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广东省东莞中学2014-2015学年高一上学期期中数学试卷(Word版含解析)


2014-2015 学年广东省东莞中学高一(上)期中数学试卷
一、选择题: (每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的) 1. (5 分)函数 f(x)= A.(﹣∞,2) 2)∪(2,+∞) 的定义域为() C.(﹣∞,0)∪(0,+∞) D. (﹣∞,

B.(2,+∞)

2. (5 分)下列函数在(﹣∞,0)上为增函数的是() A.y=x
3

B.y=x

2

C.y=|x|

D.y=( )

x

3. (5 分)设集合 U={x∈N|0<x≤8},S={1,2,4,5},T={3,5,7},则 S∩(CUT)=() A.{1,2,4} B.{1,2,3,4,5,7} C. {1,2} D. {1, 2, 4, 5,6,8} 4. (5 分)幂函数 f(x)的图象经过点 A(4, A.f(x)=x
2

) ,则该函数的解析式为()
4

B.f(x)=x

﹣2

C.f(x)=x

D.f(x)=2

x

5. (5 分)函数 f(x)是[﹣5,5]上的偶函数,且 f(2)<f(1) ,则下列格式一定成立的是 () A.f(﹣2)>f(1) B.f(﹣2)>f(﹣1) C. f(﹣5)<f(﹣1) D.f(﹣2)<f(﹣1) 6. (5 分)已知函数 f(x)=log0.5(3﹣x) ,则函数 f(x)的() A.单调递增区间是(﹣∞,3) B. 单调递增区间(0,3) C. 单调递减区间是(﹣∞,3) D.单调递减区间(0,3) 7. (5 分)函数 f(x)=e +5x﹣5 零点所在的区间为() A.(﹣2,﹣1) B.(﹣1,0) C.(0,1)
x

D.(1,2)

8. (5 分)已知函数 f(x)=

,若 f(x)= ,则 x 的值为()

A.

或﹣1

B.

或﹣1

C. 或﹣1

D.﹣1

9. (5 分)国家征收个人所得税是分段计算的,总收入不超过 3500 的免征个人所得税,超 过 3500 元的部分为全月应纳税额,税率表为: 全月应纳税额 税率
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不超过 1500 元的部分 3% 超过 1500 元至 4500 元的部分 10% 超过 4500 元至 9000 元的部分 20% 某人某月总收入为 6000 元,则他当月应缴纳的税额为() A.1200 元 B.2500 C.145 元

D.100 元

10. (5 分)已知常数 a 满足 a>0 且 a≠1,则函数 f(x)=loga(﹣x) ,g(x)=ax﹣a,则他 们的图象可能是下列选项()

A.

B.

C.

D.

二、填空题: (每小题 5 分,共 20 分) 11. (5 分)已知集合 A={1,2},B={x|x﹣m=0},则 B?A,则实数 m 所有可能的取值是. 12. (5 分)比较大小:log56log32(按大小关系填“<”或“>”) . 13. (5 分)已知函数 y=( ) ,x∈[﹣1,3],则函数的值域为.
x

14. (5 分)定义在[﹣1,1]上的奇函数 f(x) ,对任意的 m,n∈[0,1],当 m≠n,都有 <0,则不等式 f(3x﹣1)+f(x﹣1)>0 的解集是.

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三、解答题: (本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须接触文字说明、证明过程或演算步骤) 15. (12 分)已知集合 A={x|a﹣1≤x≤a+3},B={x|x≤﹣2 或 x≥5}. (1)若 a=﹣2,求 A∩B,A∪B; (2)若 A?B,求实数 a 的取值范围. 16. (12 分) (1)log23?log34+( (2)log62?log618+(log63) . 17. (14 分)已知函数 f(x)=x ﹣ 的图象过点(2,0) . (1)求 m 的值; (2)证明 f(x)的奇偶性; (3)判断 f(x)在(0,+∞)上的单调性,并给予证明. 18. (14 分)某商品在 30 天内,每件的销售价格 P(元)与时间 x 天的函数关系是 P= ,该商品的日销量 Q(件)与时间 x(天)的函数关系
m 2

×



6

是 Q=﹣x+40(0<x≤30,x∈N) (1)求该商品日销量金额 y 与时间 x 的函数关系; (2)求该商品日销售金额的最大值,并指出日销售金额最大的一天是 30 天中的哪一天?

19. (14 分)已知函数 f(x)=



(1)当 x>0 时,解不等式 f(x)≥1; (2)说明函数 f(x)的单调区间(不必证明单调性) ; (3)若函数 g(x)=f(x)﹣m 有三个零点 x1,x2,x3,分别求 m,x1+x2+x3 的取值范围. 20. (14 分)设函数 f(x)=a ﹣(k﹣1)a , (a>0 且 a≠1)是定义域为 R 的奇函数,且 f (1)= . (1)求 k,a 的值; (2)求函数 f(x)在[1,+∞)上的值域; (3)设 g(x)=a +a ﹣2m?f(x) ,若 g(x)在[1,+∞)上的最小值为﹣2,求 m 的值; (4)对于(3)中函数 g(x) ,如果 g(x)>0 在[1,+∞)上恒成立,求 m 的取值范围.
2x
﹣2x

x

﹣x

2014-2015 学年广东省东莞中学高一(上)期中数学试卷
参考答案与试题解析

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一、选择题: (每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的) 1. (5 分)函数 f(x)= A.(﹣∞,2) 2)∪(2,+∞) 的定义域为() C.(﹣∞,0)∪(0,+∞) D. (﹣∞,

B.(2,+∞)

考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 要使函数有意义,则需 x﹣2≠0,解得即可得到定义域. 解答: 解:要使函数有意义,则需 x﹣2≠0,解得,x≠2, 则定义域为(﹣∞,2)∪(2,+∞) . 故选 D. 点评: 本题考查函数的定义域的求法: 注意分式分母不为 0, 考查运算能力, 属于基础题. 2. (5 分)下列函数在(﹣∞,0)上为增函数的是() A.y=x
3

B.y=x

2

C.y=|x|

D.y=( )

x

考点: 幂函数的单调性、奇偶性及其应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据幂函数的性质即可得到结论. 解答: 解:A.y=x 在(﹣∞,0)上为增函数,满足条件. 2 B.y=x 在(﹣∞,0)上为减函数,不满足条件. C.y=|x|在(﹣∞,0)上为减函数,不满足条件. D.y=( ) 在(﹣∞,0)上为减函数,不满足条件. 故选:A 点评: 本题主要考查函数单调性的判断,要求熟练掌握常见函数的单调性的性质. 3. (5 分)设集合 U={x∈N|0<x≤8},S={1,2,4,5},T={3,5,7},则 S∩(CUT)=() A.{1,2,4} B.{1,2,3,4,5,7} C. {1,2} D. {1, 2, 4, 5,6,8} 考点: 交、并、补集的混合运算;交集及其运算. 分析: 根据集合补集和交集的运算规则直接求解. 解答: 解:因为 U={1,2,3,4,5,6,7,8},CUT={1,2,4,6,8}, 所以 S∩(CUT)={1,2,4}, 故选 A 点评: 本题考查集合的基本运算,属简单题.
x 3

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4. (5 分)幂函数 f(x)的图象经过点 A(4, A.f(x)=x
2

) ,则该函数的解析式为()
4

B.f(x)=x

﹣2

C.f(x)=x

D.f(x)=2

x

考点: 幂函数的概念、解析式、定义域、值域. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 设幂函数 f(x)=x (α 是常数) ,把点 A(4, 解答: 解:设幂函数 f(x)=x (α 是常数) , 因为 f(x)的图象经过点 A(4, 所以 ,解得 α=﹣2,
﹣2

α

)代入解析式,求出 α 的值.

α

) ,

则 f(x)=x , 故选:B. 点评: 本题考查待定系数法求幂函数的解析式,属于基础题. 5. (5 分)函数 f(x)是[﹣5,5]上的偶函数,且 f(2)<f(1) ,则下列格式一定成立的是 () A.f(﹣2)>f(1) B.f(﹣2)>f(﹣1) C. f(﹣5)<f(﹣1) D.f(﹣2)<f(﹣1) 考点: 奇偶性与单调性的综合. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数奇偶性的性质以及不等式的关系即可得到结论. 解答: 解:∵f(x)是[﹣5,5]上的偶函数,且 f(2)<f(1) , ∴f(﹣2)<f(﹣1) , 故选:D 点评: 本题主要考查不等式的判断,根据偶函数的性质是解决本题的关键. 6. (5 分)已知函数 f(x)=log0.5(3﹣x) ,则函数 f(x)的() A.单调递增区间是(﹣∞,3) B. 单调递增区间(0,3) C. 单调递减区间是(﹣∞,3) D.单调递减区间(0,3) 考点: 复合函数的单调性. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 令 t=3﹣x>0,求得函数的定义域为(﹣∞,3) ,函数 f(x)=log0.5t.根据函数 t 在(﹣∞,3)上是减函数,再利用复合函数的单调性可得结论. 解答: 解:令 t=3﹣x>0,求得 x<3,故函数的定义域为(﹣∞,3) ,则函数 f(x)=log0.5 (3﹣x)=log0.5t. 由于函数 t 在(﹣∞,3)上大于零,且是减函数,故 f(x)=log0.5t 单调递增区间是(﹣∞, 3) , 故选:A.

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点评: 本题主要考查复合函数的单调性,对数函数、一次函数的性质,体现了转化的数学 思想,属于基础题. 7. (5 分)函数 f(x)=e +5x﹣5 零点所在的区间为() A.(﹣2,﹣1) B.(﹣1,0) C.(0,1) 考点: 函数零点的判定定理. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数零点的判断条件即可得到结论. x 解答: 解:函数 f(x)=e +5x﹣5 单调递增, 0 f(0)=e ﹣5=1﹣5=﹣4<0,f(1)=e+5﹣5=e>0, 则 f(0)f(1)<0, 故函数 f(x)=e +5x﹣5 零点所在的区间为(0,1) , 故选:C 点评: 本题主要考查函数零点区间的判断,根据函数零点的判断条件是解决本题的关键.
x x

D.(1,2)

8. (5 分)已知函数 f(x)=

,若 f(x)= ,则 x 的值为()

A.

或﹣1

B.

或﹣1

C. 或﹣1

D.﹣1

考点: 对数的运算性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 对 x 分类讨论,利用指数函数与对数函数的单调性即可得出. 解答: 解:当 x>0 时,由 当 x≤0 时,由 综上可得:x= ,解得 x=﹣1. 或﹣1. ,解得 .

故选:B. 点评: 本题考查了分类讨论思想方法、指数函数与对数函数的单调性,属于基础题. 9. (5 分)国家征收个人所得税是分段计算的,总收入不超过 3500 的免征个人所得税,超 过 3500 元的部分为全月应纳税额,税率表为: 全月应纳税额 税率 不超过 1500 元的部分 3% 超过 1500 元至 4500 元的部分 10% 超过 4500 元至 9000 元的部分 20% 某人某月总收入为 6000 元,则他当月应缴纳的税额为() A.1200 元 B.2500 C.145 元 D.100 元 考点: 分段函数的应用.
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专题: 应用题;函数的性质及应用. 分析: 由表格及纳税规则,先将收入分档:6000=3500+1500+1000,再由规则求当月应缴 纳的税额. 解答: 解:由表格及纳税规则可得, 6000=3500+1500+1000, 故当月应缴纳的税额为 1500×3%+1000×10%=145 元, 故选 C. 点评: 本题考查了分段函数的应用,属于中档题. 10. (5 分)已知常数 a 满足 a>0 且 a≠1,则函数 f(x)=loga(﹣x) ,g(x)=ax﹣a,则他 们的图象可能是下列选项()

A.

B.

C.

D.

考点: 对数函数的图像与性质. 专题: 常规题型;函数的性质及应用. 分析: 由题意,根据函数的图象得到 a 的取值范围,从而求解. 解答: 解:选项 A:由函数 y=loga(﹣x)可知 a>1,y=ax﹣a 可知 0<a<1,故不正确; 选项 B:由函数 y=loga(﹣x)可知 0<a<1,y=ax﹣a 可知 a>1,故不正确; 选项 C:由函数 y=loga(﹣x)的定义域不对,y=ax﹣a 可知 0<a<1,故正确; 选项 D:由函数 y=loga(﹣x)可知 a>1,y=ax﹣a 可知 a>1,故正确; 故选 D. 点评: 本题考查了函数的图象的应用,属于基础题.

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二、填空题: (每小题 5 分,共 20 分) 11. (5 分)已知集合 A={1,2},B={x|x﹣m=0},则 B?A,则实数 m 所有可能的取值是 1 或 2. 考点: 集合的包含关系判断及应用. 专题: 集合. 分析: 先化简集合 B,B 中有且只有一个元素 m,然后由 B?A 可知 B 肯能为{1}或{2}, 可求解 m. 解答: 解:由题意 B={x|x﹣m=0}={x|x=m}, 又∵A={1,2},且 B?A, 则 B={1},或 B={2}, ∴m=1,或 m=2. 故答案为:1 或 2. 点评: 本题考查集合的含义以及集合间的子集关系,属于基础的概念性题目. 12. (5 分)比较大小:log56>log32(按大小关系填“<”或“>”) . 考点: 对数值大小的比较. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用对数函数的单调性即可得出. 解答: 解:∵log56>log55=1,log32<log33=1. ∴log56>log32. 故答案为:>. 点评: 本题考查了对数函数的单调性,属于基础题. 13. (5 分)已知函数 y=( ) ,x∈[﹣1,3],则函数的值域为[ ,2].
x

考点: 指数函数单调性的应用. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 函数 y=( ) 在 R 上递减,则 y 在[﹣1,3]上递减,即可得到最值,进而得到值 域. 解答: 解:函数 y=( ) 在 R 上递减, 则 y 在[﹣1,3]上递减, 当 x=﹣1 时,取得最大值 2,当 x=3 时,取得最小值 则值域为[ ,2]. 故答案为:[ ,2]. 点评: 本题考查指数函数的值域,考查运算能力,属于基础题. = ,
x x

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14. (5 分)定义在[﹣1,1]上的奇函数 f(x) ,对任意的 m,n∈[0,1],当 m≠n,都有 <0,则不等式 f(3x﹣1)+f(x﹣1)>0 的解集是[0, ) .

考点: 函数单调性的性质;函数单调性的判断与证明. 专题: 计算题;函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 分析: 由条件可得函数 f(x)在[﹣1,1]为减函数,再结合奇函数的定义,不等式 f(3x

﹣1)+f(x﹣1)>0 即为 f(3x﹣1)>﹣f(x﹣1)=f(1﹣x) ,即有



解出它们,即可得到解集. 解答: 解:对任意的 m,n∈[0,1],当 m≠n,都有 <0,

即为函数 f(x)在[0,1]为减函数, 又 f(x)为在[﹣1,1]上的奇函数,即有 f(﹣x)=﹣f(x) , 且 f(x)为在[﹣1,1]上的减函数. 不等式 f(3x﹣1)+f(x﹣1)>0 即为 f(3x﹣1)>﹣f(x﹣1)=f(1﹣x) ,

即有

即有



则0



故解集为[0, ) . 故答案为:[0, ) . 点评: 本题考查函数的奇偶性和单调性的运用:解不等式,注意定义域的应用,考查运算 能力,属于中档题和易错题. 三、解答题: (本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须接触文字说明、证明过程或演算步骤) 15. (12 分)已知集合 A={x|a﹣1≤x≤a+3},B={x|x≤﹣2 或 x≥5}. (1)若 a=﹣2,求 A∩B,A∪B; (2)若 A?B,求实数 a 的取值范围. 考点: 交集及其运算;集合的包含关系判断及应用. 专题: 集合. 分析: (1)a=﹣2 时,A={x|a﹣1≤x≤a+3}={x|﹣3≤x≤1},B={x|x≤﹣2 或 x≥5},由此能求 出 A∩B,A∪B. (2)由 A?B,得 a+3≤﹣2 或 a﹣1≥5,由此能求出实数 a 的取值范围. 解答: 解: (1)a=﹣2 时,A={x|a﹣1≤x≤a+3}={x|﹣3≤x≤1}, B={x|x≤﹣2 或 x≥5},
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∴A∩B={x|﹣3≤x≤﹣2}, A∪B={x|x≤﹣2 或 x≥5}. (2)∵A?B, ∴a+3≤﹣2 或 a﹣1≥5, 解得 a≤﹣5 或 a≥6. 点评: 本题考查集合的交集和并集的求法, 考查实数的取值范围的求法, 解题时要注意集 合性质的合理运用.
6

16. (12 分) (1)log23?log34+( (2)log62?log618+(log63) .
2

×



考点: 对数的运算性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)利用对数的换底公式、指数幂的运算法则即可得出; (2)利用对数的运算法则、完全平方公式即可得出. 解答: 解: (1)原式= =2+72 =74. (2)原式=log62(log62+2log63)+ = = =1. 点评: 本题考查了对数的换底公式、 指数幂的运算法则、 对数的运算法则、 完全平方公式, 考查了推理能力与计算能力,属于基础题.
m

+3 ×2

2

3

+2log62?log63+

17. (14 分)已知函数 f(x)=x ﹣ 的图象过点(2,0) . (1)求 m 的值; (2)证明 f(x)的奇偶性; (3)判断 f(x)在(0,+∞)上的单调性,并给予证明. 考点: 函数单调性的判断与证明;函数解析式的求解及常用方法;函数奇偶性的判断. 专题: 函数的性质及应用;导数的综合应用. 分析: (1)将点(2,0)带入函数 f(x)的解析式即可求出 m=1; (2)根据奇偶函数的定义,容易证明 f(x)的奇偶性; (3)求 y′,根据导数符号即可判断函数 f(x)的单调性. m 解答: 解: (1)∵f(2)=0,∴2 ﹣2=0,∴m=1. (2)因为 ,定义域为{x|x≠0},关于原点成对称区间.

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又 所以 f(x)是奇函数. (3)∵f′(x)=1 >0;



∴f(x)在(0,+∞)上为单调增函数. 点评: 考查函数图象上的点和函数解析式的关系, 奇偶函数的定义, 根据导数符号判断函 数单调性的方法. 18. (14 分)某商品在 30 天内,每件的销售价格 P(元)与时间 x 天的函数关系是 P= ,该商品的日销量 Q(件)与时间 x(天)的函数关系

是 Q=﹣x+40(0<x≤30,x∈N) (1)求该商品日销量金额 y 与时间 x 的函数关系; (2)求该商品日销售金额的最大值,并指出日销售金额最大的一天是 30 天中的哪一天? 考点: 函数模型的选择与应用. 专题: 应用题;函数的性质及应用. 分析: (1)由日销量金额 y=销售价格 P×日销量 Q,从而写出函数关系; (2)由函数关系式,讨论 x 的取值范围,从而求最大值及最大值点即可. 解答: 解: (1)由题意,y=P?Q= (2)①当 0<x≤24 时, y=(x+20) (﹣x+40)≤ =900; ,

(当且仅当 x=10 时,等号成立) ; ②当 24<x<30 时, 2 y=(﹣x+100) (﹣x+40)=x ﹣140x+4000, 其在(24,30)上减函数, 故 y≤75×15=1125, 综上所述,当第 25 天时, 该商品日销售金额达到最大值,最大值为 1125 元. 点评: 本题考查了实际问题转化为数学问题的能力及分段函数的最值问题,属于中档题.

19. (14 分)已知函数 f(x)=



(1)当 x>0 时,解不等式 f(x)≥1; (2)说明函数 f(x)的单调区间(不必证明单调性) ; (3)若函数 g(x)=f(x)﹣m 有三个零点 x1,x2,x3,分别求 m,x1+x2+x3 的取值范围.

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考点: 根的存在性及根的个数判断. 专题: 计算题;作图题;函数的性质及应用. 分析: (1)当 x>0 时,不等式 f(x)≥1 可化为 ≥1,从而求解;

(2)由二次函数及对数函数可知,函数 f(x)的单调增区间为(﹣∞,﹣1) , (0,+∞) , 单调减区间为[﹣1,0]; (3)作出函数 f(x)的图象,由图象求 m,x1+x2+x3 的取值范围. 解答: 解: (1)当 x>0 时,不等式 f(x)≥1 可化为 ≥1, 即x ≥2,

解得 x≥ ; (2)由二次函数及对数函数可知, 函数 f(x)的单调增区间为(﹣∞,﹣1) , (0,+∞) , 单调减区间为[﹣1,0]; (3)函数 f(x)的图象如下,

由图象可知,﹣1<m<1, x1+x2=﹣2,0<x3<2, ∴x1+x2+x3 的取值范围为(﹣2,0) . 点评: 本题考查了分段函数的图象作法及函数性质,属于难题. 20. (14 分)设函数 f(x)=a ﹣(k﹣1)a , (a>0 且 a≠1)是定义域为 R 的奇函数,且 f (1)= . (1)求 k,a 的值; (2)求函数 f(x)在[1,+∞)上的值域;
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x
﹣x

(3)设 g(x)=a +a ﹣2m?f(x) ,若 g(x)在[1,+∞)上的最小值为﹣2,求 m 的值; (4)对于(3)中函数 g(x) ,如果 g(x)>0 在[1,+∞)上恒成立,求 m 的取值范围. 考点: 指数函数综合题. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)根据 f(0)=0,f(1)= .得出 a,k. (2) )根据 f(x)=2 ﹣2
2 x
﹣x

2x

﹣2x

在[1,+∞]单调递增,求解即可.

(3) 换元转化为 k (t) =t ﹣2mt+2, t∈[ , +∞) , 讨论得出



即求解 m=2,或 m=

(舍去) ,

(4)根据不等式恒成立得出
x


﹣x

,解不等式得出答案.

解答: 解: (1)∵函数 f(x)=a ﹣(k﹣1)a , (a>0 且 a≠1)是定义域为 R 的奇函数, ∴f(0)=0,即 1﹣(k﹣1)=0,k=2, ∵f(1)= .∴a﹣ = ,a=2, ∴a=2,k=2, (2)∵f(x)=2 ﹣2 ∴f(1)= , ∴在[1,+∞)上的值域为[ ,+∞) , (3)g(x)=2 +2
x
﹣x

x

﹣x

在[1,+∞]单调递增,

2x

﹣2x

﹣2m(2 ﹣2 ) ,

x

﹣x

设 t=2 ﹣2 ,x∈[1,+∞) ,t∈[ ,+∞) , ∴k(t)=t ﹣2mt+2,t∈[ ,+∞) , ∵若 g(x)在[1,+∞)上的最小值为﹣2, ∴k(t)=t ﹣2mt+2,t∈[ ,+∞) ,上的最小值为﹣2,
2 2





即 m=2,或 m= 故 m=2

(舍去) ,

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(4)k(t)=t ﹣2mt+2,t∈[ ,+∞) , ∵g(x)>0 在[1,+∞)上恒成立, ∴k(t)>0 在 t∈[ ,+∞)上恒成立,

2







解不等式得出?或 m ∴m 的取值范围为:m

, .

点评: 本题综合考查了二次函数在解决单调性,最值,不等式恒成立问题中的应用,属于 中档题.

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