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2019年8-6方向导数和梯度.ppt_图文

第六节 方向导数和梯度
一、方向导数 二、梯度的概念

第八章

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一、方向导数
我们知道,函数 z ? f ( x , y )在点 ( x0 , y0 ) 处的两
? ( x0 , y0 ) 和 f y ? ( x0 , y0 ) 分 别 刻 划 了 函 数 个 偏 导 数 fx
f ( x , y )在该点处沿 x 轴和 y 轴正方向上的变化率。

然而,在实际问题中还要经常会遇到在其它方 向上的变化率的问题。
问题: 函数 z ? f ( x , y )在其它方向上的变化率如 何刻划?

—— 方向导数
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方向导数的定义

y

l

设函数 z ? f ( x , y ) 在点P ( x , y ) ? ? 的某一邻域U ( P ) 内有定义, l 是过 ? ? P ? ?x 点 P 的任意确定方向。在l 上任取 o ? ? 一点 P ( x ? ?x , y ? ?y ), 使P ? U ( P ),

? P?
?y

x

记 ? ? ( ?x )2 ? ( ?y )2 , 于是得到函数 f ( x , y ) 在P点 ? 沿 l 的平均变化率

? l? z

?

?

f ( x ? ?x , y ? ?y ) ? f ( x , y )

?
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y
? z

l

?

? l

?

f ( x ? ?x , y ? ?y ) ? f ( x , y )

? P?

?
? ? ( ?x ) ? ( ?y ) ,
2 2

P

?
?

?
?x

?y

x o ? 若当 P? 沿着方向l 趋于 P 时(即? ? 0时),上式的极 限存在, 则称此极限值为函数 z ? f ( x , y )在点 P 沿方 ? 向 l 的方向导数 , 记为
?z f ( x ? ?x , y ? ?y ) ? f ( x , y ) ? ? lim . ?l ? ?0 ?
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方向导数的几何意义 ? l? z ?z ? ? lim ?l P ? ? 0 ?
? lim
? ?0

z
M

z = f (x,y)

f ( P?) ? f ( P )

?
?

?

?

Q ?l z

N

? lim
? ?0

f ( x0 ? ?x , y0 ? ?y ) ? f ( x0 , y0 )
?z ? ?l P

方向导数

是曲面在
x?

0

y?

点P处沿方向l 的变化率, 即半切线 MN 的斜率

P

y

?x ?y

?
P?

tan ?
.

x

l

复习偏导数的几何意义
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定理 如果函数 z ? f ( x , y )在点 P ( x , y )可微,那么函数 ? 在该点沿任意方向 l 的方向导数都存在,且有

?z ?z ?z ? ? cos ? ? cos ? ?l P ?x P ?y P ? 其中 cos? ,cos ? 是方向 l 的方向余弦。
证明 由于函数可微,则增量可表示为

?z ?z f ( x ? ?x , y ? ?y ) ? f ( x , y ) ? ?x ? ?y ? o( ? ) ?x ?y
两边同除以 ? , ( ? ? ?x 2 ? ?y 2 ) 得到
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f ( x ? ?x , y ? ?y ) ? f ( x , y )

?
故有方向导数

?z ?x ?z ?y o( ? ) ? ? ? ? ? ?x ? ?y ? ?

cos?

cos ?

?z ? ? lim f ( x ? ?x , y ? ?y ) ? f ( x , y ) ?l ? ? 0 ? y ?z ?z ? cos ? ? cos ? . ?x ?y ? ? ?z ?z ? P ?x ? cos ? ? sin? . ?x ?y
?

l

? P?
?y

其中? 为从 x 轴的正向逆时针转到 l 所转过的角度。
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? o

x

例 1:求函数 z ? xe 2 y 在点 P (1,0) 处沿从点 P (1,0) 到点 Q( 2,?1) 的方向的方向导数。

?z ?z 2y 2y 解 ? ? 2 xe ? 2 , ? e (1,0 ) ? 1; ( 1, 0 ) ?y ( 1 , 0 ) ?x ( 1 , 0 ) ? 1 1 0 这里方向 l 即为 PQ ? {1,?1}, PQ ? { ,? } 2 2 所求方向导数

?z ?z ?z ? ? cos ? ? cos ? ?l ( 1 , 0 ) ?x ?y ( 1, 0 )
1 1 2 ? 1? ? 2 ? (? ) ? ? . 2 2 2
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说明:
? (1)在偏导数存在的情况下,当方向 l 为 x 轴正向时,有

?z f ( x ? ?x , y ) ? f ( x , y ) ?z ? ? lim ? ?l ? x ? 0 ?x ?x

y

P

?

? ? ?x

P?

?

x

? P ( x , y ) 沿着 x 轴正向 e1 ? {1,0} 的方向导数就是函数
z ? f ( x , y )在该点处对 x 的偏导数 z?x ;

因此,在偏导数存在的情况下,函数 z ? f ( x , y ) 在点

同理, 在偏导数存在的情况下, 函数 f ( x , y ) 在点 P ( x , y ) ? 沿 着 y 轴 正 向 e2 ? {0,1} 的 方 向 导 数 就 是 函 数
z ? f ( x , y ) 在该点处对 y 的偏导数 z?y 。
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? (2)在偏导数存在的情况下,当方向 l 为 x 轴负向时,有

?z f ( x ? ?x , y ) ? f ( x , y ) ?z ? lim ?? ??x ?x ?l ? x ? 0
因此,在偏导数存在的条件下,函数

y
? ? ??x

P? P

?

?

x

z ? f ( x , y ) 在点 P ( x , y ) 沿着 x 轴负方向,是 ? z? x。

同理,在偏导数存在的条件下,函数 z ? f ( x , y ) 在点
P ( x , y )沿着 y 轴负方向,是 ? z ?y 。

所以,偏导数存在只能保证函数沿 x , y 轴的正、负 方向方向导数存在。

问题:沿任何方向方向导数存在,能否保证 偏导数存在?
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例 2:讨论函数 z ? f ( x , y ) ? x ? y 在(0,0)点处 的偏导数是否存在?方向导数是否存在? ?z f ( ?x ,0) ? f (0,0) | ?x | 解: ? lim . ( 0 , 0 ) ? lim ?x ? 0 ? x ?x ? 0 ?x ?x ?z | ?y | 故两个偏导数均不存在. 同理: ( 0 , 0 ) ? lim ?y ? 0 ? y ?y ? 沿任意方向 l ? {x, y}的方向导数,
2 2

?z ? ?l

( 0,0 )

? lim
? ?0

f ( ?x , ?y ) ? f (0,0)

?

( ?x ) 2 ? ( ?y ) 2 ? lim ?1 2 2 ? ? 0 ( ?x ) ? ( ?y )

故函数 z ? f ( x , y )在点 (0,0) 处沿任何方向的方向 导数均存在且相等。
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说明:
(3)例 2 说明,函数 z ? f ( x , y ) 在点 P ( x , y ) 沿着 任何方向的方向导数都存在, 也推不出它在这一点的偏导 数存在。

? ? x 轴正向 e1 ? {1,0}, y 轴正向 e2 ? {0,1} 的方向导
? 数存在,推不出 z? x ( x0 , y0 ) , z y ( x0 , y0 ) 一定存在。

(4)特别地,函数 z ? f ( x , y ) 在点 P ( x , y ) 沿着

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? x2 y2 ? a b 例 3: 求 z ? 1 ? ? ? a 2 ? b2 ? ? 在点 P ( 2 , 2 ) 处沿曲线 ? ? 2 2 x y 在此点内法线方向上的方向导数。 2 ? 2 ?1 a b

x y b 解: 曲线 2 ? 2 ? 1在点 P 处切线的斜率为 y? ? ? a b a a 则法线的斜率为 , 从而法线的方程为 b a b x? y? b a a 2? 2 y? ? (x ? ) ,即 2 b 2 b a

2

2

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? ? 则法向量为 n ? ?{b, a } , 内法向量为 n ? { ? b,? a }

方向余弦为

b a cos ? ? ? 2 , cos ? ? ? 2 , 2 2 a ?b a ?b

?z 2x 2 ?? 2 ?? , ?x P a a P

?z 2y 2 ?? 2 ?? ?y P b b P

故所求方向导数为
?z 2 b 2 a ) ? ( ? )( ? 2 ) ? ? ( ? )( ? 2 2 2 ?n P a b a ?b a ?b 1 ? 2(a 2 ? b 2 ) ab
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三元函数方向导数的定义

对于三元函数 u ? f ( x , y , z ) ,它在空间一点 ? P ( x , y , z )沿着方向 l 的方向导数 ,可定义为
?f f ( x ? ?x , y ? ?y , z ? ?z ) ? f ( x , y , z ) ? ? lim , ? ?0 ?l ?

(其中 ? ? ( ?x )2 ? ( ?y )2 ? ( ?z )2 )
同理:当函数在此点可微时,函数在该点沿任意 ? 方向 l 的方向导数都存在,且有

? 其中cos? ,cos ? ,cos ? 是 l 的方向余弦
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?f ?f ?f ?f ? ? cos ? ? cos ? ? cos ? . ?l ?x ?y ?z

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二、梯度
的 最快 ? 问题:函数在点 P 沿哪一方向变化率增加 ? ? 设 e ? {cos ? , cos ? }是方向 l 上的单位向量,

?f ?f ?f ?f ?f 则 ? ? cos ? ? cos ? ? { , } ? {cos? , cos ? } ?l ?x ?y ?x ?y
? f ?f ? ?f 2 ?f 2 ? ( ) ? ( ) cos? , 其中 ? ? ({ , }, e ) ?x ?y ?x ?x
?f 显然当 cos? ? 1,即 ? ? 0 时, ? 有最大值。 ?l

?f ?f 即沿方向 { , } 函数的变化率增加最快。 ?x ?y
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定义:设函数 z ? f ( x , y ) 在平面区域 D 内具有一阶连 续偏导数,则对于每一点 P ( x , y ) ? D ,都可确定一个向量

?f ?f { , } ,这向量就称为函数 z ? f ( x , y )在点 P ( x , y )的梯度, ?x ?y
记为

gradf ( x , y ) ? {

?f ?f , } ?x ?y

?f

(gradient)

? ? 其中 ? ? { , } 称为向量微分算子。(del) ?x ?y
说明:
(1)函数在某点的梯度是一个向量。

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(2)梯度的方向与取得最大方向导数的方向一致,即: 沿梯度的方向,函数的变化率增加的最快。

(3)梯度的模为方向导数的最大值。梯度的模为
? ?f ? ? ?f ? | gradf ( x , y ) |? ? ? ? ? ? ? ?x ? ? ?y ?
2 2

?f ?f (4)沿负梯度 {? ,? } 的方向,函数的变化率减少 ?x ?y 的最快。梯度模的负值为方向导数的最小值。

?f ?f (5)沿与梯度 { , } 垂直的方向,方向导数为 0 。 ?x ?y

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? 例4. 设 x 轴 的 正 方 向 到 l 的 转 角 为 ? , 求 函 数 ? 2 2 f ( x, y ) ? x ? xy ? y 在点(1,1) 沿方向 l 的方向导

数,并确定? ,使这导数有 (1)最大值; (2)最小值; (3)等于零。 ?f ?f ?f ? ( cos ? ? sin? ) 解 1: ? ? l ( 1 ,1 ) ?x ?y ( 1 ,1 ) ? [( 2 x ? y ) cos ? ? ( ? x ? 2 y ) sin? ] (1,1)

4 ? 5? 当? ? 时, 方向导数有最大值 2 ;? ? 时, 4 4 3? 7? ,? ? 时, 等于零。 有最小值为? 2 ; ? ? 4 4
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? cos ? ? sin ? ? 2 sin(? ?

?

)

解 2:

f ( x, y ) ? x ? xy ? y , 点 (1,1)
2 2
(1,1)

gradf

?f ?f ? { , } ? {2 x ? y, ? x ? 2 y} (1,1) ? {1,1} ?x ?y (1,1)

在梯度方向,即 l ? {1,1} 方向, 亦即 ? ?
方向导数有最大值 2

?

4

时,

5? 在负梯度方向,即 l ? {?1, ?1} 方向, 亦即 ? ? 时, 4 方向导数有最小值 ? 2

在与梯度垂直的方向,即 l ? {?1,1} 和 l ? {1, ?1} 方向,
3? 7? 亦即 ? ? 和? ? 时,方向导数为 0 。 4 4
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梯度的概念可以推广到三元函数

三元函数 u ? f ( x , y , z ) 在空间区域 G 内具有一 阶连续偏导数,则对于每一点 P ( x , y , z ) ? G ,都可 定义一个向量(梯度)

?f ?f ?f gradf ( x , y , z ) ? i? j ? k ? ?f ?x ?y ?z
? ? ? 其中 ? ? { , , } 称为向量微分算子。 ?x ?y ?z
类似于二元函数,此梯度也是一个向量,其方向 与取得最大方向导数的方向一致,其模为方向导数 的最大值。
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梯度的基本运算公式
(2) grad (C u ) ? C grad u (4) grad ( u v ) ? u grad v ? v grad u

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补充*:等高线 等高线的画法

在几何上 z ? f ( x , y )
表示一个曲面 该曲面被平面 所截得的曲线

z?c

? z ? f ( x, y) , ? ?z ? c
在 xoy 面上的投影
播放

L* : f ( x , y ) ? c
称为函数 f 的等高线 .
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复习: 平面曲线的切线与法线 若平面光滑曲线方程为 因

Fx? ( x , y ) dy ?? dx F y? ( x , y )
故在点 法线方程 即 有

切线方程 Fx? ( x0 , y0 ) ( x ? x0 ) ? F y? ( x0 , y0 ) ( y ? y0 ) ? 0

F y? ( x0 , y0 ) ( x ? x0 ) ? Fx? ( x0 , y0 ) ( y ? y0 ) ? 0 x ? x0 y ? y0 ? Fx? ( x0 , y0 ) F y? ( x0 , y0 )
在点
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即平面曲线

的法向量为
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n ? { Fx? ( x0 , y0 ), F y?( x0 , y0 )}

对于等高线:f ( x , y ) ? c ,
设 F ( x, y) ? f ( x, y) ? c ? 0

则 f ( x , y ) ? c 在点P ( x , y ) 的法向量为

n ? { Fx? , Fy? } ? { f x? , f y? } ? gradf ( x , y )
正好是等高线 f ( x , y ) ? c 在点 P ( x , y ) 处的梯度方向

y
P

? ?, f y ? } ? gradf ( x, y ) n ? { fx
梯度为等高线上的法向量
f ( x, y) ? c

等值(高)线

o

x
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梯度与等高线的关系:

函数 z ? f ( x , y ) 在点 P ( x , y ) 的梯度的方 向与点 P 的等高线 f ( x , y ) ? c 在这点的法线 的一个方向相同,且从数值 较低的等高线指 向数值较高的等高线 ,而梯 度的模等于函 数在这个法线方向的方 向导数.

y

f ( x , y ) ? c2

? ?, f y ? } ? gradf ( x, y ) n ? { fx
梯度为等高线上的法向量
f ( x, y) ? c

P
f ( x , y ) ? c1

等值(高)线

o

x

( 设 c1 ? c ? c2 )
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例如: 考虑一座小山的地形图。
令函数 z ? f ( x , y ) 表示点 ( x , y ) 对 应的海拔高度,则右上图表示这座小 山的等高线(红色曲线)。

从山脚下一点出发,做一条曲线, 使其垂直于所有等高线,就得到一条 从这点出发最陡的上山路线,如右上 图的蓝色曲线。
右下图是马鞍面 z ? x 2 ? y 2 的等 高线(红色曲线)和梯度(蓝色向 量)。梯度是和等高线垂直的,且指 向数值增加的方向。
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三元函数的等值面及与梯度的关系
曲面 f ( x , y , z ) ? c 称为函数 u ? f ( x , y , z )的等值面。
函数 u ? f ( x , y , z ) 在点

P ( x , y , z ) 处的梯度的方向与过点
P 的等值面 f ( x , y , z ) ? c 在这点

的法线方向平行,并且是从数值 较低的等值面指向数值较高的等 值面,而梯度的模等于函数在这 个法线方向上的方向导数。

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x2 y2 z2 例5: 求 u ? 2 ? 2 ? 2 在点 M ( x0 , y0 , z0 ) 处沿点 a b c ? 的向径 r0 的方向导数,问 a , b, c 具有什么关系时 此方向导数等于梯度的 模 ? ? ? 2 2 2 ? ? ? r ? x , y , z , r ? x ? y ? z 0 解 0 0 0 0 0 0 0, x0 y0 z0 cos ? ? ? , cos ? ? ? , cos ? ? ? . r0 r0 r0
? 在点 M 处的方向导数为

?u ? ?r0

M

?u ?u ?u ? M cos ? ? M cos ? ? ?x ?y ?z 2 x0 x0 2 y0 y0 2 z0 z0 ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? a r0 b r0 c r0

M

cos ?

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2 2 2 x y z ?u 2 x0 x0 2 y0 y0 2 z0 z0 2 0 0 ? 0 ? ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? ? ? ( 2? 2 2) ?r0 M a r0 b r0 c r0 r0 a b c

?u ?r0

?
M

2 2 y z 2 0 ( 2? 0 ? ). 2 2 2 2 a b c x 02 ? y0 ? z0

x0

2

? 函数 u 在点 M 处的梯度为 ?u ? ?u ? ?u ? gradu M ? Mi ? M j ? Mk ?x ?y ?z 2 x0 ? 2 y0 ? 2 z0 ? ? 2 i ? 2 j ? 2 k, a b c

gradu M ? 2

2 x0

a

4

?

2 y0

b

4

?

2 z0

c

4

,
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?u ?r0
(1) 当 a ? b ? c 时 ,

?
M

2 2 y0 z0 ( 2 ? 2 ? 2) 2 2 a b c x 02 ? y0 ? z0

2

x 02

2 2 2 2 gradu M ? 2 x 0 ? y0 ? z0 , a 2 2 2 2 ( x ? y ? z ) 2 0 0 0 ?u 2 a ? 2 M ? 2 2 2 ?r0 a x 0 ? y0 ? z 0

gradu M ? 2

x 02 a
4

?

y 02 b
4

?

z 02 c4

2 2 2 ? gradu M x0 ? y0 ? z0

故当 a , b, c 相等时 , 此函数在任一点处的方向导数
都等于梯度的模。
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?u ?r0

?
M

2 2 y0 z0 ( 2 ? 2 ? 2) 2 2 a b c x 02 ? y0 ? z0

2

x 02

(2) 当 y0 ? z0 ? 0, x0 ? 0 时 , x 02 y 02 z 02 gradu M ? 2 4 ? 4 ? 4 2 2 2 a b c gradu M ? 2 x0 ? 2 | x0 | a a 2 ?u 2 x0 2 ? 2 | x0 | ? gradu M M ? 2 2 ?r0 a x0 a (3) 当 x0 ? z0 ? 0, y0 ? 0 或 x0 ? z0 ? 0, y0 ? 0 时 , 也有 ?u ? gradu M M ?r0 故当点 M 在坐标轴上时 , 此函数的方向导数等于

梯度的模(此时a , b, c可以任取 )。
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三、内容小结
1. 方向导数

? 三元函数

在点

沿方向 l (方向角

为 ? , ? , ? ) 的方向导数为 ?f ?f ?f ?f ? cos ? ? cos ? ? cos ? ?l ?x ?y ?z
? 二元函数 在点 沿方向 l (方向角为

? , ? )的方向导数为
?f ?f ?f ? cos ? ? cos ? ?l ?x ?y
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2. 梯度 ? 三元函数
在点 处的梯度为

?? f ? f ? f ? grad f ? ? , , ? ? ?f ? ? x ? y ?z ? ? 二元函数 在点 处的梯度为

grad f ? { f x? ( x , y ) , f y? ( x , y )} ? ?f
它的方向与取得最大方向 ? 函数在某点的梯度是一个向量, 导数的方向一致,即:沿梯度的方向函数的变化率增加最 快。而梯度的模为方向导数的最大值。

? 可微

方向导数存在
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偏导数存在
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作业 习题7-6(P96)
4,6,7,9,11

第八节

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备用题 1. 函数
处的梯度 解: 则

在点

2 {1 , 2 , ? 2} 9

(92考研)

注意 x , y , z 具有轮换对称性

2 ? {1 , 2 , ? 2} 9
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y ? z ) 在点A( 1 , 0 , 1) 处沿点A 1 2 . (96考研) 指向 B( 3, -2 , 2) 方向的方向导数是 提示: 则
2. 函数 u ? ln( x ?
2 2

? {cos ? , cos ? , cos ? }

ln( x ? 1)
ln(1 ? y 2 ? 1)

1 ? 2
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3、设 z ? f ( x, y ) ? xe y ,
1 (1)求出 f ( x , y )在点 P ( 2,0)处沿从 P 到Q ( ,2) 方向的变化率; 2 (2) f ( x , y) 在点 P ( 2,0)处沿什么方向具有最大的增长率, 最

大的增长率是多少?

解: (1)

3 3 4 0 PQ ? {? ,2} PQ ? {? , } 2 5 5 ?z ?z y ? xe y ( 2 , 0 ) ? 2 ? e ( 2, 0 ) ? 1, ?y ( 2 , 0 ) ?x ( 2 , 0 )

?f ?z ? ?z ? ? ? ? cos ? ? cos ? ? ? 1 ? ( ? 3 ) ? 2 ? 4 ?PQ ( 2 , 0 ) ? ?x ?y ? ( 2,0 ) 5 5
?1
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3、设 z ? f ( x, y ) ? xe y ,
1 (1)求出 f ( x , y )在点 P ( 2,0)处沿从 P 到Q ( ,2) 方向的变化率; 2 (2) f ( x , y) 在点 P ( 2,0)处沿什么方向具有最大的增长率, 最

大的增长率是多少?

解: (2) 函数沿梯度方向具有最大的增长率
?z ?z ? {1, 2} gradf ( 2,0) ? { , } ? {e y , xe y } ( 2 , 0 ) ?x ?y ( 2 , 0 )
函数沿方向 {1,2}具有最大的增长率,

最大的增长率为:gradf (2,0) ? 5
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4、求函数 u ? x 2 ? 2 y 2 ? 3z 2 ? 3 x ? 2 y 在点 (1,1,2) 处的梯度,并问在哪些点处梯度为零?

解: 由梯度计算公式得

?u ? ?u ? ?u ? gradu( x , y , z ) ? i ? j? k ?x ?y ?z ? ? ? ? (2 x ? 3)i ? (4 y ? 2) j ? 6zk , ? ? ? 故 gradu(1,1,2) ? 5i ? 2 j ? 12k .
3 1 在 P0 ( ? , ,0)处梯度为 0. 2 2
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5、 处向径 r 的模 , 试证

证:

x x ? f ?( r ) ? f ?( r ) 2 2 2 r x ? y ?z

? f (r ) y ? f (r ) z ? f ?( r ) , ? f ?( r ) ?y r ?z r ? ? f (r ) ? ? f (r ) ? ? f ( r ) ? grad f ( r ) ? j ? k i? z ?y ?z ?x r ? ? ? 1 ? f ?( r ) ( x i ? y j ? z k ) o r 1? ?0 x ? ? ? f (r ) r ? f (r ) r r
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P
y

结束



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