奇数列,偶数行为偶数列,2 009=2×1 005-1, 所以2 009为第1 005个奇数,又前31个奇数行内数的个数为961, 前32个奇数行内数的个数为1 024,故2 009在第32个奇数行内, 则i=63,因为第63行第1个数为2×962-1=1 923,2 009=1 923+2(j-1), 所以j=44,所以i+j=107.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

x2 y2 7.若 P0(x0,y0)在椭圆a2+b2=1(a>b>0)外,过 P0 作椭圆的两条切线的切 x0 x y0 y 点分别为 P1,P2,则切点弦 P1P2 所在的直线方程是 a2 + b2 =1,那么对 x y 于双曲线则有如下命题:若 P0(x0,y0)在双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)外, 过 P0 作双曲线的两条切线,切点分别为 P1,P2,则切点弦 P1P2 所在直线 x0x y0y 2 - 2 =1 答案 解析 a b 的方程是________________.
2 2

1

2

3

4

5

6

7

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9

10 11

8.如图,我们知道,圆环也可以看作线段 AB 绕圆心 O 旋转 一周所形成的平面图形,又圆环的面积 S=π(R2-r2)=(R- R+r r)×2π× 2 .所以, 圆环的面积等于以线段 AB=R-r 为宽, R+r 以 AB 中点绕圆心 O 旋转一周所形成的圆的周长 2π× 2 为 长的矩形面积.请你将上述想法拓展到空间,并解决下列问题: 若将平面区域 M={(x,y)|(x-d)2+y2≤r2}(其中 0<r<d)绕 y
答案 轴旋转一周,则所形成的旋转体的体积是________. 2π2r2d
1 2 3 4 5 6 7

解析
8 9 10 11

1 9.设 f(x)= x ,先分别求 f(0)+f(1),f(-1)+f(2),f(-2)+f(3),然 3+ 3 后归纳猜想一般性结论,并给出证明.
解答

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11

10.(2016· 泉州模拟)先阅读下列不等式的证法,再解决后面的问题: 已知 1 2 2 a1,a2∈R,a1+a2=1,求证:a1+a2≥ . 2

证明:构造函数 f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2,
2 即 f(x)=2x2-2(a1+a2)x+a2 + a 1 2 2 =2x2-2x+a1 +a2 2.

因为对一切 x∈R,恒有 f(x)≥0, 所以
2 Δ=4-8(a1 +a2 2)≤0,从而得

1 2 2 a1+a2≥ . 2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

(1)若a1, a2,?, an∈R,a1+a2+ ? +an=1 ,请写出上述结论的推 广式; 解答 若a1,a2,?,an∈R,a1+a2+?+an=1,



1 2 2 2 a1+a2+?+an≥ . n

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11

(2)参考上述证法,对你推广的结论加以证明.

证明

构造函数f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2+?+(x-an)2.
2 2 即 f(x)=nx2-2(a1+a2+?+an)x+a2 + a + ? + a 1 2 n

2 2 =nx2-2x+a1 +a2 + ? + a 2 n,

因为对一切x∈R,恒有f(x)≥0,
2 2 所以 Δ=4-4n(a1 +a2 + ? + a 2 n)≤0,

从而得

1 2 2 2 a1+a2+?+an≥ . n
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

*11.对于三次函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),给出定义:设 f′(x) 是函数 y=f(x)的导数,f″(x)是 f′(x)的导数,若方程 f″(x)=0 有实数 解 x0,则称点(x0,f(x0))为函数 y=f(x)的“拐点”.某同学经过探究发 现:任何一个三次函数都有“拐点”;任何一个三次函数都有对称中 1 3 1 2 5 心,且“拐点”就是对称中心.若 f(x)=3x -2x +3x-12,请你根据这 一发现, (1)求函数 f(x)的对称中心; 解答
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

1 2 3 4 2 016 (2)计算 f(2 017)+f(2 017)+f(2 017)+f(2 017)+?+f(2 017).

解答

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11



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