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2014年高考数学理科(高考真题+模拟新题)分类汇编:N单元 选修4系列

数 N 单元 选修 4 系列 学 15.[2014· 广东卷] (几何证明选讲选做题)如图 13 所示,在平行四边形 ABCD 中, △CDF的面积 点 E 在 AB 上且 EB=2AE,AC 与 DE 交于点 F,则 =________. △AEF的面积 图 13 15.9 [解析] 本题考查相似三角形的性质定理,面积比等于相似比的平方. 1 1 ∵EB=2AE,∴AE= AB= CD. 3 3 又∵四边形 ABCD 是平行四边形, △CDF的面积 ?CD?2 ∴△AEF∽△CDF,∴ = =9. △AEF的面积 ? AE ? 15.[2014· 湖北卷] (选修 41:几何证明选讲) 如图 13,P 为⊙O 外一点,过 P 点作⊙O 的两条切线,切点分别为 A,B,过 PA 的中 点 Q 作割线交⊙O 于 C,D 两点,若 QC=1,CD=3,则 PB=________. 图 13 15.4 [解析] 由切线长定理得 QA2=QC· QD=1×(1+3)=4,解得 QA=2.故 PB=PA =2QA=4. 12.[2014· 湖南卷] 如图 13 所示,已知 AB,BC 是⊙O 的两条弦,AO⊥BC,AB= 3, BC=2 2,则⊙O 的半径等于________. 图 13 3 12. 2 [解析] 设圆的半径为 r,记 AO 与 BC 交于点 D,依题可知 AD=1.由相交弦定理 3 可得 1×(2r-1)= 2× 2,解得 r= . 2 22.[2014· 辽宁卷] 选修 41:几何证明选讲 如图 17 所示,EP 交圆于 E,C 两点,PD 切圆于 D,G 为 CE 上—点且 PG=PD,连 接 DG 并延长交圆于点 A,作弦 AB 垂直 EP,垂足为 F. (1)求证:AB 为圆的直径; (2)若 AC=BD,求证:AB=ED. 图 17 22.证明:(1)因为 PD=PG,所以∠PDG=∠PGD. 由于 PD 为切线,故∠PDA=∠DBA, 又因为∠PGD=∠EGA,所以∠DBA=∠EGA, 所以∠DBA+∠BAD=∠EGA+∠BAD, 从而∠BDA=∠PFA. 又 AF⊥EP,所以∠PFA=90°,所以∠BDA=90°,故 AB 为圆的直径. (2)连接 BC,DC. 由于 AB 是直径,故∠BDA=∠ACB=90°. 在 Rt△BDA 与 Rt△ACB 中,AB=BA,AC=BD,从而得 Rt△BDA≌Rt△ACB, 于是∠DAB=∠CBA. 又因为∠DCB=∠DAB,所以∠DCB=∠CBA,故 DC∥AB. 因为 AB⊥EP,所以 DC⊥EP,∠DCE 为直角, 所以 ED 为直径,又由(1)知 AB 为圆的直径,所以 ED=AB. 22.[2014· 新课标全国卷Ⅰ] 选修 41:几何证明选讲 如图 16,四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形,AB 的延长线与 DC 的延长线交于点 E, 且 CB=CE. 图 16 (1)证明:∠D=∠E; (2)设 AD 不是⊙O 的直径, AD 的中点为 M, 且 MB=MC, 证明: △ADE 为等边三角形. 22. 证明: (1)由题设知 A, B, C, D 四点共圆, 所以∠D=∠CBE.由已知得∠CBE=∠E, 故∠D=∠E. (2)设 BC 的中点为 N,连接 MN,则由 MB=MC 知 MN⊥BC,故 O 在直线 MN 上. 又 AD 不是⊙O 的直径,M 为 AD 的中点,故 OM⊥AD,即 MN⊥AD, 所以 AD∥BC,故∠A=∠CBE. 又∠CBE=∠E,故∠A=∠E,由(1)知,∠D=∠E,所以△ADE 为等边三角形. 22.[2014· 新课标全国卷Ⅱ] 选修 41:几何证明选讲 如图 14,P 是⊙O 外一点,PA 是切线,A 为切点,割线 PBC 与⊙O 相交于点 B,C, PC=2PA,D 为 PC 的中点,AD 的延长线交⊙O 于点 E,证明: (1)BE=EC; (2)AD· DE=2PB2. 图 14 22.证明:(1)连接 AB,AC.由题设知 PA=PD, 故∠PAD=∠PDA. 因为∠PDA=∠DAC+∠DCA, ∠PAD=∠BAD+∠PAB, ∠DCA=∠PAB, 所以∠DAC=∠BAD,从而 BE=EC. 因此 BE=EC. (2)由切割线定理得 PA2=PB· PC. 因为 PA=PD=DC,所以 DC=2PB,BD=PB. 由相交弦定理得 AD· DE=BD· DC, 2 所以 AD· DE=2PB . 15.[2014· 陕西卷] 图 13 B.(几何证明选做题)如图 13,△ABC 中,BC=6,以 BC 为直径的半圆分别交 AB, AC 于点 E,F,若 AC=2AE,则 EF=________. 15. B. 3 [解析] B. 由题意, 可知∠AEF=∠ACB, 又∠A=∠A, 所以△AEF∽ACB, AE EF 所以 = .因为 AC=2AE,BC=6,所以 EF=3. AC BC 6.[2014· 天津卷] 图 12 如图 1?2 所示, △ABC 是圆的内接三角形, ∠BAC 的平分线交圆于点 D, 交 BC 于点 E, 过点 B 的圆的切线与 AD 的延长线交于点 F.在上述条件下,给出下列四个结论: ①BD 平分∠CBF; ②FB2=FD·FA; ③AE·CE=BE· DE; ④AF·BD=AB· BF. 则所有正确结论的序号是( ) A.①② B.③④ C.①②③ D.①②④ 6.D [解析] 如图所示,∵∠1=∠3,∠2=∠4,且∠1=∠2,∴∠4=∠3,∴BD 平 分∠CBF,∴△ABF∽△BDF. ∵ AB AF AF BF = ,∴AB· BF=AF·BD.∵ = ,∴BF2=AF·DF.故①②④正确. BD BF BF DF 14.[2014· 重庆卷] 过圆外一点 P 作圆的切线 PA(A 为切点),再作割线 PBC 依次交


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