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二项式定理公开课


复习课

二项式定理

n (a ? b) ? ?
龙 岩 高 中:苏 聪 滨
2010年1月18日

基础整合
0 n n

n 1。二项式定理:(a+b) ?
C a + C a b + ? + C a b + ? + C b (n ? N *)
1 n-1 n r n-r r n n n n

右边多项式叫(a+b)n的二项展开式;

C , C , C ,?C ,?C 叫二项式系数;

0 n

1 n

2 n

r n

n n

C a

r n

n?r

b

r

叫二项展开式的通项,它表示第r+1项

用Tr+1表示即

Tr+1 =C a b

r n

n-r

r

2。二项式系数的性质 :
(1)对称性:与首末两端“等距离”的两个二项式系 1 n ?1 0 n 数 ? ? C C C C 相等,即 n n n n … C ? C
k n k ?1 n

? 1) 项)的 (2)最大值:当n为偶数时,中间一项(即第( n 2

二项式系数 C n 取得最大值;
?1 n ? 3 , 当n为奇数时,中间两项(即第 n 2 2 项)的二项式

n 2

系数

C , C 相等,且同时取得最大值。
n n

n ?1 2

n ?1 2

(3)二项式系数的和:
0 1 2 r n Cn ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ? ? ? Cn ? 2n

1 3 5 0 2 4 Cn ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ? Cn ? Cn ? ? ? 2n ?1

1 10 例1:求 (1 ? x ) (1 ? 4 ) 展开式中的常数项。 x
3 6

变式:

3 ( 已知在 x ? 3

3 x

)n

的展开式中,第6项为常数项。

(1)求 n ;(2)求含 x 2 的项的系数;(3)展开式中所 有的有理项。
r 思路点拨: 通项: Tr ?1 ? Cn x n?r 3

(?3)r x

?

r 3

r ? (?3)r Cn x

n ?2 r 3

n ? 2r ? 0;? n ? 10 (1)第6项为常数项,? r ? 5,? 3 2 (2)10 ? 2r ? 2, r ? 2,?含 x 2的项的系数为 (?3)2 C10 ? 9 ? 45 ? 405 3 n ? 2r (3) 3 ? Z , 0 ? r ? 10, r ? Z

? r ? Z ,? k应该为偶数, ? k ? ?2,0, 2;即r ? 2,5,8. ? 有理项为T3 ? 405 x 2 , T6 ? ?61236, T9 ? 295245 x ?2 .

10 ? 2r 3 令 ? k (k ? Z ), 则10 ? 2r ? 3k , 则r ? 5 ? k 3 2

例题点评
求二项展开式的某一项,或者求满足某种条 件的项,或者求某种性质的项,如含有x 3 项 的系数,有理项,常数项等,通常要用到二项 式的通项求解. 注意(1)二项式系数与系数的区别. r n?r r (2) 通项公式 Tr ?1 ? Cn a b 1 ,而不是第 r 项, 表示的是第 r ?项 且a、b位置不能对换。

例2:二项式 (2 x ? 3 y)9展开式中,求(1)二项式系数之和
(2)各项系数之和;(3)所有奇数项系数之和;
(4)系数绝对值的和。 解:设 (2 x ? 3 y )9 ? a0 x9 ? a1 x8 y ? a2 x 7 y 2 ? ... ? a9 y 9

0 1 2 9 9 (1)二项式系数之和为: C9 ? C9 ? C9 ? ... ? C9 ? 2

9 a ? a ? a ? ... ? a ? (2 ? 3) ? ?1 x ? 1, y ? 1. 令 ( 2) 得 0 1 2 9 (3)由(2)知 a0 ? a1 ? a2 ? ... ? a9 ? ?1....... ① 令 x ? 1, y ? ?1.得 a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? ... ? a8 ? a9 ? (2 ? 3)9 ? 59...... ②

①? ② 得
0

( 4)

a ?a ?a
1

59 ? 1 a0 ? a2 ? a4 ? a6 ? a8 ? 2
2

? ... ? a 9

? a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? ... ? a8 ? a9 ? 59

赋值法:
若 f ( x) ? (ax?b) ? a 0 ? a1x ? a 2 x ? ... ? a n x
n 2 n

则(1)令

x ? 0得 a0 ? f (0)?b

n

(2)令x=1,则可得所有项的系数和:
n ? ? ? ... ? ? f (1) ? ( a ? b ) a 0 a1 a 2 an

(3)奇数项系数之和为
1 1 [ f (1) ? f (?1)] ? [(a ? b)n ? (a ? b)n ] 2 2

偶数项系数之和为
1 1 [ f (1) ? f (?1)] ? [(a ? b)n ? (a ? b) n ] 2 2

变式2-1:已知 (1?2x) a ? a ? ... ? a (2)a ? a ? a 求(1) a ? a ? a ? a (4)a ? a ? a (3 )
7
1 2 7

? a 0 ? a1x ? a 2 x ? ...a 7 x .
2 7
1 3 5

? a7

0

2

4

6

0

1

2

? ... ?

a

7

解: 令 x ? 1,则 a 0 ? a1 ? a 2 ? a 3?a 4 ? a 5 ? a 6 ? a 7 ? ?1...(1)
7 ? ? ? ? ? ? ? 3 令x ? ?1, 则 a 0 a1 a 2 a 3?a 4 a 5 a 6 a 7 ...(2)

0 (1) ? a 0 ? C7 ? 1, a1 ? a 2 ? a 3?a 4 ? a 5 ? a 6 ? a 7 ? ?2

?1 ? 37 (3) ? ((1) ? (2)) ? 2得a 0 ? a 2 ? a 4 ? a 6 ? ? 1093 2 (4)(1 ? 2 x)7展开式中 a 0, a 2, a 4, a 6 大于零, a1, a 3, a 5, a 7 小于零
? a 0 ? a1 ? a 2 ? ... ? a 7 ? (a 0 ? a 2 ? a 4 ? a 6) ? (a1 ? a 3 ? a 5 ? a 7) ? 2187

?1 ? 37 (2) ? ((1) ?(2)) ?2得:a ? a 3 ? a 5 ? a 7 ? ? ?1094 1 2

例3:已知

1 ( ? 2 x) n , 2

(1)若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成 等差数列,求展开式中二项式系数最大项的系数;
4 6 5 ? C ? C ? 2 C 解:(1) n n n ? n ? 7; 或 n ? 14 ? n2 ? 21n ? 98 ? 0

当 n ? 7时,展开式中二项式系数最大的项为 T4 和 T5 。

?T4

1 4 3 35 4 1 3 4 ? C 的系数 ? C ( ) 2 ? ?T5 的系数 7 ( ) 2 ? 70 2 2 2
3 7

当n ? 14 时,展开式中二项式系数最大的项为 T8 。
7 7 7 的系数 ? C ( ) 2 ? 3432 ?T8 14 2

1

1 例3:已知 ( ? 2 x)n , 2 (2)若展开式中前三项的二项式系数和等于79,求展开式 系数最大的项。 0 1 2 C ? C ? C 解:(2)由 n n n ? 79, 可得 n ? 12 1 1 12 设 Tr ?1 项的系数最大。 ? ( ? 2 x) ? ( )12 (1 ? 4 x)12 2 2 r r ?1 r ?1 ? Tr ?1 ? Tr ?C12 4 r ? C12 4 ? ? r r r ?1 r ?1 T ? T ? r ?1 r ?2 C 4 ? C ? 12 12 4

?9.4 ? r ? 10.4? r ? 10 展开式中系数最大的项为 T11 1 12 10 10 10 T11 ? ( ) C12 4 x ? 16896 x10 . 2

变式3-1:已知 ( 3 x ? x 2 )2 n 的展开式的二项式系数和比
(3x ? 1) 的展开式的二项式系数和大992,求 (2 x ? 1 )2n
n

x

的展开式中(1)二项式系数最大的项;(2)系数 的绝对值最大的项。
n n (2 ? 32)(2 ? 31) ? 0 解: 2 ? 2 ? 992 即

2n

n

? 2 ? 32,? n ? 5
n

1 10 (2 x ? ) 的展开式中 (1)由二项式系数的性质知, x

第6项的二项式系数最大。即 C ? 252
5 10

变式3-1:已知 ( 3 x ? x 2 ) 2 n 的展开式的二项式系数和比
(3x ? 1) n的展开式的二项式系数和大992,(2)求 (2 x ? 1 )2n
x

的展开式中系数的绝对值最大的项。 (2)设第r+1项的系数的绝对值最大,即 Tr ? Tr ?1 , Tr ?1 ? Tr ?2
?Tr ?1 ? C (2 x)
r 10 10? r

1 r r 10? 2 r (? ) ? (?1)r 210?r C10 x x
r r ?1 C10 ? 2C10 r r ?1 2C10 ? C10

r 10 ? r r ?1 10 ? r ?1 C10 2 ? C10 2

C 2
解得

r 10 ? r 10

?C

r ?1 10

2

? 10 ? r ?1

? 2(r ? 1) ? 10 ? r

11 ? r ? 2r

8 11 ? r ? ? r ? Z ? r ? 3. 3 3

3 7 4 4 T ? T ? ? C 2 x ? ? 15360 x . 故系数的绝对值最大的是第4项 4 3?1 10

(1)求展开式中某特定项(如有理项、常数项)或某 r 指定的项(如第 r ?1项,含 a 项)以及指定项的系数、 二项式系数等问题。
(2)证明整除性或求余数。 (3)进行近似计算。

1 ? 2 ? 22 ? ... ? 25n?1 (n ? N *)能被31整除; 例4(1)求证:
5n 2 ?1 证明: 1 ? 2 ? 22 ? ... ? 25 n?1 ? 2 ?1

? 2 ? 1 ? 32 ? 1 ? (31 ? 1) ? 1
5n n n

? C ? 31 ? C ? 31 ? ... ? C
0 n n 1 n

n ?1

n ?1 n

? 31 ? C ?1
n n n ?1 n

? 31(C ? 31 ? C ? 31
0 n 1 n

n ?1

n ?2

? ... ? C )

1 n ?1 ? 31n?2 ? ... ? Cn ) 为整数; 显然上式 (Cn0 ? 31n?1 ? Cn

? 原式能被31整除

题型4:二项式定理的应用
1 2 27 例4(2)求 S ? C27 ? C27 ? ... ? C27 除以9的余数。

解: S ? C ? C ? ... ? C
1 27 2 27
27 9

27 27
9

? 2 ? 1 ? 8 ? 1 ? (9 ? 1) ? 1

? C ? 9 ? C ? 9 ? ... ? C ? 9 ? C ? 1
0 9 9 1 9 8 8 9 9 9

? 9(C ? 9 ? C ? 9 ? ... ? C ) ? 2
0 9
1 9

8

1 9

7

8 9

? C ? 9 ? C ? 9 ? ... ? C 是正整数,
0 9 8 7 8 9

S被9除的余数是7。

例题点评

小结:
1、二项式定理及结构特征
0 n 1 n ?1 2 n?2 2 r n?r r n n ( a ? b) n ? C n a ? Cn a b ? Cn a b ? ? ? Cn a b ? ? ? Cn b

2、二项式系数与项系数不同 r n-r r Tr+1 =Cn a b 3、通项公式

作用:求任一项;求某一项系数 关键:明确r

4.二项式定理展开式以及通项公式的应用

作业 导与练第三节 P179~180

教学反思

变式训练:
(1)求
( x2 ? 1 9 ) 展开式中的常数项。 2x

a x 9 ( ? (2)已知 x 2 ) 展开式中

x 的系数为

3

9 4 ,求常数a的值。

(1)解:

Tr ?1 ? C9r ( x 2 )9?r (?

1 r 1 ) ? (? )r C9r x18?3r 2x 2

令 18 ? 3r ? 0



1 21 6 r ? 6 ?T6?1 ? (? )6 C9 ? 2 16

(2)解: Tr ?1 ? C9r ( a )9?r (?
x

x r ) ? (?1) r 2 2
?4 8 9

1 ? r 2

a 9? r C9r x

3r 2

?9



3 r ? 9 ? 3.? r ? 8 2

9 ? 2 C a ? ,? a ? 4 4



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