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随机变量及其分布列[1].版块三.离散型随机变量的期望与方差2.学生版


数学期望

知识内容
1. 离散型随机变量及其分布列
⑴离散型随机变量 如果在试验中, 试验可能出现的结果可以用一个变量 X 来表示, 并且 X 是随着试验的结 果的不同而变化的,我们把这样的变量 X 叫做一个随机变量.随机变量常用大写字母 X , Y , 表示. 如果随机变量 X 的所有可能的取值都能一一列举出来,则称 X 为离散型随机变量. ⑵离散型随机变量的分布列 将离散型随机变量 X 所有可能的取值 xi 与该取值对应的概率 pi (i ? 1, 2, , n) 列表表示:

X P

x1 p1

x2 p2

… …

xi pi

… …

xn pn

我们称这个表为离散型随机变量 X 的概率分布,或称为离散型随机变量 X 的分布列.

2.几类典型的随机分布
⑴两点分布 如果随机变量 X 的分布列为
X

1

0

P p q 其中 0 ? p ? 1 , q ? 1 ? p ,则称离散型随机变量 X 服从参数为 p 的二点分布. 二点分布举例:某次抽查活动中,一件产品合格记为 1 ,不合格记为 0 ,已知产品的合格率 为 80% ,随机变量 X 为任意抽取一件产品得到的结果,则 X 的分布列满足二点分布. X

1

0

P

0.8 0.2

两点分布又称 0 ? 1 分布,由于只有两个可能结果的随机试验叫做伯努利试验,所以这种分 布又称为伯努利分布. ⑵超几何分布 一般地, 设有总数为 N 件的两类物品, 其中一类有 M 件, 从所有物品中任取 n 件 (n ≤ N ) ,

这 n 件中所含这类物品件数 X 是一个离散型随机变量,它取值为 m 时的概率为
P ( X ? m) ?
n?m Cm M CN ?M (0 ≤ m ≤ l , l 为 n 和 M 中较小的一个 ) . n CN

我们称离散型随机变量 X 的这种形式的概率分布为超几何分布, 也称 X 服从参数为 N ,
1

M , n 的超几何分布.在超几何分布中,只要知道 N , M 和 n ,就可以根据公式求出 X 取不同值时的概率 P ( X ? m) ,从而列出 X 的分布列. ⑶二项分布 1.独立重复试验 如果每次试验,只考虑有两个可能的结果 A 及 A ,并且事件 A 发生的概率相同.在相同 的条件下,重复地做 n 次试验,各次试验的结果相互独立,那么一般就称它们为 n 次独 立重复试验. n 次独立重复试验中,事件 A 恰好发生 k 次的概率为 k n?k (k ? 0, 1, 2, , n) . Pn (k ) ? Ck n p (1 ? p) 2.二项分布 若将事件 A 发生的次数设为 X ,事件 A 不发生的概率为 q ? 1 ? p ,那么在 n 次独立重复
k n?k 试验中,事件 A 恰好发生 k 次的概率是 P( X ? k ) ? Ck ,其中 k ? 0 , 1, 2 , n p q 是得到 X 的分布列

, n .于

X P

0
0 n C0 n p q

1
1 n ?1 C1 n p q

… …

k
k n?k Ck n p q

… …

n
n 0 Cn n p q

由 于 表 中 的 第 二 行 恰 好 是 二 项 展 开 式 0 n ?1 n k 0 n (q ? n p ?) 0 C ?p ? C n?1 p 1q?n ? k C k p qC pn q n nq n 各对应项的值,所以称这样的散型随机变量 X 服从参数为 n , p 的二项分布, 记作 X ~ B(n , p) . 二项分布的均值与方差: 若离散型随机变量 X 服从参数为 n 和 p 的二项分布,则
E ( X ) ? np , D( x) ? npq (q ? 1 ? p) .

⑷正态分布 1. 概率密度曲线:样本数据的频率分布直方图,在样本容量越来越大时, 直方图上面的折线所接近的曲线.在随机变量中,如果把样本中的任一数据看作随机变 量 X ,则这条曲线称为 X 的概率密度曲线. 曲线位于横轴的上方,它与横轴一起所围成的面积是 1 ,而随机变量 X 落在指定的两个 b 之间的概率就是对应的曲边梯形的面积. 数 a, 2.正态分布 ⑴ 定义: 如果随机现象是由一些互相独立的偶然因素所引起的, 而且每一个偶然因素在 总体的变化中都只是起着均匀、 微小的作用, 则表示这样的随 y 机现象的随机变量的概率分布近似服从正态分布. x=μ 服从正态分布的随机变量叫做正态随机变量,简称正态变量. 正态变量概率密度曲线的函数表达式为 f ( x) ?
e 2π ? ? x ? R ,其中 ? , ? 是参数,且 ? ? 0 , ?? ? ? ? ?? .
2

1

?

( x ? ? )2 2? 2



式中的参数 ? 和 ? 分别为正态变量的数学期望和标准差.期望

O

x

为 ? 、标准差为 ? 的正态分布通常记作 N ( ? , ? ) . 正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线. ⑵ 标准正态分布:我们把数学期望为 0 ,标准差为 1 的正态分布叫做标准正态分布. ⑶ 重要结论: ① 正态变量在区间 (? ? ? , ? ? ? ) , (? ? 2? , ? ? 2? ) , (? ? 3? , ? ? 3? ) 内,取值的概率分 别是 68.3% , 95.4% , 99.7% .
? ?) 内的取值的概率为 1 ,在区间 ( ? ? 3? , ? ? 3? ) 之外的取值的概率 ② 正态变量在 (?? ,

2

是 0.3% , 故正态变量的取值几乎都在距 x ? ? 三倍标准差之内, 这就是正态分布的 3? 原 则. ⑷若 ? ~ N (? , 则称 F ( x) ? P(? ≤ x) ? ??? f (t )dt 为概率分布 ? 2 ) , f ( x) 为其概率密度函数,
x 1 ? t2 ? ?? e dt 为标准正态分布函数. 函数,特别的, ~ N (0 , 12 ) ,称 ? ( x) ? ??? ? 2 π x?? P(? ? x) ? ? ( ). ? 标准正态分布的值可以通过标准正态分布表查得. 分布函数新课标不作要求,适当了解以加深对密度曲线的理解即可.
2

x

3.离散型随机变量的期望与方差
1.离散型随机变量的数学期望 定义:一般地,设一个离散型随机变量 X 所有可能的取的值是 x1 , x 2 ,…, x n ,这些 值对应的概率是 p1 , p2 ,…, pn ,则 E ( x) ? x1 p1 ? x2 p2 ? ? xn pn ,叫做这个离散型随 机变量 X 的均值或数学期望(简称期望) . 离散型随机变量的数学期望刻画了这个离散型随机变量的平均取值水平. 2.离散型随机变量的方差 一般地,设一个离散型随机变量 X 所有可能取的值是 x1 , x 2 ,…, x n ,这些值对应的
2 2 概率是 p1 , p2 , … , pn ,则 D( X ) ? (x1 ? E (x ))2 p1 ? (x2 ? E (x )) p2 ? ? ( xn ? E ( x )) pn 叫 做这个离散型随机变量 X 的方差. 离散型随机变量的方差反映了离散随机变量的取值相对于期望的平均波动的大小 (离散 程度) . D ( X ) 的算术平方根 D( x) 叫做离散型随机变量 X 的标准差,它也是一个衡量离散型随

机变量波动大小的量. b 为常数,则 E(aX ? b) ? aE( X ) ? b , 3. X 为随机变量, a , D(aX ? b) ? a2 D( X ) ; 4. 典型分布的期望与方差: ⑴ 二点分布:在一次二点分布试验中,离散型随机变量 X 的期望取值为 p ,在 n 次二点 分布试验中,离散型随机变量 X 的期望取值为 np . ⑵二项分布:若离散型随机变量 X 服从参数为 n 和 p 的二项分布,则 E ( X ) ? np , D( x) ? npq (q ? 1 ? p) . M, n 的超几何分布, ⑶ 超几何分布:若离散型随机变量 X 服从参数为 N , n( N ? n)( N ? M ) M nM 则 E( X ) ? , D( X ) ? . N 2 ( N ? 1) N

4.事件的独立性
如果事件 A 是否发生对事件 B 发生的概率没有影响,即 P( B | A) ? P( B) , 这时,我们称两个事件 A , B 相互独立,并把这两个事件叫做相互独立事件. 如果事件 A1 , A2 ,…, An 相互独立,那么这 n 个事件都发生的概率,等于每个事件发 An ) ? P( A1 ) ? P( A2 ) ? ? P( An ) , 生的概率的积, 即 P( A1 A2 并且上式中任意多个事 件 Ai 换成其对立事件后等式仍成立.

5.条件概率
对于任何两个事件 A 和 B ,在已知事件 A 发生的条件下,事件 B 发生的概率叫做条件概
3

率, 用符号“ P ( B | A) ”来表示. 把由事件 A 与 B 的交 (或积) , 记做 D ? A B(或 D ? AB ) .

典例分析
【例1】 某种种子每粒发芽的概率都为 0.9 ,现播种了 1000 粒,对于没有发芽的种子,每 粒需再补种 2 粒,补种的种子数记为 X ,则 X 的数学期望为( ) A.100 B.200 C.300 D.400 【例2】 某射手射击所得环数 ? 的分布列如下:

?

7

8
0.1

9
0.3

10

P

x

y

已知 ? 的期望 E? ? 8.9 ,则 y 的值为



【例3】 随机变量 ? 的概率分布率由下图给出:
x
P ?? ? x ?

7
0.3

8 0.35

9
0.2

10 0.15

则随机变量 ? 的均值是__________;
1 ,乙每次击中目标的概率 2

【例4】 甲、乙两人各进行 3 次射击,甲每次击中目标的概率为 为

2 ,求: 3 ⑴ 记甲击中目标的次数为 ? , ? 的概率分布及数学期望; ⑵ 乙至多击中目标 2 次的概率; ⑶ 甲恰好比乙多击中目标 2 次的概率.

【例5】 一个盒子装有六张卡片,上面分别写着如下六个定义域为 R 的函数:
f1 ? x ? ? x , f2 ? x ? ? x2 , f3 ? x ? ? x3 , f 4 ? x ? ? sin x , f5 ? x ? ? cos x , f6 ? x ? ? 2 .

现从盒子中进行逐一抽取卡片, 且每次取出后均不放回, 若取到一张记有偶函数的 卡片则停止抽取,否则继续进行,求抽取次数 ? 的分布列和数学期望.

4

n?S . 【例6】 设 S 是不等式 x 2 ? x ? 6 ≤ 0 的解集,整数 m ,

n ? ”为事件 A,试列举 A 包含的基本事件; ⑴记使得“ m ? n ? 0 成立的有序数组 ? m ,
⑵设 ? ? m2 ,求 ? 的分布列及其数学期望 E? .

【例7】 某迷宫有三个通道,进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门.首次到达此门,系统 会随机(即等可能)为你打开一个通道.若是 1 号通道,则需要 1 小时走出迷宫; 若是 2 号、3 号通道,则分别需要 2 小时、3 小时返回智能门.再次到达智能门时, 系统会随机打开一个你未到过的通道, 直至走出迷宫为止. 令 ? 表示走出迷宫所需 的时间. ⑴求 ? 的分布列; ⑵求 ? 的数学期望.

【例8】 投到某杂志的稿件,先由两位初审专家进行评审.若能通过两位初审专家的评审, 则予以录用;若两位初审专家都未予通过,则不予录用;若恰能通过一位初审专家 的评审,则再由第三位专家进行复审,若能通过复审专家的评审,则予以录用,否 则不予录用.设稿件能通过各初审专家评审的概率均为 0.5 ,复审的稿件能通过评 审的概率为 0.3 ,各专家独立评审.

5

⑴ 求投到该杂志的 1 篇稿件被录用的概率; ⑵ 记 X 表示投到该杂志的 4 篇稿件中被录用的篇数,求 X 的分布列及期望.

【例9】 如图,由 M 到 N 的电路中有 4 个元件,分别标为 T1 ,T2 ,T3 ,T4 ,电流能通过 T1 ,
T2 , T3 的概率都是 p ,电流能通过 T4 的概率是 0.9 .电流能否通过各元件相互独

立.已知 T1 , T2 , T3 中至少有一个能通过电流的概率为 0.999 . ⑴ 求 p; ⑵ 求电流能在 M 与 N 之间通过的概率;

? 表示 T1 , T2 , T3 , T4 中能通过电流的元件个数,求 ? 的期望. ⑶
T1 M T2 T4 T3 N

【例10】 某同学参加 3 门课程的考试.假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为

4 , 5 第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为 p , q ( p ? q ) ,且不同课程是否取
得优秀成绩相互独立.记 ? 为该生取得优秀成绩的课程数,其分布列为

6

?

0

1

2
d

3

p

6 125

a

24 125

⑴ 求该生至少有 1 门课程取得优秀成绩的概率; ⑵ 求 p , q 的值; ⑶ 求数学期望 E? .

【例11】 某种有奖销售的饮料,瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样,购买一瓶若其瓶 1 盖 内印有“奖励一瓶”字样即为中奖,中奖概率为 .甲、乙、丙三位同学每人购 6 买了一瓶该饮料. ⑴ 求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率; ⑵ 求中奖人数 ? 的分布列及数学期望 E? .

【例12】 某射手每次射击击中目标的概率是

2 ,且各次射击的结果互不影响. 3 ⑴ 假设这名射手射击 5 次,求恰有 2 次击中目标的概率 ⑵ 假设这名射手射击 5 次,求有 3 次连续击中目标.另外 2 次未击中目标的概率; ⑶ 假设这名射手射击 3 次,每次射击,击中目标得 1 分,未击中目标得 0 分,在 3 次射击中,若有 2 次连续击中,而另外 1 次未击中,则额外加 1 分;若 3 次全击 中,则额外加 3 分,记 ? 为射手射击 3 次后的总的分数,求 ? 的分布列.

【例13】 如图,一个小球从 M 处投入,通过管道自上面下落到 A 或 B 或 C ,已知小球从每 个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的. 某商家按上述投球方式进行促销活动,若投入的小球落到 A , B , C ,则分别设 为 1,2,3 等奖.

7

⑴ 已知获得 1,2,3 等奖的折扣率分别为 50% , 70% , 90% ,记随机变量 ? 为获
2, 3) 等奖的折扣率,求随机变量 ? 的分布列及数学期望 E? . 得 k (k ? 1 ,

⑵ 若有 3 人次(投入 1 球为 1 人次)参加促销活动,记随机变量 ? 为获得 1 等奖或 2 等奖的人次,求 P(? ? 2) .
M

B A C (第19题图)

【例14】 在甲、乙等 6 个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中,每个单位的节目集中安排 在一起,若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序(序号为 1 , 2 ,……, 6 ) , 求: ⑴ 甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率; ⑵ 甲、乙两单位之间的演出单位个数 ? 的分布列与期望.

【例15】 某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动.活动规则如下:消费额每满 100 元可转 动如图所示的转盘一次,并获得相应金额的返券,假定指针等可能地停在任一位 置. 若指针停在 A 区域返券 60 元; 停在 B 区域返券 30 元; 停在 C 区域不返券. 例 如:消费 218 元,可转动转盘 2 次,所获得的返券金额是两次金额之和.

8

⑴ 若某位顾客消费 128 元,求返券金额不低于 30 元的概率; ⑵ 若某位顾客恰好消费 280 元,并按规则参与了活动,他获得返券的金额记为 X (元) .求随机变量 X 的分布列和数学期望.

【例16】 如图,两个圆形转盘 A , B ,每个转盘阴影部分各占转盘面积的

1 1 和 .某“幸运转 2 4 1000 A , B 盘积分活动”规定, 当指针指到 转盘阴影部分时, 分别赢得积分 分和 2000

分.先转哪个转盘由参与者选择,若第一次赢得积分,可继续转另一个转盘,此时 活动结束;若第一次未赢得积分,则终止活动. ⑴ 记先转 A 转盘最终所得积分为随机变量 X ,则 X 的取值分别是多少? ⑵ 如果你参加此活动, 为了赢得更多的积分, 你将选择先转哪个转盘?请说明理由.

【例17】 在一个选拔项目中,每个选手都需要进行 4 轮考核,每轮设有一个问题,能正确 回答者 进入下一轮考核,否则被淘汰,已知某选手能正确回答第一、二、三、四 5 4 3 1 轮问题的概率分别为 、 、 、 ,且各 轮问题能否正确回答互不影响. 6 5 4 3

9

⑴ 求该选手进入第三轮才被淘汰的概率; ⑵ 求该选手至多进入第三轮考核的概率; ⑶ 该选手在选拔过程中回答过的问题的个数记为 X ,求随机变量 X 的分布列和期 望.

【例18】 在某校组织的一次篮球定点投篮比赛中, 两人一对一比赛规则如下: 若某人某次投 篮命中,则由他继续投篮,否则由对方接替投篮.现由甲、乙两人进行一对一投篮 1 1 比赛,甲和乙每次投篮命中的概率分别是 , .两人投篮 3 次,且第一次由甲开 3 2 始投篮,假设每人每次投篮命中与否均互不影响. ⑴ 求 3 次投篮的人依次是甲、甲、乙的概率; ⑵ 若投篮命中一次得 1 分,否则得 0 分,用 ? 表示甲的总得分,求 ? 的分布列和数 学期望.

【例19】 某工厂师徒二人各加工相同型号的零件 2 个,是否加工出精品均互不影响.已知师 2 父加工一个零件是精品的概率为 ,师徒二人各加工 2 个零件都是精品的概率为 3

10

1 . 9 ⑴ 求徒弟加工 2 个零件都是精品的概率; ⑵ 求徒弟加工该零件的精品数多于师父的概率; ⑶ 设师徒二人加工出的 4 个零件中精品个数为 ? ,求 ? 的分布列与均值 E? .

【例20】 某公司要将一批海鲜用汽车运往 A 城,如果能按约定日期送到,则公司可获得销 售收入 30 万元,每提前一天送到,或多获得 1 万元,每迟到一天送到,将少获得 1 万元,为保证海鲜新鲜,汽车只能在约定日期的前两天出发,且行驶路线只能选择 公路 1 或公路 2 中的一条,运费由公司承担,其他信息如表所示. 统计信息 ⑴ 不堵车的情况 堵车的情况下 运费(万 下到达所需时 到达所需时间 堵车的概率 记 汽车行驶 元) 间(天) (天) 汽 路线 车 1 1.6 2 3 公路 1 走 10 1 公 0.8 1 4 公路 2 2 路 1 时公司获得的毛利润为 ? (万元) ,求 ? 的分布列和数学期望 E? ;
[

⑵ 假设你是公司的决策者,你选择哪条公路运送海鲜有可能获得的毛利润更多? (注:毛利润 ? 销售收入 ? 运费)

【例21】 袋中装有标有数字 1, 2 , 3, 4 的小球各 3 个,从袋中任取 3 个小球,每个小球被取出 的可能性都相等. ⑴求取出的 3 个小球上的数字互不相同的概率; ⑵用 X 表示取出的 3 个小球上所标的最大数字,求随机变量 X 的分布列和均值.

11

【例22】 袋子里有大小相同的 3 个红球和 4 个黑球,今从袋子里随机取球. ⑴若有放回地取 3 次,每次取 1 个球,求取出 1 个红球 2 个黑球的概率; ⑵若无放回地取 3 次,每次取 1 个球. ①求在前 2 次都取出红球的条件下,第 3 次取出黑球的概率; ②求取出的红球数 X 的分布列和均值(即数学期望) .

【例23】 一个盒子中装有 5 张卡片,每张卡片上写有一个数字,数字分别是 1 、 2 、 3 、 4 、 5 ,现从盒子中随机抽取卡片. ⑴ 若从盒子中有放回的取 3 次卡片,每次抽取一张,求恰有两次取到的卡片上数 字为偶数的概率; ⑵ 若从盒子中依次抽取卡片,每次抽取一张,取出的卡片不放回,当取到一张记 有偶数的卡片即停止抽取,否则继续抽取卡片,求抽取次数 X 的分布列和期望.

【例24】 某学校高一年级开设了 A , B , C , D , E 五门选修课.为了培养学生的兴趣爱好,要求 每个学生必须参加且只能选修一门课程.假设某班甲、乙、丙三名学生对这五门课 程的选择是等可能的. ⑴求甲、乙、丙三名学生参加五门选修课的所有选法种数;

12

⑵求甲、乙、丙三名学生中至少有两名学生选修同一门课程的概率; ⑶设随机变量 X 为甲、乙、丙这三名学生参加 A 课程的人数,求 X 的分布列与数 学期望.

【例25】 在某次抽奖活动中,一个口袋里装有 5 个白球和 5 个黑球,所有球除颜色外无任何 不同,每次从中摸出 2 个球,观察颜色后放回,若为同色,则中奖. ⑴ 求仅一次摸球中奖的概率; ⑵ 求连续 2 次摸球,恰有一次不中奖的概率; ⑶ 记连续 3 次摸球中奖的次数为 ? ,求 ? 的分布列.

【例26】 为保护水资源,宣传节约用水,某校 4 名志愿者准备去附近的甲、乙、丙三家公园 进行宣传活动, 每名志愿者都可以从三家公园中随机选择一家, 且每人的选择相互 独立. ⑴求 4 人恰好选择了同一家公园的概率; ⑵设选择甲公园的志愿者的人数为 X ,试求 X 的分布列及期望.
13

【例27】 在一次考试中共有 8 道选择题, 每道选择题都有 4 个选项, 其中有且只有一个选项 是正确的.某考生有 4 道题已选对正确答案,其余题中有两道只能 分别判断 2 个 选项是错误的,还有两道题因不理解题意只好乱猜. ⑴ 求该考生 8 道题全答对的概率; ⑵若评分标准规定: “每题只选一个选项,选对得 5 分,不选或选错得 0 分” ,求该 考生所得分数的分布列.

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