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2019年高考数学(理)高分计划一轮狂刷练:第6章 不等式 62a Word版含解析

高考数学精品复习资料
2019.5

[基础送分 提速狂刷练] 一、选择题 1.(20xx· 唐山模拟)已知点(-3,-1)和点(4,-6)在直线 3x-2y -a=0 的两侧,则 a 的取值范围为( A.(-24,7) B.(-7,24) C.(-∞,-7)∪(24,+∞) D.(-∞,-24)∪(7,+∞) 答案 解析 B 根据题意知 ( - 9 + 2 - a)· (12 + 12 - a)<0. 即 (a + 7)(a - )

24)<0,解得-7<a<24.故选 B. 2x-y+1>0, ? ? 2.设关于 x,y 的不等式组?x+m<0, ? ?y-m>0 4? ? A.?-∞,3?
? ? ?

表示的平面区域内 )

存在点 P(x0,y0),满足 x0-2y0=2,则 m 的取值范围是( 1? ? B.?-∞,3?
? ? ?

2? ? C.?-∞,-3?
?

5? ? D.?-∞,-3?
?

答案

C

解析

图中阴影部分表示可行域,

1 要求可行域内包含 y=2x-1 上的点,只需要可行域的边界点(- 1 1 2 m,m)在 y=2x-1 下方,也就是 m<-2m-1,即 m<-3.故选 C. 2x-y≤0, ? ? 3.(20xx· 山东日照一模)已知变量 x,y 满足?x-2y+3≥0, ? ?x≥0, 则 z=( 2)2x+y 的最大值为( A. 2 C.2 答案 D ) B.2 2 D.4

解析

作出满足不等式组的平面区域,如图所示,令 m=2x+y,

则当 m 取得最大值时,z=( 2)2x+y 取得最大值.由图知直线 m=2x +y 经过点 A(1,2)时,m 取得最大值,所以 zmax=( 2)2×1+2=4,故选

D. 3x+y-7≥0, ? ? 4.已知实数 x,y 满足条件?x+3y-13≤0, ? ?x-y-1≤0, z=|2x-3y+4|的最大值为( A.3 C.6 答案 C ) B.5 D.8 则

解析

不等式组

3x+y-7≥0, ? ? ?x+3y-13≤0, ? ?x-y-1≤0

表示的平面区域如图中阴影部分所示,其中

2 A(2,1),B(1,4).设 t=2x-3y,平移直线 y=3x,则直线经过点 B 时, t=2x-3y 取得最小值-10,直线经过点 A 时,t=2x-3y 取得最大值 1,所以-6≤t+4≤5,所以 0≤z≤6.所以 z 的最大值为 6,故选 C. x+y≥1, ? ? 满足?mx-y≤0, ? ?3x-2y+2≥0, )

5.(20xx· 石家庄质检)若 x,y

且 z=3x

-y 的最大值为 2,则实数 m 的值为(

1 A.3 C.1 答案 解析 D

2 B.3 D.2 若 z=3x-y 的最大值为 2,则此时目标函数为 y=3x-2,
? ?

?3 1? 直线 y=3x-2 与 3x-2y+2=0 和 x+y=1 分别交于 A(2,4), B?4,4?,

1 1 mx-y=0 经过其中一点,所以 m=2 或 m=3,当 m=3时,经检验不 符合题意,故 m=2,选 D. x+y-2≥0, ? ? 6.若变量 x,y 满足约束条件?x-2y+6≥0, ? ?x≤2, y2 的最大值为( A.4 C.17 答案 C ) B. 17 D.16 则 z=(x-1)2+

解析

z=(x-1)2+y2 表示点(x,y)与点 P(1,0)间距离的平方.画

出约束条件所表示的平面区域如图中阴影部分所示,易知 P(1,0)与 A(2,4)间的距离最大,因此 zmax=(2-1)2+42=17.故选 C.

x+2y≤2, ? ? 7.(20xx· 邢台模拟)当 x,y 满足不等式组?y-4≤x, ? ?x-7y≤2 2≤kx-y≤2 恒成立,则实数 k 的取值范围是( A.[-1,1]
? 1 3? C.?-5,5? ? ?

时,-

)

B.[-2,0]
? 1 ? D.?-5,0? ? ?

答案

D

解析

作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示,设

?x+2y=2, ?x=-2, ? ? z=kx-y,由? 得? ?y-4=x, ? ? ?y=2, ? ?x+2y=2, 即 B( - 2,2) , 由 ? ? ?x-7y=2, ? ?x=2, 得? ? ?y=0,

即 C(2,0) , 由

? ? ?y-4=x, ?x=-5, ? 得? 即 A(-5,-1),要使不等式-2≤kx- ?x-7y=2, ? ? ?y=-1,

-2≤-2k-2≤2, ? ? y≤2 恒成立,则?-2≤2k≤2, ? ?-2≤-5k+1≤2, 2≤k≤0, ?- -1≤k≤1, 即? 1 3 ?-5≤k≤5,

1 所以-5≤k≤0,故选 D.

2x-y-2≥0, ? ? 8.(20xx· 南昌十校一模)已知不等式组?3x+y-8≤0, ? ?x+2y-1≥0, y 则 z= 的最大值与最小值的比值为( x+1 A.-2 8 C.-3 答案 C 1 B.-2 1 D.-3 )

解析

2x-y-2≥0, ? ? 如图所示, 不等式组?3x+y-8≤0, ? ?x+2y-1≥0

所表示的平面区域

为图中的阴影部分, 易知 z=

y 表示平面区域内的点与定点 P(-1,0) x+1

? ? ?3x+y-8=0, ?x=2, 连线的斜率.由? 可得? 故 A(2,2) , 由 ?2x-y-2=0, ?y=2, ? ? ? ? ?3x+y-8=0, ?x=3, ? 可得? 故 B(3,-1),数形结合知 AP 的斜 ? ? ?x+2y-1=0, ?y=-1,

y 2 1 率最大,此时 z= 最大,故 zmax=3;BP 的斜率最小,zmin=-4. x+1 y 8 故 z= 的最大值与最小值的比值为-3,故选 C. x+1

9.(20xx· 江西模拟)某农户计划种植黄瓜和韭菜,种植面积不超 过 50 亩,投入资金不超过 54 万元,假设种植黄瓜和韭菜的产量、成 本和售价如下表: 年产量/亩 黄瓜 韭菜 4吨 6吨 年种植成本/亩 1.2 万元 0.9 万元 每吨售价 0.55 万元 0.3 万元 )

为使一年的种植总利润 ( 总利润=总销售收入-总种植成本 ) 最 大,那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位:亩)分别为( A.50,0 C.20,30 答案 B B.30,20 D.0,50

解析 条件

设种植黄瓜 x 亩,种植韭菜 y 亩,因此,原问题转化为在

x+y≤50, ? ?1.2x+0.9y≤54, ?x≥0, ? ?y≥0

下,

求 z=0.55×4x+0.3×6y-1.2x-0.9y=x+0.9y 的最大值.画出
?x+y=50, ? 可行域如图.利用线性规划知识可知,当 x,y 取? 的 ?1.2x+0.9y=54 ?

交点 B(30,20)时,z 取得最大值.故选 B. 10 . (20xx· 石家庄质检)在平面直角坐标系中,不等式组 x+y≤0, ? ? ?x-y≤0, ? ?x2+y2≤r2 (r 为常数)表示的平面区域的面积为 π,若 x,y 满足上

x+y+1 述约束条件,则 z= 的最小值为( x+3 A.-1 1 C.3 答案 D

)

5 2+1 B.- 7 7 D.-5

解析 作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示,由题意, x+y+1 y-2 1 知4πr2=π,解得 r=2.z= =1+ ,表示可行域内的点与点 x+3 x+3 P(-3,2)连线的斜率加上 1,由图知当可行域内的点与点 P 的连线与 圆相切时斜率最小.设切线方程为 y-2=k(x+3),即 kx-y+3k+2 =0,则有 |3k+2| 12 12 =2,解得 k=- 5 或 k=0(舍去),所以 zmin=1- 5 2 k +1

7 =-5,故选 D. 二、填空题

x+y-7≤0, ? ? 11.(20xx· 银川质检)设 x,y 满足约束条件?x-3y+1≤0, ? ?3x-y-5≥0, 则 z=2x-y 的最大值为________. 答案 8

解析

画出不等式组

x+y-7≤0, ? ? ?x-3y+1≤0, ? ?3x-y-5≥0

表示的可行域,如图中阴影部分所示,将 z=

2x-y 化为 y=2x-z,-z 是直线 y=2x-z 的纵截距,由
?x+y-7=0, ?x=5, ? ? ? 得? ? ? ?x-3y+1=0 ?y=2,

∴B 的坐标为(5,2),则 y=2x-z 过点 B(5,2)时,z=2x-y 有最大 值 10-2=8. 2x-y+2≥0, ? ? 12.(20xx· 广州模拟)已知 x,y 满足约束条件?x-2y-2≤0, ? ?x+y-2≤0, 若 z=x-ay(a>0)的最大值为 4,则 a=________. 答案 3

解析

作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,则

A(2,0),B(-2,-2).显然直线 z=x-ay 过 A 时不能取得最大值 4, 若直线 z=x-ay 过点 B 时取得最大值 4,则-2+2a=4,解得 a=3, 此时,目标函数为 z=x-3y,作出直线 x-3y=0,平移该直线,当 直线经过点 B 时,截距最小,此时,z 的最大值为 4,满足条件. y-1≥0, ? ? 13.(20xx· 山西五校 3 月联考)不等式组?x-y+2≥0, ? ?x+4y-8≤0 的两部分,则目标函数 z=ax+y 的最大值为________. 答案 9

表示的

平面区域为 Ω,直线 x=a(a>1)将平面区域 Ω 分成面积之比为 1∶4

解析

如图, 平面区域 Ω 为△ABC 及其内部, 作直线 x=a(1<a<4)

1 1 交 BC , AC 分别于点 E , F. 由题意可知 S △ EFC = 5 S △ ABC ,则 2 (4 -

? 1 ? 1 1 1 ?- a+2-1?= × ×5×1= ,可得 a=2,所以目标函数 z=ax a)· 4 5 2 2 ? ?

+y 即为 z=2x+y,易知 z=2x+y 在点 C(4,1)处取得最大值,则 zmax =9. 14.(20xx· 河北衡水中学 3 月模拟)已知点 P(x,y)的坐标满足 x≤0, ? ? ?y>x, ?y<2x+1, ? 答案 x +y 的取值范围为________. x2+y2



(- 2,1]

解析

x≤0, ? ? 解法一:作出不等式组?y>x, ? ?y<2x+1

表示的平面区域,如

图中阴影部分所示,其中 B(-1,-1),C(0,1). → ,OP → 的夹角为 θ, 设 A(1,1),P(x,y),向量OA →· → =x+y,|OP → |= x2+y2, ∵OA OP →· → x+y x+y OA OP 2 ∴cosθ= = , 2 2= 2 × → ||OP →| 2× x +y x2+y2 |OA 由图可知∠AOC≤θ<∠AOB, 即 45° ≤θ<180° , 2 ∴-1<cosθ≤ 2 ,

x+y 2 2 即-1< 2 × 2 2≤ 2 , x +y ∴- 2< x+y ≤1. x2+y2

解法二:作出不等式组 x≤0, ? ? ?y>x, ? ?y<2x+1

表示的平面区域,如图中阴影部分所示,

其中 B(-1,-1),C(0,1), 设 P(x,y),θ=∠POx,则
?π 5π? x y ? , ?, = cos θ , = sin θ . θ ∈ ?2 4 ? x2+y2 x2+y2



x+y π? ? ? ? 2 2=cosθ+sinθ= 2sin?θ+4?. x +y
? ?

?π 5π? ∵θ∈?2, 4 ?,

π ?3π 3π? ∴θ+4∈? 4 , 2 ?,
? ?

π? ? ? 2? ∴sin?θ+4?∈?-1, ?. 2? ? ? ? ∴ x+y ∈(- 2,1]. x2+y2

三、解答题

15.某客运公司用 A,B 两种型号的车辆承担甲,乙两地间的长 途客运业务,每车每天往返一次.A,B 两种车辆的载客量分别为 36 人和 60 人,从甲地去乙地的营运成本分别为 1600 元/辆和 2400 元/ 辆,公司拟组建一个不超过 21 辆车的客运车队,并要求 B 型车不多 于 A 型车 7 辆.若每天运送人数不少于 900,且使公司从甲地去乙地 的营运成本最小,那么应配备 A 型车、B 型车各多少辆? 解 设 A 型、B 型车辆分别为 x、y 辆,相应营运成本为 z 元, 则 z = 1600x + 2400y. 由 题 意 , 得 x , y 满 足 约 束 条 件 x+y≤21, ? ?y≤x+7, ?36x+60y≥900, ? ?x,y≥0,x,y∈N. 作可行域如图所示,可行域的三个顶点坐标分别为 P(5,12),Q(7,14),R(15,6).

由图可知当直线 z=1600x+2400y 经过可行域的点 P 时,直线 z z =1600x+2400y 在 y 轴上的截距2400最小,即 z 取得最小值. 故应配备 A 型车 5 辆、B 型车 12 辆,可以满足公司从甲地去乙 地的营运成本最小. 16.某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,需要 A,B,C 三种主

要原料. 生产 1 车皮甲种肥料和生产 1 车皮乙种肥料所需三种原料的 吨数如下表所示: 原料 肥料 甲 乙 A 4 5 B 8 5 C 3 10

现有 A 种原料 200 吨,B 种原料 360 吨,C 种原料 300 吨,在此 基础上生产甲、乙两种肥料.已知生产 1 车皮甲种肥料,产生的利润 为 2 万元;生产 1 车皮乙种肥料,产生的利润为 3 万元.分别用 x, y 表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数. (1)用 x,y 列出满足生产条件的数学关系式,并画出相应的平面 区域; (2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮,能够产生最大的利 润?并求出此最大利润. 解 (1)由已知,x,y 满足的数学关系式为

4x+5y≤200, ?8 ? x+5y≤360, ?3x+10y≤300, ?x≥0, ?y≥0. 该二元一次不等式组所表示的平面区域为图 1 中的阴影部分:

(2)设利润为 z 万元,则目标函数为 z=2x+3y. 2 z 2 考虑 z=2x+3y,将它变形为 y=-3x+3,这是斜率为-3,随 z z z 变化的一族平行直线,3为直线在 y 轴上的截距,当3取最大值时,z 的值最大.又因为 x,y 满足约束条件,所以由图 2 可知,当直线 z z =2x+3y 经过可行域上的点 M 时,截距3最大,即 z 最大.

? ?4x+5y=200, 解方程组? 得点 M 的坐标为(20,24).所以 zmax ?3x+10y=300, ?

=2×20+3×24=112. 答:生产甲种肥料 20 车皮、乙种肥料 24 车皮时利润最大,且最 大利润为 112 万元.



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