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《17.2勾股定理的逆定理》教学设计(第1课时)


《17.2 勾股定理的逆定理》教学设计(第 1 课时)
湖北省咸宁市温泉中学 黄 娟 廖文涛 一、内容和内容解析 1.内容 勾股定理的逆定理证明及简单应用;原命题、逆命题的概念及相互关系. 2.内容解析 把勾股定理的题设和结论交换, 可以得到它的逆命题. 本节内容证明了这个逆命题是个 真命题. 勾股定理的逆定理给出的是判定一个三角形是直角三角形的方法和前面学过的一 些判定方法不同,它通过计算来作判断. 学习勾股定理的逆定理,对拓展学生思维,体会 利用计算证明几何结论的数学方法有很大的意义. 基于以上分析,可以确定本课的教学重点是探究证明勾股定理的逆定理. 二、目标和目标解析 1.目标 (1)理解勾股定理的逆定理. (2)了解互逆命题、互逆定理. 2.目标解析 达成目标(1)的标志是学生经历“实验测量-猜想-论证”的定理探究过程后,能应 用勾股定理的逆定理来判定一个三角形是直角三角形; 目标(2)能根据原命题写出它的逆命题,并了解原命题为真命题时,逆命题不一定为 真命题. 三、教学问题诊断分析 勾股定理的逆定理的证明是先作一个合适的直角三角形, 再证明有已知条件的三角形和 直角三角形全等等,这种证法学生不容易想到,难以理解,在教学时应该注意启发引导. 本课的教学难点是证明勾股定理的逆定理. 四、教学过程设计

1.创设问题情境 问题 1 你能说出勾股定理吗?并指出定理的题设和结论. 师生活动:学生独立回忆勾股定理,师生共同分析得出其题设和结论,教师引导指出勾 股定理是从形的特殊性得出三边之间的数量关系. 追问 1:你能把勾股定理的题设与结论交换得到一个新的命题吗? 师生活动:师生共同得出新的命题, 教师指出其为勾股定理的逆命题.

追问 2:“如果三角形三边长 、b、c 满足

,那么这个三角形是直角三角

形.”能否把它作为判定直角三角形的依据呢?本节课我们一起来研究这个问题. 【设计意图】通过对前面所学知识的归纳总结,自然合理地引出勾股定理的逆定理. 问题 2 实验观察:用一根打上 13 个等距离结的细绳子,让学生操作,以 3 个结间距、 4 个结间距、5 个结间距的长度为边长,用钉子钉成一个三角形,请学生用角尺量出最大角 的度数(90 ).
0

师生活动:学生动手操作,教师适时指导,并介绍这是古埃及人画直角的方法. 追问:你能计算出三边长的关系吗?

师生活动:师生共同得出



【设计意图】介绍前人经验,启发思考,使学生意识到数学来源于生活. 实验操作:(1)画一画,下列各组数中两个数的平方和等于第三个数的平方,分别以 这些数为边长(单位:cm)画三角形: ①2.5,6,6.5;②4,7.5,8.5. (2)量一量:用量角器分别测量上述各三角形的最大角的度数.

(3)想一想:判断这些三角形的形状,提出猜想.

师生活动:教师引导学生画三角形,并计算三边的数量关系:
0



. 接着度量三角形最大角的度数,发现最大角为 90 ,并猜想:如果三角形的 三边长 、b、c 满足 猜想的结论作为命题 2. 【设计意图】让学生经历测量、计算、归纳和猜想的过程,了解几何知识的探索过程. 问题 3 命题 1 和命题 2 的题设和结论分别是什么? ,那么这个三角形是直角三角形.把勾股定理记着命题 1,

师生活动: 学生独立思考回答问题, 命题 1 的题设是直角三角形的两直角边分别 斜边为 , 结论是 ; 命题 2 的题设是三角形三边长 满足

, ,

结论是这个三角形是直角三角形. 教师引导学生分析得出这两个命题的题设和结论正好是相 反的.归纳出互逆命题概念:两个命题的题设和结论正好相反,象这样的两个命题叫做互逆 命题,如果其中一个叫原命题,那么另一个就叫做它的逆命题. 问题 4 请同学们举出一些互逆命题, 并思考: 原命题正确, 它的逆命题是否也正确呢? 举例说明. 师生活动:学生分组讨论合作交流,然后举手发言,教师适时记下一些互逆命题,其中 既包含有原命题、逆命题都成立的互逆命题,也包括原命题成立逆命题不成立的互逆命 题.(如:①对顶角相等和相等的角是对顶角②两直线平行,内错角相等和内错角相等,两 直线平行③全等三角形的对应角相等和对应角相等的三角形是全等三角形.) 追问 1: 在我们大家举出的互逆命题中原命题和逆命题都成立吗? 师生活动:学生举手发言回答,另一学生纠错.同时教师引导学生明确:(1)任何一 个命题都有逆命题,(2)原命题是正确,逆命题不一定正确,原命题不正确,逆命题可能 正确,(3)原命题与逆命题的关系就是命题中题设与结论“互换”的关系. 【设计意图】 让学生在合作交流的基础上明确互逆命题的概念, 在生生互动的过程中掌 握互逆命题的真假性是各自独立的. 2.勾股定理的逆定理的证明

问题 5 原命题正确,它的逆命题不一定正确.那么勾股定理的逆命题正确吗?如果你 认为是真确的,你能证明这个命题“如果三角形的三边长 、b、c 满足 这个三角形是直角三角形”吗? 师生活动:教师引导学生要证明一个命题是真命题,首先要分析命题的题设及结论,让 学生独立画出图形,写出已知求证. ,那么

已知,如图,△ABC 中,AB=c,AC=b,BC= ,且



求证:∠C=90

0

【设计意图】引导学生用图形和数学符号语言表示文字命题. 追问:要证明△ABC 是直角三角形,只要证明∠C=90 , 由已知能直接证吗? 师生活动:教师引导,如果能证明△ABC 与一个以 、b 为直角边长的 Rt△A B C 全等。 那么就证明了△ABC 是直角三角形,为此,可以先构造 Rt△A B C ,使 A C =b,B C = , ∠C =90 ,再让学生小组讨论得出证明思路,证明了猜想的正确性.教师适时板书出规 范的证明过程.
/ 0 / / / / / / / / / / 0

证明:作直角三角形

,使

,

,



由勾股定理得





,



,

,



是直角三角形.

教师在此基础上进一步指出, 如果一个定理的逆命题经过证明是正确的, 那么它也是一 个定理,我们把上面所形成的这个定理叫做勾股定理的逆定理,称这两个定理为互逆定理. 【设计意图】引导学生构造直角三角形,让学生体会这种证明思路的合理性,帮助学生 突破难点. 3.应用定理 例 1、判断由线段 、b、c 组成的三角形是不是直角三角形. (1) =15,b=8,c=7. (2) =13,b=14,c=15.

(3)



师生活动:学生独立完成,教师适时指导.在此活动中教师帮助学生分析得到:根据勾 股定理的逆定理, 只要一个三角形中两条较小边长的平方和等于最大边长的平方, 就可判断 这个三角形是直角三角形;指导学生用几何语言规范地书写解题过程;并介绍勾股数(能够 成为直角三角形三条边长的三个正整数,称为勾股数). 追问: 同学们还知道哪些勾股数?请完成以下未完成的勾股数 (1) 3,4, (3)7,24, ,(4)5,12, ,(5)9,12, . , (2) 6,8, ,

【设计意图】通过练习,学会运用勾股定理逆定理判断一个三角形是否为直角三角形. 4.课堂练习

1. 判断下列各组线段

的长, 能组成的三角形是不是直角三角形, 并说明理由.

(1)

;(2)



(3)

; (4)



2



























,试判断 5.课堂小结 (1)勾股定理的逆定理的内容是什么? (2)原命题、逆命题之间的关系. (3)用什么方法证明勾股定理的逆定理.

是不是直角三角形.

【设计意图】回顾和梳理勾股定理的逆定理,会运用其解决一些问题,体会构造及数学 建模思想. 6.布置作业 教科书第 33 页练习第 1,2 题,习题 17.2 第 4,5 题. 五、目标检测设计 1.以长度分别为下列各组数的线段为边,能构成直角三角形的有哪些?

(1)1,2,3

(2)6,8,14

(3)2,1.5,2.5

(4)2,





【设计意图】考查勾股定理的逆定理基本应用. 2.说出下列命题的逆命题,这些命题的逆命题是真命题吗? (1)两条直线平行,内错角相等; (2)对顶角相等; (3)线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等. 【设计意图】考查互逆命题的关系. 3.如图,在四边形 ABCD 中,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,∠B=90 ,求四边形 ABCD 的面积. 【设计意图】 考查综合运用勾股定理及其逆定理解决问题.
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