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人教A版选修1-1教案:1.3导数的几何意义(含答案)


§3.1.3 导数的几何意义 【学情分析】 : 上一节课已经学习了导数定义,以及运用导数的定义来求导数。 【教学目标】 : 1.了解曲线的切线的概念 2.掌握用割线的极限位置上的直线来定义切线的方法. 3.并会求一曲线在具体一点处的切线的斜率与切线方程 【教学重点】 : 理解曲线在一点处的切线的定义, 以及曲线在一点处的切线的斜率的定义.光滑曲线的切线斜率是了解 导数概念的实际背景.导数的几何意义及“数形结合,以直代曲”的思想方法. 【教学难点】 : 发现、理解及应用导数的几何意义,会求一条具体的曲线在某一点处的切线斜率. 【教学过程设计】 : 教学环节 教学活动 圆与圆锥曲线的切线定义:与曲线只有一个公共点并且位于曲线一边 的直线叫切线 曲线的切线 如图,设曲线 c 是函数 y ? f ( x) 的图象,点 P( x0 , y0 ) 是曲线 c 上 一点作割线 PQ 当点 Q 沿着曲线 c 无限地趋近于点 P, 割线 PQ 无限地趋 近于某一极限位置 PT 我们就把极限位置上的直线 PT, 叫做曲线 c 在点 P 处的切线 (1)复习引入 y 切线 设计意 图 为课题 引入作 铺垫. O x 如图,设曲线 c 是函数 y ? f ( x) 的图象,点 P( x0 , y0 ) 是曲线 c 上一点 作割线 PQ 当点 Q 沿着曲线 c 无限地趋近于点 P, 割线 PQ 无限地趋近于 某一极限位置 PT 我们就把极限位置上的直线 PT,叫做曲线 c 在点 P 处 的切线 y y=f(x) Q ?y ? P O ?x M x 2.确定曲线 c 在点 P( x0 , y0 ) 处的切线斜率的方法: 因为曲线 c 是给定的,根据解析几何中直线的点斜是方程的知识, 只要求出切线的斜率就够了设割线 PQ 的倾斜角为 ? ,切线 PT 的倾斜角 为 ? ,既然割线 PQ 的极限位置上的直线 PT 是切线,所以割线 PQ 斜 率的极限就是切线 PQ 的斜率 tan ? ,即 tan ? = lim ?x ?0 f ( x0 ? ?x) ? f ( x) ?y ? lim ? x ?x?0 ?x 我们可以从运动的角度来得到切线,所以可以用极限来定义切线, 以及切线的斜率.那么以后如果我们碰到一些复杂的曲线,也可以求出它 在某一点处的切线了. (2)讲解导数 的几何意义 ?y 3.说明:(1) 是函数 y ? f ( x) 对自变量 x 在 ?x 范围内的平均变 生理解 ?x 化 率 , 它 的 几 何 意 义 是 过 曲 线 y ? f ( x) 上 点 ( x0 , f ( x0 ) ) 及 点 导数的 几何意 义,可 以讨论 指导学 ( x0 ? ?x, f ( x0 ? ?x) )的割线斜率. (2) 导数 f ( x0 ) ? lim / ?x ?0 f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) 是函数 y ? f ( x) 在点 x0 的 ?x 处瞬时变化率,它反映的函数 y ? f ( x) 在点 x0 处变化的快慢程度.它的 几何意义是曲线 y ? f ( x) 上点( x0 , f ( x0 ) )处的切线的斜率因此,如 果 y ? f ( x) 在点 x0 可导,则曲线 y ? f ( x) 在点( x0 , f ( x0 ) )处的切线 方程为 y ? f ( x0 ) ? f / ( x0 )(x ? x0 ) 例 1、曲线的方程为 y=x2+1,那么求此曲线在点 P(1,2)处的切线的 斜率,以


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