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高中数学 选修2-2 1.3.2 函数的极值与导数(人教新课标)


1.3.2

函数的极值与导数

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课前预习导学

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学习目标 1.记住函数的极大值、极小值的概 念; 2.结合图象,知道函数在某点取得极值的 必要条件和充分条件; 3.会用导数求不超过三次的多项式函数 的极大值、极小值. 重点难点 重点:利用导数求函数 的极值; 难点:极值的判断和与极值 有关的参数问题.

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预习导引
1.极值点与极值 (1)极小值点与极小值 如下图,函数 y=f(x)在点 x=a 的函数值 f(a)比它在点 x=a 附近其 他点的函数值都小,f'(a)=0;而且在点 x=a 附近的左侧 f'(x)<0,右侧 f'(x)>0,把点 a 叫做函数 y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数 y=f(x)的极小 值.

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(2)极大值点与极大值 如上图,函数 y=f(x)在点 x=b 的函数值 f(b)比它在点 x=b 附近其 他点的函数值都大,f'(b)=0;在点 x=b 附近的左侧 f'(x)>0,右侧 f'(x)<0, 则把点 b 叫做函数 y=f(x)的极大值点,f(b)叫做函数 y=f(x)的极大值. 极大值点、极小值点统称为极值点,极大值和极小值统称为极值.

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预习交流 1
思考:(1)导数为 0 的点一定是函数的极值点吗? (2)一个函数在一个区间的端点处可以取得极值吗? (3)一个函数在给定的区间上是否一定有极值?若有极值,是否 可以有多个?极大值一定比极小值大吗?

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提示:(1)不一定,例如对于函数 f(x)=x3,虽有 f'(0)=0,但 x=0 并不 是 f(x)=x3 的极值点,要使导数为 0 的点成为极值点,还必须满足其他 条件. (2)不可以,函数在一个区间的端点处一定不可能取得极值,因为 不符合极值点的定义. (3)在一个给定的区间上,函数可能有若干个极值点,也可能不存 在极值点;函数可以只有极大值,没有极小值,或者只有极小值没有极 大值,也可能既有极大值,又有极小值.极大值不一定比极小值大,极 小值也不一定比极大值小.

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2.求函数 f(x)的极值的方法 解方程 f'(x)=0,当 f'(x0)=0 时: (1)如果在 x0 附近的左侧 f'(x)>0,右侧 f'(x)<0,那么 f(x0)是极大值. (2)如果在 x0 附近的左侧 f'(x)<0,右侧 f'(x)>0,那么 f(x0)是极小值.

预习交流 2
做一做:函数 f(x)=3x-x3 的极大值为 ,极小值 为 . 提示:f'(x)=3-3x2,令 f'(x)=0 得 x=± 1,由极值的定义可得函数的极 大值为 f(1)=2,极小值为 f(-1)=-2.

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课堂合作探究

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问题导学
一、求函数的极值 活动与探究 1
求下列函数的极值: (1)f(x)=x3-12x; (2)f(x)=
2x -2. x2 +1

思路分析:首先从方程 f'(x)=0 入手,求出在函数 f(x)的定义域内 所有可能的极值点,然后按照函数极值的定义判断这些点是否为极 值点.

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解:(1)函数 f(x)的定义域为 R. f'(x)=3x2-12=3(x+2)(x-2). 令 f'(x)=0,得 x=-2,或 x=2. 当 x 变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
x f'(x) f(x) (-∞,-2) + 单调递增↗ -2 0 16 (-2,2) 单调递减↘ 2 0 -16 (2,+∞) + 单调递增↗

从上表可以看出: 当 x=-2 时,函数有极大值,且 f(-2)=16; 当 x=2 时,函数有极小值,且 f(2)=-16.

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(2)函数的定义域为 R. f'(x)=
2(x2 +1)-4x2 (x2 +1)
2

=-

2(x-1)(x+1) (x2 +1)
2

.

令 f'(x)=0,得 x=-1,或 x=1. 当 x 变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
x f'(x) f(x) (-∞,-1) 单调递减↘ -1 0 -3 (-1,1) + 单调递增↗ 1 0 -1 (1,+∞) 单调递减↘

由上表可以看出: 当 x=-1 时,函数有极小值,且 f(-1)=-3; 当 x=1 时,函数有极大值,且 f(1)=-1.

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迁移与应用 求函数
x f(x)= x2 的极大值.

解:函数定义域为(0,+∞),
(x)'·2 -x·(2 )' f'(x)= x4

=

x-2xx x4

=

1-2x , x3

令 f'(x)=0,得 x= , 且当 0<x< 时,f'(x)>0, 当 x> 时,f'(x)<0, 所以 f(x)在 x= 处取得极大值 f( )= .
1 2

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利用导数求函数极值的步骤: (1)求导数 f'(x); (2)求方程 f'(x)=0 的所有实数根; (3)考察在每个根 x0 附近,从左到右导函数 f'(x)的符号如何变化. ①如果 f'(x)的符号由正变负,则 f(x0)是极大值; ②如果由负变正,则 f(x0)是极小值; ③如果在 f'(x)=0 的根 x=x0 的左右侧 f'(x)的符号不变,则不是极 值点.

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二、函数极值的逆应用 活动与探究 2 已知函数 f(x)=ax3+bx+2 在 x=1 处取得极值,且极值为 0. (1)求 a,b 的值; (2)求 f(x)的另一个极值. 思路分析:由极值的定义可知 f'(1)=0,再结合 f(1)=0,建立关于 a,b 的方程即可求得 a,b 的值,从而得出另一个极值.

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解:(1)∵ f(x)=ax3+bx+2, ∴ f'(x)=3ax2+b. 依题意可得 f'(1)=0 且 f(1)=0, a = 1, 3a + b = 0, 即 解得 a + b + 2 = 0. b = -3. (2)由(1)知 f(x)=x3-3x+2,f'(x)=3x2-3. 令 f'(x)=0 得 3x2-3=0,所以 x=± 1. 故函数 f(x)在 x=-1 处取得另一个极值, 且极值等于 f(-1)=-1+3+2=4.

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迁移与应用 ( 1.若 x=-2 与 x=4 是函数 f(x)=x3+ax2+bx 的两个极值点,则有 ) A.a=-2,b=4 B.a=-3,b=-24 C.a=1,b=3 D.a=2,b=-4 解析:f'(x)=3x2+2ax+b,依题意有-2 和 4 是方程 3x2+2ax+b=0 的
2a 3 b 3

两个根,所以有- =-2+4, =-2× 4,解得 a=-3,b=-24. 答案:B 2.已知函数 y=-x3+6x2+m 有极大值 13,则 m 的值为 . 解析:y'=-3x2+12x=-3x(x-4),令 y'=0,得 x=0,或 x=4.当 x<0,或 x>4 时,y'<0,函数单调递减;当 0<x<4 时,函数单调递增,故 f(x)在 x=4 处 取得极大值,且 f(4)=-64+96+m=13,故 m=-19. 答案:-19
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(1)已知函数极值情况,逆向应用确定函数的解析式,进而研究函 数性质时,注意两点: ①常根据极值点处导数为 0 和已知极值(或极值之间的关系)列 方程组,利用待定系数法求解. ②因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件,所以利用 待定系数法求解后必须验证根的合理性. (2)对于可导函数 f(x),若它有极值点 x0,则必有 f'(x0)=0,因此函数 f(x)有极值的问题,往往可以转化为方程 f'(x)=0 有根的问题,从而可 借助方程的知识进行求解.

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三、有关函数极值的综合问题 活动与探究 3 已知 x=1 是函数 f(x)=mx3-3(m+1)x2+nx+1 的一个极值点,其中 m,n∈R,m≠0. (1)求 m 与 n 的关系表达式; (2)求 f(x)的单调区间. 思路分析:本题主要考查运用导数来解函数的极值和函数的单 调性问题.解决本题的关键是利用已知条件得到 m,n 的关系式和分 类讨论的运用.

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解:(1)f'(x)=3mx2-6(m+1)x+n. ∵ 是 f(x)的一个极值点, x=1 ∴ f'(1)=0,即 3m-6(m+1)+n=0,∴ n=3m+6. ①当 m<0 时,有
x f'(x) f(x)
2 1>1+m,当 x 变化时,f(x)与

(2)由(1)知,f'(x)=3mx2-6(m+1)x+3m+6=3m(x-1) x- 1 + m . f'(x)的变化如下表:
1 0 极大值 (1,+∞) 单调 递减↘
2

2

2 -∞,1 + m 单调 递减↘

1+ 0

2



极小值

2 1 + ,1 + 单调 递增↗
2

由上表知,当 m<0 时,f(x)在 -∞,1 + m 上单调递减,在 1 + m ,1 上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.
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②当 m>0 时,有 1<1+m,当 x 变化时,f(x)与 f'(x)的变化如下表:
x f'(x) f(x) (-∞,1) + 单调 递增↗ 1 0 极大值 2 1,1 + 单调 递减↘ 1+ 0 极小值
2

2

2 1+ ,+∞ + 单调递增↗
2

由上表知,当 m>0 时,f(x)在(-∞,1)上单调递增,在 1,1 + m 上单 调递减,在 1 + m , + ∞ 上单调递增.
2

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迁移与应用 1.已知函数 y=2x3+ax2+36x-24 在 x=2 处有极值,则该函数的一个 递增区间是( ) A.(2,3) B.(3,+∞) C.(2,+∞) D.(-∞,3) 解析:因为函数 y=2x3+ax2+36x-24 是可导函数,且在 x=2 处有极 值,所以有 f'(2)=0,而 f'(x)=6x2+2ax+36,代入得 a=-15,这时 f'(x)=6x2-30x+36,再令 f'(x)>0,解得 x>3,或 x<2,所以该函数的递增区 间是(3,+∞)和(-∞,2). 答案:B

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2.已知函数 f(x)=ax3+bx2-3x 在 x=± 处取得极值. 1 (1)讨论 f(1)和 f(-1)是函数 f(x)的极大值还是极小值; (2)过点 A(0,16)作曲线 y=f(x)的切线,求此切线方程. 3a + 2b-3 = 0, 解:(1)f'(x)=3ax2+2bx-3.依题意,f'(1)=f'(-1)=0,即 3a-2b-3 = 0, 解得 a=1,b=0,∴ f(x)=x3-3x,f'(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1).令 f'(x)=0,得 x=1,x=1.若 x∈(-∞,-1)∪(1,+∞),则 f'(x)>0,故 f(x)在(-∞,-1)上是增函 数,f(x)在(1,+∞)上也是增函数.若 x∈(-1,1),则 f'(x)<0,故 f(x)在(-1,1) 上是减函数.∴ f(-1)=2 是极大值,f(1)=-2 是极小值.
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(2)曲线方程为 y=x3-3x.∵ A(0,16)不在曲线上,可设切点为 点

3 2 M(x0,y0),则点 M 的坐标满足 y0=x 0 -3x0.∵ 0)=3(x0 -1),故切线的方程 f'(x 2 为 y-y0=3(x0 -1)(x-x0).又点 A(0,16)在切线 3 3 2 上,∴ 16-(x0 -3x0)=3(x0 -1)(0-x0),化简得x0 =-8,解得 x0=-2.∴ 切点为

M(-2,-2),切线方程为 9x-y+16=0.

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(1)利用导数可探究出函数的单调性与极值情况,据图象走势及 最高点、最低点画出函数的大致图象. (2)研究方程根的个数问题时,可利用数形结合的思想方法,将问 题转化为两函数图象交点个数的问题,然后借助函数的单调性和极 值情况进行求解.

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当堂检测
1.若函数 f(x)=2x3+3ax2+36x-1 在 x=2 处有极值,则 a 的值为( ) A.-5 B.5 C.8 D.-8 解析:f'(x)=6x2+6ax+36,依题意 f'(2)=0,所以 24+12a+36=0,解得 a=-5. 答案:A

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2.函数 f(x)=ln x-x 在区间(0,e)上的极大值为( ) A.-e B.-1 C.1-e D.0
1 解析:定义域为(0,+∞),f'(x)= -1,令 x

f'(x)=0 得 x=1,且当 0<x<1 时,

f'(x)>0,x∈(1,e)时 f'(x)<0, 故 f(x)在 x=1 处取得极大值 f(1)=ln 1-1=0-1=-1. 答案:B

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3.设函数 f(x)=xex,则( ) A.x=1 为 f(x)的极大值点 B.x=1 为 f(x)的极小值点 C.x=-1 为 f(x)的极大值点 D.x=-1 为 f(x)的极小值点 解析:由 f'(x)=x'·ex+(ex)'·x=ex+ex·x=ex(x+1)=0,得 x=-1. 当 x<-1 时,f'(x)<0,f(x)在(-∞,-1)上单调递减; 当 x>-1 时,f'(x)>0,f(x)在(-1,+∞)上单调递增. 所以 x=-1 为 f(x)的极小值点. 答案:D

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4.设 a∈R,若函数 y=ex+ax,x∈R 有大于零的极值点,则 a 的取值范围 是 . 解析:y'=ex+a,依题意方程 ex+a=0 有大于 0 的实数根,所以 ex>1,所以 -ex<-1.由 a=-ex,所以 a<-1. 答案:a<-1

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5.求下列函数的极值: (1)y=2x3+6x2-18x+3; (2)y=2x+x . 解:(1)函数的定义域为 R. y'=6x2+12x-18=6(x+3)(x-1), 令 y'=0,得 x=-3,或 x=1. 当 x 变化时,y',y 的变化情况如下表:
x y' y (-∞,-3) + 单调递增↗ -3 0 57 (-3,1) 单调递减↘ 1 0 -7 (1,+∞) + 单调递增↗
8

从上表中可以看出,当 x=-3 时,函数有极大值,且 y 极大值=57. 当 x=1 时,函数有极小值,且 y 极小值=-7.
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(2)函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).
8 y'=2-x2 =2 4 1- x2

=2

2 1- x

2 1+x

.

令 y'=0,得 x=-2,或 x=2. 当 x<-2 时,y'>0; 当-2<x<0 时,y'<0, 即 x=-2 时,y 取得极大值-8. 当 0<x<2 时,y'<0; 当 x>2 时,y'>0, 即 x=2 时,y 取得极小值,且极小值为 8.

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