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北师大版高中数学选修2-3第一章《计数原理》二项式定理(二)


北师大版高中数学选修2-3 第一章《计数原理》

二项式定理(二)

1

一、教学目标:1、知识与技能:进一步掌握 二项式定理和二项展开式的通项公式。 2、过程与方法:能解决二项展开式有关的简 单问题。 3、情感、态度与价值观:教学过程中,要让 学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般 性的结果,而且可以启发我们发现一般性问题 的解决方法。 二、教学重难点:掌握二项式定理及二项式展 开式的通项公式 三、教学方法:探析归纳,讨论交流 四、教学过程 2

温故而知新
1.(a+b)n的二项展开式 是_________.
Tr+1 = C a b 2.通项公式是 _______________.
r n-r n r

3、C + C + C +?+ C +? + C ?
0 n 1 n 2 n r n n n
n
1 n 2 n 2 r r n

2

n

4、 x) ? 1 + C x + C x + ? + C x + ? + C x (1+

n n n

3

例题探析
例1.求(x-2)10的展开式中的第五项,并求出它的

二项式系数。
解:∵a=x,b=-2,n=10 r 根据通项公式Tr+1= C n an-rbr 得

T5=T4

4 = C10 ·10-4· (-2)4 x +1

10 ? 9 ? 8 ? 7 = ·x6· 16 4 ? 3 ? 2 ?1

=3360x6
4 它的二项式系数是 C10 =210
4

x 3 9 例2.(1)求 ( ? ) 的展开式常数项 ; 3 x

(2)求 ( x ? 3 )9 的展开式的中间两项 3 x 3 9? r 解:∵ T ? C r ( x )9?r ( 3 )r ? C r ? 32r ?9 x 2 , r ?1 9 9 3 x 3 ∴(1)当9 ? r ? 0, r ? 6 时展开式是常数项,即常数项为T7 ? C96 ? 33 ? 2268 x 3 9 ( ; (2) ? ) 的展开式共 项,它的中间 10
T 两项分别是第 5 项、第 项,5 ? C ? 3 x
3 x
2

6

4 9

8?9

9 ?12

5 ,6 ? C9 ? 310?9 x T

9?

15 2

42 ? 3 x

? 378 x3 。
5

例3、计算:

1 ? 2C ? 4C ? ... ? 2 C
1 n 2 n n

n n

( ? 2)=3 1
n

n

(1 ? x) (1 ? x) 的展开式中的 x3系数。 例4、求
6 4

解:C

0 6

C ?C C ?C C ?C C ? 8
3 4 1 6 2 4 2 6 1 4 3 6 0 4
6

例5.(1)求 (1 ? 2 x)7 的展开式的第4项的系数; 1 9 (2)求 ( x ? ) 的展开式中 3 x 的系数及二项式系数。

x

(1 解: ? 2 x) 的展开式的第四项是T3?1 ? C73 (2x)3 ? 280x3
7

,∴ (1 ? 2 x)7 的展开式的第四项的系数是
1 9 (2)∵ ( x ? ) 的展开式的通项是 x
r 9 9? r

280 。

1 r Tr ?1 ? C x (? ) ? (?1) r C9r x 9? 2 r ,∴ 9 ? 2r ? 3 , x 3 ,∴ x3的系数 (?1)3 C9 ? ?84 , 3的二项式 r ?3 7 系数 C3 ? 84 。 9

x

例6、 求 解:

Tr ?1 ? C ( x ) (? x ) ? (?1) C x
r 9 r
r r 9

?

x ? 3 x 展开式中的有理项
1 2

?

9

9? r

1 3

27 ? r 6

? r ? 3或r ? 9

27-r 3-r ? Z,即4+ ?Z 令 6 6

(r ? 0,1?9)
有 常 数 项 吗 ?
8

27 ? r 3 r ? 3, ? 4, T4 ? (?1)3 C9 x 4 ? ?84 x 4 6 27 ? r 9 r ? 9, ? 3, T10 ? (?1)9 C9 x 3 ? ? x 3 6 3 4 T10 ? ? x 原式的有理项为: T4 ? ?84 x

课堂小结:本课学习了二项式定理及二项式 展开式的通项公式的应用。 课堂练习:课本第33页练习 课后作业: 1.求 ( x ? a)12的展开式中的倒 数第

4 项。
12


解: x ? a) 的展开式中共13 项,它的倒数第 (

4 项是第10 项,

T9?1 ? C x

9 12?9 9 12

a ? C x a ? 220x a
3 3 9 12

3 9
9

2.求(1) a ? 3b) ,(2)(3b ? 2a) (2
6

6

的展开式中的第 3 项.
2 解:(1) 2?1 ? C6 (2a)4 (3b)2 ? 2160a4b2 ; T 2 4 2 4 2 (2) T ? C (3b) (2a) ? 4860b a 。

2?1

6

点评:

的展开后结果相同,但展开式中的第 项不相同。

(2a ? 3b) , b ? 2a)6 (3
6

r
10

3.求 x ? 2 x 的展开式的第4项的二项式系数,并求第4项的 系数。 提示:用二项式定理展开。 3 【3.展开式的第4项的二项式系数 C7 ? 35
3

?

?

7

,第4项的系数 C 2 ? 280 】
3 7 3

五、教后反思:

11


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