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2015年山东省高考数学试卷(理科)


2015 年山东省高考数学试卷(理科)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 2 1. (5 分) (2015?山东)已知集合 A={x|x ﹣4x+3<0},B={x|2<x<4},则 A∩B=( A. (1,3) B. (1,4) C. (2,3) D. (2,4) 2. (5 分) (2015?山东)若复数 z 满足 A.1﹣i B.1+i C.﹣1﹣i D.﹣1+i )的图象,只需将函数 y=sin4x 的图象 =i,其中 i 为虚数单位,则 z=( )



3. (5 分) (2015?山东)要得到函数 y=sin(4x﹣ ( ) 单位 B.向右平移 单位 D.向右平移 单位 单位

A.向左平移 C.向左平移

4. (5 分) (2015?山东)已知菱形 ABCD 的边长为 a,∠ABC=60°,则 A.﹣ a
2

=(



B.﹣ a

2

C. a D . a

2

2

5. (5 分) (2015?山东)不等式|x﹣1|﹣|x﹣5|<2 的解集是( A. (﹣∞,4) B. (﹣∞,1) C. (1,4) D. (1,5)



6. (5 分) (2015?山东)已知 x,y 满足约束条件

,若 z=ax+y 的最大值为 4,则

a=( A.3

) B.2

C.﹣2 D.﹣3 ,AD∥BC,BC=2AD=2AB=2,将 )

7. (5 分) (2015?山东)在梯形 ABCD 中,∠ABC=

梯形 ABCD 绕 AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( A. B. C. D.2π

8. (5 分) (2015?山东)已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态分布 N(0,3 ) , 从中随机抽取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( ) (附:若随机变量 ξ 服从正态分布 N(μ,σ ) ,则 P(μ﹣σ<ξ<μ+σ)=68.26%,P(μ﹣2σ <ξ<μ+2σ)=95.44%) A.4.56% B.13.59% C.27.18% D.31.74% 2 9. (5 分) (2015?山东)一条光线从点(﹣2,﹣3)射出,经 y 轴反射后与圆(x+3) +(y 2 ﹣2) =1 相切,则反射光线所在直线的斜率为( ) A.﹣ 或﹣ B.﹣ 或﹣ C.﹣ 或﹣ D.﹣ 或﹣
2

2

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10. (5 分) (2015?山东)设函数 f(x)= 的取值范围是( ) C.[ ,+∞)

,则满足 f(f(a) )=2

f(a)

的a

A.[ ,1] B.[0,1]

D.[1,+∞)

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11. (5 分) (2015?山东)观察下列各式: C C C C … 照此规律,当 n∈N 时, C +C +C +…+C = . ],tanx≤m”是真命题,则实数 m 的最小值
*

=4 ; +C +C +C =4 ; +C +C =4 ; +C =4 ;
3 2 1

0

12. (5 分) (2015?山东)若“? x∈[0,

为 . 13. (5 分) (2015?山东)执行如图程序框图,输出的 T 的值为



14. (5 分) (2015?山东)已知函数 f(x)=a +b(a>0,a≠1)的定义域和值域都是[﹣1, 0],则 a+b= .

x

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15. (5 分) (2015?山东)平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 C1:
2



=1(a>0,b>0)

的渐近线与抛物线 C2:x =2py(p>0)交于点 O,A,B,若△OAB 的垂心为 C2 的焦点, 则 C1 的离心率为 . 三、解答题 16. (12 分) (2015?山东)设 f(x)=sinxcosx﹣cos (x+ (Ⅰ)求 f(x)的单调区间; (Ⅱ)在锐角△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 f( )=0,a=1,求△ABC 面积的最大值. 17. (12 分) (2015?山东)如图,在三棱台 DEF﹣ABC 中,AB=2DE,G,H 分别为 AC, BC 的中点. (Ⅰ)求证:BD∥平面 FGH; (Ⅱ)若 CF⊥平面 ABC,AB⊥BC,CF=DE,∠BAC=45°,求平面 FGH 与平面 ACFD 所 成的角(锐角)的大小.
2

) .

18. (12 分) (2015?山东)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 2Sn=3 +3. (Ⅰ)求{an}的通项公式; (Ⅱ)若数列{bn},满足 anbn=log3an,求{bn}的前 n 项和 Tn. 19. (12 分) (2015?山东)若 n 是一个三位正整数,且 n 的个位数字大于十位数字,十位数 字大于百位数字,则称 n 为“三位递增数”(如 137,359,567 等) .在某次数学趣味活动中, 每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取 1 个数,且只能抽取一次,得分规则如下: 若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被 5 整除,参加者得 0 分,若能被 5 整除,但不 能被 10 整除,得﹣1 分,若能被 10 整除,得 1 分. (Ⅰ)写出所有个位数字是 5 的“三位递增数”; (Ⅱ)若甲参加活动,求甲得分 X 的分布列和数学期望 EX. 20. (13 分) (2015?山东)平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C: + =1(a>b>0)的

n

离心率为

,左、右焦点分别是 F1,F2,以 F1 为圆心以 3 为半径的圆与以 F2 为圆心以 1

为半径的圆相交,且交点在椭圆 C 上. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

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(Ⅱ)设椭圆 E:

+

=1,P 为椭圆 C 上任意一点,过点 P 的直线 y=kx+m 交椭圆 E

于 A,B 两点,射线 PO 交椭圆 E 于点 Q. (i)求| |的值;

(ii)求△ABQ 面积的最大值. 21. (14 分) (2015?山东)设函数 f(x)=ln(x+1)+a(x ﹣x) ,其中 a∈R, (Ⅰ)讨论函数 f(x)极值点的个数,并说明理由; (Ⅱ)若? x>0,f(x)≥0 成立,求 a 的取值范围.
2

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2015 年山东省高考数学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 2 1. (5 分) (2015?山东)已知集合 A={x|x ﹣4x+3<0},B={x|2<x<4},则 A∩B=( A. (1,3) B. (1,4) C. (2,3) D. (2,4) 【分析】求出集合 A,然后求出两个集合的交集. 2 【解答】解:集合 A={x|x ﹣4x+3<0}={x|1<x<3},B={x|2<x<4}, 则 A∩B={x|2<x<3}=(2,3) . 故选:C. 【点评】本题考查集合的交集的求法,考查计算能力.



2. (5 分) (2015?山东)若复数 z 满足

=i,其中 i 为虚数单位,则 z=(



A.1﹣i B.1+i C.﹣1﹣i D.﹣1+i 【分析】直接利用复数的乘除运算法则化简求解即可. 【解答】解: =i,则 =i(1﹣i)=1+i,

可得 z=1﹣i. 故选:A. 【点评】本题考查复数的基本运算,基本知识的考查.

3. (5 分) (2015?山东)要得到函数 y=sin(4x﹣ ( ) 单位 B.向右平移 单位 D.向右平移 单位 单位

)的图象,只需将函数 y=sin4x 的图象

A.向左平移 C.向左平移

【分析】直接利用三角函数的平移原则推出结果即可. 【解答】解:因为函数 y=sin(4x﹣ 要得到函数 y=sin(4x﹣ )=sin[4(x﹣ )], 单位.

)的图象,只需将函数 y=sin4x 的图象向右平移

故选:B. 【点评】本题考查三角函数的图象的平移,值域平移变换中 x 的系数是易错点.

4. (5 分) (2015?山东)已知菱形 ABCD 的边长为 a,∠ABC=60°,则 A.﹣ a
2

=(



B.﹣ a

2

C. a D . a , ,根据

2

2

【分析】由已知可求

=(

)?

=

代入可求

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【解答】解:∵菱形 ABCD 的边长为 a,∠ABC=60°, ∴ 则 =a , =(
2

=a×a×cos60°= )? =

, =

故选:D 【点评】本题主要考查了平面向量数量积的定义的简单运算,属于基础试题 5. (5 分) (2015?山东)不等式|x﹣1|﹣|x﹣5|<2 的解集是( ) A. (﹣∞,4) B. (﹣∞,1) C. (1,4) D. (1,5) 【分析】运用零点分区间,求出零点为 1,5,讨论①当 x<1,②当 1≤x≤5,③当 x>5, 分别去掉绝对值,解不等式,最后求并集即可. 【解答】解:①当 x<1,不等式即为﹣x+1+x﹣5<2,即﹣4<2 成立,故 x<1; ②当 1≤x≤5,不等式即为 x﹣1+x﹣5<2,得 x<4,故 1≤x<4; ③当 x>5,x﹣1﹣x+5<2,即 4<2 不成立,故 x∈?. 综上知解集为(﹣∞,4) . 故选 A. 【点评】本题考查绝对值不等式的解法,主要考查运用零点分区间的方法,考查运算能力, 属于中档题.

6. (5 分) (2015?山东)已知 x,y 满足约束条件

,若 z=ax+y 的最大值为 4,则

a=( ) A.3 B.2 C.﹣2 D.﹣3 【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,利用数形结合确定 z 的最大值. 【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图: (阴影部分) . 则 A(2,0) ,B(1,1) , 若 z=ax+y 过 A 时取得最大值为 4,则 2a=4,解得 a=2, 此时,目标函数为 z=2x+y, 即 y=﹣2x+z, 平移直线 y=﹣2x+z,当直线经过 A(2,0)时,截距最大,此时 z 最大为 4,满足条件, 若 z=ax+y 过 B 时取得最大值为 4,则 a+1=4,解得 a=3, 此时,目标函数为 z=3x+y, 即 y=﹣3x+z, 平移直线 y=﹣3x+z,当直线经过 A(2,0)时,截距最大,此时 z 最大为 6,不满足条件, 故 a=2, 故选:B

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【点评】本题主要考查线性规划的应用,结合目标函数的几何意义,利用数形结合的数学思 想是解决此类问题的基本方法,确定目标函数的斜率关系是解决本题的关键.

7. (5 分) (2015?山东)在梯形 ABCD 中,∠ABC=

,AD∥BC,BC=2AD=2AB=2,将 )

梯形 ABCD 绕 AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( A. B. C. D.2π

【分析】画出几何体的直观图,利用已知条件,求解几何体的体积即可. 【解答】解:由题意可知几何体的直观图如图:旋转体是底面半径为 1,高为 2 的圆柱,挖 去一个相同底面高为 1 的倒圆锥, 几何体的体积为: 故选:C. = .

【点评】本题考查几何体的体积的求法,考查空间想象能力以及计算能力.画出几何体的直 观图是解题的关键. 8. (5 分) (2015?山东)已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态分布 N(0,3 ) , 从中随机抽取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( ) 2 (附:若随机变量 ξ 服从正态分布 N(μ,σ ) ,则 P(μ﹣σ<ξ<μ+σ)=68.26%,P(μ﹣2σ <ξ<μ+2σ)=95.44%) A.4.56% B.13.59% C.27.18% D.31.74% 【分析】由题意 P(﹣3<ξ<3)=68.26%,P(﹣6<ξ<6)=95.44%,可得 P(3<ξ<6)= (95.44%﹣68.26%) ,即可得出结论.
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2

【解答】解:由题意 P(﹣3<ξ<3)=68.26%,P(﹣6<ξ<6)=95.44%, 所以 P(3<ξ<6)= (95.44%﹣68.26%)=13.59%. 故选:B. 【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义,考查正态分布中两个量 μ 和 σ 的应用,考查曲线的对称性,属于基础题. 9. (5 分) (2015?山东)一条光线从点(﹣2,﹣3)射出,经 y 轴反射后与圆(x+3) +(y 2 ﹣2) =1 相切,则反射光线所在直线的斜率为( ) A.﹣ 或﹣ B.﹣ 或﹣ C.﹣ 或﹣ D.﹣ 或﹣
2

【分析】点 A(﹣2,﹣3)关于 y 轴的对称点为 A′(2,﹣3) ,可设反射光线所在直线的方 程为:y+3=k(x﹣2) ,利用直线与圆相切的性质即可得出. 【解答】解:点 A(﹣2,﹣3)关于 y 轴的对称点为 A′(2,﹣3) , 故可设反射光线所在直线的方程为:y+3=k(x﹣2) ,化为 kx﹣y﹣2k﹣3=0. 2 2 ∵反射光线与圆(x+3) +(y﹣2) =1 相切, ∴圆心(﹣3,2)到直线的距离 d= 化为 24k +50k+24=0, ∴k= 或﹣ .
2

=1,

故选:D. 【点评】 本题考查了反射光线的性质、 直线与圆相切的性质、 点到直线的距离公式、 点斜式、 对称点,考查了计算能力,属于中档题.

10. (5 分) (2015?山东)设函数 f(x)= 的取值范围是( ) C.[ ,+∞)
t

,则满足 f(f(a) )=2

f(a)

的a

A.[ ,1] B.[0,1]

D.[1,+∞)

【分析】令 f(a)=t,则 f(t)=2 ,讨论 t<1,运用导数判断单调性,进而得到方程无解, 讨论 t≥1 时,以及 a<1,a≥1,由分段函数的解析式,解不等式即可得到所求范围. 【解答】解:令 f(a)=t, 则 f(t)=2 , t 当 t<1 时,3t﹣1=2 , t t 由 g(t)=3t﹣1﹣2 的导数为 g′(t)=3﹣2 ln2, 在 t<1 时,g′(t)>0,g(t)在(﹣∞,1)递增, 即有 g(t)<g(1)=0, t 则方程 3t﹣1=2 无解; t t 当 t≥1 时,2 =2 成立, 由 f(a)≥1,即 3a﹣1≥1,解得 a≥ ,且 a<1;
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t

或 a≥1,2 ≥1 解得 a≥0,即为 a≥1. 综上可得 a 的范围是 a≥ . 故选 C. 【点评】本题考查分段函数的运用,主要考查函数的单调性的运用,运用分类讨论的思想方 法是解题的关键. 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11. (5 分) (2015?山东)观察下列各式: C C C C … 照此规律,当 n∈N 时, C +C +C +…+C = 4
n﹣1 *

a

=4 ; +C +C +C =4 ; +C +C =4 ; +C =4 ;
3 2 1

0



【分析】仔细观察已知条件,找出规律,即可得到结果. 【解答】解:因为 C C C C +C +C +C =4 ; +C +C =4 ; +C =4 ;
3 2 1

=4 ;

0

… 照此规律,可以看出等式左侧最后一项,组合数的上标与等式右侧的幂指数相同, 可得:当 n∈N 时,C
n﹣1 *

+C

+C

+…+C

=4

n﹣1



故答案为:4 . 【点评】本题考查归纳推理的应用,找出规律是解题的关键. 12. (5 分) (2015?山东) 若“? x∈[0,

], tanx≤m”是真命题, 则实数 m 的最小值为

1 .

【分析】求出正切函数的最大值,即可得到 m 的范围. 【解答】解:“? x∈[0, ],tanx≤m”是真命题,

可得 tanx≤1,所以,m≥1, 实数 m 的最小值为:1.
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故答案为:1. 【点评】本题考查函数的最值的应用,命题的真假的应用,考查计算能力.

13. (5 分) (2015?山东)执行如图程序框图,输出的 T 的值为



【分析】模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的 n,T 的值,当 n=3 时不满足条件 n <3,退出循环,输出 T 的值为 .

【解答】解:模拟执行程序框图,可得 n=1,T=1 满足条件 n<3,T=1+ 满足条件 n<3,T=1+ xdx,n=2 xdx+ x dx=1+
2

= .

,n=3

不满足条件 n<3,退出循环,输出 T 的值为 故答案为:

【点评】 本题主要考查了循环结构的程序框图, 考查了定积分的应用, 属于基本知识的考查. 14. (5 分) (2015?山东)已知函数 f(x)=a +b(a>0,a≠1)的定义域和值域都是[﹣1, 0],则 a+b= .
x

【分析】对 a 进行分类讨论,分别题意和指数函数的单调性列出方程组,解得答案. x 【解答】解:当 a>1 时,函数 f(x)=a +b 在定义域上是增函数, 所以 ,

解得 b=﹣1, =0 不符合题意舍去; 当 0<a<1 时,函数 f(x)=a +b 在定义域上是减函数,
x

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所以



解得 b=﹣2,a= , 综上 a+b= 故答案为: 【点评】本题考查指数函数的单调性的应用,以及分类讨论思想,属于中档题. ,

15. (5 分) (2015?山东)平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 C1:
2



=1(a>0,b>0)

的渐近线与抛物线 C2:x =2py(p>0)交于点 O,A,B,若△OAB 的垂心为 C2 的焦点, 则 C1 的离心率为 .

【分析】求出 A 的坐标,可得

=

,利用△OAB 的垂心为 C2 的焦点,可得

×(﹣ )=﹣1,由此可求 C1 的离心率.

【解答】解:双曲线 C1:
2



=1(a>0,b>0)的渐近线方程为 y=± x,

与抛物线 C2:x =2py 联立,可得 x=0 或 x=±



取 A(



) ,设垂心 H(0, ) ,

则 kAH=

=



∵△OAB 的垂心为 C2 的焦点, ∴
2 2

×(﹣ )=﹣1,

∴5a =4b , 2 2 2 ∴5a =4(c ﹣a ) ∴e= = .
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故答案为: . 【点评】本题考查双曲线的性质,考查学生的计算能力,确定 A 的坐标是关键. 三、解答题 16. (12 分) (2015?山东)设 f(x)=sinxcosx﹣cos (x+ (Ⅰ)求 f(x)的单调区间; (Ⅱ)在锐角△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 f( )=0,a=1,求△ABC 面积的最大值. 【分析】 (Ⅰ)由三角函数恒等变换化简解析式可得 f(x)=sin2x﹣ ,由 2k ≤2k ,k∈Z 可解得 f(x)的单调递增区间,由 2k ≤2x≤2k ≤2x ,k∈Z
2

) .

可解得单调递减区间. (Ⅱ)由 f( )=sinA﹣ =0,可得 sinA,cosA,由余弦定理可得:bc 时等号成立,从而可求 bcsinA≤ ,从而得解. ,且当 b=c

【解答】解: (Ⅰ)由题意可知,f(x)= sin2x﹣ = sin2x﹣ =sin2x﹣ 由 2k 由 2k ≤2x≤2k ≤2x≤2k ,k∈Z 可解得:k ,k∈Z 可解得:k , k ≤x≤k ≤x≤k ,k∈Z; ,k∈Z; ,

所以 ( f x) 的单调递增区间是[k k ], (k∈Z) ;

], (k∈Z) ; 单调递减区间是: [k

(Ⅱ)由 f( )=sinA﹣ =0,可得 sinA= , 由题意知 A 为锐角,所以 cosA= 由余弦定理 a =b +c ﹣2bccosA, 2 2 可得:1+ bc=b +c ≥2bc,即 bc 因此 S= bcsinA≤ ,
2 2 2



,且当 b=c 时等号成立.

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所以△ABC 面积的最大值为



【点评】本题主要考查了正弦函数的图象和性质,余弦定理,基本不等式的应用,属于基本 知识的考查. 17. (12 分) (2015?山东)如图,在三棱台 DEF﹣ABC 中,AB=2DE,G,H 分别为 AC, BC 的中点. (Ⅰ)求证:BD∥平面 FGH; (Ⅱ)若 CF⊥平面 ABC,AB⊥BC,CF=DE,∠BAC=45°,求平面 FGH 与平面 ACFD 所 成的角(锐角)的大小.

【分析】 (Ⅰ) 根据 AB=2DE 便可得到 BC=2EF, 从而可以得出四边形 EFHB 为平行四边形, 从而得到 BE∥HF,便有 BE∥平面 FGH,再证明 DE∥平面 FGH,从而得到平面 BDE∥平 面 FGH,从而 BD∥平面 FGH; (Ⅱ)连接 HE,根据条件能够说明 HC,HG,HE 三直线两两垂直,从而分别以这三直线 为 x,y,z 轴,建立空间直角坐标系,然后求出一些点的坐标.连接 BG,可说明 ACFD 的一条法向量,设平面 FGH 的法向量为 ,根据 为平面

即可求出法

向量 ,设平面 FGH 与平面 ACFD 所成的角为 θ,根据 cosθ= 平面 FGH 与平面 ACFD 所成的角的大小. 【解答】解: (Ⅰ)证明:根据已知条件,DF∥AC,EF∥BC,DE∥AB; △DEF∽△ABC,又 AB=2DE, ∴BC=2EF=2BH, ∴四边形 EFHB 为平行四边形; ∴BE∥HF,HF? 平面 FGH,BE?平面 FGH; ∴BE∥平面 FGH; 同样,因为 GH 为△ABC 中位线,∴GH∥AB; 又 DE∥AB; ∴DE∥GH; ∴DE∥平面 FGH,DE∩BE=E; ∴平面 BDE∥平面 FGH,BD? 平面 BDE; ∴BD∥平面 FGH; (Ⅱ)连接 HE,则 HE∥CF; ∵CF⊥平面 ABC; ∴HE⊥平面 ABC,并且 HG⊥HC;
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即可求出

∴HC,HG,HE 三直线两两垂直,分别以这三直线为 x,y,z 轴,建立如图所示空间直角 坐标系,设 HC=1,则:

H(0,0,0) ,G(0,1,0) ,F(1,0,1) ,B(﹣1,0,0) ; 连接 BG,根据已知条件 BA=BC,G 为 AC 中点; ∴BG⊥AC; 又 CF⊥平面 ABC,BG? 平面 ABC; ∴BG⊥CF,AC∩CF=C; ∴BG⊥平面 ACFD; ∴向量 为平面 ACFD 的法向量; ,则:

设平面 FGH 的法向量为

,取 z=1,则:



设平面 FGH 和平面 ACFD 所成的锐二面角为 θ, 则: cosθ=|cos

|=



∴平面 FGH 与平面 ACFD 所成的角为 60°. 【点评】考查棱台的定义,平行四边形的定义,线面平行的判定定理,面面平行的判定定理 及其性质,线面垂直的性质及线面垂直的判定定理,以及建立空间直角坐标系,利用空间向 量求二面角的方法,平面法向量的概念及求法,向量垂直的充要条件,向量夹角余弦的坐标 公式,平面和平面所成角的定义. 18. (12 分) (2015?山东)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 2Sn=3 +3. (Ⅰ)求{an}的通项公式; (Ⅱ)若数列{bn},满足 anbn=log3an,求{bn}的前 n 项和 Tn. n n﹣1 【分析】 (Ⅰ)利用 2Sn=3 +3,可求得 a1=3;当 n>1 时,2Sn﹣1=3 +3,两式相减 2an=2Sn n﹣1 ﹣2Sn﹣1,可求得 an=3 ,从而可得{an}的通项公式; (Ⅱ)依题意,anbn=log3an,可得 b1= ,当 n>1 时,bn=3
1﹣n n

?log33

n﹣1

=(n﹣1)×3

1﹣n


1﹣

于是可求得 T1=b1= ;当 n>1 时,Tn=b1+b2+…+bn= +(1×3 +2×3 +…+(n﹣1)×3
n

﹣1

﹣2

) ,利用错位相减法可求得{bn}的前 n 项和 Tn. n 1 【解答】解: (Ⅰ)因为 2Sn=3 +3,所以 2a1=3 +3=6,故 a1=3, n﹣1 当 n>1 时,2Sn﹣1=3 +3, n n﹣1 n﹣1 n﹣1 此时,2an=2Sn﹣2Sn﹣1=3 ﹣3 =2×3 ,即 an=3 ,
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所以 an=



(Ⅱ)因为 anbn=log3an,所以 b1= , 当 n>1 时,bn=3 所以 T1=b1= ; 当 n>1 时,Tn=b1+b2+…+bn= +(1×3 +2×3 +…+(n﹣1)×3 所以 3Tn=1+(1×3 +2×3 +3×3 +…+(n﹣1)×3 两式相减得:2Tn= +(3 +3 +3 +…+3 ×3
1﹣n 0
﹣1 ﹣2 ﹣1 ﹣2

1﹣n

?log33

n﹣1

=(n﹣1)×3

1﹣n



1﹣n

) ,

0

﹣1

﹣2

2﹣n

) ,
1﹣n

2﹣n

﹣(n﹣1)×3

)= +

﹣(n﹣1)

=

﹣ ﹣ ﹣

, ,经检验,n=1 时也适合, .

所以 Tn=

综上可得 Tn=

【点评】 本题考查数列的求和, 着重考查数列递推关系的应用, 突出考查“错位相减法”求和, 考查分析、运算能力,属于中档题. 19. (12 分) (2015?山东)若 n 是一个三位正整数,且 n 的个位数字大于十位数字,十位数 字大于百位数字,则称 n 为“三位递增数”(如 137,359,567 等) .在某次数学趣味活动中, 每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取 1 个数,且只能抽取一次,得分规则如下: 若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被 5 整除,参加者得 0 分,若能被 5 整除,但不 能被 10 整除,得﹣1 分,若能被 10 整除,得 1 分. (Ⅰ)写出所有个位数字是 5 的“三位递增数”; (Ⅱ)若甲参加活动,求甲得分 X 的分布列和数学期望 EX. 【分析】 (Ⅰ)根据“三位递增数”的定义,即可写出所有个位数字是 5 的“三位递增数”; (Ⅱ)随机变量 X 的取值为:0,﹣1,1 分别求出对应的概率,即可求出分布列和期望. 【解答】解: (Ⅰ)根据定义个位数字是 5 的“三位递增数”有:125,135,145,235,245, 345; (Ⅱ)由题意知,全部“三位递增数”的个数为 随机变量 X 的取值为:0,﹣1,1, 当 X=0 时,可以选择除去 5 以外的剩下 8 个数字中选择 3 个进行组合,即 ; ,

当 X=﹣1 时,首先选择 5,由于不能被 10 整除,因此不能选择数字 2,4,6,8,可以从 1, 3,7,9 中选择两个数字和 5 进行组合,即 ;

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当 X=1 时,有两种组合方式,第一种方案:首先选 5,然后从 2,4,6,8 中选择 2 个数字 和 5 进行组合,即 ;第二种方案:首先选 5,然后从 2,4,6,8 中选择 1 个数字,再从 .

1,3,7,9 中选择 1 个数字,最后把 3 个数字进行组合,即

则 P(X=0)= X P

= ,P(X=﹣1)= 0

= ﹣1

,P(X=1)= 1

=



EX=0× +(﹣1)×

+1×

=



【点评】 本题主要考查离散型随机变量的分布列和期望的计算, 求出对应的概率是解决本题 的关键.

20. (13 分) (2015?山东)平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的

离心率为

,左、右焦点分别是 F1,F2,以 F1 为圆心以 3 为半径的圆与以 F2 为圆心以 1

为半径的圆相交,且交点在椭圆 C 上. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设椭圆 E: + =1,P 为椭圆 C 上任意一点,过点 P 的直线 y=kx+m 交椭圆 E

于 A,B 两点,射线 PO 交椭圆 E 于点 Q. (i)求| |的值;

(ii)求△ABQ 面积的最大值. 【分析】 (Ⅰ)运用椭圆的离心率公式和 a,b,c 的关系,计算即可得到 b,进而得到椭圆 C 的方程; (Ⅱ)求得椭圆 E 的方程, (i)设 P(x0,y0) ,| E 的方程,化简整理,即可得到所求值; (ii)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,将直线 y=kx+m 代入椭圆 E 的方程,运用韦达定理,三 角形的面积公式,将直线 y=kx+m 代入椭圆 C 的方程,由判别式大于 0,可得 t 的范围,结 合二次函数的最值,又△ABQ 的面积为 3S,即可得到所求的最大值. 【解答】解: (Ⅰ)由题意可知,PF1+PF2=2a=4,可得 a=2, 又 = ,a ﹣c =b , +y =1;
2 2 2 2

|=λ,求得 Q 的坐标,分别代入椭圆 C,

可得 b=1,即有椭圆 C 的方程为

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(Ⅱ)由(Ⅰ)知椭圆 E 的方程为 (i)设 P(x0,y0) ,|

+

=1,

|=λ,由题意可知,

Q(﹣λx0,﹣λy0) ,由于

+y0 =1,

2

又 所以 λ=2,即|

+ |=2;

=1,即



+y0 )=1,

2

(ii)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,将直线 y=kx+m 代入椭圆 E 的方程,可得 2 2 2 2 2 (1+4k )x +8kmx+4m ﹣16=0,由△>0,可得 m <4+16k ,① 则有 x1+x2=﹣ ,x1x2= ,所以|x1﹣x2|= ,

由直线 y=kx+m 与 y 轴交于(0,m) , 则△AOB 的面积为 S= |m|?|x1﹣x2|= |m|?

=2

,设

=t,则 S=2
2 2


2

将直线 y=kx+m 代入椭圆 C 的方程,可得(1+4k )x +8kmx+4m ﹣4=0, 2 2 由△≥0 可得 m ≤1+4k ,② 由①②可得 0<t≤1,则 S=2
2 2

在(0,1]递增,即有 t=1 取得最大值,

即有 S ,即 m =1+4k ,取得最大值 2 , 由(i)知,△ABQ 的面积为 3S, 即△ABQ 面积的最大值为 6 . 【点评】本题考查椭圆的方程和性质,主要考查直线方程和椭圆方程联立,运用韦达定理, 同时考查三角形的面积公式和二次函数的最值,属于中档题. 21. (14 分) (2015?山东)设函数 f(x)=ln(x+1)+a(x ﹣x) ,其中 a∈R, (Ⅰ)讨论函数 f(x)极值点的个数,并说明理由; (Ⅱ)若? x>0,f(x)≥0 成立,求 a 的取值范围. 【分析】 (I) 函数 ( f x) =ln (x+1) +( a x ﹣x) , 其中 a∈R, x∈ (﹣1, +∞) .
2 2 2

=

.令 g(x)=2ax +ax﹣a+1.对 a 与△分类讨论可得: (1)当 a=0 时,此

时 f′(x)>0,即可得出函数的单调性与极值的情况.
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(2)当 a>0 时,△=a(9a﹣8) .①当

时,△≤0,②当 a

时,△>0,即可

得出函数的单调性与极值的情况. (3)当 a<0 时,△>0.即可得出函数的单调性与极值的情况. (II)由(I)可知: (1)当 0≤a 断出. (2)当 <a≤1 时,由 g(0)≥0,可得 x2≤0,函数 f(x)在(0,+∞)上单调性,即可 判断出. (3)当 1<a 时,由 g(0)<0,可得 x2>0,利用 x∈(0,x2)时函数 f(x)单调性,即 可判断出; (4)当 a<0 时,设 h(x)=x﹣ln(x+1) ,x∈(0,+∞) ,研究其单调性,即可判断出 2 【解答】解: (I)函数 f(x)=ln(x+1)+a(x ﹣x) ,其中 a∈R,x∈(﹣1,+∞) . =
2

时,可得函数 f(x)在(0,+∞)上单调性,即可判



令 g(x)=2ax +ax﹣a+1. (1)当 a=0 时,g(x)=1,此时 f′(x)>0,函数 f(x)在(﹣1,+∞)上单调递增,无 极值点. (2)当 a>0 时,△=a ﹣8a(1﹣a)=a(9a﹣8) . ①当 时,△≤0,g(x)≥0,f′(x)≥0,函数 f(x)在(﹣1,+∞)上单调递
2

增,无极值点. ②当 a ∵x1+x2= ∴ 时,△>0,设方程 2ax +ax﹣a+1=0 的两个实数根分别为 x1,x2,x1<x2. , , . .
2

由 g(﹣1)>0,可得﹣1<x1

∴当 x∈(﹣1,x1)时,g(x)>0,f′(x)>0,函数 f(x)单调递增; 当 x∈(x1,x2)时,g(x)<0,f′(x)<0,函数 f(x)单调递减; 当 x∈(x2,+∞)时,g(x)>0,f′(x)>0,函数 f(x)单调递增. 因此函数 f(x)有两个极值点. (3)当 a<0 时,△>0.由 g(﹣1)=1>0,可得 x1<﹣1<x2. ∴当 x∈(﹣1,x2)时,g(x)>0,f′(x)>0,函数 f(x)单调递增; 当 x∈(x2,+∞)时,g(x)<0,f′(x)<0,函数 f(x)单调递减. 因此函数 f(x)有一个极值点. 综上所述:当 a<0 时,函数 f(x)有一个极值点; 当 0≤a 时,函数 f(x)无极值点;

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当a

时,函数 f(x)有两个极值点.

(II)由(I)可知: (1)当 0≤a 时,函数 f(x)在(0,+∞)上单调递增.

∵f(0)=0, ∴x∈(0,+∞)时,f(x)>0,符合题意. (2)当 <a≤1 时,由 g(0)≥0,可得 x2≤0,函数 f(x)在(0,+∞)上单调递增. 又 f(0)=0, ∴x∈(0,+∞)时,f(x)>0,符合题意. (3)当 1<a 时,由 g(0)<0,可得 x2>0, ∴x∈(0,x2)时,函数 f(x)单调递减. 又 f(0)=0, ∴x∈(0,x2)时,f(x)<0,不符合题意,舍去; (4)当 a<0 时,设 h(x)=x﹣ln(x+1) ,x∈(0,+∞) ,h′(x)= ∴h(x)在(0,+∞)上单调递增. 因此 x∈(0,+∞)时,h(x)>h(0)=0,即 ln(x+1)<x, 2 2 可得:f(x)<x+a(x ﹣x)=ax +(1﹣a)x, 当 x>
2

>0.

时,

ax +(1﹣a)x<0,此时 f(x)<0,不合题意,舍去. 综上所述,a 的取值范围为[0,1]. 【点评】本题考查了导数的运算法则、利用导数研究函数的单调性极值,考查了分析问题与 解决问题的能力,考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力,属于难题.

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参与本试卷答题和审题的老师有:qiss;吕静;双曲线;maths;刘长柏;w3239003;翔宇 老师;wkl197822;wfy814;沂蒙松(排名不分先后) 菁优网 2016 年 8 月 29 日

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