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2017


知能整合提升 1.深化对正、余弦定理的理解 正弦定理与余弦定理是三角形边角关系的重要定理,要理解 两个定理及其变形. (1)正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比 a b c 相等,即:在△ABC中,sinA=sinB=sinC. 正弦定理有以下三种变形形式: ①a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC; a b c ②sinA=2R,sinB=2R,sinC=2R; 其中R是△ABC外接圆的半径. ③a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC. (2)余弦定理;三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方 的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍.即: a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB,c2=a2+b2- 2abcosC. b2+c2-a2 a2+c2-b2 余弦定理的推论:cosA= ,cosB= ,cosC 2bc 2ac a2+b2-c2 = 2ab . 2.剖析斜三角形的类型与解法 正弦定理、余弦定理的每一个等式中都包含三角形的四个元 素(三角形有三个角和三条边,三角形的边与角称为三角形的元 素),如果其中三个元素是已知的(至少要有一个元素是边),那么 这个三角形一定可解.关于斜三角形的解法,根据已知条件及适 用的定理,可以归纳为以下四种类型(设三角形为△ABC,角A, B,C所对的边分别为a,b,c): 基本类型 一般解法 a (1)已知两 ①由A+B+C=180° ,求出C;②根据正弦定理,得sinA= 角及其中 b a c 及 = 一角的对 sinB sinA sinC,求b,c. 如果已知的是两角和它们的夹 边, 如 边,如A,B,c,先求第三个角C,然后按②来求解,求解中 A,B,a 尽可能应用已知元素,以减小误差 (2)已知两 边和它们 的夹角, 如a,b, C ①根据余弦定理c2=a2+b2-2abcosC,求出边c;②根据cosA b2+c2-a2 = 2bc ,求出A;③根据B=180° -(A+C),求出B. 求出 第三边后,也可用正弦定理求角,这样往往可以使计算简 便,应用正弦定理求角时,为了避开讨论(因为正弦函数在区 间(0,π)上是不单调的),应先求较小边所对的角,它必是锐 角 (3)已知 三边 (4)已知 两边及 其中一 边所对 的角, 如a, b,A 可以连续用余弦定理求出两角,常常是分别求较小两边所对 的角,再由A+B+C=180° ,求出第三个角;由余弦定理求 出一个角后,也可以根据正弦定理求出第二个角,但仍然是 先求较小边所对的角 ①根据正弦定理,经讨论求B;②求出B后,由A+B+C= a c 180° ,求C;③再根据正弦定理sinA=sinC,求出边c. 也可以 根据余弦定理,列出以边c为元的一元二次方程c2-(2bcosA)c +(b2-a2)=0,根据一元二次方程的解法,求边c,然后应用 正弦定理或余弦定理,求出其他元素 3.解读判断三角形形状的两种方法 判断三角形的形状,应围绕三角形的边角关系进行思考,此 类题目一般采用以下两种方法求解: (1)利用正弦定理化边为角,通过三角运算判断三角形的形 状; (2)利用余弦定理化角为边,通过代数运算判断三角形的形 状. 注意:根据余弦定理判断三角形形状时,当a2+b2<c2,b2+ c2<a2,c2+a2<b2中有一个关系式成立时,该三角形为钝角三角 形,而当a2+b2>c2,b2+c2>a2,c2+a2>b2中有一个关系式成立 时,并不能得出该三角形为锐角三角形的结论


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