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线性代数新教材课件ch-1-1_图文

第一章 行列式
本章将从二元、三元线性方程组的解引出二阶及三阶 行列式的概念,然后推广到 n 阶行列式,最后给出解n 元线性方程组的克拉默法则.

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第一节 二阶、三阶行列式
行列式的概念是人们从解线性方程组的需要中建立起来的.
考虑二元线性方程组

? a11 x1 ? a12 x 2 ? b1 , ? ?a 21 x1 ? a 22 x 2 ? b2 ,
这里 b1 , b2 是常数项, aij 叫做未知量系数.
下标 i 表示它 在第 i 个方程

(1.1)

下标 j 表示它是第 j 个未知量的系数

下面用消元法解此方程组.
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? a11 x1 ? a12 x 2 ? b1 , ? ?a 21 x1 ? a 22 x 2 ? b2 ,
( a11 a 22 ? a12 a 21 ) x1 ? b1a 22 ? b2 a12 .
类似地,消去 x1,得

(1.1)

(第一个方程) ? a22 ? (第二个方程) ? a12 ,消去 x2 ,得

(a11a22 ? a12a21) x2 ? b1a21 ? b2a11.
故当 a11a22 ? a12 a21 ? 0 时,(1.1)有惟一解:

b1a 22 ? b2 a12 b2 a11 ? b1a 21 x1 ? , x2 ? . a11 a 22 ? a12 a 21 a11 a 22 ? a12 a 21
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为方便记,引进记号

D?

a11 a21

a12 a22

? a11a22 ? a12 a21.

D 叫做二阶行列式.
它含有两行、两列,横写的叫做行,竖写的叫做列.
行列式中数又叫行列式的元素. 如 a21是第 2 行第 1 列元素.
二阶行列式的值是这样两项的代数和:

一项是从左上角到右下角的对角线(又称主对角线)上 两个元素的乘积,取正号; 另一项是从右上角到左下角的
对角线上两个元素的乘积,取负号.
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利用二阶行列式,线性方程组(1.1)解的结果可写为:
当 D?

a11 a 21

a12 a 22

? 0 时,方程组(1.1)有惟一解:
D2 x2 ? , D a11 b1 , D2 ? . a 21 b2

其中

D1 ?

D1 x1 ? , D b1 a12

b2

a 22

称 为方程组 (1.1)的系数矩阵. 当Da 11 a22 ? a12 a21 ? 0 时,(1.1)有惟一解:

b1? aa ? b a b2 a11 ? b1a 21 x ? a x ? b , 22 2 12 11 1 12 2 1 x1 ? ? , x2 ? . (1.1) a11 aa ? a a 21 22 12 x ? a ? 21 1 22 x 2 ? b2 , a11 a 22 ? a12 a 21
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例1

解线性方程组

? 2 x1 ? 3x2 ? 8, ? ? x1 ? 2 x2 ? ?3.
解 因

2 3 D? ? ? 4 ? 3 ? ?7 ? 0 , 1 ?2
8 3 2 8

所以方程组有惟一解.


D1 ?

?3 ?2

? ?7, D2 ?

1 ?3

? ?14.

D2 D1 ? 1, x2 ? ? 2. 方程组的惟一解为: x1 ? D D
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完全类似地,对于三元线性方程组

? a11 x1 ? a12 x 2 ? a13 x3 ? b1 , ? ?a 21 x1 ? a 22 x 2 ? a 23 x3 ? b2 , ?a x ? a x ? a x ? b , ? 31 1 32 2 33 3 3
利用消元法可知,当

(1.6)

D ? a11a22 a33 ? a12 a23 a31 ? a13 a21a32 ? a11a23 a32 ? a12 a21a33 ? a13 a22 a31 ? 0,
方程组(1.6)有惟一解:

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1 x1 ? (b1a22 a33 ? a12 a23b3 ? a13b2 a32 ? b1a23 a32 D ? a12 b2 a33 ? a13 a22 b3 ),
1 x2 ? (a11b2 a33 ? b1a23 a31 ? a13 a21b3 ? a11a23b3 D ? b1a21a33 ? a13b2 a31 ),

1 x3 ? (a11a22 b3 ? a12 b2 a31 ? b1a21a32 ? a11b2 a32 D ? a12 a21b3 ? b1a22 a31 ).

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为方便记,我们引进三阶行列式

a11 a21 a31

a12 a22 a32

a13 a23 ? a11a22 a33 ? a12 a23 a31 ? a13 a21a32 a33 ? a11a23 a32 ? a12 a21a33 ? a13 a22 a31

其值是六项的 它是由九个数排成三行、三列的一个方块, 代数和, 每一项均为不同行不同列的三个元素之积再冠以

适当的正负号.

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2 ?1 1 D ? 3 2 ?5 1 3 ?2

? ?8 ?5 ?9 ?30 ?6 ?2

? 28.

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利用三阶行列式,三元线性方程组(1.6)解的结果可写为:

a11
当 D ? a 21

a12 a 22 a32

a13 a 23 ? 0时,方程组(1.6)有惟一解: a33

a31

D3 D2 D1 x1 ? , x2 ? , x3 ? , D D D
其中

b1 D1 ? b2 b3

a12 a 22 a32

a13

a11

b1 b2 b3

a13

a11

a12 a 22 a32
结束

b1 b2 b3

a 23 , D2 ? a 21 a33 a31

a 23 , D3 ? a 21 a33 a31

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以上求解线性方程组的方法称为克拉默(Cramer)法则.

例 2 解线性方程组

? 2 x1 ? x 2 ? x3 ? 0, ? ?3x1 ? 2 x 2 ? 5 x3 ? 1, ? x ? 3x ? 2 x ? 4. ? 1 2 3
2 ?1
解 因 D? 3

1 ? 5 ? 28 ? 0, ?2

1

2 3

故方程组有惟一解.
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2 ?1 D? 3 1 2 3

1 ? 5 ? 28, ?2

0 ?1 D1 ? 1 4 2 3

1 ? 5 ? 13, ?2

2 0 1 D2 ? 3 1 ? 5 ? 47, 1 4 ?2
方程组的惟一解为:

2 ?1 0 D3 ? 3 2 1 ? 21. 1 3 4

13 47 21 x1 ? , x2 ? , x3 ? . 28 28 28

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下面我们对上述定义的二阶、三阶行列式做一分析.

补充定义一阶行列式为

a11 ? a11 .
注意 一阶行列式 a11 就等于 a11 .
二阶行列式的定义可以表述为:

D?

a11 a 21

a12 a 22

? a11 a 22 ? a12 a 21
? a11 a22 ? a12 a21 .

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三阶行列式的定义可以表述为:

a11 a21 a31

a12 a22 a32

a13 a23 ? a11a22 a33 ? a12 a23 a31 ? a13 a21a32 a33 ? a11a23 a32 ? a12 a21a33 ? a13 a22 a31

? a11

a22 a23 a32 a33

a21 ? a12 a31

a21 a23 ? a13 a31 a33

a22 . a32

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a11

a12

a21 a22

? a11 a22 ? a12 a21

a11 a31

a12 a32

a13

a21 a22

a23 ? a 11 a32 a33

a22 a23

a21 ? a12 a31 a33

a23 a21 a22 ? a13 a33 a31 a32

它们的规律是:把该行列式的第一行诸元素分别乘以划去该 元素所在的行和列之后剩下的低一阶行列式,前面冠以正、 负相间的符号,最后求其代数和.

按照此规律,利用递归方法可逐次定义四阶行列式、五阶 行列式等等.
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本节完.
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