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高中数学人教b版高二必修同步练习:第章_不等式_._第课时_word版含解析(2)(1)

第三章 3.2 第 1 课时 一、选择题 1.若 a、b∈R,且 ab>0,则下列不等式中,恒成立的是( A.a2+b2>2ab 1 1 2 C. + > a b ab [答案] D [解析] ∵a2+b2-2ab=(a-b)2≥0,∴A 错误. 对于 B、C,当 a<0,b<0 时,明显错误. b a 对于 D,∵ab>0,∴ + ≥2 a b ba · =2. ab ) a+b B.a< ab< <b 2 a+b D. ab<a< <b 2 B.a+b≥2 ab b a D . + ≥2 a b ) 2.设 0<a<b,则下列不等式中正确的是( a+b A.a<b< ab< 2 a+b C.a< ab<b< 2 [答案] B a+b [解析] ∵0<a<b,∴a< <b, 2 A、C 错误; ab-a= a( b- a)>0,即 ab>a,故选 B. 3.设 x、y∈R,且 x+y=5,则 3x+3y 的最小值为( A.10 C.4 6 [答案] D [解析] x+y=5,3x+3y≥2 3x· 3y=2 3x y=2 35=18 3. + ) B.6 3 D.18 3 4.已知正项等差数列{an}中,a5+a16=10 则 a5a16 的最大值为( A.100 C.50 [答案] D [解析] ∵a5>0,a16>0,a5+a16=10, a5+a16 2 10 2 ∴a5· a16≤( ) =( ) =25, 2 2 当且仅当 a5=a16=5 时,等号成立. B.75 D.25 ) 1 1 5.设 a>0,b>0,若 3是 3a 与 3b 的等比中项,则 + 的最小值为( a b A.8 B.4 ) -1- C.1 [答案] B 1 D. 4 [解析] 根据题意得 3a· 3b=3,∴a+b=1, 1 1 a+b a+b b a ∴ + = + =2+ + ≥4. a b a b a b 1 当 a=b= 时“=”成立.故选 B. 2 6.若 0<a<1,0<b<1,且 a≠b,则 a+b,2 ab,2ab,a2+b2 中最大的一个是( A.a2+b2 C.2ab [答案] D [解析] 解法一:∵0<a<1,0<b<1, ∴a2+b2>2ab,a+b>2 ab,a>a2,b>b2, ∴a+b>a2+b2,故选 D. 1 1 13 6 1 5 5 解法二:取 a= ,b= ,则 a2+b2= ,2 ab= ,2ab= ,a+b= ,显然 最大. 2 3 36 3 3 6 6 二、填空题 t+1 1 7.设实数 a 使 a2+a-2>0 成立,t>0,比较 logat 与 loga 的大小,结果为________________. 2 2 [答案] t+1 1 logat≤loga 2 2 B.2 ab D.a+b ) [解析] ∵a2+a-2>0,∴a<-2 或 a>1, 又 a>0 且 a≠1,∴a>1, t+1 t+1 1 ∵t>0,∴ ≥ t,∴loga ≥loga t= logat, 2 2 2 t+1 1 ∴ logat≤loga . 2 2 8.函数 y=x· (3-2x) (0≤x≤1)的最大值为______________. [答案] 9 8 1 1 2x+?3-2x? 2 9 3 [解析] ∵0≤x≤1,∴3-2x>0,∴y= 2x· (3-2x)≤ [ ] = ,当且仅当 2x=3-2x 即 x= 2 2 2 8 4 时,取“=”号. 三、解答题 9.已知 a、b 是正数,试比较 2 与 ab的大小. 1 1 + a b [解析] ∵a>0,b>0, -2- 1 1 ∴ + ≥2 a b ∴ ≤ 1 1 + 2 a b 2 2 1 >0. ab = ab. 1 ab 即 2 ≤ ab. 1 1 + a b 10.已知直线 l 过点 P(2,1),且与 x 轴、y 轴的正半轴分别交于 A、B 两点,O 为坐标原点,求三角形 OAB 面积的最小值. x y [解析] 设 A(a,0)、B(0,b),则直线 AB 的方程为 + =1,又直线过点 P(2,1), a b 2 1 ∴ + =1 a b 2 1 ∴1= + ≥2 a b ∴ab≥8. 2 1 当且仅当 = 即 a=4,b=2 时等号成立. a b 1 ∴S△OAB 的最小值为 ×8=4. 2 2 , ab 一、选择题 1 1 1.已知 x>0,y>0,lg2x+lg8y=lg2,则 + 的最小值是( x 3y A.2 C.4 [答案] C [解析] 由 lg2x+lg8y=lg2,得 lg2x +3y ) B.2 2 D.2 3 =lg2, 1 1 1 1 x 3y ∴x+3y=1, + =( + )(x+3y)=2+ + ≥4, x 3y x 3y 3y x x 3y 1 1 当且仅当 = ,即 x= ,y= 时,等号成立. 3y x 2 6 2.a=(x-1,2),b=(4,y)(x、y 为正数),若 a⊥b,则 xy 的最大值是( 1 A. 2 C.1 1 B.- 2 D.-1 -3- ) [答案] A [解析] 由已知得 4(x-1)+2y=0,即 2x+y=2. 2x?2-2x? 1 2x+2-2x 2 1 ∴xy=x(2-2x)= ≤ ×( )= . 2 2 2 2 1 3.设函数 f(x)=2x+ -1(x<0),则 f(x)( x A.有最大值 C.是增函数 [答案] A 1 [解析] ∵x<0,∴f(x)=2x+ -1 x ≤-2 1 ?-2x??- ?-1 x ) B.有最小值 D.是减函数 =-2 2-1, 1 2 等号在-2x= ,即 x=- 时成立. 2 -x ∴f(x)有最大值. ?a+b?2 4.已知 x>0,y>0,x、a、b、y 成等差数列,x、c、d、y 成等比数列,则 的最小值是( cd A.0 C.2 [答案]


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