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高中数学高考总复习等差数列习题及详解


高考总复习

高中数学高考总复习等差数列习题及详解
一、选择题 a 1.(2010· 宁夏)一个等差数列的前 4 项是 a,x,b,2x,则 等于( b 1 A. 4 1 C. 3 [答案] C
? ?2x=a+b x 3 [解析] ? ,∴a= ,b= x. 2 2 ?2b=x+2x ?

)

1 B. 2 2 D. 3

a 1 ∴ = . b 3 2.(文)(2010· 茂名市模考)数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 an= 4 A. 5 1 C. 20 [答案] A [解析] ∵an= 1 1 1 = - , n?n+1? n n+1 1 B. 5 5 D. 6 1 ,则 S4 等于( n?n+1? )

∴S4=a1+a2+a3+a4 1 1 1 1 1 1 1 4 =?1-2?+?2-3?+?3-4?+?4-5?= ,故选 A. ? ? ? ? ? ? ? ? 5 (理)已知等差列{an}共有 2008 项,所有项的和为 2010,所有偶数项的和为 2,则 a1004 =( ) A.1 1 C. 502 [答案] B 2008?a1+a2008? [解析] 依题意得 =2010, 2 1005 1004?a2+a2008? 1 a1+a2008= , =2,a2+a2008= , 502 2 251 1003 故 a2-a1=- =d(d 为公差), 502 又 a2+a2008=2a1005, 1 1 1003 ∴a1005= ,a1004=a1005-d= + =2. 502 502 502 B.2 1 D. 256

含详解答案

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3.(文)(2010· 山东日照模拟)已知等差数列{an}的公差为 d(d≠0),且 a3+a6+a10+a13= 32,若 am=8,则 m 为( A.12 C.6 [答案] B [解析] 32, ∴a8=8. ∴m=8.故选 B. (理)(2010· 温州中学)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S3=9,S6=36,则 a7+a8+a9 =( ) A.63 C.43 [答案] B [解析] 由等差数列的性质知,S3,S6-S3,S9-S6 成等差数列,∴2(S6-S3)=S3+(S9 B.45 D.27 由等差数列性质知,a3+a6+a10+a13=(a3+a13)+(a6+a10)=2a8+2a8=4a8= ) B.8 D.4

-S6),∴a7+a8+a9=S9-S6=2(S6-S3)-S3=45. 4.(2010· 浙江省金华十校)等差数列{an}中,Sn 是{an}前 n 项和,已知 S6=2,S9=5,则 S15=( ) B.30 D.60

A.15 C.45 [答案] A

?S6=2 ? [解析] 解法 1:由等差数列的求和公式及? 知, ? ?S9=5

?6a +6×5d=2 2 ? 9×8 ?9a + 2 d=5
1 1

?a =-27 ,∴? 4 ?d=27
1
1



15×14 ∴S15=15a1+ d=15. 2 Sn S9 S6 5 2 2 解法 2: 由等差数列性质知, }成等差数列, { 设其公差为 D, 则 - =3D= - = , n 9 6 9 6 9 2 ∴D= , 27 ∴ S15 S9 5 2 = +6D= +6× =1,∴S15=15. 15 9 9 27

5.(文)(2010· 福建福州一中)设数列{an}的通项公式为 an=20-4n,前 n 项和为 Sn,则 Sn 中最大的是( )
含详解答案

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A.S3 C.S5 [答案] B

B.S4 或 S5 D.S6

[解析] 由 an=20-4n≥0 得 n≤5,故当 n>5 时,an<0,所以 S4 或 S5 最大,选 B. (理)(2010· 山师大附中)已知{an}为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,以 Sn 表示{an}的前 n 项和,则使得 Sn 达到最大值的 n 是( A.21 C.19 [答案] B [解析] ∵3d=(a2+a4+a6)-(a1+a3+a5)=99-105=-6,∴d=-2,由 a1+a3+a5 B.20 D.18 )

=105 得 3a1+6d=105,∴a1=39,∴an=39-2(n-1)=41-2n, 由 an≥0,n∈N 得,n≤20,∴a20>0,a21<0,故选 B. 6.(文)(2010· 辽宁锦州)公差不为零的等差数列{an}中,2a3-a72+2a11=0,数列{bn}是 等比数列,且 b7=a7,则 b6b8=( A.2 C.8 [答案] D [解析] ∵2a3-a72+2a11=0,{an}为等差数列, ∴a72=2(a3+a11)=4a7, ∵{bn}为等比数列,b7=a7,∴a7≠0,∴a7=4, ∴b7=4,∴b6b8=b72=16. (理)(2010· 重庆市)已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn, S3、 9、 6 成等差数列, 若 S S 则( 1 A.S6=- S3 2 1 C.S6= S3 2 [答案] C [解析] ∵S3、S9、S6 成等差数列,∴2S9=S3+S6, ∵Sn 是等比数列{an}前 n 项的和,∴2q9=q3+q6, 1 ∵q≠0,∴2q6=1+q3,∴q3=1 或- ,q3=1 时,S3、S9、S6 不成等差数列,应舍去, 2 1 1 ∴q3=- ,∴S6=(a1+a2+a3)+(a1+a2+a3)q3=S3(1+q3)= S3. 2 2 7.(2010· 重庆中学)数列{an}中,a1=3,a2=7,当 n≥1 时,an+2 等于 an·n+1 的个位数 a 字,则 a2010=( A.1 C.7 ) B.3 D.9
含详解答案

) B.4 D.16

)

B.S6=-2S3 D.S6=2S3

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[答案] D [解析] 由条件知,a1=3,a2=7,a3=1,a4=7,a5=7,a6=9,a7=3,……可见{an} 是周期为 6 的周期数列,故 a2010=a6=9. S2009 8. (2010· 广东五校、 启东模拟)在等差数列{an}中, 1=-2010, a 其前 n 项的和为 Sn.若 2009 S2007 - =2,则 S2010=( 2007 A.-2010 C.2009 [答案] A S2009 S2007 [解析] ∵ - =2, 2009 2007 ∴(a1+1004d)-(a1+1003d)=2,∴d=2, 2010×2009 ∴S2010=2010a1+ d=-2010. 2 9.(文)将正偶数按下表排成 4 列: 第1列 第1行 第2行 第3行 2 16 18 …… 则 2010 在( ) B.第 502 行,第 2 列 D.第 251 行,第 4 列 第2列 4 14 20 28 第3列 6 12 22 26 第4列 8 10 24 ) B.-2008 D.2010

A.第 502 行,第 1 列 C.第 252 行,第 4 列 [答案] C

[解析] 2010 是第 1005 个偶数, 又 1005=8×125+5,故前面共排了 125×2+1=251 行,余下的一个数 2010 应排在第 4 列. (理)已知数列{an}满足 a1=0,an+1=an+2n,那么 a2011 的值是( A.2008×2009 C.2010×2011 [答案] C [解析] 解法 1:a1=0,a2=2,a3=6,a4=12,考虑到所给结论都是相邻两整数乘积 的形式,可变形为: a1=0×1 a2=1×2 a3=2×3 a4=3×4 B.2009×2010 D.2011×2012 )

猜想 a2011=2010×2011,故选 D. 解法 2:an-an-1=2(n-1),
含详解答案

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an-1-an-2=2(n-2), … a3-a2=2×2, a2-a1=2×1. ∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a3-a2)+(a2-a1)+a1 =2[(n-1)+(n-2)+…+1]. ?n-1??n-1+1? =2 =n(n-1). 2 ∴a2011=2010×2011. 10.在函数 y=f(x)的图象上有点列(xn,yn),若数列{xn}是等差数列,数列{yn}是等比数 列,则函数 y=f(x)的解析式可能为( A.f(x)=2x+1 B.f(x)=4x2 3 C.f(x)=log3x D.f(x)=?4?x ? ? [答案] D 3 3 [解析] 对于函数 f(x)=?4?x 上的点列(xn,yn),有 yn=?4?xn,由于{xn}是等差数列,所 ? ? ? ? )

?3?x yn+1 ?4? n+1 ?3? 3 以 xn+1-xn=d,因此 = =?4?xn+1-xn=?4?d,这是一个与 n 无关的常数,故{yn} ? ? yn 3? ? xn ?4?
是等比数列.故选 D. 二、填空题 11.一个等差数列前 4 项之和为 26,最末 4 项之和为 110,所有项之和为 187,则它的 项数为________. [答案] 11 26+110 [解析] ∵a1+a2+a3+a4=26,an+an-1+an-2+an-3=110,∴a1+an= =34, 4 n?a1+an? 又∵Sn= =187,∴n=11. 2 1 1 2 1 2 3 1 2 3 9 1 12.已知数列{an}: , + , + + ,…, + + +…+ ,…,设 bn= , 2 3 3 4 4 4 10 10 10 10 anan+1 那么数列{bn}的前 n 项和 Sn=________. [答案] 4n n+1

1 2 n n [解析] 由条件知 an= + +…+ = , n+1 n+1 n+1 2 1 1 4 ∴bn= =4?n-n+1?, ? n?n+1? ?

含详解答案

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1 1 1 1 1 ∴Sn=4[(1- )+( - )+…+( - )] 2 2 3 n n+1 = 4n . n+1

π π 13.(09· 上海)已知函数 f(x)=sinx+tanx.项数为 27 的等差数列{an}满足 an∈?-2,2?, ? ? 且公差 d≠0.若 f(a1)+f(a2)+…+f(a27)=0,则当 k=_______________时,f(ak)=0. [答案] 14 [解析] ∵f(x)=sinx+tanx 为奇函数,且在 x=0 处有定义,∴f(0)=0. ∵{an}为等差数列且 d≠0, 且 f(a1)+f(a2)+…+f(a27)=0, ∴an(1≤n≤27,n∈N*)对称分布在原点及原点两侧 ∴f(a14)=0. ∴k=14. 14.给定 81 个数排成如图所示的数表,若每行 9 个数与每列的 9 个数按表中顺序构成 等差数列,且表中正中间一个数 a55=5,则表中所有数之和为______. a11 a12 … a19

a21 a22 … a29 … … … …

a91 a92 … a99 [答案] 405 [解析] 405. 三、解答题 15.(09· 安徽)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=2n2+2n,数列{bn}的前 n 项和 Tn=2-bn. (1)求数列{an}与{bn}的通项公式; (2)设 cn=an2·n,证明:当且仅当 n≥3 时,cn+1<cn. b [解析] (1)a1=S1=4,当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2n(n+1)-2(n-1)n=4n. 又 a1=4 适合上式,∴an=4n(n∈N*). 将 n=1 代入 Tn=2-bn,得 b1=2-b1, ∴T1=b1=1. 当 n≥2 时,Tn-1=2-bn-1,Tn=2-bn, 1 ∴bn=Tn-Tn-1=bn-1-bn,∴bn= bn-1, 2 ∴bn=21 n. (2)解法 1:由 cn=an2·n=n2·5 n, b 2
- -

S=(a11 +…+a19)+…+(a91 +…+a99)=9(a15 +a25 +…+a95)=9×9×a55 =

含详解答案

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cn+1 1? 1?2 = 1+ . cn 2? n?

1 4 当且仅当 n≥3 时,1+ ≤ < 2,即 cn+1<cn. n 3 解法 2:由 cn=an2·n=n2·5 b 2
- - -n

得,

cn+1-cn=24 n[(n+1)2-2n2] =24 n[-(n-1)2+2]. 当且仅当 n≥3 时,cn+1-cn<0,即 cn+1<cn. 16.(2010· 山东)已知等差数列{an}满足:a3=7,a5+a7=26,{an}的前 n 项和为 Sn. (1)求 an 及 Sn; 1 (2)令 bn= 2 (n∈N*),求数列{bn}的前 n 项和 Tn. an -1 [分析] (1)由条件和等差数列的通项公式可列出关于 a1、d 的方程组解出 a1 和 d,代入 通项公式及前 n 项和公式可求得 an,Sn. (2)由 an 可得 bn,观察 bn 的结构特点可裂项求和. [解析] (1)设等差数列{an}的公差为 d,因为 a3=7,a5+a7=26,
?a1+2d=7 ? 所以有? ,解得 a1=3,d=2, ?2a1+10d=26 ?

n?n-1? 所以 an=3+2(n-1)=2n+1;Sn=3n+ ×2 2 =n2+2n. 1 ? 1 1 1 1 1 ?1 (2)由(1)知 an=2n+1,所以 bn= 2 = = · = · - , an -1 ?2n+1?2-1 4 n?n+1? 4 ?n n+1? 1 1 1? 1 1 1 所以 Tn= ·1-2+2-3+…+n-n+1? 4? ? 1 1? n = ·1-n+1?= 4? ? 4?n+1?, 即数列{bn}的前 n 项和 Tn= n . 4?n+1?

[点评] 数列在高考中主要考查等差、等比数列的定义、性质以及数列求和,解决此类 题目要注意合理选择公式, 对于数列求和应掌握经常使用的方法, 如: 裂项、 叠加、 累积. 本 题应用了裂项求和. 17.(文)已知数列{an}的各项均为正数,前 n 项和为 Sn,且满足 2Sn=an2+n-4. (1)求证{an}为等差数列; (2)求{an}的通项公式. [分析] 利用 an 与 Sn 的关系及条件式可消去 Sn(或 an), 得到 an 与 an-1(或 Sn 与 Sn-1)的关 系式,考虑待求问题,故应消去 Sn. [解析] (1)当 n=1 时,有 2a1=a12+1-4,即 a12-2a1-3=0,解得 a1=3(a1=-1 舍
含详解答案

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去). 当 n≥2 时, 2Sn-1=an-12+n-5, 2Sn=an2+n-4, 有 又 两式相减得 2an=an2-an-12+1, 即 an2-2an+1=an-12, 也即(an-1)2=an-12, 因此 an-1=an-1 或 an-1=-an-1. 若 an-1=-an-1,则 an+an-1=1,而 a1=3,所以 a2=-2 这与数列{an}的各项均为正 数相矛盾,所以 an-1=an-1,即 an-an-1=1,因此{an}为等差数列. (2)由(1)知 a1=3,d=1,所以数列{an}的通项公式 an=3+(n-1)=n+2,即 an=n+2. (理)(2010· 新课标全国)设数列{an}满足 a1=2,an+1-an=3·2n 1. 2 (1)求数列{an}的通项公式; (2)令 bn=nan,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. [解析] (1)由已知得,当 n≥1 时, an+1=[(an+1-an)+(an-an-1)+…+(a2-a1)]+a1=3(22n 1+22n 3+…+2)+2=22(n
1
- - +1)- -

. 而 a1=2,所以数列{an}的通项公式为 an=22n 1. (2)由 bn=nan=n·2n 2
3 5
-1 -




Sn=1· 2+2· +3· +…+n·2n 1.① 2 2 2 从而 22·n=1·3+2·5+3·7+…+n·2n 1.② S 2 2 2 2 ①-②得 (1-22)Sn=2+23+25+…+22n 1-n·2n 1. 2 2 + = (4n-1)-n·2n 1 2 3 1 + + = (22n 1-2-3n·2n 1) 2 3 1 + = [(1-3n)2n 1-2] 3 1 + ∴Sn= [(3n-1)22n 1+2]. 9
- + +

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