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2015-2016学年福建省师大附中高二上学期期中考试数学文试题


2015-2016 学年福建省师大附中高二上学期期中考试数学文试题
本试卷共 4 页. 满分 150 分,考试时间 120 分钟. 注意事项:试卷分第 I 卷和第 II 卷两部分,将答案填写在答卷纸上,考试结束后只交答案卷.

第I卷
目要求. 1.已知 a , b ? R ,下列结论成立的是 A.若 a ? b ,则 ac ? bc C.若 a ? b ? 0 ,则

共 60 分

一、选择题:本大题有 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题

B.若 a ? b , c ? d ,则 ac ? bd
n n ? D.若 a ? b ,则 a ? b ( n ? ? , n ? 2 )

1 1 ? a b

2.在△ ABC 中, a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边,若 a ? 2, b ? 2 3 ,∠A=30°,则∠B 等于 A.30° B.30°或 150° C.60° D.60°或 120°

3.设 Sn 为等差数列 {a n } 的前 n 项和,已知 a1 ? a5 ? a9 ? 18 ,则 S9 的值为 A.54 B.45 C.27 D.18

2 4.对于任意实数 x ,不等式 mx ? mx ? 1 ? 0 恒成立,则实数 a 取值范围

A. ?? ?,?4?

B. ?? ?,?4?

C. (?4,0)

D. ?? 4,0?

5.设等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若

S S4 ? 3 ,则 6 ? S2 S4
C.

A.2

B.

7 3

8 3

D.3

6.在平面直角坐标系中,若点 (2, t ) 在直线 x ? 2 y ? 4 ? 0 的左上方区域且包括边界,则 t 的取值范围是 A. t ? 3 B. t ? 3 C. t ? 3 D. t ? 3

7.已知等差数列 {an } 的前 n 项和 S n 满足 S 5 ? S 6 且 S 6 ? S 7 ? S 8 ,则下列结论错误 的是 .. A. S 6 和 S 7 均为 S n 的最大值 B. a7 ? 0 C.公差 d ? 0 D. S 9 ? S 5

2 2 8.在△ABC 中,若 b tan A ? a tanB ,则△ABC 的形状是

A.直角三角形

B.等腰或直角三角形

C.等腰三角形

D.等边三角形

9.下列函数中,最小值为 2 2 的是 A. y ?

x2 ? 3 ?

2 x ?3
2

B. y ? sin x ?

2 (0 ? x ? ? ) sin x

C. y ? x ?

2 x

D. y ? lg x ?

2 ( x ? 0 且 x ? 1) lg x



1第

10.如下表定义函数 f ( x)

x
f ( x)

1 5

2 4

3 3

4 1

5 2

对于数列 ?an ? , a1 ? 4, an ? f (an?1 ), n ? 2,3,...,则 a2015 的值是 A.5 B.4 C.2 D.1

?x ? y ? 2 ? 0 ? 11. x, y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 2 ? 0 ,若 z ? y ? ax 取得最大值的最优解不唯一 ,则实数 a = ... ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?
A.

1 或 ?1 2

B. 2或 ? 1

C. 2或

1 2

D. 2 或 1

12.设 M 是 ?ABC 内一点,且 AB ? AC ? 2 3, ?BAC ? 30?, 定义 f (M ) ? (m, n, p) ,其中 m, n, p 分别 是 ?MBC, ?MCA, ?MAB 的面积,若 f ( M ) ? ( , x, y ) ,则 A.8 B.9 C.16

1 2

1 4 ? 的最小值是 x y
D.18

第Ⅱ卷

共 90 分

二、填空题:本大题有 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答卷的相应位置. 13.若集合 M ? {x
x?2 ? 0} , N ? x x 2 ? 2x ? 3 ? 0 ,则 M ? N ? x ?1
. A 200

?

?

. Q

14.若数列 {an } 前 n 项和 S n ? n 2 ? 2n ? 1, 则 an =

15.在高为 200 米的气球 Q 上测得山下一塔 AB 的塔顶 A 和塔底 B 的俯角
分别是 30?, 60? ,则塔高为 米.

B

16.设数列 {an } 是集合{3s+3t| 0≤s<t,且 s,t∈Z}中所有的数从小到大排列成的数列,
即 a1=4,a2=10,a3=12,a4=28,a5=30,a6=36,…, 将数列 {an } 中各项按照上小下大,左小右大的原则排成如下等腰直角三角形数表: 4 10 28 … 12 30

第 15 题图

36

a200 =

(用 3s+3t 形式表示) .

三、解答题:本大题有 6 题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 10 分)
在 ? ABC 中,内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c .
页 2第

(Ⅰ)若 a, b, c 成等差数列,证明: sin A ? sin C ? 2 sin( A ? C ) ; (Ⅱ)若 a, b, c 成等比数列,且 c ? 2a ,求 cos B 的值.

18.(本小题满分 10 分)
等差数列 ?an ? 中, a7 ? 4, a19 ? 2a9 , (Ⅰ)求 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ?

1 , 求数列?bn ?的前n项和Sn . nan

19. (本小题满分 12 分)
某小型餐馆一天中要购买 A, B 两种蔬菜, A, B 蔬菜每公斤的单价分别为 2 元和 3 元.根据需要 A 蔬菜 至少要买 6 公斤, B 蔬菜至少要买 4 公斤,而且一天中购买这两种蔬菜的总费用不能超过 60 元.如果 这两种蔬菜加工后全部卖出, A, B 两种蔬菜加工后每公斤的利润分别为 2 元和 1 元,餐馆如何采购这 两种蔬菜使得利润最大,利润最大为多少元?

20.(本小题满分 12 分)
在 ? ABC 中,D 是 BC 上的点,AD 平分 ? BAC, ? ABD 面积是 ? ADC 面积的 2 倍。 (Ⅰ)求

sin B ; sin C

(Ⅱ)若 ?BAC ? 60? ,求角 B .

21.(本小题满分 12 分)
围建一个面积为 360m 的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修) ,其它三面围墙 要新建,在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为 2m 的进出口,如图所示.已知旧墙的维修费用为 45 元/m,新墙的造价为 180 元/m,设利用的旧墙的长度为 x ,费用为 y 元. (Ⅰ)将 y 表示为 x 的函数; (Ⅱ)试确定 x 的值,使得修建此矩形场地围墙的总费用最小,并求出最小总费用.
2



3第

22. (本小题满分 14 分)
已知二次函数 f ( x) 满足以下两个条件: ①不等式 f ?x ? ? 0 的解集是(-2,0) (Ⅰ)求 f ? x ? 的解析式; (Ⅱ)若点 (an , an+ 1 ) (n ? N * ) 在函数 f ? x ? 的图象上,且 a1 ? 9 (ⅰ)求证:数列 ?lg(1 ? an )? 为等比数列; (ⅱ)令 C n ? ②函数 f ? x ? 在 x ? ?1,2? 上的最小值是 3

2 lg(1 ? a n ) ,是否存在正整数 n0 使得 Cn 取到最小值?若有,请求出 n0 的值;若无,请 n2

说明理由.



4第

福建省师大附中 2012—2013 学年度第一学期期中考试 高二数学(文科)试题参考答案
一、选择题:1-12:CDADB CDBCA BD 二、填空题: 13. (?1,2] 三、解答题: 14. an ? ? 2 , 400 415. 3 , 6

?4, n ? 1 ?2n ? 1, n ? 2

9 20 16. 3 ? 3

17. 解: (Ⅰ)∵a,b,c 成等差数列,∴ a ? c ? 2b . 由正弦定理得 sin A ? sin C ? 2 sin B . ∵ sin B ? sin[? ? ( A ? C )] ? sin( A ? C ) ,

? sin A ? sin C ? 2 sin(A ? C ) .
(Ⅱ)由题设得 b2 ? ac, c ? 2a ,? b ? 由余弦定理得 cos B ?

2a .

a 2 ? c 2 ? b 2 a 2 ? 4a 2 ? 2a 2 3 ? ? . 2ac 4a 4

18.解: (Ⅰ)设等差数列 {an } 的公差为 d,则 an ? a1 ? (n ?1)d 因为 ?

a1 ? 6d ? 4 ? a7 ? 4 ? ,所以 ? . ? a19 ? 2a9 ?a1 ? 18d ? 2(a1 ? 8d )
1 . 2 n ?1 . 2

解得, a1 ? 1, d ?

所以 {an } 的通项公式为 an ? (Ⅱ) bn ?

1 2 2 2 , ? ? ? nan n(n ? 1) n n ? 1
2 1 2 2 2 2 2 3 2 n 2 2n )? n ?1 n ?1

所以 S n ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ?

19.解:设餐馆一天购买 A 蔬菜 x 公斤,购买 B 蔬菜 y 公斤,获得的利润为 z 元.依题意可知 x, y 满足的不

?2 x ? 3 y ? 60 ? 等式组如下: ? x ? 6 ?y ? 4 ?
目标函数为 z ? 2 x ? y 画出的平面区域如图. ∵ y ? ?2 x ? z ∴表示 z 过可行域内点斜率为 ? 2 的一组平行线在 y 轴上的截距.
页 5第

联立 ?

?2 x ? 3 y ? 60 ? x ? 24 解得 ? 即 B(24,4) , ?y ? 4 ?y ? 4

∴当直线过点 B(24,4) 时,在 y 轴上的截距最大, 即 zmax ? 2 ? 24 ? 4 ? 52 答:餐馆应购买 A 蔬菜 24 公斤,B 蔬菜 4 公斤,加工后利润最大为 52 元. 20.解:(Ⅰ) S ?ABD ?

1 AB ? AD ? sin ?BAD 2

S ?ACD ?

1 AC ? AD ? sin ?CAD 2

? S?ABD ? 2S?ACD,?BAD ? ?CAD
由正弦定理可知

? AB ? 2 AC

sin B AC 1 ? ? sin C AB 2 (II) 由(Ⅰ)可知 sin C ? 2 sin B 又? A ? B ? 120 ?
? sin(120? ? B) ? 2 sin B

3 1 cos B ? sin B ? 2 sin B 2 2 ? tan B ? 3 B ? (0?,120?) 3

3 3 sin B? cos B?0 2 2

? B ? 30?

21.解:(Ⅰ)如图,设矩形的另一边长为 a m 则 y ? 45x ? 180( x ? 2) ? 180? 2a ? 225x ? 360a ? 360 由已知 xa =360,得 a ?

360 , x

所以 y=225x+

3602 ? 360( x ? 0) x

(II)? x ? 0,? 225x ?

3602 ? 2 225? 3602 ? 10800 x

? y ? 225x ?

3602 3602 ? 360 ? 10440.当且仅当 225x ? 时,即 x ? 24 等号成立. x x

? 当 x ? 24 m 时,修建围墙的总费用最小,最小总费用是 10440 元.
22.解: (Ⅰ)∵ f ( x) ? 0 的解集为 (?2,0) ,且 f ( x) 是二次函数 ∴ 可设 f ( x) ? ax( x ? 2)(a ? 0) ,故 f ( x) 的对称轴为直线 x ? ?1 , ∴

f ( x) 在 [1,2]上的最小值为 f (1) ? 3a ? 3 ,

2 ∴ a ? 1 ,所以 f ( x) ? x ? 2x .



6第

(Ⅱ) (ⅰ)∵ 点 (an , an ?1 ) 在函数 f ( x) ? x2 ? 2x 的图象上 ∴ an ?1 ? an ? 2an ,则 1 ? an ?1 ? 1 ? an ? 2an ? (an ? 1)
2 2 2

∴ lg?1 ? an?1 ? ? 2 lg?1 ? an ? , 又首项 lg( 1 ? a1 ) ? lg10 ? 1 ∴ 数列 ?lg?1 ? an ?? 为等比数列,且公比为 2 . (ⅱ)由上题可知 lg(1 ? an ) ? 2 n?1 ,? C n ?

2 lg(1 ? a n ) 2 n ? 2, n2 n


? Cn?1 ? Cn ?

2 n?1 2 n 2 n?1 n 2 ? 2 n (n ? 1) 2 2 n [2n 2 ? (n ? 1) 2 ] 2 n [(n ? 1) 2 ? 2] ? ? ? ? (n ? 1) 2 n 2 (n ? 1) 2 n 2 (n ? 1) 2 n 2 (n ? 1) 2 n 2

n ? 1或2,Cn ?1 ? C n ;当 n ? 3 , Cn ?1 ? C n
即 C1 ? C2 ? C3 ? C4 ? C5 ? C6 ? ... 所以当 n ? 3 时,数列 ?C n ? 取到最小值

8 . 9



7第

福建师大附中 2015-2016 学年第一学期模块考试卷

高二数学(文科)必修 5

命题人:王 婵 审核人:江 泽

本试卷共 4 页. 满分 150 分,考试时间 120 分钟. 注意事项:试卷分第 I 卷和第 II 卷两部分,将答案填写在答卷纸上,考试结束后只交答案卷.

第I卷
目要求. 1.已知 a , b ? R ,下列结论成立的是 A.若 a ? b ,则 ac ? bc 1 1 C.若 a ? b ? 0 ,则 ? a b

共 60 分

一、选择题:本大题有 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题

B.若 a ? b , c ? d ,则 ac ? bd
n n ? D.若 a ? b ,则 a ? b ( n ? ? , n ? 2 )

2.在△ ABC 中, a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边,若 a ? 2, b ? 2 3 ,∠A=30°,则∠B 等于 A.30° B.30°或 150° C.60° D.60°或 120°

3.设 Sn 为等差数列 {a n } 的前 n 项和,已知 a1 ? a5 ? a9 ? 18 ,则 S9 的值为 A.54 B.45 C.27 D.18

4.对于任意实数 x ,不等式 mx2 ? mx ? 1 ? 0 恒成立,则实数 a 取值范围 A. ?? ?,?4? B. ?? ?,?4? C. (?4,0) D. ?? 4,0?

5.设等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若

S S4 ? 3 ,则 6 ? S2 S4
C.

A.2

B.

7 3

8 3

D.3

6.在平面直角坐标系中,若点 (2, t ) 在直线 x ? 2 y ? 4 ? 0 的左上方区域且包括边界,则 t 的取值范围是 A. t ? 3 B. t ? 3 C. t ? 3 D. t ? 3

7.已知等差数列 {an } 的前 n 项和 S n 满足 S 5 ? S 6 且 S 6 ? S 7 ? S 8 ,则下列结论错误 的是 .. A. S 6 和 S 7 均为 S n 的最大值 B. a7 ? 0 C.公差 d ? 0 D. S 9 ? S 5

2 2 8.在△ABC 中,若 b tan A ? a tanB ,则△ABC 的形状是

A.直角三角形

B.等腰或直角三角形

C.等腰三角形

D.等边三角形

9.下列函数中,最小值为 2 2 的是 A. y ?

x2 ? 3 ?

2 x ?3
2

B. y ? sin x ?

2 (0 ? x ? ? ) sin x



8第

C. y ? x ?

2 x
1 5

D. y ? lg x ?

2 ( x ? 0 且 x ? 1) lg x
3 3 4 1 5 2

10.如下表定义函数 f ( x)

x
f ( x)

2 4

对于数列 ?an ? , a1 ? 4, an ? f (an?1 ), n ? 2,3,...,则 a2015 的值是 A.5 B.4 C.2 D.1

?x ? y ? 2 ? 0 ? 11. x, y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 2 ? 0 ,若 z ? y ? ax 取得最大值的最优解不唯一 ,则实数 a = ... ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?
A.

1 或 ?1 2

B. 2或 ? 1

C. 2或

1 2

D. 2 或 1

12.设 M 是 ?ABC 内一点,且 AB ? AC ? 2 3, ?BAC ? 30?, 定义 f (M ) ? (m, n, p) ,其中 m, n, p 分别 是 ?MBC, ?MCA, ?MAB 的面积,若 f ( M ) ? ( , x, y ) ,则 A.8 B.9 C.16

1 2

1 4 ? 的最小值是 x y
D.18

第Ⅱ卷

共 90 分

二、填空题:本大题有 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答卷的相应位置. 13.若集合 M ? {x
x?2 ? 0} , N ? x x 2 ? 2x ? 3 ? 0 ,则 M ? N ? x ?1
. A 200

?

?

. Q

14.若数列 {an } 前 n 项和 S n ? n 2 ? 2n ? 1, 则 an =

15.在高为 200 米的气球 Q 上测得山下一塔 AB 的塔顶 A 和塔底 B 的俯角
分别是 30?, 60? ,则塔高为 米.

B

16.设数列 {an } 是集合{3s+3t| 0≤s<t,且 s,t∈Z}中所有的数从小到大排列成的数列,
即 a1=4,a2=10,a3=12,a4=28,a5=30,a6=36,…, 将数列 {an } 中各项按照上小下大,左小右大的原则排成如下等腰直角三角形数表: 4 10 28 … 12 30

第 15 题图

36

a200 =


(用 3s+3t 形式表示) .
9第

三、解答题:本大题有 6 题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 10 分)
在 ? ABC 中,内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c . (Ⅰ)若 a, b, c 成等差数列,证明: sin A ? sin C ? 2 sin( A ? C ) ; (Ⅱ)若 a, b, c 成等比数列,且 c ? 2a ,求 cos B 的值.

18.(本小题满分 10 分)
等差数列 ?an ? 中, a7 ? 4, a19 ? 2a9 , (Ⅰ)求 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ?

1 , 求数列?bn ?的前n项和Sn . nan

19. (本小题满分 12 分)
某小型餐馆一天中要购买 A, B 两种蔬菜, A, B 蔬菜每公斤的单价分别为 2 元和 3 元.根据需要 A 蔬菜 至少要买 6 公斤, B 蔬菜至少要买 4 公斤,而且一天中购买这两种蔬菜的总费用不能超过 60 元.如果 这两种蔬菜加工后全部卖出, A, B 两种蔬菜加工后每公斤的利润分别为 2 元和 1 元,餐馆如何采购这 两种蔬菜使得利润最大,利润最大为多少元?

20.(本小题满分 12 分)
在 ? ABC 中,D 是 BC 上的点,AD 平分 ? BAC, ? ABD 面积是 ? ADC 面积的 2 倍。 (Ⅰ)求

sin B ; sin C

(Ⅱ)若 ?BAC ? 60? ,求角 B .

21.(本小题满分 12 分)
围建一个面积为 360m 的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修) ,其它三面围墙 要新建,在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为 2m 的进出口,如图所示.已知旧墙的维修费用为 45 元/m,新墙的造价为 180 元/m,设利用的旧墙的长度为 x ,费用为 y 元. (Ⅰ)将 y 表示为 x 的函数;
页 10 第
2

(Ⅱ)试确定 x 的值,使得修建此矩形场地围墙的总费用最小,并求出最小总费用.

22. (本小题满分 14 分)
已知二次函数 f ( x) 满足以下两个条件: ①不等式 f ?x ? ? 0 的解集是(-2,0) (Ⅰ)求 f ? x ? 的解析式; (Ⅱ)若点 (an , an+ 1 ) (n ? N * ) 在函数 f ? x ? 的图象上,且 a1 ? 9 (ⅰ)求证:数列 ?lg(1 ? an )? 为等比数列; (ⅱ)令 C n ? ②函数 f ? x ? 在 x ? ?1,2? 上的最小值是 3

2 lg(1 ? a n ) ,是否存在正整数 n0 使得 Cn 取到最小值?若有,请求出 n0 的值;若无,请 n2

说明理由.



11 第



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