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1说基础· 名师导读 知识点1 等差数列 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它 的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列 文字 就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公 语言 差,公差通常用字母d表示. 在数列{an}中,如果an+1-an=d(n∈N*)(或an- 数学 an-1=d,n≥2,n∈N*)成立,则称数列{an}为等 符号 差数列,常数d称为等差数列的公差. 递推 an+1-an=d(n∈N*)或an-an-1=d(n≥2,n∈N*). 关系 讲重点 对等差数列定义的理解 (1)等差数列定义中的关键词是:“从第2项起”与“同一 个常数”. ①如果一个数列,不是从第2项起,而是从第3项或第4项 起,每一项与前一项的差是同一个常数,那么此数列不是等差 数列. ②如果一个数列,从第2项起,每一项与前一项的差,尽管 是常数,但这个数列也不一定是等差数列.这是因为这些常数 可能不相同,必须是同一个常数,才是等差数列. ③等差数列中至少有三项. (2)公差是数列中的某一项(除第一项外)与其前一项的差, 不可颠倒,即d=an+1-an=an-an-1=…=a3-a2=a2-a1. (3)切忌只通过计算数列中特殊几项的差后,发现它们是同 一个常数,就断言此常数为等差数列. 讲拓展 (1)定义中“每一项与它的前一项的差”的含义有 两个:其一是强调作差的顺序,即后面的项减前面的项;其二 是强调这两项必须相邻. (2)公差d∈R,当d=0时,数列为常数列;当d>0时,数列 为递增数列;当d<0时,数列为递减数列. 知识点2 通项公式 等差数列{an}的首项是a1,公差是d,则通项公式是an=a1 +(n-1)d. 讲重点 对等差数列通项公式的理解 (1)从函数的角度看等差数列的通项公式. 由等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d可得an=dn+(a1- d),如果设p=d,q=a1-d,那么an=pn+q,其中p,q是常 数.当p≠0时,an是关于n的一次函数,即(n,an)在一次函数y =px+q的图象上,因此从图象上看,表示等差数列的各点均在 一次函数y=px+q的图象上. 所以公差不为零的等差数列的图象是直线y=px+q上的均 匀排开的一群孤立的点. 当p=0时,an=q,等差数列为常数列,此时数列的图象是 平行于x轴的直线(或x轴)上的均匀分布的一群孤立的点. (2)由两点确定一条直线的性质可以得出,已知等差数列的 任意两项可以确定这个等差数列.若已知等差数列的通项公 式,可以写出数列中的任意一项. (3)等差数列{an}的通项公式an=a1+(n-1)d中共含有四个 变数,即a1,d,n,an,如果知道了其中的任意三个数,就可 以由通项公式求出第四个数,这一求未知量的过程我们通常称 之为“知三求一”. 讲拓展 (1)如果数列{an}的通项公式是an=pn+q(p,q是常 数),那么数列{an}是等差数列. (2)如果数列{an}满足2an=an-1+an+1(n>1,n∈N*),那么数 列{an}是等差数列. 知识点3 等差中项 如果三个数a,A,b成等差数列,那么A叫做a,b的等差中 项. 讲重点 等差中项的性质: (1)A是a与b的等差中项,则 a+b A= 或2A=a+b,即两个数的等差中项有且只有一 2 个. (2)当2A=a+b时,A是a与b的等差中项. 2 说方法· 分类探究 类型一 等差数列的通项公式及应用 【例1】 (1)在等差数列{an}中,已知a5=10,a12=31,求 首项


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