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【步步高】(江苏专用)2017版高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 3.1 导数的概念及运算课件 文


第三章 导数及其应用

§3.1 导数的概念及运算

内容 索引

基础知识 自主学习

题型分类 深度剖析 易错警示系列
思想方法 感悟提高 练出高分

基础知识 自主学习

1

知识梳理

1.导数与导函数的概念 (1)设函数 y=f(x)在区间(a,b)上有定义,x0∈(a,b),若 Δx 无限趋近于 0 Δy f?x0+Δx?-f?x0? 时,比值Δx= 无限趋近于一个常数 A,则称 f(x)在 x=x0 处 Δx f′(x0) . 可导,并称该常数 A 为函数 f(x)在 x=x0 处的导数(derivative),记作______
(2)若f(x)对于区间 (a,b)内任一点都可导,则f(x)在各点的导数也随着自 变量x的变化而变化,因而也是自变量x的函数,该函数称为f(x)的导函数, 记作f′(x).
答案

2.导数的几何意义 函数 y = f(x) 在点 x0 处的导数的几何意义,就是曲线 y = f(x) 在点 P(x0 , f′(x0) . f(x0))处的切线的斜率k,即k=_______ 3.基本初等函数的导数公式 基本初等函数 f(x)=C(C为常数) f(x)=xα(α为常数) 导函数 f′(x)=__ 0 αxα-1 f′(x)=______

f(x)=sin x

f′(x)=_____ cos x
答案

f(x)=cos x f(x)=ex f(x)=a (a>0,a≠1)
x

-sin x f′(x)=______

f′(x)=__ ex
axln a f′(x)=______
1 x f′(x)=__

f(x)=ln x

f(x)=logax(a>0,a≠1)

1 xln a f′(x)=______

答案

4.导数的运算法则 若f′(x),g′(x)存在,则有 f′(x)±g′(x) ; (1)[f(x)±g(x)]′=______________ f′(x)g(x)+f(x)g′(x) ; (2)[f(x)·g(x)]′=___________________

f′?x?g?x?-f?x?g′?x? f?x? 2 g ?x? (3)[ ]′=____________________( g(x)≠0). g?x?

答案

思考辨析
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同.( × ) (2)求f′(x0)时,可先求f(x0)再求f′(x0).( × ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点.( √ ) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.( × ) (5)函数f(x)=sin(-x)的导数是f′(x)=cos x.( × )

答案

2

考点自测

1 3 1.(教材改编)f′(x)是函数 f(x)=3x +2x+1 的导函数, 则 f′(-1)的值为__. 3 1 3 解析 ∵f(x)=3x +2x+1, ∴f′(x)=x2+2.
∴f′(-1)=3.

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解析答案

2. 如图所示为函数 y = f(x) , y = g(x) 的导函数的图象,

那么y=f(x),y=g(x)的图象可能是__.

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解析答案

π π 2 3.设函数 f(x)的导数为 f′(x),且 f(x)=f′(2)sin x+cos x,则 f′(4)=- _____. π 解析 因为 f(x)=f′(2)sin x+cos x, π 所以 f′(x)=f′( )cos x-sin x, 2

π π π π 所以 f′( )=f′( )cos -sin , 2 2 2 2 π 即 f′( )=-1,所以 f(x)=-sin x+cos x. 2 f′(x)=-cos x-sin x. π π π 故 f′(4)=-cos 4-sin 4=- 2.
1 2 3 4 5
解析答案

4 4.已知点 P 在曲线 y= x 上,α 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角,则 α ? ? e +1 的取值范围是________. 4 解析 ∵y= x , e +1
?3π ? , π ? ? ?4 ?

-4ex -4ex -4 ∴y′= x = . 2= 2x x ?e +1? e +2e +1 x 1 e +ex+2 ∵ex>0, 1 1 x x ∴e + x≥2,当且仅当 e = x=1, e e 即x=0时,“=”成立.∴y′∈[-1,0),
∴tan
?3π ? ? ? α∈[-1,0).又α∈[0,π), ∴α∈? 4 ,π?. ? ?

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解析答案

1 5.(2015· 陕西)设曲线 y=e 在点(0,1)处的切线与曲线 y= (x>0)上 x
x

(1,1) 点 P 处的切线垂直,则 P 的坐标为______.
解析 y′=ex,曲线y=ex在点(0,1)处的切线的斜率k1=e0=1,

1 1 设 P(m,n),y= (x>0)的导数为 y′=- 2 (x>0), x x 1 1 曲线 y=x (x>0)在点 P 处的切线斜率 k2=-m2 (m>0), 因为两切线垂直,所以k1k2=-1,
所以m=1,n=1, 则点P的坐标为(1,1).
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题型分类 深度剖析

题型一

导数的运算

例1 求下列函数的导数: (1)y=(3x2-4x)(2x+1); 解 ∵y=(3x2-4x)(2x+1) =6x3+3x2-8x2-4x=6x3-5x2-4x, ∴y′=18x2-10x-4. (2)y=x2sin x;



y′=(x2)′sin x+x2(sin x)′=2xsin x+x2cos x.

解析答案

(3)y=3xex-2x+e; 解 y′=(3xex)′-(2x)′+e′ =(3x)′ex+3x(ex)′-(2x)′ =3xexln 3+3xex-2xln 2 =(ln 3+1)· (3e)x-2xln 2.

解析答案

ln x (4)y= 2 . x +1
?ln x?′?x2+1?-ln x?x2+1?′ 解 y′= ?x2+1?2 1 2 ?x +1?-2xln x x2+1-2x2ln x x = = . 2 2 2 2 ?x +1? x?x +1?

思维升华

解析答案

跟踪训练1
(1)f(x)=x(2 016+ln x),若f′(x0)=2 017,则x0=__. 1
1 解析 f′(x)=2 016+ln x+x× =2 017+ln x, x

故由f′(x0)=2 017得2 017+ln x0=2 017, 则ln x0=0,解得x0=1.

解析答案

(2)若函数f(x)=ax4+bx2+c满足f′(1)=2,则f′(-1)=- ____. 2
解析 f′(x)=4ax3+2bx,

∵f′(x)为奇函数,且f′(1)=2,
∴f′(-1)=-2.

解析答案

题型二

导数的几何意义

命题点1 已知切点的切线方程问题
例2
1-ln x 解析 f′(x)= x2 ,

ln x-2x x-y-3=0 (1)函数 f(x)= x 的图象在点(1, -2)处的切线方程为____________.

则f′(1)=1,
故该切线方程为y-(-2)=x-1,

即x-y-3=0.

解析答案

(2)已知函数y=f(x)及其导函数y=f′(x)的图象如图所示,则曲线y=f(x)在 x-y-2=0 点P处的切线方程是_____________. 解析 根据导数的几何意义及图象可知,

曲线y=f(x)在点P处的切线的斜率k=f′(2)=1, 又过点P(2,0), 所以切线方程为x-y-2=0.

解析答案

命题点2 未知切点的切线方程问题
例3 (1) 与直线 2x - y + 4 = 0 平行的抛物线 y = x2 的切线方程是 2x-y-1=0 ____________. 解析 对y=x2求导得y′=2x.
2 设切点坐标为(x0,x0),

则切线斜率为k=2x0. 由2x0=2得x0=1, 故切线方程为y-1=2(x-1), 即2x-y-1=0.
解析答案

(2)已知函数f(x)=xln x,若直线l过点(0,-1),并且与曲线y=f(x) x-y-1=0 相切,则直线l的方程为____________. 解析 ∵点(0,-1)不在曲线f(x)=xln x上, ∴设切点为(x0,y0). 又∵f′(x)=1+ln x,
? ?y0=x0ln x0, ∴? ? ?y0+1=?1+ln x0?x0,

解得x0=1,y0=0. ∴切点为(1,0),∴f′(1)=1+ln 1=1. ∴直线l的方程为y=x-1,即x-y-1=0.
解析答案

命题点3 和切线有关的参数问题
1 2 7 例 4 已知 f(x)=ln x, g(x)= x +mx+ (m<0), 直线 l 与函数 f(x), 2 2 -2 g(x)的图象都相切,且与 f(x)图象的切点为(1,f(1)),则 m=____. 1 解析 ∵f′(x)=x,

∴直线l的斜率为k=f′(1)=1.
又f(1)=0,∴切线l的方程为y=x-1. g′(x)=x+m,

设直线l与g(x)的图象的切点为(x0,y0),
1 2 7 则有 x0+m=1,y0=x0-1,y0=2x0+mx0+2,m<0, 于是解得m=-2.
解析答案

命题点4 导数与函数图象的关系
例5 如图,点A(2,1),B(3,0),E(x,0)(x≥0),过点E作OB的垂线l.记
△AOB在直线l左侧部分的面积为S,则函数S=f(x)的图象为下图中的

____(填序号).

思维升华

解析答案

跟踪训练2
(1)已知函数f(x)=x3-3x,若过点A(0,16)且与曲线y=f(x)相切的直线方程为y =ax+16,则实数a的值是________.

解析答案

(2)若直线y=2x+m是曲线y=xln x的切线,则实数m的值为____. -e 解析 设切点为(x0,x0ln x0),
1 由 y′=(xln x)′=ln x+x· x =ln x+1, 得切线的斜率k=ln x0+1,

故切线方程为y-x0ln x0=(ln x0+1)(x-x0),
? ?ln x0+1=2, 整理得 y=(ln x0+1)x-x0,与 y=2x+m 比较得? ? ?-x0=m,

解得x0=e,故m=-e.
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易错警示系列

易错警示系列

4.求曲线的切线方程条件审视不准致误

典例

(14分 )若存在过点 O(0,0)的直线l 与曲线y=x3 - 3x2+2x和 y=x2 +a

都相切,求a的值.

易错分析

由于题目中没有指明点 O(0,0)的位置情况,容易忽略点O在

曲线y=x3-3x2+2x上这个隐含条件,进而不考虑O点为切点的情况.

温馨提醒

易错分析

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思想方法 感悟提高

方法与技巧

1.f′(x0)代表函数f(x)在x=x0处的导数值;(f(x0))′是函数值f(x0)的导数,

而函数值f(x0)是一个常数,其导数一定为0,即(f(x0))′=0.
2.对于函数求导,一般要遵循先化简再求导的基本原则.在实施化简时,

首先必须注意变换的等价性,避免不必要的运算失误.
3.未知切点的曲线切线问题,一定要先设切点,利用导数的几何意义

表示切线的斜率建立方程.

失误与防范
1.利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号,防止与乘法公式 混淆. 2.求曲线切线时,要分清在点P处的切线与过P点的切线的区别,前者只 有一条,而后者包括了前者. 3.曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个,这和研究直线与二次 曲线相切时有差别.

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1. 已知函数 f(x) 的导函数为 f′(x) ,且满足 f(x) = 2xf′(1) + ln x ,则 -1 f′(1)=____. 解析 由f(x)=2xf′(1)+ln x, 1 得 f′(x)=2f′(1)+ . x ∴f′(1)=2f′(1)+1,

则f′(1)=-1.

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1 2.已知曲线y=ln x的切线过原点,则此切线的斜率为___. e 1 解析 y=ln x 的定义域为(0,+∞),且 y′=x, 1 设切点为(x0,ln x0),则曲线在 x=x0 处的切线斜率 k=x ,
0

1 切线方程为 y-ln x0= (x-x0), x0 因为切线过点(0,0),

1 解得 x0=e,故此切线的斜率为e.
解析答案

所以-ln x0=-1,

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3.已知函数f(x)的导数为f′(x),且满足关系式f(x)=x2+3xf′(2)+ln x, 9 -4 则f′(2)的值等于______.

解析 因为f(x)=x2+3xf′(2)+ln x,

1 所以 f′(x)=2x+3f′(2)+ , x 1 所以 f′(2)=2×2+3f′(2)+ , 2 9 解得 f′(2)=-4.
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4.设曲线y=ax-ln x在点(1,1)处的切线方程为y=2x,则a=___. 3 解析 令f(x)=ax-ln x,

1 则 f′(x)=a- . x 由导数的几何意义可得在点(1,1)处的切线的斜率为f′(1)=a-1.
又切线方程为y=2x,

则有a-1=2,∴a=3.

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5.已知a为常数,若曲线y=ax2+3x-ln x存在与直线x+y-1=0垂直的 ? ? 1 ? ? - ,+ ∞ ? ? 2 ? ? 切线,则实数a的取值范围是___________. 解析 由题意知曲线上存在某点的导数为1, 1 所以 y′=2ax+3-x=1 有正根, 即2ax2+2x-1=0有正根.

当a≥0时,显然满足题意;

1 1 当 a<0 时,需满足 Δ≥0,解得-2≤a<0. 综上,a≥-2.
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-1 6.设函数f(x)=x(x+k)(x+2k)(x-3k),若f′(0)=6,则k=_____. 解析 ∵f(x)=x(x+k)(x+2k)(x-3k)=x4-7k2x2-6k3x,
∴f′(x)=4x3-14k2x-6k3,

∴f′(0)=-6k3=6,解得k=-1.

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b 7.在平面直角坐标系 xOy 中, 若曲线 y=ax +x (a, b 为常数)过点 P(2, -5), 且该曲线在点 P 处的切线与直线 7x+2y+3=0 平行,则 a+b 的值是____. -3

b b 解析 y=ax +x的导数为 y′=2ax-x2, 7 直线 7x+2y+3=0 的斜率为-2. ? ?4a+b=-5, ? 2 ? ?a=-1, 由题意得? 解得? 则 a+b=-3. b 7 ? ? b=-2, ? 4a-4=-2, ? ?
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8.(2015· 课标全国Ⅱ)已知曲线y=x+ln x在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+ (a+2)x+1相切,则a=________.

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9.已知曲线y=x3+x-2在点P0处的切线l1平行于直线4x-y-1=0,
且点P0在第三象限.

(1)求P0的坐标;
解 由y=x3+x-2,得y′=3x2+1,

由已知令3x2+1=4,解之得x=±1.
当x=1时,y=0;

当x=-1时,y=-4.
又∵点P0在第三象限,

∴切点P0的坐标为(-1,-4).
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(2)若直线l⊥l1,且l也过切点P0,求直线l的方程. 解 ∵直线l⊥l1,l1的斜率为4,

1 ∴直线 l 的斜率为-4.
∵l过切点P0,点P0的坐标为(-1,-4),
1 ∴直线 l 的方程为 y+4=- (x+1), 4

即x+4y+17=0.

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b 10.设函数 f(x)=ax- ,曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为 x 7x-4y-12=0. (1)求 f(x)的解析式;
7 解 方程 7x-4y-12=0 可化为 y= x-3. 4

b 1 当 x=2 时,y=2. 又 f′(x)=a+x2, ? ?2a-b=1, ? 2 2 ? ?a=1, 3 于是? 解得? 故 f(x)=x- . x b 7 ? ? b=3. ? a+4=4, ? ?
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(2)证明:曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的 三角形的面积为定值,并求此定值.

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1 11.已知函数 f(x)= x+1,g(x)=aln x,若在 x=4处函数 f(x)与 g(x)的图 1 4 象的切线平行,则实数 a 的值为___.

1 a 解析 由题意可知 f ? ? x ? ? x ,g′(x)= , x 2 1 ? 1 1 2 a 1 1 由 f′( )=g′( ),得 ? ( ) = , 4 4 1 2 4 4 1 1 可得 a=4,经检验,a=4满足题意.
?

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12.曲边梯形由曲线y=x2+1,y=0,x=1,x=2所围成,过曲线y=x2+1 (x∈[1,2]) 上一点 P 作切线,使得此切线从曲边梯形上切出一个面积最大 的普通梯形,则这一点的坐标为_________.

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1 2 13.若函数 f(x)=2x -ax+ln x 存在垂直于 y 轴的切线, 则实数 a 的取值范 [2,+∞) 围是__________.
1 2 解析 ∵f(x)=2x -ax+ln x, 1 ∴f′(x)=x-a+x.

∵f(x)存在垂直于y轴的切线,
∴f′(x)存在零点, 1 1 即 x+x-a=0 有解,∴a=x+x≥2.
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14.已知曲线 f(x) = xn + 1(n∈N*) 与直线 x = 1 交于点 P ,设曲线 y = f(x) 在 点P处的切线与 x轴交点的横坐标为 xn,则log2 log2 016x2 015的值为____.
016x1 + log2 016x2 + ? +

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15.已知函数f(x)=ax3+3x2-6ax-11,g(x)=3x2+6x+12和直线m:y=kx+9, 且f′(-1)=0. (1)求a的值; 解 由已知得f′(x)=3ax2+6x-6a, ∵f′(-1)=0, ∴3a-6-6a=0, ∴a=-2.

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(2)是否存在k,使直线m既是曲线y=f(x)的切线,又是曲线y=g(x)的切线? 如果存在,求出k的值;如果不存在,请说明理由.

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