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柯西不等式知识大全

柯西不等式知识大全

湖南省沅江市第一中学王习波整理编辑

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第一章、 柯西不等式的来历?????????????????06 第二章、 柯西不等式的形象特征???????????????08 第三章、 柯西不等式的几何意义???????????????09
一、一般柯西不等式的空间向量意义????????????09 二、二维柯西不等式的面积意义??????????????10 三、二维柯西不等式的三角意义??????????????11 四、二维柯西不等式的距离意义??????????????11

第四章、 柯西不等式的证明和推广??????????????12
一、柯西不等式的证明????????????????12
证法一、 构造二次函数证明?????????????12 证法二、向量法证明????????????????12 证法三、 数学归纳法证明??????????????12 证法四、 利用恒等式证明??????????????13 证法五、配方法??????????????????13 二、柯西不等式的推广?????????????????15 推广1、极限式柯西不等式??????????????15 推广2、积分式柯西不等式??????????????15 推广3 、赫尔德不等式(加权式柯西不等式)???????16 推广4、 柯西概率分布式不等式???????????16

推广 5、闵可夫斯基(Minkowski)不等式???????16
2

第五章、 柯西不等式的各种变式???????????????19
变式一、柯西分数式不等式????????????????19 变式二、互为倒数的柯西分式不等式?????????????19 变式三、去分母的柯西分式不等式??????????????19 变式四、n 个 1 相加的柯西不等式??????????????19 变式五、柯西指数式不等式????????????????20 变式六、柯西三角形式不等式???????????????20

第六章、 柯西不等式的运用技巧???????????????21
一、巧拆常数:????????????????????21 二、重新安排某些项的次序:????????????????23 三、改变结构:?????????????????????24 四、添项??????????????????????? 26 五、数形结合?????????????????????27

第七章、 柯西不等式的应用范围???????????????28
一、利用柯西不等式直接证明不等式?????????????28 二、利用柯西不等式证明恒等式???????????????30 三、利用柯西不等式解方程(特别是无理方程)?????????32 四、利用柯西不等式解方程组????????????????34 五、利用柯西不等式解决三角形问题??????????????35 六、利用柯西不等式求函数的极值??????????????43 (一) 、求无理函数的极值???????????????43 (二) 、求多元函数的条件极值??????????????45

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(三) 、求三角函数的极值???????????????50 (四) 、求函数参数的极值???????????????53 七、用柯西不等式解释样本线性相关系数????????????54 八、用柯西不等式解决解析几何问题??????????????55 (一) 、推导平面内点到直线的距离公式???????????55 (二) 、求曲面上的点到平面的距离极值???????????56 (三) 、求直线与曲线有无交点的条件????????????57 (四) 、求曲线的切线方程和切点坐标????????????59 (五) 、求线段长度的极值????????????????61 (六) 、求曲线内接多边形的面积的极值???????????63 (七) 、求相关参数的取值范围??????????????67 九、用柯西不等式解决立体几何中的最值问题???????????68 十、用柯西不等式解决数列不等式问题?????????????69 十一、用柯西不等式解决向量问题?????????????72 十二、用柯西不等式解决排列组合问题?????????????73 十三、用柯西不等式解决微积分不等式问题???????????75

第八章、 柯西不等式的各种习题???????????????76
一、强化训练题之一??????????????????76 二、强化训练题之二??????????????????82 三、数学竞赛题欣赏??????????????????85 四、数学竞赛中的不等式研究???????????????86

第九章、 妙手荟萃?????????????????????95
4





写此专辑,纯出偶然:2014 年 7 月 2 日(星期三) ,当时教高二数学的李晓仁老师打电 话过来,说他的电脑屏幕出了问题,让我去看看,于是我就去了。很偶然地,在他桌子上看 到一个题目,觉得挺有趣味,也挺有挑战性,就抄下来回家思考,这个题就收录在本专辑的 第 67 页。事后感觉柯西不等式魅力无穷,有进一步学习的必要,于是到网上去查找,然而 结果让人很失望, “珍珠散落一地” ,就萌生了自己写一个的想法,希望能够将柯西不等式的 知识珍珠一线贯穿。只要浏览目录,您就能强烈地感受到:将知识系统化是非常有必要的。

趣题附此:

湖南省沅江市第一中学数学爱好者

王习波写于 2014 年 7 月 6 日

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第一章

柯西不等式的来历

柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。 但从历史的角度讲, 该不等式应当称为 Cauchy-Buniakowsky-Schwarz 不等式 (柯西-布尼亚 科夫斯基-施瓦茨不等式) ,因为,正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之,才将 这一不等式应用到近乎完善的地步。 柯西不等式非常重要,是一条很多场合都用得上的不等式;例如线性代数的矢量,数 学分析的无穷级数和乘积的积分, 和概率论的方差和协方差。 它被认为是最重要的数学不等 式之一。 三位大数学家的全名依次是:奥古斯丁·路易·柯西(Augustin Louis Cauchy) ,赫 尔曼·阿曼杜斯·施瓦茨(Hermann Amandus Schwarz)和维克托·雅科夫列维奇·布尼亚 科夫斯基(В и к т о р Я к о в л е в и ч Б у н я к о в с к и й ) 。

下面重点介绍柯西:

柯西(Cauchy Augustin-Louis,1789-1857) ,法国数学家,8 月 21 日生于巴黎,他 的父亲路易?弗朗索瓦?柯西是法国波旁王朝的官员,在法国动荡的政治漩涡中一直担任公 职。由于家庭的原因,柯西本人属于拥护波旁王朝的正统派,是一位虔诚的天主教徒。 他在纯数学和应用数学方面的功底是相当深厚的,很多数学的定理、公式都以他的名 字来称呼,如柯西不等式、柯西积分公式。在数学写作上,他被认为在数量上仅次于欧拉的 人,他一生一共著作了 789 篇论文和几本书,以《分析教程》 (1821 年)和《关于定积分理 论的报告》 (1827 年)最为著名。不过并不是他所有的创作质量都很高,因此他还曾被人批 评“高产而轻率” ,这点倒是与数学王子高斯相反。据说,法国科学院《会刊》创刊的时候,
6

由于柯西的作品实在太多, 以致于科学院要负担很大的印刷费用, 超出科学院的预算, 因此, 科学院后来规定论文最长的只能够到四页。柯西较长的论文因而只得投稿到其它地方。 柯西在代数学、几何学、误差理论以及天体力学、光学、弹性力学诸方面都有出色的 工作。特别是,他弄清了弹性理论的基本数学结构,为力学奠定了严格的理论基础。

7

第二章 柯西不等式的形象特征
对于一般形式的柯西不等式 ? ai bi ?
i ?1 n

? ai 2 ? bi 2 ,我们先观察它的左边:它表示若干
i ?1 i ?1
n i ?1

n

n

个代数式的和,而每一个代数式又都是两个代数式相乘。因此,凡是形如 ? ai bi 的代数式我

们都可以考虑运用柯西不等式来求其最大值
n n

?a ?b
2 i ?1 i i ?1

n

n

2

i

或其最小值 ?

? a ?b
2 i ?1 i i ?1

n

n

2

i

.

我们再观察柯西不等式的右边: ? ai 2 ? bi 2 ,它表示两个代数式的乘积,而这两个代
i ?1 i ?1

数式又都是若干个代数式的平方和, 因此, 凡是形如 ? ai 2 ? bi 2 的代数式, 或者形如 ? ai 2 或
i ?1 i ?1 i ?1

n

n

n

?a
i ?1

n

2

i

的代数式,我们都可以考虑运用柯西不等式来求其最小值。

8

第三章
一、

柯西不等式的几何意义

一般柯西不等式的空间向量意义

? ? ? ? ? ? . (当且仅当? 是零向量, 或存在实数k , 使? ? k ? 时, 等号成立.)

9

二、

二维柯西不等式的面积意义 我们不妨将 a、b、c、d 都视为正数,这样有:

显然,上下两个大矩形的面积相等,它们中的红色部分的面积也相等,所以剩下的绿 色部分的面积自然也相等,所以有:

ac ? bd ?

a ?b

2

2

?

c ?d

2

2

? sin ? ?

a ?b

2

2

?

c ?d

2

2

也可将上图理解为:作两个同样的矩形,只不过将第二个矩形下边的 b 与 c 对换、右边的 a 与 d 对 换,则四边形 EFGH 变成一个平行四边形。

另:如下图:

S

? ?ACD

1 AC ? AD ? sin ?CAD ? 2

10

三、

二维柯西不等式的三角意义

四、

二维柯西不等式的距离意义

显然,PH≤OP.

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第四章
一、柯西不等式的证明

柯西不等式的证明和推广

对柯西不等式本身的证明涉及有关不等式的一些基本方法和技巧。因此,熟练掌握此不等式的证明对 提高我们解决一些不等式问题和证明其它不等式有很大帮助。本文所说的柯西不等式是指
n n ? n ? 2 2 ? ? ai bi ? ? ? ai ? bi i ?1 i ?1 ? i ?1 ? ?i ?1, 2 , . n . ?. , 2

当且仅当

a a1 a2 ? ? ... ? n 时,等号成立。 b1 b2 bn

证法一、 构造二次函数证明
当 a1 ? a2 ? ? ? an ? 0 或 b1 ? b2 ? ?bn ? 0 时,不等式显然成立 令A?

? ai
i ?1

n

2

B ? ? ai bi C ? ? bi
i ?1 i ?1

n

n

2

,当 a1 , a2 ,?, an 中至少有一个不为零时,可知 A>0

构造二次函数 f ?x ? ? Ax ? 2Bx ? C ,展开得: f ?x ? ?
2 2

? ?a
n i ?1

2

i

x 2 ? 2ai bi x ? bi ? ? ?ai x ? bi ? ? 0 故
2 2 i ?1

?

n

f ?x ? 的判别式 ? ? 4B 2 ? 4 AC ? 0
移项得 AC ? B ,得证。
2

证法二、向量法证明

? ? ? ? ? ? ? ?? 令 ? ? ?a1, a2 ,?, an ? ,? ? ?b1, b2 ,?, bn ? .则对向量 ? , ? 有 ? ? ? cos ? , ? ? 1 ,由 ???

?

?

? ?

2 ?2 n 2 ?2 n 2 ? ? ? n ? ? n 2 ?? n 2 ? ? ? ? ? a1b1 ? a2b2 ? ?? anbn , ? ? ? ai , ? ? ? bi ,得 ? ? ai bi ? ? ? ? ai ?? ? bi ?. 当且仅当 i ?1 i ?1 ? i ?1 ? ? i ?1 ?? i ?1 ? ? ? ? ? cos ? , ? ? 1 ,即 ? , ? 平行时等号成立。

? ?

证法三、 数学归纳法证明
i ) 当 n=1时,有 ?a1b1 ? ? a1 b2 ,不等式成立。
2 2 2

当 n=2时, ?a1b1 ? a2b2 ? ? a1 b1 ? a2 b2 ? 2a1b1a2b2
2 2 2 2 2

?a
2 2

2 1

? a2 b1 ? b2 ? a1 b1 ? a2 b2 ? a1 b2 ? a2 b1
2 2

2

??

2

2

?

2

2

2

2

2

2

2

2

因为 a1 b2 ? a2 b1 ? 2a1b1a2b2 ,故有 ?a1b1 ? a2b2 ? ? a1 ? a2
2 2

?

2

??b

2 1

? b2

2

?

当且仅当 a1b2 ? a2b1 ,即

a1 a 2 ? 时等号成立。 b1 b2

12

ii)假设 n=k 时不等式成立,即

?a1b1 ? a2b2 ??? ak bk ?2 ? ?a12 ? a22 ??? ak 2 ??b12 ? b22 ??? bk 2 ?
a a1 a2 ? ? ? ? k 时等号成立。 b1 b2 bk

当且仅当

那么当 n=k+1时,

?a1b1 ? a2b2 ? ? ? ak bk ? ak ?1bk ?1 ?2 2 2 2 ? ?a1b1 ? a2b2 ? ? ? ak bk ? ? 2ak ?1bk ?1 ?a1b1 ? a2b2 ? ? ? ak bk ? ? ak ?1 bk ?1

? ? ?a ? ?a

? a1 ? a2 ? ? ? ak b1 ? b2 ? ? ? bk ? 2ak ?1bk ?1 ?a1b1 ? a2b2 ? ? ? ak bk ? ? ak ?1 bk ?1
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1

? a2 ? ? ? ak
2

? a2 ? ? ? ak ?1
2

?? ? ??b ? b ? ? ? b ?? a ??b ? b ? ? ? b ?
1 2 k 2 2 2 2 1 2 k ?1

2 2 2

2

1

bk ?1 ? b1 ak ?1 ? ? ? ak bk ?1 ? bk ak ?1 ? ak ?1 bk ?1

2

2

2

2

2

2

2

? a1 ? a2 ??? an b1 ? b2 ??? bn

?

2

2

??

2

2

2

?

当且仅当 a1bk ?1 ? b1ak ?1 , a2bk ?1 ? b2 ak ?1 ,?, ak bk ?1 ? bk ak ?1 时等号成立, 即

a a a1 a2 ? ? ? ? k ? k ?1 时等号成立。 b1 b2 bk bk ?1

于是 n=k+1时不等式成立。 由 i ) ii)可得对于任意的自然数 n,柯西不等式成立。

证法四、 利用恒等式证明
先用数学归纳法证明如下恒等式,然后证明柯西不等式:对于两组实数 a1 , a2 ,?, an ; b1 , b2 ,?, bn 有柯 西—拉格朗日恒等式

?a

2

1

? a2 ? ? ? an b1 ? b2 ? ? ? bn ? ?a1b1 ? a2b2 ? ? ? anbn ?
2 2 2 2 2 2 2 2

??

?

2

? ?a1b2 ? a2b1 ? ? ?a1b3 ? a3b1 ? ? ? ? ?a1bn ? anb1 ? ?

?a2b3 ? a3b2 ?2 ? ? ? ?a2bn ? anb2 ?2 ? ? ? ?an?1bn ? anbn?1 ?2
由实数性质 ? ? 0?? ? R ? 可得柯西不等式成立。
2

证法五、配方法

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以上给出了柯西不等式的几种证法。不难看出柯西不等式的重要性。它的对称和谐的结构、广泛的应 用、简洁明快的解题方法等特点深受人们的喜爱。所以,若将此定理作进一步剖析,归纳它的各类变形, 将会有更多收获。

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二、柯西不等式的推广 推广1、极限式柯西不等式
n n ? n ? 2 若级数 ? ai 与? bi 收敛,则有不等式 ? ? ai bi ? ? ? ai ? bi2 。 i ?1 i ?1 i ?1 i ?1 ? i ?1 ?
n 2 n 2

2

? n ? ? n 2 ?? n ? 证明:? ? a , ? b 收敛, 0 ? ? ? ai bi ? ? ? ? ai ?? ? bi2 ? i ?1 i ?1 ? i ?1 ? ? i ?1 ?? i ?1 ?
n 2 i n 2 i

2

n n n ? ? ? ? ai bi 收敛,且 ? lim ? ai bi ? ? lim ? ai 2 lim ? bi 2 n ?? i ?1 i ?1 ? n?? i ?1 ? n?? i ?1
n

2

n n ? n ? 2 从而有不等式 ? ? ai bi ? ? ? ai ? bi2 成立。 i ?1 i ?1 ? i ?1 ?

2

推广2、积分式柯西不等式(施瓦茨(Schwarz)不等式)
n n ? n ? 2 若级数 ? ai 与? bi 收敛,且对 ?n ? N 有 ? ? ai bi ? ? ? ai ? bi2 ,则对定义在 ?a, b? 上的任意连续 i ?1 i ?1 i ?1 i ?1 ? i ?1 ?
n 2 n 2

2

函数 f ?x ?, g ?x ? 有不等式 ? ?

? ?a

b

b b 2 2 f ?x ?g ?x ?dx ? ? ? ?a f ?x ?dx?a g ?x ?dx ?

2

证明:因为函数 f ?x ?, g ?x ? 在区间 ?a, b? 上连续,所以函数 f ?x ?与g ?x ?、f 将 ?a, b? 区间 n 等分,取每个小区间的左端点为 ? i ,由定积分的定义得:

2

?x?、g 2 ?x?在 ?a, b? 上可积,

? ?

b

a b

f ?x ?dx ? lim ? f ??i ??x, ? g ?x ?dx ? lim ? g ?? i ??x
b n ?? i ?1 a n ?? i ?1

n

n

a

f 2 ?x ?dx ? lim ? f 2 ??i ??x, ? g 2 ?x ?dx ? lim ? g 2 ??i ??x
b n ?? i ?1 a n ?? i ?1

n

n

令 a1 ? f 2 ??1 ?, b1 ? g 2 ??1 ? ,则
2 2
2

? ai 与? bi 收敛,由柯西不等式得
2 2 i ?1 i ?1

n

n

? n ? ? n ?? n ? ? ? f ?? i ?g ?? i ??x ? ? ? ? f 2 ?? i ??x ?? ? g 2 ?? i ??x ?, ? i ?1 ? ? i ?1 ?? i ?1 ?
n n n ? ? ? ?? ? ? lim ? f ?? i ?g ?? i ??x ? ? ? lim ? f 2 ?? i ??x ?? lim ? g 2 ??i ??x ? ? n?? i ?1 ? ? n?? i ?1 ?? n?? i ?1 ? 2

从而有不等式
b b b 2 2 ? ? ?a f ?x ?g ?x ?dx ? ? ? ?a f ?x ?dx?a g ?x ?dx 。 ? ? 2

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推广3、 赫尔德不等式(加权式柯西不等式)
n 1 1 ? n p ? p ? n q ?q 设 a1 ? 0, b1 ? 0, (i ? 1,2,?, n), p ? 0, q ? 0, 满足 ? ? 1, 则: ? ai bi ? ? ? ai ? ? ? bi ? ,等号成 p q i ?1 ? i ?1 ? ? i ?1 ? 1 1

立的充分必要条件是 ai ? ?bi ?i ? 1,2,?, n; ? ? 0?.
p q

证明:首先证明

1 1 1 1 ? ? 1时,对任何正数 A 及 B,有 A p ? B q ? AB . p q p q

对凹函数 f ?x ? ? ln x, 有:

?1 P 1 q? 1 1 1 P 1 q p q ln? ?pA ?qB ? ? ? p ln A ? q ln B ? ln AB ? p A ? q B ? AB. ? ?
令 A?
n

ak ? p? ? ? ai ? ? i ?1 ?
1 p

,B ?
n

bk ? q? ? ? bi ? ? i ?1 ?
n
1 q

, 代 入 以 上 不 等 式 并 对 于 k ? 1,2,?, n , 把 这 n 个 不 等 式 相

? ? ? p q ? ak bk 1 ak 1 b 1 1 加. ? ? ?? ? n k ? ? ? ? 1, 即 1 1 n ?p q p q p q ? k ?1 bi ? ? n p ? p ? n q ? q k ?1 ? ? ai ? ? ? ai ? ? ? bi ? i ?1 ? i ?1 ? ? i ?1 ? ? i ?1 ?
n

a b ? n p ? p ? n q ?q a b ? ? ? ai ? ? ? bi ? 成立。等号成立的充分必要条件是: n i ? n i , 即 ? i i p q i ?1 ? i ?1 ? ? i ?1 ? ? ai ? bi
n
i ?1 i ?1

1

1

p

q

ai ? ?bi ?i ? 1,2,?, n; ? ? 0?.
p q

推广4 、 柯西概率分布式不等式

推广 5、闵可夫斯基(Minkowski)不等式 1、闵科夫斯基不等式的基本形式 若 ai ? 0, bi ? 0, (i ? 1,2,?, n) ,且 p ? 1 ,则:
p ?n ? n p?p ? n p?p p? ( a ? b ) ? ? ? ai ? ? ? ? bi ? . i ?? i ? ? i ?1 ? ? i ?1 ? ? i ?1 ? 1 1 1

(7)

16

证明 令

1 1 p ,由赫尔德不等式有: ? 1 ? ,即 q ? q p p ?1

? a ?a ? b ?
i ?1 i i i 1

n

p ?1

? n ?p ? n ? p ?1?q ? q ? ? ? ai p ? ?? ? ai ? bi ? ? . ? i ?1 ? ? i ?1 ?
1 1 p ?1 p

1

1



n n p ? n p ?p ? n p? ? p ?1?q ? q ? p? ? a a ? b ? a ? ? ? ? ? ? i i i i ? ? ? ? ? ? ? ai ? bi ? ? ? ? i ?1 ? ? i ?1 ? ? i ?1 ? ? i ?1 ?



所以

? n p ?p ? n p ?1 p? a a ? b ? ? i? i i? ? ? ai ? ?? ? ai ? bi ? ? i ?1 ? i ?1 ? ? i ?1 ?
n

1

p ?1 p

.

同理 两式相加得

?b ?a ? b ?
i ?1 i i i

n

p ?1

? n ?p ? n p? ? ? ? ai p ? ?? ? ai ? bi ? ? ? i ?1 ? ? i ?1 ?

1

p ?1 p

.

??a ? b ?
i ?1 i i

n

p

1 1 p ?1 ? n ? n p p ? n p ? ? ? ? ? p , ? ?? ? ai p ? ? ? ? bi p ? ? ?? ? ai ? bi ? ? ?? i ?1 ? ? i ?1 ? ? ? i ?1 ? ? ?

变形得:

p ?n ? n p?p ? n p?p p? ( a ? b ) ? ? ? ai ? ? ? ? bi ? . i ?? i ? ? i ?1 ? ? i ?1 ? ? i ?1 ?

1

1

1

分析知,当且仅当 ai ? ?bi ?i ? 1,2,?, n; ? ? 0? 时等式成立。
p q

2、闵科夫斯基不等式在 Lp 空间的相互关系的基本不等式(积分形式) 设 f , g ? Lp ?a, b? ,那么 f ? g ? Lp ?a, b? ,并且成立不等式 f ? g
p

? f

p

? g

p

.

证明 当 p ? 1 时, f ? t ? ? g ? t ? ? f ? t ? + g ? t ? ,由积分性质可知不等式自然成立。如果
p ? 1 ,因为 f ? g ? Lp ?a, b? ,所以
p

f ? t ? ? g ? t ? q ? Lq ? a, b? ,
由赫尔德不等式,有

? f ?t ? f ?t ? ? g ?t ?
a

b

p q

dt ? f

p

??

b

a

f ?t ? ? g ?t ? dt
p

?.
1 q 1 q

类似对 g 也有

? g ?t ? f ?t ? ? g ?t ?
a

b

p q

dt ? g
b

p

??

b

a

f ? t ? ? g ? t ? dt
p

?.
dt
17

因而

?

b

a

f ? t ? ? g ? t ? dt ? ? f ?t ? ? g ?t ? f ?t ? ? g ?t ?
a

p

p ?1

? ? f ?t ? f ?t ? ? g ?t ? q dt ? ? g ?t ? f ?t ? ? g ?t ? q dt
a a

b

p

b

p

?
b

?

f
p

p

? g

p

?

p ? b ?q f t ? g t dt ? . ? ? ? ? ? ?a ? ?

1

(9)

若 ? f ? t ? ? g ? t ? dt ? 0 ,则 f ? g
a b p a

p

? 0, (8)式显然成立,

若 ? f ? t ? ? g ? t ? dt ? 0 ,则在(9)式两边除以
p q ? b f t ? g t ? ? dt ? ? ?a ? ? ? , ? ? p ? b ? f t ? g t dt ? ? ? ? ? ? ?a ? ? 1? 1 q 1

得到
1 1 ? ? 1 ,得到 p q

? f

p

+ g p.



f ?g

p

p ? b ?p ? ? ? f ? t ? ? g ? t ? dt ? ? f ? a ?

1

p

+ g p.

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第五章 柯西不等式的各种变式
变式一、柯西分数式不等式

变式二、互为倒数的柯西分式不等式

变式三、去分母的柯西分式不等式

变式四、n 个 1 相加的柯西不等式

19

变式五、柯西指数式不等式

变式六、柯西三角形式不等式

等号成立条件:

(即



20

第六章 柯西不等式的运用技巧
在解题的实践活动中,很少能够直接应用柯西不等式,往往要发挥想象力、运用创造力, 借用一句革命口号说:有条件要用;没有条件,创造条件也要用。比如说吧,对 a^2 + b^2 + c^2,并不是不等式的形状,但变成 (1/3) * (1^2 + 1^2 + 1^2) * (a^2 + b^2 + c^2) 就可以用柯西不等式了。常用技巧有四: 一、巧拆常数: 2 2 2 9 ? ? ? 例:设 a 、 b 、 c 为正数且各不相等。求证: a?b b?c c?a a?b?c 分析:我们利用 9 与 2 这两个常数进行巧拆,9= ?1 ? 1 ? 1? ,
2

2?a ? b ? c? ? ?a ? b? ? ?b ? c? ? ?c ? a ?
这样就给我们利用柯西不等式提供了条件。

?a ? b ? c ? ? ? ?

1 1 1 ? ? ? ? ?a ?b b ? c c ? a?

1 1 ? ? 1 ? ??a ? b ? ? ?b ? c ? ? ?c ? a ?? ? ? ? ? ? ?a ?b b ? c c ? a? 2 2 2 ?? ? ? 2 2 2 1 ? 1 ? 1 ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? a?b ? b?c ? c?a ? ?? ? b?c? ?? c?a? ? ? ? ? ?? a?b? 证明:2 ? ? ? ? ? ? ? ? ?

?

? ?

? ?

?

? ?1 ? 1 ? 1? ? 9 2 2 2 9 ? ? ? ? a?b b?c c?a a?b?c ? a,b,c 各不相等, ? 等号不可能成立,从而原不等式成立。 ? 有些问题本身不具备运用柯西不等式的条件,但是我们只要改变一下多项式的形态结 构,认清其内在的结构特征,就可以达到利用柯西不等式解题的目的。下面略举一例加 以说明。
2

? 1 1 1 ? ? ?? a ? b ? ? b ? c ? ? c ? a ? ? ? a ? b b ? c c ? a ? ?

2

例:设 a1 ? a2 ? ? ? an ? an?1 , 求证:
1 1 1 1 ? ??? ? ?0 a1 ? a 2 a 2 ? a3 a n ? a n ?1 a n ?1 ? a1

分析:这道题初看似乎无法使用柯西不等式,但改变其结构,我们不妨改为证:

?a1 ? a n?1 ? ? ?

?

? 1 1 1 ? ??? ? ? 1, a ? a a ? a a ? a 1 2 2 3 n n ? 1 ? ?

证明:为了运用柯西不等式,我们将 a1 ? a n?1 写成
21

a1 ? an?1 ? ?a1 ? a2 ? ? ?a2 ? a3 ? ? ? ? ?an ? an?1 ? 于是

??a1 ? a 2 ? ? ?a 2 ? a3 ? ? ? ? ?a n ? a n?1 ?? ? ? ?
? n 2 ? 1.

?

? 1 1 1 ? ? ??? a n ? a n ?1 ? ? a1 ? a 2 a 2 ? a3 ?



?a1 ? a n ?1 ? ? ? ?

?

? 1 1 1 ? ?1 ? ??? a n ? a n ?1 ? ? a1 ? a 2 a 2 ? a 3 ?

?

1 1 1 1 ? ??? ? , a1 ? a 2 a 2 ? a 3 a n ? a n ?1 a1 ? a n ?1



1 1 1 1 ? ??? ? ? 0. a1 ? a 2 a 2 ? a3 a n ? a n ?1 a n ?1 ? a1

我们进一步观察柯西不等式,可以发现其特点是:不等式左边是两个因式这和,其中每 一个因式都是项平方和,右边是左边中对立的两两乘积之和的平方,证题时,只要能将原题 凑成此种形式,就可以引用柯西不等式来证明。
2 ? 例:求证: x12 ? x 2 2 y12 ? y 2 ?

?x1 ? y1 ?2 ? ?x 2 ? y 2 ?2 .

证明:?

?x

2 1

2 ? x2 ?

2 y12 ? y 2

? ? ?x
2

2 1

2 2 2 2 ? x2 ? y12 ? y 2 ? 2 x12 ? x 2 ? y12 ? y 2

? ?

?

?

? ?

?

由柯西不等式得

?x
?
?

2 1

2 2 ? x2 ? y12 ? y2 ? ?x1 y1 ? x2 y2 ?

? ?

?

2

其中等号当且仅当 x1 ? ky1 , x 2 ? ky2 时成立。

?x

2 1

2 2 ? x2 y12 ? y 2 ? x1 y1 ? x 2 y 2
2 2 y1 ? y2 2

??

?

?

2 2 x1 ? x2 ? 2

?

2

2 2 2 2 ? x1 ? x2 ? y1 ? y2 ? 2? x1 y1 ? x 2 y 2 ?

?

? ?

?

? ? x1 ? y1 ? ? ? x 2 ? y 2 ? ?
2 2 x1 ? x2 ?

2 2 y1 ? y2 ?

?x1 ? y1 ?2

? ?x2 ? y 2 ? .
2

其中等号当且仅当 x1 ? ky1

, x 2 ? ky2 时成立。

22

二、重新安排某些项的次序: 例: a 、 b 为非负数, a + b =1, x1 , x2 ? R ? 求证: (ax1 ? bx2 )(bx1 ? ax2 ) ? x1 x2 分析:如果对不等式左端用柯西不等式,就得不到所要证明的结论。若把第二个小括 号内的前后项对调一下,情况就不同了。 证明: ?ax1 ? bx2 ? ? ?bx1 ? ax2 ? = ?ax1 ? bx2 ? ? ?ax2 ? bx1 ?
? a x1 x 2 ? b x1 x 2

?

?

2

= ?a ? b? x1 x2 ? x1 x2
2



例、设 x1 , x2 , ?, xn ? R ? , 求证:
2 x12 x x xn ? ??? ? ? x1 ? x2 ? ? ? x n x 2 x3 x n x1

(1984 年全国高中数学联赛题) 证明:在不等式的左端嵌乘以因式 ?x2 ? x3 ? ? ? xn ? x1 ? ,也即嵌以因式

?x1 ? x2 ? ? ? xn ? ,由柯西不等式,得
?
2 x12 x x xn ? ??? ? x 2 x3 x n x1

? ? ( x2 ? x3 ? ? ? xn ? x1 )

2 2 2 2 ?? ? ? ? ? ? ? ? ? x x x x n ?1 ? n ? ? 1 ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? x ? ? x ? ? ?? x 2 ? ? x3 ? ? ? ? ? n? ? 1? ? ?? 2 2 2 2 ? ? x 2 ? x3 ? ? ? x n ? x1 ? ? ? ? ? ? x ? x x x ? ? 1 ? x 2 ? 2 ? x3 ? ? ? n ?1 ? x n ? n ? x1 ? ? x ? x3 xn x1 ? 2 ?

? ? ? ?

? ? ? ?

? ?x1 ? x 2 ? ? ? x n ? ,
2

2 x12 x x xn 于是 ? ??? ? ? x1 ? x2 ? ? ? x n . x 2 x3 x n x1

23

三、改变结构: 例、若 a > b > c 求证:
1 1 4 ? ? a?b b?c a?c

证明:可将其结构变为(

1 1 ? )(a ? c) ?4 a ?b b?c

1 1 即[(a ? b)+(b-c)]( ? ) ?( a ?b b ?c

1 1 a ?b ? ? b ?c ? ) a ?b b?c

2

?4

例:设非负实数 ? 1 , ? 2 ? ? ? ? n 满足 ?1 ?? 2? ? ? ? ?? n ? 1, 求

?1
1? ?2 ? ??? ? ?n

_?

?n ?2 的最小值。 (1982 年西德数 ? 1 ? ? 1` ? ? 3 ? ? ? ?? n 1 ? ? 1 ? ? 2 ? ? n ?1

学奥林匹克度题) 解:易验证

?1
1??2 ? ??? ??n
同理可得

+1=

1 ? (? 1 ? ? 2 ? ? ? ?? n ) 2 ? 2 ? ?1 2 ? ?1

?n ?1 2 2 +1= +1= ,? ? ?, 2 ??2 2 ??n 1 ? ?1 ? ? 3 ? ? ? ? ? ? n 1 ? ? 2 ? ? ? ? ? ? n ?1
令y?

?1
1? ?2 ? ??? ??n

_?

?n ?2 ? 1 ? ? 1` ? ? 3 ? ? ? ?? n 1 ? ? 1 ? ? 2 ? ? n?1

故y?n?

2 2 2 +??? ? ? 2 ? ?1 2 ? ? 2 2 ??n

为了利用柯西不等式,注意到

(2 ? a1 ) ? (2 ? a2 ) ? ? ? ? ? (2 ? an ) ? 2n ? (a1 ? a2 ? ? ? ? ? an ) ? 2n ? 1,

? (2n ? 1) (

1 1 1 +??? ? ? ) 2 ? ?1 2 ? ? 2 2 ??n 1 1 1 +??? ? ? ) 2 ? ?1 2 ? ? 2 2 ??n

= ?(2 ? a1 ) ? (2 ? a2 ) ? ? ? ? ? (2 ? an )? ? (

? 1 1 1 ? ? 2 ? a1 ? ? 2 ? a2 ? ? ? ? ? ? 2 ? an ? 2 ? a1 2 ? a2 2 ? an ? ? 2n 2 2n 2 n ? y ? n ?? ,y? ?n? . 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1

? 2 ? ?n ? ?

2

24

等号当且公当 a1 ? a 2 ? ? ? ? ? a n ?

1 n 时成立,从而 y 有最小值 n 2n ? 1
n

例: 设 x1 , x2 ,? ? ?, xn 都是正数, n ? 2, 且 ? xi ? 1, 求证:
i ?1

?
i ?1

n

xi 1 ? xi

?

?x
i ?1

n

i

n ?1

. (1989 年全国数学冬令营试题)

证明:令 yi ? 1 ? xi (i ? 1,2,? ? ?n), 由柯西不等式,得
(? xi ) 2 ? n ? ? xi ? n,
i ?1 i ?1 n n n n



?
i ?1

n

xi ? n .
n

同理,得 (? y i ) 2 ? n ? ? y i ? n ? ? (1 ? xi ) ? n(n ? 1),
i ?1 i ?1 i ?1



?y
i ?1

n

i

? n(n ? 1) .

又由柯西不等式,得

?
i ?1
n

n

yi ? ?
i ?1

n

1 yi

? (? 4 y i ?
i ?1

n

1
4

yi

)2 ? n2

故?
i ?1

1 yi

? n2 ?

1

?y
i ?1

n

?
i

n2 n(n ? 1)

,

从而

?
i ?1

n

xi 1 ? xi n n n ?1 n n ?1

??
i ?1

n

1 ? yi yi

??
i ?1

n

1 yi

? ? yi
i ?1

n

?

? n(n ? 1)

?

?

?
i ?1

n

xi .

n ?1

25

四、添项: 例: a, b, c ? R ? 求证:
a b c 3 ? ? ? b?c c?a a?b 2

分析:左端变形

a b c 1 1 ? ? 1 ?1? ?1? ? 1 ? ?a ? b ? c ?? ? ? ? ,这样左边的三 b?c c?a a?b ?b?c c?a a?b?

个式子的分子就一个样子了。 9 ? 只需证此式 ? 即可。 2

26

五、数形结合

27

第七章

柯西不等式的应用范围

我们知道,柯西不等式在数学的各个分支里都有着极其广泛的应用,它在不同的领域有 着不同的表现形式, 对它的应用可谓灵活多样。 柯西不等式在初等数学和高等数学中有着不 菲的价值,它的应用充分体现了数学各领域间的内通性、渗透性和统一性。 一、利用柯西不等式直接证明不等式 柯西不等式可以直接运用到其他不等式的证明中,运用柯西不等式证明其他不等式的关 键是构造两组数,并按照柯西不等式的形式进行探索。

1x ? 2 x ? ? ? ?n ? 1? ? anx 例 1:设定义在 R 上的函数 f ?x ? ? lg ,若 o ? a ? 1, n ? N , 且 n ? 2, 求 n
x

证: f ?2 x ? ? 2 f ?x ? . 分析:要证明 f ?2 x ? ? 2 f ?x ? ,即证:

12 x ? 22 x ? ? ? ?n ? 1? ? an2 x 1x ? 2 x ? ? ? ?n ? 1? ? anx lg ? 2 lg n n
2x x

12 x ? 22 x ? ? ? ?n ? 1? ? an2 x 1x ? 2 x ? ? ? ?n ? 1? ? anx 只需证: ?2 n n
2x x

证明:

? n 12 x ? 22 x ? ? ? ?n ? 1? ? an2 x ? 12 ? 12 ? ? ? 12 12 x ? 22 x ? ? ? ?n ? 1? ? an2 x ?
2x 2x

?1 ? 2
x

?

x

? ? ? ?n ? 1? ? a n x
x

???
2 1

? ?

??

?

又因 0 ? a ? 1, n ? N , 且 n ? 2, 故 ?1? ? 1x ? 2 x ? ? ? ?n ? 1?x ? anx
2x x 12 x ? 22 x ? ? ? ?n ? 1? ? an2 x ?1x ? 2 x ? ? ? ?n ? 1? ? anx ? ? ?? ? n n ? ? 2

?

?

2

即 lg

12 x ? 22 x ? ? ? ?n ? 1? ? an2 x 1x ? 2 x ? ? ? ?n ? 1? ? anx ? 2 lg n n
2x x

? f ?2 x ? ? 2 f ?x ?

例 2 :已知 a1 , a2 ,?, an 为互不相等的正整数,求证:对于任意的正整数 n ,有不等式
a1 ? a a2 1 1 ?? ? n ? 1? ?? ? 。 2 2 2 n 2 n

证明:由柯西不等式得:

28

2 a a1 1 a 1? ? 1 1 ? ? 1 ? ? ? 2? ?? ? n ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? n? ? 1 2 n a a a ? 2 1 2 n ? ?

2

a ?? 1 1 1? ? a1 a2 ? ? ?? ? ? ?? 2 ? 2 ?? ? n 2 ?? n ?? a1 a2 an ? ?1 2 ?

1 1 1? ?? ? an ? 1 a1 a2 1? 2 n 。 于是 2 ? 2 ? ? ? 2 ? ?1 ? ? ? ? ? 1 1 1 2 n ? 2 n ? ? ?? ? 1 a1 a2 an
又因为 a1 , a2 ,?, an 为互不相等的正整数,故其中最小的数不小于1,次小的数不小于2,最大

1 1 1? ?? ? 2 n ?1。 的不小于你,这样就有 1 1 1 ? ?? ? a1 a2 an

1 1 1? ??? 1? ? 1 2 n ? 1? 1 ?? ? 1 。 所以有 ?1 ? ? ? ? ? n ? 1 ? 1 ?? 1 2 n ? 2 a1 a2 an 1 1 1? ?? ? a ? 1 a1 a2 1? 2 n 因为 2 ? 2 ?? ? n ? ?1 ? ? ? ? ? 2 1 2 n ? 2 n ? 1 ? 1 ?? ? 1 a1 a2 an 1 1 1? ?? ? 1? ? 1 2 n ? 1? 1 ?? ? 1 而 ?1 ? ? ? ? ? n ? 1 ? 1 ?? ? 1 2 n ? 2 a1 a2 an
所以有 a1 ?
a a2 1 1 ?? ? n ? 1? ?? ? 。 2 2 2 n 2 n

n ? n 2? 2 ? 例 3:设 ai ? 0?i ? 1,2?, n?, 则证明: ? ? ? ? a j ? ? ai ? n ? 1?a1 ? a2 ? ? ? an ? i ?1 ? j ?1 ?

证明:由柯西不等式,对于任意的 n 个实数 x1 , x2 ,?, xn , 有

?x

2 1

? x2 ??? xn 12 ?12 ???12 ? ?x1 ? x2 ??? xn ?
2 2
2 2 2 2 ? x1 ? x2 ? ? ? xn ? ?

??

?

2

即 x1 ? x2 ? ? ? xn

n

29

于是 ?
i ?1

n

n ?? n ? ? n 2? ? ? ? a j ? ? ai 2 ? ? ?? ? a j 2 ? ? ai ? / ?n ? 1? ? ? ? ? i ?1 ? ? ? j ?1 ? ? ?? j ?1 ?

2

=

n ?? n n ? ? 1 1 ? ? ? ? a ? a ? n ? 1 ai ? n ? 1?a1 ? a2 ? ? ? an ? 。 ? ? ? ?? ? j? i n ? 1 i ?1 ? n ?1 i ?1 ?? j ?1 ? ? ?

30

二、利用柯西不等式证明恒等式

31

三、利用柯西不等式解方程(特别是无理方程)

? x2 ? y 2 ? z 2 例 在实数集内解方程 ? ?? 8x ? 6 y ? 24z ? 39
解:由柯西不等式,得

?x

2

? y 2 ? z 2 ?? 8? ? 62 ? ?? 24? ? ?? 8x ? 6 y ? 24z ?
2 2

??

?

2

(1)

? x 2 ? y 2 ? z 2 ?? 8? ? 6 2 ? ?? 24 ? ?
2 2

?

??

?

9 ? ?64 ? 36 ? 576 ? ? 39 2 4

又 ?? 8x ? 6 y ? 24z ? ? 392
2

即 x2 ? y 2 ? z 2 ?? 8? ? 62 ? ?? 24? ? ?? 8x ? 6 y ? 24z ?
2 2

?

??

?

2

即(1)式取等号。 由柯西不等式取等号的条件有
x y z ? ? ? 8 6 ? 24

(2)
6 9 18 ,y ? ,z ? ? 。 13 26 13

(2)式与 ? 8x ? 6 y ? 24z ? 39 联立,则有 x ? ?

32

33

四、利用柯西不等式解方程组

34

五、

利用柯西不等式解决三角形问题

35

36

37

另证:

同样是运用柯西不等式,水平又有高下之分,上面便是明证。

38

39

40

例 在 ?ABC 中 ,求证:

sin A ? sin B ? 5 sin C ?

198 ? 2 201( 201 ? 3) 40

证明:? sin A ? sin B ? 5 sin C

A? B A?B C C cos ? 10 sin cos 2 2 2 2 C A? B C ? 2 cos (cos ? 5 sin ) 2 2 2 C C ? 2 cos (1 ? 5 sin ). 2 2 ? 2 sin
当且仅当 A=B 时等号成立。 令 y ? cos x(1 ? 5 sin x)( 0 ? x ?

?
2

) ,于是引进参 t ? 0, 求

y 2 cos2 x(1 ? 5 sin x) 2 的最值。
由柯西不等式,
2

y ? cos x?1 ? 5 sin x ?
2 2

2

?1 ? ? 25 cos x? ? sin x ? ?5 ?
2

cos2 x ? 1 ? = 25 ? ? ? t sin x ? 2 t ?5 ?

2

41

2 ? 2 cos 2 x ?? 1 ? 2 2 ? 25 ? ? t ? ? ? ? t ? sin x 2 t ?? 5 ? ? ? ?

?

?

?

25t 2 ? 1 cos 2 x t 2 ? sin 2 x . 2 t

?

?

又由平均值不等式 ab ?

?a ? b?2 , 得
4
x? ? ? ?
2

25t 2 ? 1 ? cos2 x ? t 2 ? sin 2 ? y ? ? 2 t2 ?
2

?25t =

2

?1 t2 ?1 . 4t 2

??

?

2

(1)

当且仅当 cos2 x = t 2 ? sin 2 x 时等号成立。

42

六、

利用柯西不等式求函数的极值

(一) 、求无理函数的极值

43

44

(二) 、求多元函数的条件极值

45

46

47

48

例 :已知实数 a,b,c,d 满足 a+b+c+d=3, a 2 ? 2b2 ? 3c 2 ? 6d 2 ? 5 试求 a 的最值
?1 1 1? 2 解:由柯西不等式得,有 2b 2 ? 3c 2 ? 6d 2 ? ? ? ? ? ?b ? c ? d ? 2 3 6 ? ?

?

?

即 2b2 ? 3c2 ? 6d 2 ? ?b ? c ? d ? 由条件可得, 5 ? a 2 ? ?3 ? a?
2

2

解得, 1 ? a ? 2 当且仅当

2b 3c 6d 时等号成立, ? ? 1 1 1 2 3 6

1 1 代入 b ? 1, c ? , d ? 时, amax ? 2 3 6 2 1 b ? 1, c ? , d ? 时, amin ? 1 3 3

49

(三) 、求三角函数的极值 例:已知 a,b 为正常数,且 0<x< 解:利用柯西不等式,得
3

? a b ? ,求 y ? 的最小值。 sin x cos x 2

a2 ? 3 b2 ?

?

?

?a
3

2

? 3 b 2 sin 2 x ? cos2 x

3

a sin x ? 3 b cos x

?

??

?
时;
3

2

等号成立的当且仅当 sin x 3 即 再由柯西不等式,得
3

a

? cos x 3

b

a 3g x?a rct b
b ? ? a a2 ? 3 b2 ? ? ? x cox s? ?s i n
3

时,于是

a 2 ? 3 b 2 ? 3 a sin x ? 3 b cos x

??
??

b ? ? a ? as i n x?3 bc o x s ? ? x cox s? ?s i n
6

?

a s in x
2

a b ?6 b cos x s in x cos x

?2

2 ? 2 ? 3 ? ? ?a ? b3 ? ? . ? ?
3

等号成立也是当且仅当 x ? arctg3

a 时。 b

2 2 ? 2 ? a b 3 3 ? ?? a ? b ? 从而 y ? ? . sin x cos x ? ? ?

2 2 ? 2 ? a b 3 a ? b3 ? ? 于是 y ? 的最小值是 ? ? ? . sin x cos x ? ?

3

另请参见 62 页的解法。 例 :求函数 y ? a sin x ? b cos x 的极值,其中 a,b 是常数。 解:由柯西不等式: y 2 ? ?a sin x ? b cos x? ? a2 ? b2 sin 2 x ? cos2 x ? a2 ? b2
2

?

??

?

故有 ? a 2 ? b 2 ? y ? a 2 ? b 2 。当且仅当

sin x cos x a ? 时,即 x ? arctan ? k? ?k ? Z ? 时, a b b

函数 y ? a sin x ? b cos x 有极小值 ? a 2 ? b2 ,极大值 a 2 ? b2 。
p q ? ?? ? 例:设 p、q ? R,x ? ? 0, ? ,求函数 f ? x ? ? 的最小值。 sin x cos x ? 2?

50

解 取? ?

5 1 1 , ? ? 5 ,于是, ? ? 1 .由赫尔德不等式(2)有: 4 ? ?

p ?q ?

4 5

4 5

p

4 5

1 q ? ? p 2 2 ?? ? sin x ? cos x ?5 , ? ? cos x ? ? sin x

? sin x ? 5

sin x ? 2 ?
4 5

2 5

?

q

4 5

? cos x ? 5

cos x ? 5 2 ?

2

p 2 2 5 ? ? ? ? sin x p p q , tan x ? ? ? 时,等号 所以, f ? x ? ? ? ? ? p ? q ? .当且仅当 sin x ? q cos 2 x sin x cos x ? ?q? ? cos x
4 5 4 5 5 4 4 4 4 ? 5 ? 5 成立。所以, f ? x ? 的最小值是 ? p ? q ? . ? ? 5

另解:由柯西不等式得:
(

pm ? qn )
np . mq

2

p q p q ?( ? )(m sin x ? n cos x ), 当且仅当 sin x = cos x 时等号成立。故 sin x cos x m sin x n cos x

tan x ?

m n 又(m sin x ? n cos x ) ? ( ?a sin x ? ?b cos x ) ? ( m ? n )(a sin x ? b cos x) a b a b ? ( m ? n ) a ? b ? (sin x) ? (cos x) ? ( m ? n ) a ? b a b a b 2 2 2 sin x cos x 当且仅当 tan x ? a 2 , a 2 ? b 2 时,即 tan x ? b m ? a 时等号成立。 an b b m2 n2 a b
2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4 4 2 2 4 4 2 2 2 2

2

4

2

2

4

2

2

3 m 4 4 4 m p 5 故 ? a3 , tan x ? ( ) ,且 m sin x ? n cos x ? ,从而 ( m ) ? np ,即 m =( ) (m 3 ? n 3 ) n b mq n

3

2 3

3

2

3

n

n

q

令 m=p , n=q 立。

3 5

3 5

4 4 ? 4 ? ? p ?5 p q ,得 f ? x ? ? ? ? ? p 5 ? q 5 ? ,当且仅当 tan x ? ? ? 时,等号成 sin x cos x ? ?q? ?

5

2

51

52

(四) 、求函数参数的极值 例:已知对于满足等式 x 2 ? 3 y 2 ? 3 的任意实数,对 ?x, y ? 恒有 ax ? y ? 2, 求实数 a 的取值范 围。 解:? ax ? y ? ax ?

1 1 ? 3 y ? a 2 ? ? x 2 ? 3 y 2 ? 3a 2 ? 1 3 3

? 要使对 ?x, y ? 恒有 ax ? y ? 2 ? ax ? y max ? 2
即 3a 2 ? 1 ? 2 ? ?1 ? a ? 1

53

七、用柯西不等式解释样本线性相关系数 在《概率论与数理统计》一书中,在线性回归中,有样本相关系数

r?

? ?x ? x ?? y ? y ?
i ?1 i i

n

? ?x ? x ? ? ? y ? y ?
2 i ?1 i i ?1 i

n

n

,并指出 r ? 1 且 r 越接近于1,相关程度越大; r 越接近于0,

2

则相关程度越小。现在可用柯西不等式解释样本线性相关系数。 记 ai ? xi ? x , bi ? yi ? y ,则 r ?

?a b
i ?1 n 2 n i ?1 i

n

i i

,由柯西不等式有 r ? 1
2 i

? a ?b
i ?1
2 i

当 r ? 1时, ? ?ai bi ? ? ? ai
2 i ?1 i ?1

n

n

2

?b
i ?1

n

此时,

yi ? y bi ? ? k ,k 为常数。 xi ? x ai

点 ?xi , yi ? i ? 1,2,?n 均在直线 y ? y ? k ?x ? x ? 上,当 r ? 1 时,
2 2 2 ? ?aibi ? ? ? ai ? bi i ?1 i ?1 i ?1 n n n

即 ? ?ai bi ? ? ? ai
2 i ?1 i ?1

n

n

2

?b
i ?1

n

2

i

?0

而 ? ?ai bi ? ? ? ai
2 i ?1 i ?1

n

n

2

?b
i ?1

n

2

i

??

1?i ? j ? n

? ?a b
i

j

? a j bi ?

2

1?i ? j ? n

? ?a b
i

j

? a j bi ? ? 0 ? ai b j ? a j bi ? 0 ?
2

y ? y bi bi ? ? k ,k 为常数 ? k , k为常数。 i xi ? x ai ai

点 ?xi , yi ? 均在直线 y ? y ? k ?x ? x ? 附近,所以 r 越接近于1,相关程度越大;当 r ? 0 时,

?ai , bi ? 不具备上述特征,从而找不到合适的常数 k 使点 ?xi , yi ? 都在直线 y ? y ? k ?x ? x ? 附近。
所以 r 越接近于0,则相关程度越小。

54

八、用柯西不等式解决解析几何问题 (一) 、推导平面内点到直线的距离公式

55

(二) 、求曲面上的点到平面的距离的极值

56

(三) 、求直线与曲线有无交点的条件

57

58

(四) 、求曲线的切线方程和切点坐标

59

60

(五) 、求线段长度的极值

61

此题与前面求 50 页 y ?

a b ? 的极值的本质一样。 sin x cos x

62

(六) 、求曲线内接多边形的面积

63

64

65

66

(七) 、求相关参数的取值范围

67

68

九、用柯西不等式解决立体几何中的最值问题

69

十、用柯西不等式解决数列不等式问题

70

71

十一、用柯西不等式解决向量问题 例: 设a ? (1,0, ?2), b ? ( x, y, z), 若x ? y ? z ? 16, 则a ? b的最小值和最大值分别是多少?
2 2 2

解:因为 a ? (1,0, ?2), b ? ( x, y, z) ,所以 a ? b=x ? 2 z . 由柯西不等式得: ( x ? y ? z )[1 ? 0 ? (?2) ] ? [ x?1? y?0? z ?(?2)] ? ( x ?2z) .
2 2 2 2 2 2 2 2

所以 16 ? 5 ? ( x ?2 z) ,所以 ?4 5 ? x ? 2 z ? 4 5 ,所以 ?4 5 ? a ? b ? 4 5
2

72

十二、用柯西不等式解决排列组合问题 例:将 1650 个学生排成 22 行,75 列的方阵,已知任意给定的两列处于同一行的两个人中, 性别相同的学生不超过 11 对。证明:男生的人数不超过 928. 证明:设第 i 行的男生人数为 x i ,则此行的女生数为 75? xi ,依题意,得:

? (C x ? C 75? x ) ? 11? C
2 2 i ?1
i i

22

2 75

于是: ? ( xi ? 75 x i ) ? ?30525 ,
2 i ?1

22

即 ? (2 x i ?75) ? 1650.
2 i ?1

22

由柯西不等式得: 2 22

[ ? (2xi ?75)]
i ?1
22

? 22 ? ? (2xi ?75) ? 22 ?1650 ? 36300
2 i ?1

22

所以 ? (2 x i ? 75) ? 36300 ? 190.53 ? 191
i ?1

所以 ? x i ?
i ?1

22

191 ? 1650 ? 920.5 ? 921 2

故男生的人数不超过 928.准确地说,男生或女生的人数均不超过 921 人。 例:设 Oxyz 是空间直角坐标系,S 是空间中一个有限点集, S x, S y, S z 分别是 S 中所有点 在 Oyz 平面,Ozx 平面和 Oxy 平面上的正投影所形成的集合。求证:

S

2

?

S

x

? Sy ? Sz

证明: 设共有 n 个平行于 Oxy 平面的平面上有 S 中的点, 这些平面分别记为 M 1, M 2,..., M n,
1? i ? n , 对于平面 M i , 设它与 Oyz 平面, Ozx 平面分别交于直线 l y, l z , , 并设 M i 上有 m i

个 S 中的点。显然, m i ?

S

Z

.

设 M i 上的点在 l y , l z 上的正投影的集合分别为 Ai和Bi ,记 a i ?

A

i

, bi ?

B

i

,则有

mi ? aibi ,以因为 ? a i ?
i ?1

n

S y , ? bi ?
i ?1

n

S x , ? mi ? S , 从而由柯西不等式得:
i ?1

n

73

S

x

?

S

y

?

S

z

? (? a i )(?bi) ? S z ? ( ? i ?1 i ?1 i ?1

n

n

n

2

aibi ) ? S

z

? (? i ?1

n

2

aibi S z ) ? ( ? mi)
i ?1

n

2

?

S

2

证毕。

74

十三、用柯西不等式解决微积分不等式问题
b 例 设 f ? x ? 在 [a, b] 上连续,且 f ( x) ? 0, ?a f ( x)dx ? 1, 试证:

(?a f ( x)sin ? xdx)2 ? (?a f ( x)cos ? xdx)2 ? 1
b b

证明 由施瓦茨不等式有:
2 (?a ( f x) sin ? xdx) ? (?a b b

f ( x) ? f ( x) sin ? xdx)2
b

? ?a f ( x)dx ? ?a f ( x)sin2 ? xdx
b

? ?a f ( x)sin2 ? xdx
b

同理有:
2 (?a f ( x)cos ? xdx) ? ?a f ( x)cos2 ? xdx b b b b b b 2 则 (?a f ( x)sin ? xdx) ? (?a f ( x)cos ? xdx)2 ? ?a f ( x)sin 2 ? xdx ? ?a f ( x)cos2 ? xdx

? ?a f ( x)(sin2 ? x ? cos2 ? x)dx
b

? ?a f ( x)dx
b

?1.

75

第八章

柯西不等式的各种习题

一、强化训练题之一
? ? ? ? ? 【1】 、设 a ? (?2,1,2), b ? 6 ,则 a ? b 之最小值为________;此时 b ? ________。 ? ? ? ? ? ? ? ? 答案:?18; (4,?2,?4) 解析: a ? b ? a b ∴ a ? b ? 18 ∴ ? 18 ? a ? b ? 18 ? ? ? ? a ? b 之最小值为?18,此时 b ? ?2a ? (4,?2,?4) ? ? ? ? 【2】 设 a ? (1,0,? 2), b ? (x,y,z),若 x2 ? y2 ? z2 ? 16,则 a b 的最大值为
【解】 ∵



? ? a ? (1,0,? 2), b ? (x,y,z) ∴

? ? a . b ? x ? 2z

由柯西不等式[12 ? 0 ? (? 2)2](x2 ? y2 ? z2) ? (x ? 0 ? 2z)2 ? ? 5 ? 16 ? (x ? 2z)2 ? ? 4 5 ? x ? 4 5 ? 4 5 ? a . b ? 4 5 ,故 a . b 的最大值为 4 5

?

?

?

?

【3】空间二向量 a ? (1, 2,3) ,b ? ( x, y, z) ,已知 b ? Ans:(1) 28:(2) (2,4,6) 【4】设 a、b、c 为正数,求 (a ? b ? c)( ?

56 ,则(1) a ? b 的最大值为多少?(2)此时 b ? ?

4 a

9 36 ? ) 的最小值。Ans:121 b c

【5】. 设 x,y,z ? R,且满足 x2 ? y2 ? z2 ? 5,则 x ? 2y ? 3z 之最大值为
解(x ? 2y ? 3z)2 ? (x2 ? y2 ? z2)(12 ? 22 ? 32) ? 5.14 ? 70 ∴ x ? 2y ? 3z 最大值为

70
时,(x,y,z) ?

【6】 设 x,y,z ? R,若 x2 ? y2 ? z2 ? 4,则 x ? 2y ? 2z 之最小值为 解(x ? 2y ? 2z)2 ? (x2 ? y2 ? z2)[12 ? ( ? 2) 2 ? 22] ? 4.9 ? 36 ∴ x ? 2y ? 2z 最小值为 ? 6,公式法求 (x,y,z) 此时

x y z ?6 ?2 ? ? ? 2 ? 2 2 1 ? 2 2 2 ? (? 2) ? 2 3



x?

?2 4 ?4 ,y ? ,z ? 3 3 3
2 2 2

【7】设 x, y, z ? R , x ? y ? z ? 25 ,试求 x ? 2 y ? 2 z 的最大值 M 与最小值 m。 Ans: M ? 15; m ? ?15

【8】 、设 x, y, z ?R, x 2 ? y 2 ? z 2 ? 25 ,试求 x ? 2 y ? 2 z 的最大值与最小值。
答:根据柯西不等式

(1? x ? 2 ? y ? 2 ? z) 2 ? [12 ? (?2) 2 ? 2 2 ](x 2 ? y 2 ? z 2 ) 2 即 ( x ? 2 y ? 2 z) ? 9 ? 25
76

而有 ? 15 ? x ? 2 y ? 2 z ? 15 故 x ? 2 y ? 2 z 的最大值为 15,最小值为–15。

【9】 、设 x, y, z ?R, 2 x ? y ? 2 z ? 6 ,试求 x 2 ? y 2 ? z 2 之最小值。
答案:考虑以下两组向量

u = ( 2, –1, –2)

? ? ?2 ?2 v =( x, y, z ) 根据柯西不等式 (u ? v ) 2 ? u ? v ,就有

[2x ? (?1) y ? (?2) z]2 ? [2 2 ? (?1) 2 ? (?2) 2 ](x 2 ? y 2 ? z 2 ) 即 得 36 ? 9( x 2 ? y 2 ? z 2 ) 而有 (2x ? y ? 2z) 2 ? 9( x 2 ? y 2 ? z 2 ) 将 2 x ? y ? 2 z ? 6 代入其中, x 2 ? y 2 ? z 2 ? 4 故 x 2 ? y 2 ? z 2 之最小值为 4。
【10】设 x, y, z ? R , 2 x ? y ? 2 z ? 6 ,求 x2 ? y 2 ? z 2 的最小值 m,并求此时 x、y、z 之值。 Ans: m ? 4; ( x, y, z ) ? ( ,?

4 3

2 4 ,? ) 3 3

【11】 设 x,y,z ? R,2x ? 2y ? z ? 8 ? 0,则(x ? 1)2 ? (y ? 2)2 ? (z ? 3)2 之最小值为 解: 2x ? 2y ? z ? 8 ? 0 ? 考虑以下两组向量 2(x ? 1) ? 2(y ? 2) ? (z ? 3) ? ? 9, , v =( , ,
2 ) (u ? v ) ? u ? v

u =(

,

,

)

? ?

?2 ?2

[2(x ? 1) ? 2(y ? 2) ? (z ? 3)]2 ? [(x ? 1)2 ? (y ? 2) 2 ? (z ? 3) 2].(22 ? 22 ? 12) ? (x ? 1) ? (y ? 2) ? (z ? 3) ?
2 2 2

( ? 9) 2 9

?9

2 2 2 【12】 设 x, y, z ? R, 若 2x ? 3 y ? z ? 3 , 则 x ? ( y ? 1) ? z 之最小值为________, 又此时 y ? ________。

解: 2 x ? 3 y ? z ? 3 考虑以下两组向量 u =( , ,
2 2

? 2x ? 3(y ? 1) ? z ?( ) , v =(
2 2 2

), , )
2 2 2 2

,
2

解析: [ x ? ( y ? 1) ? z ][ 2 ? (?3) ? 1 ] ? (2 x ? 3 y ? 3 ? z ) [ x ? ( y ? 1) ? z ] ?

36 14

∴最小值

18 7 x y ?1 z ? ? t? , 2 ? 3 1 3 2 ∴t ? ∴y?? 7 7

2 x

?3 y

? z

? 3 , ? 2t ( 2 ?) t ? 3 ( ?3 t ?1 ) ?

3

【13】 设 a,b,c 均为正数且 a ? b ? c ? 9,则

4 9 16 ? ? 之最小值为 a b c

解:考虑以下两组向量 u =( , ,

)

, v =(

,

,

)

? ? ?2 ?2 (u ? v ) 2 ? u ? v

(

4 9 16 2 3 4 ? a? ? b? ? c ) 2 ? ( ? ? )(a ? b ? c) a b c a b c

77

? ?

(

4 9 16 ? ? ).9 ? (2 ? 3 ? 4)2 ? 81 a b c 4 9 16 81 ? ? ? ?9 a b c 9

【14】 、设 a, b, c 均为正数,且 a ? 2b ? 3c ? 2 ,则
解:考虑以下两组向量 u =( , , ) , v =( , ,

1 2 3 ? ? 之最小值为________,此时 a ? ________。 a b c
)

? ? ?2 ?2 (u ? v ) 2 ? u ? v

1 2 2 3 ) ? ( ) 2 ? ( ) 2 ] ? (1 ? 2 ? 3) 2 a b c 1 2 3 a 2b 3c ? ? ∴ ( ? ? ) ? 18 ,最小值为 18 等号发生于 u // v 故 ? ? a b c 1 2 3 a b c 1 ∴ a ? b ? c 又 a ? 2b ? 3c ? 2 ∴ a ? 3 [( a ) 2 ? ( 2b ) 2 ? ( 3c ) 2 ][(
?


【15】 . 设空间向量 a 的方向为?, ?, ?, 0 ? ?, ?, ? ? ?, csc2? ? 9 csc2? ? 25 csc2? 的最小值为
解∵ ∴ sin2? ? sin2? ? sin2? ? 2 由柯西不等式 (sin2? ? sin2? ? sin2?)[ (

1 2 3 2 5 2 ) ?( ) ?( ) ] ? (1 ? 3 ? 5)2 sin ? sin ? sin ?
81 2
∴ 故最小值为

2(csc2? ? 9csc2? ? 25csc2?) ? 81



csc2? ? 9csc2? ? 25csc2? ?

81 2

【注】本题亦可求 tan2? ? 9 tan2? ? 25tan2? 与 cot2? ? 9cot2? ? 25cot2? 之最小值,请自行练习。

【16】. 空间中一向量 a 与 x 轴,y 轴,z 轴正向之夹角依次为 ?,? ,?(?,? ,? 均非象限角) ,求

?

1 4 9 ? ? 的最小值。 2 2 sin ? sin ? sin 2 ?
解 : 由柯西不等式

[(

1 2 2 2 3 2 ) ?( ) ?( ) ](sin2 ? ? sin 2 ? ? sin 2 ? ) sin ? sin ? sin ?

?

(

1 2 3 ? sin ? ? ? sin ? ? ? sin ? ) 2 sin ? sin ? sin ? 1 4 9 ) ? ( 2 ) ? ( 2 )](sin2 ? ? sin 2 ? ? sin 2 ? ) ? (1 ? 2 ? 3) 2 2 sin ? sin ? sin ?
sin2? ? sin2? ? sin2? ? 2 ∴

? (
∵ 2(

1 4 9 1 4 9 ? ? ) ? 36 ? ( 2 ? ? ) ? 18 2 2 2 2 sin ? sin ? sin ? sin ? sin ? sin 2 ?

78



1 4 9 的最小值 ? 18 ? ? 2 2 sin ? sin ? sin 2 ? 9 25 16 ? 2 ? 2 的最小值。 2 sin ? sin ? sin ?

【17】.空间中一向量 a 的方向角分别为 ? , ? , ? ,求 答 72 利用柯西不等式解之

【18】 、设 x, y, z ? R,若 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? z 2 ? 4 ,则 3x ? y ? 2 z 之范围为何?又 3x ? y ? 2 z 发生
最小值时, x ? ? 答案: [(x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? z 2 ][32 ? (?1) 2 ? (?2) 2 ] ? (3x ? 3 ? y ? 2 ? 2z) 2

4(14) ? (3x ? y ? 2 z ? 5) 2 ? 2 14 ? 3x ? y ? 2 z ? 5 ? 2 14 5 ? 2 14 ? 3x ? y ? 2 z ? 5 ? 2 14 x ?1 y ? 2 z ? ? ? t ∴ 3(3t ? 1) ? (?t ? 2) ? 2(?2t ) ? 5 ? 2 14 若 3x ? y ? 2z ? 5 ? 2 14 又 3 ?1 ?2 3 14 14 ∴t ? ? ∴x ?? ?1 7 7
【19】 设?ABC 之三边长 x,y,z 满足 x ? 2y + z = 0 及 3x + y ? 2z = 0,则?ABC 之最大角是多少度? 【解】 ?

?2 1 1 1 1 ?2 ? x ? 2y ? z ? 0 ? x:y:z = : : = 3:5:7 1 ?2 ?2 3 3 1 ?3x ? y ? 2 z ? 0
1 (3k ) 2 ? (5k ) 2 ? (7k ) 2 = ? ,∴? = 120? 2 2(3k )(5k )

设三边长为 x = 3k,y = 5k,z = 7k 则最大角度之 cos? =

【20】. 设 x,y,z ? R 且

( x ? 1) 2 ( y ? 2) 2 ( z ? 3) 2 ? ? ? 1,求 x ? y ? z 之最大值,最小值。 16 5 4
Ans 最大值 7;最小值 ? 3

【解】 ∵

( x ? 1) 2 ( y ? 2) 2 ( z ? 3) 2 ? ? ?1 16 5 4

由柯西不等式知 [42 ? ( 5 )2 ? 22] ?(

? x ?1 2 y?2 2 z ?3 2 ) ?( ) ?( ) 2 5 ? 4

? x ?1 y?2 ? ) ? 5.( ) ? 2. ?? ? ?4.( 4 5 ? ?

z ?3 ? ( ) 2 ? ?

2

? 25 ? 1 ? (x ? y ? z ? 2)2

? 5 ? |x ? y ? z ? 2|

? ?5?x?y?z?2?5 ∴ ?3?x?y?z?7 故 x ? y ? z 之最大值为 7,最小值为 ? 3

79

【21】. 求 2sin? ? 3 cos? sin? ? cos? cos? 的最大值与最小值。 答. 最大值为 2 2 ,最小值为 ? 2 2 【详解】 令向量 a ? (2sin?, 3 cos?,? cos?), b ? (1,sin?,cos?) 由柯西不等式 | a . b | ? | a || b |得 | 2sin? ? 3 cos? sin? ? cos? cos? | ? 4 sin 2 ? ? 3 cos2 ? ? cos2 ? ,

?

?

?

?

? ?

1 ? sin 2 ? ? cos 2 ? ? 4(sin 2 ? ? cos 2 ? )(1 ? sin 2 ? ? cos 2 ? ) ? 2 2
所求最大值为 2 2 ,最小值为 ? 2 2 【22】△ABC 的三边长为 a、b、c,其外接圆半径为 R,求证:

(a 2 ? b 2 ? c 2 )(
sin A ?

1 1 1 ? ? ) ? 36 R 2 证明:由三角形中的正弦定理得 2 2 sin A sin B sin 2 C

1 4R 2 1 4R 2 1 4R 2 a ? ? ? ,所以 ,同理 , 于是左边= 2R sin 2 A a2 sin 2 B b2 sin 2 C c2
2 2

4R 2 4R 2 4R 2 2R 2R 2R 2 (a ? b ? c )( 2 ? 2 ? 2 ) ? (a ? ?a? ?a? ) ? 36R 2 。 a b c a b c
2

【23】求证:点 P(x0,y0)到直线 Ax+By+C=0 的距离 d=

| Ax0 ? By0 ? C | A2 ? B 2

.

证明:设 Q(x,y)是直线上任意一点,则 Ax+By+C=0.因为|PQ|2=(x-x0)2+(y-y0)2,A2+B2≠0,由柯西不等式得 (A2+B2) [ (x-x0)2+(y-y0)2 ] ≥ [ A(x-x0)+B(y-y0) ] 2= [ (Ax+By)-(Ax0+By0) ] 2=(Ax0+By0+C)2, 所 以 |PQ|≥

| Ax0 ? By0 ? C | A2 ? B 2

.



x ? x0 y ? y 0 Ax ? By ? C | Ax0 ? By0 ? C | ? ? ? 0 2 02 时,取等号,由垂线段最短得 d= . A B A ?B A2 ? B 2

【24】已知正数 x,y,z 满足 x+y+z=xyz,且不等式 解析:由二元均值不等式及柯西不等式,得

1 1 1 ? ? ≤λ 恒成立,求 λ 的范围. x? y y?z z?x

1 1 1 1 z 1 1 1 ? ? ? ( ? ? ? ≤ x ? y y ? z z ? x 2 xy 2 y z 2 zx 2 x ? y ? z

x ? x? y?z

y ) x? y?z

?

3 1 z x y 3 故 λ 的取值范围是[ ,+∞). (12 ? 12 ? 12 )( ? ? )? 2 2 x? y?z x? y?z x? y?z 2

温馨提示
80

本题主要应用了最值法,即不等式

1 1 1 1 1 1 ≤λ 恒成立,等价于( )max≤λ, ? ? ? ? x? y y?z z?x x? y y?z z?x

问题转化为求 f(x,y,z)=

1 1 1 的最大值. ? ? x? y y?z z?x a?b?c 的值. x? y?z

【25】设 a,b,c,x,y,z 均为正实数,且满足 a2+b2+c2=25,x2+y2+z2=36,ax+by+cz=30.求 解析:根据已知等式的特点,可考虑用柯西不等式. 由柯西不等式等号成立的条件,知

a b c a?b?c =λ.因此只需求 λ 的值即可.由 ? ? =λ,再由等比定理,得 x y z x? y?z a b c ? ? =λ 时,上式等号成立. x y z

柯西不等式,得 302=(ax+by+cz)2≤(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)=25× 36,当且仅当

于是 a=λx,b=λy,c=λz,从而有 λ (x +y +z )=25,∴λ=±

2

2

2

2

5 a b c 5 (舍负),即 ? ? ? . 6 x y z 6

2 2 2 2 【26】已知实数 a,b,c 满足 a+2b+c=1,a +b +c =1,求证:- ≤c≤1. 3 解:∵a+2b+c=1,a2+b2+c2=1. 知 5(1-c2)≥(1-c)2,整理得 3c2-c-2≤0. 2 2 2 2 ∴a+2b=1-c,a +b =1-c . 解之得- ≤c≤1. 2 2 2 2 2 3 由柯西不等式(1 +2 )(a +b )≥(a+2b) 2 2 1、 已知 x≤0,且满足 3x+4y=13,求 x +4y 的最小值. 13-3x 2 错解:由柯西不等式可知: ∴x2+4y2=x2+(2y)2=x2+( ) 2 2 2 2 2 2 (3 +2 )[x +(2y) ]≥(3x+4y) =169. 13 ∴13(x2+4y2)≥169. = (x2-6x+13) 2 2 4 ∴x +4y ≥13. 2 2 13 13 ∴x +4y 的最小值为 13. = [(x-3)2+4]= (x-3)2+13. 4 4 错解分析: 本题错误的原因在于应用柯西不等 又∵x≤0, 式解题时忽视了公式中等号成立的条件. 事实上等 ∴当 x=0 时,(x2+4y2)min 号成立需满足三点:①x≤0;②3x+4y=13;③3 13 169 ×2y=2x,即 x=3y.解②③得 x=3,显然不满足 x = ×(0-3)2+13= . 4 4 ≤0. 169 ∴x2+4y2 的最小值为 . 正解:∵3x+4y=13, 4 13-3x ∴2y= , 2

81

二、强化训练题之二
a2 b2 c2 练习 1、(2010 年高考浙江卷)设正实数 a,b,c,满足 abc≥1.求 + + 的最小值. a+2b b+2c c+2a 证明:因为 a2 b2 c2 ≥1 ( + + )[(a+2b)+(b+2c)+(c a+2b b+2c c+2a 当 a=b=c=1,上述不等式取等号, a2 b2 c2 +2a)] 所以 + + 的最小值是 1. 2 a+2b b+2c c+2a ≥(a+b+c) 所以 a+b+c 3 a2 b2 c2 + + ≥ ≥ abc 3 a+2b b+2c c+2a

2、2.已知非负实数 x,y,z 满足 x+ay+(1-a)z=1,其中 0<a<1,设 t=x2+ay2+(1-a)z2 (1)求 t 的最小值; (2)当 t=1 时,求 x 的取值范围. 解:(1)∵0<a<1,由柯西不等式得, [x2 + ( a y)2 + ( 1-a z)2][12 + ( a )2 + ( 1-a)2] ≥[x+ay+(1-a)z]2=1, 1-az x ay ∴2t≥1,当且仅当 = = , 1 a 1-a 1 即 x=y=z= 时,取等号, 2 1 因此 t 的最小值为 . 2 (2)∵0<a<1,由柯西不等式得, [( ay)2+( 1-az)2][( a)2+( 1-a)2]≥[ay+ (1-a)z]2, [ay2+(1-a)z2]≥[ay+(1-a)z]2, ∴1-x2≥(1-x)2, ∴0≤x≤1.

3、(2009 年高考浙江卷)已知正数 x,y,z 满足 x+y+z=1. x2 y2 z2 1 (1)求证: + + ≥ ; y+2z z+2x x+2y 3 (2)求 4x+4y+4z2 的最小值. (1)证明:因为 x>0,y>0,z>0, 3 4x+4y+4z2≥3 4x+y+z2 所以由柯西不等式得 因为 x+y+z=1,所以 x2 y2 [(y + 2z) + (z + 2x) + (x + 2y)][ + + 1 3 3 y+2z z+2x x+y+z2=1-z+z2=(z- )2+ ≥ , 2 2 4 4 z ]≥(x+y+z)2 x+2y 3 3 x y 2 故 4 + 4 + 4 z ≥ 3 4 =3 2. 又因为 x+y+z=1,所以 4 2 2 2 x y z 1 1 + + ≥ 当且仅当 x=y= ,z= 时等号成立, y+2z z+2x x+2y 4 2 ?x+y+z?2 1 = ?y+2z?+?z+2x?+?x+2y? 3 (2)解:由均值不等式得 4、4.(2010 年学军中学模拟)已知正数 a,b,c 满足 a+b+c=1, abc 1 (1)求证: ≤ ; bc+ca+ab 9 ?a+b?2 ?b+c?2 ?c+a?2 (2)求 + + 的最小值. 2b+c 2c+a 2a+b abc 1 1 1 1 1 1 1 (1)证明: = . ∵ + + =( + + )(a+b+c)≥(1+1+1)2 a b c a b c bc+ca+ab 1 1 1 + + a b c =9

82

1 1 abc 1 ≤ .所以 ≤ . 1 1 1 9 bc+ca+ab 9 + + a b c (2)解:由柯西不等式,得 ?a+b?2 ?b+c?2 ?c+a?2 [ + + ][(2b + c) + (2c + a) 2b+c 2c+a 2a+b +(2a+b)]≥[(a+b)+(b+c)+(c+a)]2 将 a+b+c=1 代入得 ∴

?a+b?2 ?b+c?2 ?c+a?2 4 + + ≥ . 2b+c 2c+a 2a+b 3 ?a+b?2 ?b+c?2 1 当且仅当 a=b=c= 时, + + 3 2b+c 2c+a ?c+a?2 4 有最小值 . 3 2a+b

5、5.(2010 年浙江第二次五校联考)已知 a,b,c∈R+,a+b+c=1. (1)求(a+1)2+4b2+9c2 的最小值; 1 1 1 3 3 (2)求证: + + ≥ . 2 a+ b b+ c c+ a (1)解:因为 a,b,c∈R+,a+b+c=1 所以 1 1 1 (1+ + )[(a+1)2+4b2+9c2]≥[(a+1)+ · 2b 4 9 2 1 + · 3c]2=4, 3 144 得(a+1)2+4b2+9c2≥ . 49 当且仅当 a+1=4b=9c, 23 18 8 即 a= , b= , c= 时, (a+1)2+4b2+9c2 49 49 49 144 有最小值 . 49 (2) 证明: 因为 (a+ b +c)(12 + 12 + 12)≥ ( a + b+ c)2, 所以 a+ b+ c≤ 3, 1 当且仅当 a=b=c= 时取等号. 3 1 1 1 又( + + )[( a+ b)+ a+ b b+ c c+ a ( b+ c)+( c+ a)]≥9, 1 1 1 于 是 + + ≥ a+ b b+ c c+ a 9 3 3 ≥ . 2 2? a+ b+ c?

1 1 1 100 6、 (1)设 a,b,c 为正数且 a+b+c=1,求证:(a+ )2+(b+ )2+(c+ )2≥ . a b c 3 2 2 2 2 (2)已知实数 a,b,c,d 满足 a+b+c+d=3,a +2b +3c +6d =5,试求 a 的最值

83

1 1 1 1 (1)证明: (12+12+12)[(a+ )2+(b+ )2+(c+ )2] 3 a b c 1 1 1 1 2 ≥ [1×(a+ )+1×(b+ )+1×(c+ )] 3 a b c 1 1 1 1 = [1+( + + )]2 3 a b c 1 1 1 1 = [1+(a+b+c)( + + )]2 3 a b c 1 2 100 ≥ (1+9) = . 3 3 (2)解:由柯西不等式得, 1 1 1 有(2b2+3c2+6d2)( + + )≥(b+c+d)2 2 3 6 即 2b2+3c2+6d2≥(b+c+d)2 由条件可得,5-a2≥(3-a)2 2b 3c 6d 解得,1≤a≤2 当且仅当 = = 时等号成立, 1 1 1 2 3 6 1 1 1 代入 b= ,c= ,d= 时,amax=2; 2 3 6 2 1 b=1,c= ,d= 时,amin=1 3 3

84

三、数学竞赛题欣赏
1 (1987 年 CMO 集训队试题)设 a, b, c ? R ? ,求证:

a5 ? b5 ? c5 ? a3bc ? b3ca ? c3ab
证明:因 a 2 ? b2 ? c2 ? ab ? bc ? ca ,由定理 1 有

(2-10)

a 4 b 4 c 4 (a 2 ? b 2 ? c 2 ) 2 ? ? ? ? a 2 ? b2 ? c 2 此即(2-10)式。 bc ca ab bc ? ca ? ab
2 设 a, b, c ? R ? ,求证:

b2 c 2 a 2 ? ? ? 3(a 2 ? b2 ? c 2 ) a b c

证明:由均值不等式得 a3 ? c2 a ? 2a2c, b3 ? a2b ? 2ab, c3 ? b2c ? 2bc 2 ,故

a3 ? b3 ? c3 ? a2b ? b2c ? c2a ? 2(ab2 ? bc2 ? ca2 )
即 (a2 ? b2 ? c2 )(a ? b ? c) ? 3(ab2 ? bc2 ? ca2 ) .
2 2 2 又由柯西不等式知 3(a2 ? b2 ? c2 ) ? (a ? b ? c)2 ,故 3(a ? b ? c ) ? a ? b ? c

又由定理 1,得

a4 b4 c4 (a 2 ? b 2 ? c 2 ) 2 3(a 2 ? b2 ? c 2 )2 原式左= 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? 原式右 a c b a c b bc ? ca 2 ? ab2 (a 2 ? b2 ? c 2 )(a ? b ? c)

85

四、数学竞赛中的不等式研究
(1) 柯西不等式(Cauchy)的应用 柯西不等式:设 ai , bi ? R(i ? 1, 2,

? n ?? n ? ? n ? n) ,则 ? ? ai2 ?? ? bi2 ? ? ? ? ai bi ? . ? i ?1 ?? i ?1 ? ? i ?1 ?
, n.

2

等号成立当且仅当存在 ? ? R ,使 bi ? ?ai , i ? 1, 2,

例 6 设 x、y、z 是非负数,且 x 2 ? y 2 ? z 2 ? 3 ,求证:

x x ? y?z
2

?

y y ?z?x
2

?

z z ?x? y
2

? 3

解:? ( x ? y ? z) ? 3( x 2 ? y 2 ? z 2 ) ? x ? y ? z ? x 2 ? y 2 ? z 2
2 由柯西不等式可得: ( x ? y ? z )(1 ? y ? z ) ? x ? y ? z

故有:

x x2 ? y ? z y y2 ? z ? x ?

?

x 1? y ? z , x? y?z

同理 故

z 1? x ? y y 1? z ? x z , ? x? y?z x? y?z z2 ? x ? y x 1? y ? z ? y 1? z ? x ? z 1? x ? y x? y?z

x x2 ? y ? z

?

y y2 ? z ? x

?

z z2 ? x ? y

?

再用柯西不等式得:

( x 1 ? y ? z ? y 1 ? z ? x ? z 1 ? x ? y ) 2 ? ( x ? x ? xy ? xz ? y ? y ? yz ? xy ? z ? z ? zx ? zy ) 2 ? ( x ? y ? z )?2( xy ? yz ? zx) ? x ? y ? z ? ? ( x ? y ? z )(2 xy ? 2 yz ? 2 zx ? x 2 ? y 2 ? z 2 ) ? ( x ? y ? z) 3
x 1 ? y ? z ? y 1 ? z ? x ? z 1 ? x ? y ( x ? y ? z) 2 即: ? ? x? y?z x? y?z x? y?z
?

3

x2 ? y2 ? z2 ? 3

x x ? y?z
2

?

y y ?z?x
2

?

z z ?x? y
2

? 3

86

当且仅当 x ? y ? z ? 1 时,不等式等号成立 评注:对于分式不等式,若不等号方向为大于等于时,常用柯西不等式处理。对于不等号方 向为小于等于时, 通常是用局部不等式或把分母经过变换后化为同一形式, 再用分析法解决。 例 7 设 x、y、z 为正实数,且 xyz ? x ? y ? z ? 4 ,求证:

x y?z

?

y z?x

?

z x? y

?

2 ( x ? y ? z) 2

解:先证明: x ? y ? z ? xy ? yz ? zx 用反证法,若 x ? y ? z ? xyz ,则由 Schur 不等式可得:

x 3 ? y 3 ? z 3 ? ( x 2 y ? xy 2 ? x 2 z ? xz 2 ? y 2 z ? yz 2 ) ? 3 xyz ? 0 ? 9 xyz ? 2( xy ? yz ? zx ) ? ( x 2 ? y 2 ? z 2 ) ( x ? y ? z ) ? 9 xyz ? 4( xy ? yz ? zx ) ? ( x ? y ? z ) 2 ? 4( x ? y ? z ) ? ( x ? y ? z ) 2 x? y?z ? ( x ? y ? z )(4 ? x ? y ? z ) ? xyz( x ? y ? z )
x? y?z 3 ) ?1 3

?

?

?x? y ? z ? 3
再由均值不等式可得: xyz ? (

故: xyz ? x ? y ? z ? 4 ,矛盾!于是有 x ? y ? z ? xy ? yz ? zx . 由柯西不等式可得:

( ?

x y?z x

? ?

y z?x y

? ?

z x? y z

)(x y ? z ? y z ? x ? z x ? y ) ? ( x ? y ? z ) 2 ? ( x ? y ? z) 2 x y?z ? y z?x ?z x? y

y?z

z?x

x? y

而x y?z ? y z?x ?z x? y ?

x ? xy ? xz ? y ? yz ? yx ? z ? zx ? zy

? ( x ? y ? z )(xy ? xz ? yz ? yx ? zx ? zy ) ? 2( x ? y ? z )(xy ? yz ? zx ) ? 2 ( x ? y ? z)

? ?

x y?z

?

y z?x

?

z x? y

?

( x ? y ? z) 2 x y?z ? y z?x ?z x? y

?

( x ? y ? z) 2 2 ( x ? y ? z)

2 ( x ? y ? z) 2

故原不等式成立。当且仅当 x ? y ? z ? 1 ,不等式等号成立 评注:从要证明的不等式来看,显然要用到柯西不等式。而给出条件不是很常规,一般的思 路是进行换元变形或者利用条件进行不等式放缩, 得到一个对待证不等式有用的不等式。 从 条件的形式看, 第二种思路可行性强, 关键是从待证不等式中推出一个使不等式成立的充分 条件,再考虑从条件式中推出这一充分条件

87

例 8 设 a,b,c ? 0,ab ? bc ? ca ?

1 1 1 1 , ? 2 ? 2 ?3 求证: 2 3 a ? bc ? 1 b ? ca ? 1 c ? ab ? 1
1 3

(2005 年 IMO 中国数学国家集训队试题) 证明:令 S=a+b+c,T=ab+bc+ca,则 t ? 则

1 1 1 1 ? 2 ? 2 =? 2 a ? bc ? 1 b ? ca ? 1 c ? ab ? 1 a ? bc ? ab ? bc ? ca ? 2(ab ? bc ? ca)
2

??


1 aS ? 2T

? ( 2 ? aS ? 2T ) ? ? ( 2 ? aS ? 2T ) ? ? 2(aS ? 2T ) ? 2 ? aS ? 2T
? (a
(? aS) 2
2

3

1

3

3T

3aS

3

aS

aS (aS) 2 ?? 2 2 ? 而? aS ? 2T a S ? 2aST

S 2 ? 2aST)

?

(S 2 ) 2 S 2 ( a 2 ? b 2 ? c 2 ) ? 2 S 2T

S4 S4 ? ?1 S 2 (a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab ? bc ? ca) S 2 ? S 2
3 1 3 aS 3 ? 1? ?( ? )? ? ? 2 aS ? 2T 2 aS ? 2T 2 1 1 1 1 ? 3 ,即 2 ? 2 ? 2 ? 3 ,故原不等式成立。 从而 ? aS ? 2T a ? bc ? 1 b ? ca ? 1 c ? ab ? 1


? aS ? 2T

aS

例 9 设正实数 1,满足 a1 ? a2 ? ? ? an ? 1 ,求证:

(a1a2 ? a2 a3 ? ? ? an a1 )(

a a1 a n ? 2 2 ??? 2 n ) ? n ?1 a ? a 2 a3 ? a3 a1 ? a1
2 2

(2007 年 IMO 中国数学国家集训队试题) 证明:由柯西不等式可得:

(a1a2 ? a2 a3 ? ? ? an a1 )(

a a1 a2 ? ? ? ? n ) ? (a1 ? a2 ? ? ? an ) 2 ? 1 a 2 a3 a1
1 a a1 a 2 ? ??? n a 2 a3 a1
2 2 2

? a1 a 2 ? a 2 a3 ? ? ? a n a1 ?



? a2 ? ? a1 ? ? an ? ? ? ? ? ? ?a ? ?a ? ?a ? ? an a1 a2 3 ? 2 ? ? ? ? 1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 a a a a2 ? a 2 a3 ? a3 a12 ? a1 a1 ? 1 a 2 ? 2 an ? n a2 a3 a1

88

? a1 a 2 an ? ? ? a ? a ??? a ? ? 2 3 1 ? ? ? a a a (a1 ? a 2 ? ? ? a n ) ? ( 1 ? 2 ? ? ? n ) a 2 a3 a1


2



a a a1 a 2 a a ? ? ? ? n ? nn 1 ? 2 ? ? n ? n a 2 a3 a1 a 2 a3 a1
a a1 a ? 2 2 ??? 2 n ) a ? a 2 a 3 ? a3 a1 ? a1
2 2

① ? ②: (a1a2 ? a2 a3 ? ? ? an a1 )(

a a1 a 2 ? ??? n a 2 a3 a1 n ? ? a a a 1? n 1? ( 1 ? 2 ??? n ) a 2 a3 a1
即 (a1 a2 ? a2 a3 ? ? ? an a1 )( 故原不等式成立。 例 10 设 x1,x2, ?,xn 是正数,且
n 1 ? n ?? ? x ,求证: x ? 1 ? ? ? ? ? i i i ?1 ? i ?1 ?? ? i ?1 1 ? xi

a a1 a n ? 2 2 ??? 2 n ) ? n ?1 a ? a 2 a3 ? a3 a1 ? a1
2 2

n

? ?? ? ?

n2 n ?1

(2006 年 IMO 中国数学国家集训队试题) 证明:令 yi ? 1 ? xi ,则 xi ? yi ? 1.?

?y
i ?1

n

i

? n ?1.
n2 n ?1

故原不等式等价于: ?

?

? i ?1

?
1
n

n

?? n 1 ? ?? yi ? 1 ?? ? ? y i ? 1 ?? i ? ?

(1)

由柯西不等式可得:

? n
i ?1

yi ? 1 ?

y1 ? 1 ?

1 n

?

1 n

? y2 ? 1 ? ? ?

1 n

? yn ? 1

? ( y1 ? 1 ?

n ?1 ?1 2(n ? 1) 2n ? 1 ? ) ? ? ( y 2 ? y3 ? ? ? y n ) ? (n ? 1)? ? ? y12 ? y1 ? 2 n ?n n n ?
2(n ? 1) 2n ? 1 ? 2 n n y1 2(n ? 1) 2n ? 1 ? 2 n n y2

?

?
i ?1

n

yi ? 1 y1

? n ? ? y1 ?

1 ○

?
同理:
i ?1

n

yi ? 1 y2

? n ? ? y2 ?

2 ○

89

??

?
i ?1

n

yi ? 1 yn

? n ? ? yn ?

2(n ? 1) 2n ? 1 ? 2 n n yn

n ○

1 +○ 2 +?+○ n :? ○
n

?

? ?
i ?1

n

n ?? n 1 ? ? ? n ? ? ? yi ? 2(n ? 1) ? 2n ? 1 yi ? 1 ?? ? ? n n 2 yi i ?1 ?? ? i ?1 yi ?

?n

? (? y i ?
i ?1

n 2(n ? 1) 2n ? 1 2n ? 1 n 1 ? 2 ) ? n ? ? y i ? 2(n ? 1) ? ? n n yi n 2 i ?1 y i i ?1

? n n ?1?
n

2n ? 1 n 1 ? n 2 i ?1 y i ? n ?1? 2n ? 1 n 1 2n ? 1 ? n n ?1? ? ? 2 n ?1 n i ?1 y i n2 n ?1

(*)



1 n2 n2 ? ? ? n n ?1 i ?1 y i ? yi
i ?1

(2)

把(2)式代入(*)式知(1)式成立,故原不等式成立。等号成立当且仅当 x1 ? x 2 ? ? ? x n ? 例 11 已知 a、b、c 是正实数,求证:

1 . n

ab bc ca 1 ? ? ? (a ? b ? c) 3a ? 4b ? 5c 3b ? 4c ? 5a 3c ? 4a ? 5b 12
(2006 年 IMO 保加利亚数学国家集训队试题) 证明:由柯西不等式可得:

1 2 3 ? ? )?(a ? b) ? 2(a ? c) ? 3(b ? c)? ? (1 ? 2 ? 3) 2 ? 36 a?b a?c b?c 1 1 1 2 3 ? ? ( ? ? ) 3a ? 4b ? 5c 36 a ? b c ? a b ? c ab 1 ab 2ab 3ab ? ? ( ? ? ) .同理可得: 3a ? 4b ? 5c 36 a ? b c ? a b ? c bc 1 bc 2bc 3bc ca 1 ca 2ca 3ca ? ( ? ? ), ? ( ? ? ) 3b ? 4c ? 5a 36 b ? c a ? b c ? a 3c ? 4a ? 5b 36 c ? a b ? c a ? b ab bc ca 1 ab ? 2bc ? 3ca bc ? 2ca ? 3ab ca ? 2ab ? 3bc ? ? ? ? ( ? ? ) 3a ? 4b ? 5c 3b ? 4c ? 5a 3c ? 4a ? 5b 36 a?b b?c c?a (
故要证明原不等式,只需证明:
ab ? 2bc ? 3ca bc ? 2ca ? 3ab ca ? 2ab ? 3bc ? ? ? 3(a ? b ? c) a?b b?c c?a



a(b ? c) c ( a ? b) b (c ? a ) ? 2b ? ? 2c ? ? 3(a ? b ? c) a?b a?c b?c a(b ? c) c(a ? b) b(c ? a) ? ? ? ? a?b?c a?b a?c b?c a(b ? c) c ( a ? b) b(c ? a ) ? (a ? ) ? (b ? ) ? (c ? )?0 a?b a?c b?c ? 2c ?
90

? a(b ? c)(a 2 ? c 2 ) ? c(a ? b)(c 2 ? b 2 ) ? b(c ? a)(b 2 ? a 2 ) ? 0 ? ab3 ? bc3 ? ca3 ? abc(a ? b ? c)
? b2 c2 a2 ? ? ? a?b?c c a b b2 c2 a2 ? ? ) ? (a ? b ? c) 2 c a b


而由柯西不等式可得: (c ? a ? b)(

?

b2 c2 a2 ? ? ? a ? b ? c ,故②式成立,即①式成立,从而原不等式成立。 c a b

当且仅当 a=b=c 时,不等式的等号成立。 例 12 已知 x、y、z 为正实数, x 2 ? y 2 ? z 2 ? 1,求代数式

x5 y5 z5 的最小值 ? ? y 2 ? z 2 ? yz z 2 ? x 2 ? zx x 2 ? y 2 ? xy
(2006 年 IMO 土耳其数学国家集训队试题) 证明:令 f ( x,y,z ) ?

x5 y5 z5 ? ? y 2 ? z 2 ? yz z 2 ? x 2 ? zx x 2 ? y 2 ? xy

则 f(

3 3 3 3 , , )? 3 3 3 3 3 3

下面证明: f ( x,y,z ) ?

则 f ( x,y,z ) ?

x6 y6 z6 ? ? x( y 2 ? z 2 ? yz) y( z 2 ? x 2 ? zx) z ( x 2 ? y 2 ? xy)


?

(x3 ? y3 ? z 3 )2 x 2 y ? xy 2 ? x 2 z ? xz 2 ? y 2 z ? yz 2 ? 3xyz
2 2 2 2 2 2 3 3 3

由 Schur 不等式可得: x y ? xy ? x z ? xz ? y z ? yz ? 3xyz ? x ? y ? z 代入①可得: f ( x,y,z ) ?

(x3 ? y3 ? z 3 )2 ? x3 ? y3 ? z 3 3 3 3 x ?y ?z x2 ? y2 ? z 2 3

由幂平均不等式可得: 3

x3 ? y3 ? z 3 ? 3

91

? x3 ? y3 ? z 3 ?

3 3 3 3

? f ( x,y,z ) ? x 3 ? y 3 ? z 3 ?

故 f ( x,y,z ) 的最小值为

3 3 ,在 x ? y ? z ? 时取最小值。 3 3

例 13 已知 a、b、c 为正实数,求证:

(a 2 b ? b 2 c ? c 2 a)( ab 2 ? bc 2 ? ca 2 ) ? abc ? 3 (a 3 ? abc )( b 3 ? abc )( c 3 ? abc )
(2001 年韩国数学奥林匹克试题)
2 2 2 2 2 2 证明: (a b ? b c ? c a )( ab ? bc ? ca )

? ? ? ? ?
?

1 2 1 2 33 2 33 2 13 2 13 2

?b(a

2

? bc ) ? c(b 2 ? ca ) ? a(c 2 ? ab ) c(a 2 ? bc ) ? a(b 2 ? ca ) ? b(c 2 ? ab )
2

??

?

? bc (a

? bc ) ? ca (b 2 ? ca ) ? ab (c 2 ? ab )

?

bc (a 2 ? bc ) ca (b 2 ? ca ) ab (c 2 ? ab ) (a 3 ? abc )( b 3 ? abc )( c 3 ? abc ) (a 3 ? abc )( b 3 ? abc )( c 3 ? abc ) ?
2 a 4 bc ? 2 ab 4 c ? 2 abc 4 ?
3 3

(a 3 ? abc )( b 3 ? abc )( c 3 ? abc )

(a 3 ? abc )( b 3 ? abc )( c 3 ? abc )

? abc ? 3 (a 3 ? abc )( b 3 ? abc )( c 3 ? abc )
故原不等式成立。 当且仅 a=b=c 式,不等式的等号成立。 例 14 在 ?ABC 中,求证:

a?b?c a? b? c

?

b?c?a b? c? a

?

c ? a ?b c? a? b

?3

(2007 年第 48 届 IMO 预选题) 证明:令 x ?

a? b? c b? c? a c? a? b ,y? ,z ? 2 2 2

则 a ? x ? z,b ? x ? y,c ? y ? z 故有 a ? b ? c ? 2( x ? xy ? xz ? yz) , b ? c ? a ? 2( y ? yz ? yx ? zx)
2 2

c ? a ? b ? 2( z 2 ? zx ? zy ? xy)

92

则由柯西不等式可得:

(

a?b?c a? b? c

?

b?c?a b? c? a
?

?

c ? a ?b c? a? b
b?c?a

)2
? c? a ?b ( c ? a ? b)2

? (1 ? 1 ? 1) (

a?b?c ( a ? b ? c )2

( b ? c ? a )2

)

? 3? (

x 2 ? xy ? xz ? yz y 2 ? yz ? yx ? zx z 2 ? zx ? zy ? xy ? ? ) 2x 2 2y2 2z 2

? 3?

3x 2 y 2 z 2 ? ? ( xy) 2 yz ? xy( yz) 2 ? ? x 3 y 3 2x 2 y 2 z 2

?

?



由 Schur 不等式可得:

?x

3

y 3 ? ? ( xy) 2 yz ? ( yz) 2 xy ? 3xy ? yz ? zx ? 0

?

?

? 3x 2 y 2 z 2 ? ? ( xy) 2 yz ? xy( yz) 2 ? ? x 3 y 3 ? 6x 2 y 2 z 2
把上式代入式①可得:

?

?

6x 2 y 2 z 2 ( ? ? ) ? 3? 2 2 2 ? 9 2x y z a? b? c b? c? a c? a? b
2

a?b?c

b?c?a

c ? a ?b

?

a?b?c a? b? c

?

b?c?a b? c? a

?

c ? a ?b c? a? b

?3

故原不等式成立. 当且仅当 a=b=c 时,原不等式的等号成立。 例 15 已知 a、b、c 是正实数,且 a ? b ? c ? 1 ,求证:

a 2b 2 b2c 2 c2a2 3 ? ? ? 3 2 2 3 2 2 3 2 2 c (a ? ab ? b ) a (b ? bc ? c ) b (c ? ca ? a ) ab ? bc ? ca
(2008 年土耳其数学奥林匹克试题) 证明:原不等式等价于:

a 3b 3 b3c 3 c3a3 3abc(a ? b ? c) ? ? ? 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ab ? bc ? ca c (a ? ab ? b ) a (b ? bc ? c ) b (c ? ca ? a )
而 3abc (a ? b ? c) ? (ab ? bc ? ca ) ?
2

3abc (a ? b ? c) ? ab ? bc ? ca ab ? bc ? ca

故只需证明:

a 3b 3 b 3c 3 c3a3 ? ? ? ab ? bc ? ca ① c 2 (a 2 ? ab ? b 2 ) a 2 (b 2 ? bc ? c 2 ) b 2 (c 2 ? ca ? a 2 )

?

a 3b 3 b3c 3 c3a3 ? ( a ? b ) c ? ? ( b ? c ) a ? ? (c ? a)b c 2 (a 2 ? ab ? b 2 ) a 2 (b 2 ? bc ? c 2 ) b 2 (c 2 ? ca ? a 2 )

? 3(ab ? bc ? ca)
93

? (a 3 b 3 ? b 3 c 3 ? c 3 a 3 )(
而由柯西不等式可得:

1 1 1 ? 2 2 ? 2 2 ) ? 3(ab ? bc ? ca) 2 2 c (a ? ab ? b ) a (b ? bc ? c ) b (c ? ca ? a 2 )
2 2

? c 2 (a 2 ? ab ? b 2 ) ? a 2 (b 2 ? bc ? c 2 ) ? b(c 2 ? ca ? a 2 ( 1 )?9 b (c ? ca ? a 2 )
2 2

?

?c

2

1 1 ? 2 2 ? 2 (a ? ab ? b ) a (b ? bc ? c 2 )
2

故只需证明:

3 (ab) 3 ? (bc) 3 ? (ca) 3 ? ab ? bc ? ca ② 2(a 2 b 2 ? b 2 c 2 ?c 2 a 2 ) ? abc(a ? b ? c)

?

?

令 x ? ab,y ? bc,z ? ca ,故②式可化为:

3( x 3 ? y 3 ? z 3 ) ? x? y?z 2( x 2 ? y 2 ? z 2 ) ? ( xy ? yz ? zx)

? ? x 3 ? ?( x 2 y ? xy 2 ) ? 3xyz ? 0 ③
③式即为 Schur 不等式,故成立。从而原不等式成立。 当且仅当 a ? b ? c ?

1 时,不等式的等号成立。 3

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第九章 妙手荟萃

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湖南省沅江市第一中学王习波整理编辑于 2014 年 7 月 14 日星期一

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