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安徽省安庆市第九中学高二数学《1.1 正弦定理》教案(1)(必修五)_图文

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1.1 正弦定理

授课类型:新授课

●教学目标

知识与技能:通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理的内容及其证明方法;

会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。

过程与方法:让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中,边与其对角的关系,

引导学生通过观察,推导,比较,由特殊到一般归纳出正弦定理,并进行定理基本应用的实

践操作。

情感态度与价值观:培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力;培养学生合

情推理探索数学规律的数学思思想能力,通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识

间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。

●教学重点

正弦定理的探索和证明及其基本应用。

●教学难点

已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。

●教学过程

Ⅰ.课题导入

如图 1.1-1,固定 ? ABC 的边 CB 及 ? B,使边 AC 绕着顶点 C 转动。

A

思考: ? C 的大小与它的对边 AB 的长度之间有怎样的数量关系?

显然,边 AB 的长度随着其对角 ? C 的大小的增大而增大。能否

用一个等式把这种关系精确地表示出来?

C

B

Ⅱ.讲授新课

[探索研究]

(图 1.1-1)

在初中,我们已学过如何解直角三角形,下面就首先来探讨直角三角形中,角与边的等

式关系。如图 1.1-2,在 Rt ? ABC 中,设 BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数











a c

? sin A



b c

?

sin

B





sinC

?

1?

c c

,

A



a sin

A

b ? sin B

c ? sinC

?c

b

c

从而在直角三角形

ABC

中,

a sin

A

?

b sin B

?

c sinC

C

a

B

(图 1.1-2)

思考:那么对于任意的三角形,以上关系式是否仍然成立?

(由学生讨论、分析)

可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况:

如图 1.1-3,当 ? ABC 是锐角三角形时,设边 AB 上的高是 CD,根据任意角三角函数的

定义,有

CD=a sin B

? b sin A

,则

a sin

A

?

b sin B



C

同理可得

c sinC

b ? sin B



b

a

从而

a sin

A

?

b sin

B

c ? sinC

A

c

B

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(图 1.1-3) 思考:是否可以用其它方法证明这一等式?由于涉及边长问题,从而可以考虑用向量来研究 这个问题。

(证法二):过点 A 作 j ? AC ,

C

由向量的加法可得 AB ? AC ? CB



j ? AB ? j ?(AC ? CB )

A

B

∴ j ? AB ? j ? AC ? j ?CB

j

j AB cos?900 ? A??0? j CB cos?900 ?C ?



csin

A ? asin C

,即

a sin

A

?

c sinC

同理,过点 C 作 j ? BC ,可得

b sin B

?

c sinC

从而

a

b

c

sin A ? sin B ? sinC

类似可推出,当 ? ABC 是钝角三角形时,以上关系式仍然成立。(由学生课后自己推导)

从上面的研探过程,可得以下定理

正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即

a

b

c

sin A ? sin B ? sinC

[理解定理]

(1)正弦定理说明同一三角形中,边与其对角的正弦成正比,且比例系数为同一正数,即

存在正数 k 使a ? k sin A ,b ? k sin B ,c ? k sinC ;

(2)

a sin

A

?

b sin

B

c ? sinC

等价于

a sin

A

?

b sin

B



c sinC

b ? sin B



a sin A

?

c sinC

从而知正弦定理的基本作用为:

①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边,如

a

?

b sin A sin B



②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值,如sin A

?

a b

sin B



一般地,已知三角形的某些边和角,求其他的边和角的过程叫作解三角形。

[例题分析]

例 1.在 ?ABC 中,已知 A?32.00 , B ?81.80 , a ?42.9 cm,解三角形。 解:根据三角形内角和定理,

C ?1800 ?(A? B)

?1800 ?(32.00 ?81.80)
?66.20 ; 根据正弦定理,

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b

?

asin B sin A

?

42.9sin81.80 sin32.00

?80.1(cm)



根据正弦定理,

c

?

asinC sin A

?

42.9sin 66.20 sin32.00

?

74.1(cm).

评述:对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。

例 2.在 ?ABC 中,已知 a ?20 cm, b?28 cm, A?400 ,解三角形(角度精确到10 ,边 长精确到 1cm)。

解:根据正弦定理,

sin

B

?

bsin a

A

?

28sin 400 20

?

0.8999.

因为 00 < B <1800 ,所以 B ?640 ,或 B ?1160.

⑴ 当 B ?640 时,

C ?1800 ?(A? B)?1800 ?(400 ?640)?760 ,

c

?

asinC sin A

?

20sin 760 sin 400

?

30(cm).

⑵ 当 B ?1160 时,

C ?1800 ?(A? B)?1800 ?(400 ?1160)?240 ,

c

?

asinC sin A

?

20sin 240 sin 400

?13(cm).

评述:应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时,可能有两解的情形。

Ⅲ.课堂练习

第 5 页练习第 1(1)、2(1)题。

[补充练习]已知 ? ABC 中,sin A:sin B :sinC ? 1:2:3 ,求a :b :c

(答案:1:2:3)

Ⅳ.课时小结(由学生归纳总结)

(1)定理的表示形式:

a sin

A

?

b sin

B

c ? sinC

?

a ?b ?c sin A ? sin B ? sinC

? k ?k ? 0? ;

或 a ? k sin A ,b ? k sin B ,c ? k sinC (k ? 0)

(2)正弦定理的应用范围:

①已知两角和任一边,求其它两边及一角;

②已知两边和其中一边对角,求另一边的对角。

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