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§2.2.3向量数乘运算及其几何意义【两课时】


萧振高中高一数学导学案

主备:陈才旭

复备:

审核:

2016-3-25

§2.2.3 向量数乘运算及其几何意义【两课时】
班级:______ 姓名:_________ 授课日期:________ 顺序编号:_______

学习目标 1. 掌握向量数乘运算,并理解其几何意义; 2. 理解两个向量共线的含义;掌握向量的线性运算性质及其几何意义.【重点与难点】 学习过程 一、课前准备 (预习教材 P87—P90) (一)复习: 向量减法的几何意义是什么? (二)情景引入,设疑激趣 2008 年全国机器人大赛中,质点 P 按程序指令从 O 地向东走了 10cm 到达 A 地,再向东走了 10cm 到 达 B 地,又从 B 地向东走了 10cm 到达 C 地。 我们已经知道, 质点从 O 地到达 C 地所走的总路程为 (10+10+10) cm,也可以表示为 3*10cm。若要表示机器人从 O 地到 C 地的位移呢?容易知道 OA = AB 为 a ,那么位移 OC = a + a + a 。模仿实数的运算, a + a + a 能不能表示成 3 a 呢? 二、新课导学 ※ 探索新知 探究:向量数乘运算与几何意义 问题 1:已知非零向量 a ,作出:

???

= BC ,可设

?

① a ? a ? a ;② ? a ? ? a ? ? a . 通过作出图形,同学们能否说明它们的几何意义? 1、一般地,我们规定___________________是一个向量,这种运算称做向量的数乘记作 ? a ,它的长度 与方向规定如下: (1) | ? a | =___________________________________;

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? ? ? ? ? ?

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? a

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(2) 当_________时,? a 的方向与 a 的方向相同; 当_______时,? a 的方向与 a 方向相反, 当_________ 时, ? a = O 。 问题 2:向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算 .请同学们解释它们的几何意义.

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2、向量数乘运算律,设 ? , ? 为实数。 (1) ? (? a) ? _______; (3) ? (a ? b) ? _________;

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(4) (?? )a ? ________=___________; ? ? (5) ? (a ? b) ? ______________; ? ? ? ? (6)对于任意向量 a , b ,任意实数 ?、?1、?2 恒有 ? =_______________。 (?1 a+?2 b ) 问题 3:引入向量数乘运算后,你能发现数乘向量与原向量之间有什么位置关系? 3、共线(平行)向量定理:向量 b 与非零向量 a 平行的充要条件是有且仅有一个实数 λ ,使 得 。 对此定理的证明,是两层来说明的: 其一,若存在实数 λ ,使 b = 平行.

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(2) (? ? ? )a ? _________;

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? ? ? ? ? λa ,则由实数与向量乘积定义中第(2)条可知 λb 与 a 平行,即 b 与 a

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萧振高中高一数学导学案

主备:陈才旭

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2016-3-25

? ? ? ? ? |b| 其二,若 b 与 a 平行,且不妨令 a ? 0 ,设 ? = μ (这是实数概念) .接下来看 a 、 b 方向如何: |a| ? ? ? ? ? ? ? ? ① a 、b 同向, 则 b = μa , ②若 a 、b 反向, 则记 b = - μa , 总而言之, 存在实数 λ( λ = μ 或 λ = - μ ) ? ? 使 b = λa .
※ 典型例题 例 1:计算: ⑴ ? ?7 ? ? 6a =

?

⑵ 4 a ? b ? 3 a ? b ? 8a =

⑶ 5a ? 4b ? c ? 2 3a ? 2b ? c = 训练 1: (1)点 C 在线段 AB 上,并且 (2)课本 P 90 的第 3、5 题。

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AC 5 ? ,则 AC =_____ AB , BC =_____ AB CB 2

例 2: 如图, 已知任意非零向量 a , b , 试作出 OA = a ? b ,OB = a ? 2b ,OC = a ? 3b 。 你能判断 A,B,C 三点之间的位置关系吗?为什么?

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1.【结论】 :?A、B、C 三点共线 ? _________________________ ?点 B 是线段 AC 的中点 ? ______________________ 2.【迁移与应用】已知向量 e1 和 e2 不共线.

(1)若 AB =e1+e2, BC =2e1+8e2, CD =3(e1-e2),求证:A,B,D 三点共线; (2)欲使 ke1+e2 和 e1+ke2 共线,试确定实数 k 的值.

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b 表示 AM 、 B ? a ,AD ? b , 例 3: 如图, 平行四边形 ABCD 的两条对角线相交于点 M , 且A 你能用 a 、

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? ???? ???? ? ???? ? BM 、 CM 、 DM 吗?

1 AB ,DE 与 BC 平行,并且与变 AC 交于 E, ΔABC 的 4 ? ? ? ? 中线 AM 与 DE 相交于点 N,设向量 AB = a , AC = b ,用 a , b 分别表示向量

AD = 训练 2.在 ΔABC 中,

AE, BC, DE, DB, EC, DN, AN.

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萧振高中高一数学导学案

主备:陈才旭

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例 4: (1)已知向量 OA 与OB 是不共线的向量,若 AC ? t AB, (t ? R) 试用 OA, OB表示OC, (2)设 G 是 ΔABC 的重心【即三条中线的交点】 ,O 为平面内不同于 G 的任意一点, 求证: OG =

1 ( OA ? OB ? OC ) 3

训练 3:(2009 年高考)设 P 是 ΔABC 所在平面内一点,并且满足 BC ? BA ? 2BP ,则( A. PA ? PB ? 0 B. PC ? PA ? 0 C. PB ? PC ? 0 D. PA ? PB ? PC ? 0



例 5:如图,在 ΔABC 中,点 D 是 BC 的中点,过点 D 的直线分别交直线 AB、AC 于不同的两点 M、N,若

AB ? m AM, AC ? n AN ,求 m+n 的值。

训练 4:如图,在 ΔABC 中,点 G 位其重心,直线 MN 过点 G 分别交直线 AC、AB 于不同的两点 M、N, 若 AM

? m AB, AN ? n AC ,求

1 1 ? 的值。 m n

三、小结反思

1.(1) λ 与 a 的积还是向量, λ a 与 a 是共线的; (2)向量平行的充要条件的内容和证明思路,也是应用该结论解决问题的思路。该结论主要用于证明 点共线、求系数、证直线平行等题型问题; (3)运算律暗示我们,化简向量代数式就像计算多项式一样去合并同类项。 2.【重要结论】(1)点 B 是线段 AC 的中点 ? ______________________ (2)A、B、C 三点共线 ? _______________ ? ___________________________ (3)点 G 是 ΔABC 的重心 ? _________________________ 学习评价 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 8(a ? c) ? 7(a ? c) ? c =___________。

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? ? ? ? a ? ? 2a ? b ? a ? = ? ?

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? ? ? ? ? (a ? 9b ? 2c) ? (b ? 2c) =________ _。 ? ? ? ? 1 ?1 ? (2 a ) ? 8 b ? (4 a ? 2b) ? =______ ___。 3? ?2 ?
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2.在 ?ABC 中, E 、 F 分别是 AB 、 AC 的中点,若 AB ? a , AC ? b ,则 EF =______(用 a , b 表示)

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? ??? ? ??? ? 3 ??? AB ,则 AC ? ________ CB 。 5 ? ? ? ? ? ? 4.设两非零向量 e1 , e2 不共线,且 k (e1 ? e2 ) //(e1 ? ke2 ) ,则实数 k 的值为
3.点 C 在线段 AB 上,且 AC ?

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→ → → → → 5.如图所示,在?ABCD 中,AB=a,AD=b,AN=3NC,M 为 BC 的中点,则MN=______.(用 a,b 表示)

课后作业 1.已知 λ ,μ ∈R,则下面关系正确的 是( ) A.λ a 与 a 同向 B .0·a=0 C.(λ +μ )a=λ a+μ a D.若 b=λ a,则|b|=λ |a| 2.已知向量 a,b,且 AB =a+2b, BC =-5a+6b, CD =7a-2b,则一定共线的三点是( A.A,B,D B.A,B,C C.B,C,D D .A ,C ,D 3.下列向量 a 、 b 共线的有(

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)

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? ?? ? ?? ? ? ?? ?? ?? ?? ?? ? ? ?? 2 ?? ? ? ?? 1 ?? ? ① a ? 2e1 , b ? ?e2 ; ② a ? e1 ? e2 , b ? ?2e1 ? 2e2 ; ③ a ? 4e1 ? e2 , b ? e1 ? e2 ; 5 10 ? ?? ?? ?? ?? ?? ? ?? ?? ? ④ a ? e1 ? e2 , b ? 2e1 ? 2e2 ( e1 , e2 不共线)
A.②③ B.②③④ C.①③④ D.①②③④ 4.在平行四边形 ABCD 中,AC 与 BD 交于点 O,E 是线段 OD 的中点,AE 的延长线与 CD 交于点 F, 若 AC = a BD = b ,则 AF =_____________(用 a , b 表示) 5.若 AB ? 8, AC ? 5 ,则 BC 的取值范围是_____________ 6.如图,在△OAB 中,延长 BA 到 C,使 AC=BA,在 OB 上取点 D,使 DB=

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DC 与 OA 交点为 E,设 OA =a, OB =b,用 a,b 表示向量 OC , DC

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1 OB, 3

7.如 图 所 示 , 在 ?OAB 的 边 OA, OB 上 分 别 有 一 点 M 、 N , 已 知

O M N R A B

OM : MA ? 1 : 2 ON : NB ? 3 : 2 ,连结 AN ,在 AN 上取一点 R ,满足 AR : RN ? 5 : 1 . ⑴用向量 OA, OB 表示向量 BR ; ⑵证明:R 在线段 BM
上.

8.在四边形 ABCD 中, AB =

? ? ? ? ? ? a +2 b , BC =-4 a - b , CD =-5 a -3 b .求证:四边形 ABCD 为梯形

★【课后反思】学完本节课,你在知识、方法等方面有什么收获与感受?请写下来!

学生课后作业批改日期:________
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