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圆锥曲线解题技巧教案整理后[1]


圆锥曲线―概念、方法、题型、及应试技巧总结
1.圆锥曲线的两个定义: (1)第一定义中要重视“括号”内的限制条件:椭圆中,与两个定点 F 1 ,F 2 的距离 的和等于常数 2 a ,且此常数 2 a 一定要大于 F1 F 2 ,当常数等于 F1 F 2 时,轨迹是线段 F 1 F 2 ,当常数小于 F1 F 2 时,无轨迹;双曲线中,与两定点 F 1 ,F 2 的距离的差的绝对值 等于常数 2 a ,且此常数 2 a 一定要小于|F 1 F 2 |,定义中的“绝对值”与 2 a <|F 1 F 2 |不 可忽视。若 2 a =|F 1 F 2 |,则轨迹是以 F 1 ,F 2 为端点的两条射线,若 2 a ﹥|F 1 F 2 |,则 轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 如方程 ( x ? 6) 2 ? y 2 ? ( x ? 6) 2 ? y 2 ? 8 表示的曲线是_____(答:双曲线的左支) (2)第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线,且“点点距为分子、点 线距为分母” ,其商即是离心率 e 。圆锥曲线的第二定义,给出了圆锥曲线上的点到焦点距 离与此点到相应准线距离间的关系,要善于运用第二定义对它们进行相互转化。 如已知点 Q ( 2 2 , 0 ) 及抛物线 y ?
x
2

上一动点 P(x,y) y+|PQ|的最小值是_____ ,则 (答 2)

4

2.圆锥曲线的标准方程(标准方程是指中心(顶点)在原点,坐标轴为对称轴时的标 准位置的方程) : (1)椭圆:焦点在 x 轴上时
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) ,焦点在 y 轴上时

y a

2 2

?

x b

2 2



1( a ? b ? 0 ) 。方程 Ax 2 ? By 2 ? C 表示椭圆的充要条件是什么?(ABC≠0,且 A,B, C 同号,A≠B) 。 如(1)已知方程
( ? 3, ? 1 2 ) ? (? 1 2
x
2

3? k

?

y

2

2? k

? 1 表 示 椭 圆 , 则 k 的 取 值 范 围 为 ____ ( 答 :

; , 2) )

(2)若 x , y ? R ,且 3 x 2 ? 2 y 2 ? 6 ,则 x ? y 的最大值是____, x 2 ? y 2 的最小值是 ___(答: 5 , 2 ) (2)双曲线:焦点在 x 轴上:
x a
2 2 2 2 2 2 2 2

?

y b

=1 , 焦 点 在 y 轴 上 :

y a

?

x b

=1

( a ? 0, b ? 0 ) 。方程 Ax 2 ? By 2 ? C 表示双曲线的充要条件是什么?(ABC≠0,且 A, B 异号) 。 如设中心在坐标原点 O ,焦点 F1 、 F 2 在坐标轴上,离心率 e ?
P ( 4 , ? 10 ) ,则 C 的方程为_______(答: x ? y ? 6 )
2 2

2 的双曲线 C 过点

(3)抛物线:开口向右时 y 2 ? 2 px ( p ? 0) ,开口向左时 y 2 ? ? 2 px ( p ? 0) ,开口 向上时 x 2 ? 2 py ( p ? 0) ,开口向下时 x 2 ? ? 2 py ( p ? 0) 。 如定长为 3 的线段 AB 的两个端点在 y=x2 上移动,AB 中点为 M,求点 M 到 x 轴的 最短距离。
5 4

3.圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程,然后再判断) : (1)椭圆:由 x 如已知方程
( ?? , ? 1) ? (1, 3 2
x
2

2

,y
?

2

分母的大小决定,焦点在分母大的坐标轴上。
y
2

m ?1

2?m

? 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆, m 的取值范围是__ 答: 则 (

))

(2)双曲线:由 x 2 , y 2 项系数的正负决定,焦点在系数为正的坐标轴上; (3)抛物线:焦点在一次项的坐标轴上,一次项的符号决定开口方向。 特别提醒: (1)在求解椭圆、双曲线问题时,首先要判断焦点位置,焦点 F 1 ,F 2 的 位置,是椭圆、双曲线的定位条件,它决定椭圆、双曲线标准方程的类型,而方程中的两 个参数 a , b ,确定椭圆、双曲线的形状和大小,是椭圆、双曲线的定形条件;在求解抛物 线问题时,首先要判断开口方向; (2)在椭圆中, a 最大, a 2 ? b 2 ? c 2 ,在双曲线中, c 最大, c 2 ? a 2 ? b 2 。 4.圆锥曲线的几何性质:
? 1 ( a ? b ? 0 )为例) :①范围: ? a ? x ? a , ? b ? y ? b ; 2 2 a b ②焦点:两个焦点 ( ? c , 0) ;③对称性:两条对称轴 x ? 0, y ? 0 ,一个对称中心(0,0) ,

(1)椭圆(以

x

2

?

y

2

四个顶点 ( ? a , 0), (0, ? b ) , 其中长轴长为 2 a , 短轴长为 2 b ; ④准线: 两条准线 x ? ? ⑤离心率: e ?
c a

a

2



c

,椭圆 ? 0 ? e ? 1 , e 越小,椭圆越圆; e 越大,椭圆越扁。
x
2

如(1)若椭圆

?

y

2

? 1 的离心率 e ?

10 5

,则 m 的值是__(答:3 或

25 3

) ;

5

m

(2)以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为 1 时,则椭圆长 轴的最小值为__(答: 2 2 ) 为例) ①范围:x ? ? a 或 x ? a , y ? R ; : ? 1( a ? 0, b ? 0 ) a2 b2 ②焦点:两个焦点 ( ? c , 0) ;③对称性:两条对称轴 x ? 0, y ? 0 ,一个对称中心(0,0) , (2) 双曲线 (以
? x2 y2

两个顶点 ( ? a , 0) ,其中实轴长为 2 a ,虚轴长为 2 b ,特别地,当实轴和虚轴的长相等时, 称为等轴双曲线,其方程可设为 x 2 ? y 2 ? k , k ? 0 ;④准线:两条准线 x ? ? 心率: e ?
c a
a
2

; ⑤离

c

,双曲线 ? e ? 1 ,等轴双曲线 ? e ?
b a x。

2 , e 越小,开口越小, e 越大,

开口越大;⑥两条渐近线: y ? ?

如 (1) 双曲线的渐近线方程是 3 x ? 2 y ? 0 , 则该双曲线的离心率等于______ 答: (

13 2



13 3

) ; (答:4 或
1 4

(2)双曲线 ax 2 ? by 2 ? 1 的离心率为 5 ,则 a : b = (3)设双曲线
x a
2 2

) ;

?

y b

2 2

? 1 (a>0,b>0)中,离心率 e∈[

2 ,2],则两条渐近线夹角

(锐角或直角)θ 的取值范围是________(答: [
x
2

? ?
, 3 2

; ])

(4) 已知 F1、F2 为双曲线

?

y

2

2010

2009

? 1 的左焦点,顶点为 A1、A2, P 是双曲线上任意

一点,则分别以线段 PF1、A1A2 为直径的两圆一定( A.相交 C.相离
p 2



B.相切 D.以上情况均有可能

(3)抛物线(以 y 2 ? 2 px ( p ? 0) 为例) :①范围: x ? 0, y ? R ;②焦点:一个焦点
( , 0) ,其中 p 的几何意义是:焦点到准线的距离;③对称性:一条对称轴 y ? 0 ,没有

对称中心,只有一个顶点(0,0) ;④准线:一条准线 x ? ? 线? e ? 1。

p 2

; ⑤离心率: e ?

c a

,抛物

如设 a ? 0 , a ? R ,则抛物线 y ? 4ax 2 的焦点坐标为________(答: ( 0 , 5、点 P ( x 0 , y 0 ) 和椭圆 外? 内?
x0 a x0 a
2 2 2 2

1 16 a

; ))

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a ? b ? 0 )的关系: (1)点 P ( x 0 , y 0 ) 在椭圆 x0 a
2 2

? ?

y0 b y0 b

2

2 2

? 1; (2)点 P ( x 0 , y 0 ) 在椭圆上 ? ?1

?

y0 b

2

2

=1; (3)点 P ( x 0 , y 0 ) 在椭圆

2

6.直线与圆锥曲线的位置关系: (1)相交: ? ? 0 ? 直线与椭圆相交; ? ? 0 ? 直线与双曲线相交,但直线与双 曲线相交不一定有 ? ? 0 ,当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交且只有一 个交点,故 ? ? 0 是直线与双曲线相交的充分条件,但不是必要条件; ? ? 0 ? 直线与抛 物线相交,但直线与抛物线相交不一定有 ? ? 0 ,当直线与抛物线的对称轴平行时,直线 与抛物线相交且只有一个交点,故 ? ? 0 也仅是直线与抛物线相交的充分条件,但不是必 要条件。 2 2 如(1)若直线 y=kx+2 与双曲线 x -y =6 的右支有两个不同的交点,则 k 的取值范围 是_______(答:(15 3

,-1)) ;

(2)直线 y―kx―1=0 与椭圆 (答:[1,5)∪(5,+∞); ) (3)过双曲线
x
2

x

2

?

y

2

? 1 恒有公共点,则 m 的取值范围是_______

5 y
2

m

?

? 1 的右焦点直线交双曲线于 A、B 两点,若│AB︱=4,则

1

2

这样的直线有_____条(答:3) ; (2)相切: ? ? 0 ? 直线与椭圆相切; ? ? 0 ? 直线与双曲线相切; ? ? 0 ? 直 线与抛物线相切; (3)相离: ? ? 0 ? 直线与椭圆相离; ? ? 0 ? 直线与双曲线相离; ? ? 0 ? 直 线与抛物线相离。 特别提醒: (1)直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形:相 切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点;如果 直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点; (2)过双曲线
x a
2 2

?

y b

2 2

=1

外一点 P ( x 0 , y 0 ) 的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下: 点在两条渐近线之间且 ①P 不含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切 线,共四条;②P 点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的 直线和只与双曲线一支相切的两条切线,共四条;③P 在两条渐近线上但非原点,只有两 条:一条是与另一渐近线平行的直线,一条是切线;④P 为原点时不存在这样的直线; (3) 过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点:两条切线和一条平行于对称 轴的直线。 如 (1) 过点 ( 2 , 4 ) 作直线与抛物线 y 2 ? 8 x 只有一个公共点, 这样的直线有______ (答: 2) (2)过点(0,2)与双曲线 ; ______(答: ? ?
? ? ? ? 4 3 ,?
x
2

?

y

2

? 1 有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为

9

16

4 5? ? ; ?) 3 ? ?
y
2

(3)过双曲线 x 2 ?

? 1 的右焦点作直线 l 交双曲线于 A、B 两点,若 AB ? 4,则

2

满足条件的直线 l 有____条(答:3) ; (4)对于抛物线 C: y 2 ? 4 x ,我们称满足 y 0 ? 4 x 0 的点 M ( x 0 , y 0 ) 在抛物线的内 部,若点 M ( x 0 , y 0 ) 在抛物线的内部,则直线 l : y 0 y ? 2 ( x ? x 0 ) 与抛物线 C 的位置关系是 _______(答:相离) ; (5)过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点 F 作一直线交抛物线于 P、Q 两点,若线段 PF 与 FQ 的长分别是 p 、 q ,则 (6)设双曲线
x
2
2

1 p

?

1 q

; ? _______(答:1)

? 1 的右焦点为 F ,右准线为 l ,设某直线 m 交其左支、右 16 9 支和右准线分别于 P , Q , R ,则 ? PFR 和 ? QFR 的大小关系为___________(填大于、小于

?

y

2

或等于) (答:等于) ;

(7)求椭圆 7 x 2 ? 4 y 2 ? 28 上的点到直线 3 x ? 2 y ? 16 ? 0 的最短距离(答:

8 13 13

) ;

(8)直线 y ? ax ? 1 与双曲线 3 x 2 ? y 2 ? 1 交于 A 、 B 两点。①当 a 为何值时, A 、 B 分 别 在 双 曲 线 的 两 支 上 ?② 当 a 为 何 值 时 , 以 AB 为 直 径 的 圆 过 坐 标 原 点? ( 答 : ① ? 3 , 3 ;② a ? ? 1 ) ; 7、焦半径(圆锥曲线上的点 P 到焦点 F 的距离)的计算方法:利用圆锥曲线的第二 定义,转化到相应准线的距离,即焦半径 r ? ed ,其中 d 表示 P 到与 F 所对应的准线的 距离。 如(1)已知椭圆 距离为____(答:
35 3
x
2

?

?

?

y

2

? 1 上一点 P 到椭圆左焦点的距离为 3,则点 P 到右准线的

25

16

) ;

(2)已知抛物线方程为 y 2 ? 8 x ,若抛物线上一点到 y 轴的距离等于 5,则它到抛物 线的焦点的距离等于____; (3)若该抛物线上的点 M 到焦点的距离是 4,则点 M 的坐标为_____(答: ; 7, (2, ? 4) ) (4)点 P 在椭圆
x
2

?

y

2

? 1 上,它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍,则点

25

9

P 的横坐标为_______(答:

25 12

) ;

(5)抛物线 y 2 ? 2 x 上的两点 A、B 到焦点的距离和是 5,则线段 AB 的中点到 y 轴 的距离为______(答:2) ; (6)椭圆
MP ? 2 MF
x
2

?

y

2

? 1 内有一点 P (1, ? 1) ,F 为右焦点,在椭圆上有一点 M,使
2 3 6

4

3

之值最小,则点 M 的坐标为_______(答: (

; , ? 1) )

8、焦点三角形(椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形)问题: ? 2 S ? b tan ? c | y 0 | ,当 | y 0 |? b 即 P 为短轴端点时, S max 的最大值为 bc;对于双曲线
2
S ? b tan
2

?
2

。 如 (1)短轴长为 5 ,离心率 e ?

2 3

的椭圆的两焦点为 F1 、 F 2 ,过 F1 作

直线交椭圆于 A、B 两点,则 ? ABF 2 的周长为________(答:6) ; (2)设 P 是等轴双曲线 x 2 ? y 2 ? a 2 ( a ? 0 ) 右支上一点,F1 、F2 是左右焦点,若
PF 2 ? F1 F 2 ? 0 ,|PF1|=6,则该双曲线的方程为

(答: x 2 ? y 2 ? 4 ) ; → →

(3)椭圆

x

2

?

y

2

9

4

? 1 的焦点为 F1、F2,点 P 为椭圆上的动点,当PF2 ·PF1 <0 时,

点 P 的横坐标的取值范围是 (4)双曲线的虚轴长为 4,离心率 e=

(答: ( ?
6 2

3 5 3 5 , )) ; 5 5

,F1、F2 是它的左右焦点,若过 F1 的直线

与双曲线的左支交于 A、B 两点,且 AB 是 AF 2 与 BF 2 等差中项,则 AB =__________ (答: 8 2 ) ; ( 5) 已知双曲线的离心率为 2, F1 、 F2 是左右 焦点,P 为双曲线上一点,且
? F1 PF 2 ? 60 , S ? PF 1 F2 ? 12
?

3 .求该双曲线的标准方程(答:

x

2

?

y

2

? 1) ;

4

12

9、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质: (1)以过焦点的弦为直径的圆和 准线相切; (2)设 AB 为焦点弦, M 为准线与 x 轴的交点,则∠AMF=∠BMF; (3)设 AB 为焦点弦,A、B 在准线上的射影分别为 A 1 ,B 1 ,若 P 为 A 1 B 1 的中点,则 PA⊥PB; (4)若 AO 的延长线交准线于 C,则 BC 平行于 x 轴,反之,若过 B 点平行于 x 轴的直线交准线于 C 点,则 A,O,C 三点共线。 10、弦长公式:若直线 y ? kx ? b 与圆锥曲线相交于两点 A、B,且 x1 , x 2 分别为 A、 B 的横坐标,则 AB = 1 ? k 2 x1 ? x 2 ,若 y1 , y 2 分别为 A、B 的纵坐标,则 AB =
1? 1 k
2

y 1 ? y 2 ,若弦 AB 所在直线方程设为 x ? ky ? b ,则 AB = 1 ? k

2

y1 ? y 2 。

特别地,焦点弦(过焦点的弦) :焦点弦的弦长的计算,一般不用弦长公式计算,而是将 焦点弦转化为两条焦半径之和后,利用第二定义求解。 如(1)过抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线于 A(x1,y1) ,B(x2,y2)两点,若 x1+x2=6,那么|AB|等于_______(答:8) ; (2)过抛物线 y 2 ? 2 x 焦点的直线交抛物线于 A、B 两点,已知|AB|=10,O 为坐标 原点,则Δ ABC 重心的横坐标为_______(答:3) ; (3)已知抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0) 的焦点恰为双曲线 12 x 2 ? 4 y 2 ? 3 的右焦点,且倾斜角 为
3 4

? 的直线交抛物线于 P , Q 两点,则 | y1 ? y 2 | 的值为(

) D. 8

A. 2

B. 4

C. 4 2

11、圆锥曲线的中点弦问题:遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。 在椭圆
x a
2 2

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 中,以 P ( x 0 , y 0 ) 为中点的弦所在直线的斜率 k=-
2

b x0 a y0
2

2

;在双曲线

?

y b

2 2

? 1 中 , 以 P ( x 0 , y 0 ) 为 中 点 的 弦 所 在 直 线 的 斜 率 k=

b x0 a y0
2

;在抛物线

y ? 2 px ( p ? 0) 中,以 P ( x 0 , y 0 ) 为中点的弦所在直线的斜率 k=
2

p y0



如(1)如果椭圆

x

2

?

y

2

? 1 弦被点 A(4,2)平分,那么这条弦所在的直线方程是

36

9
2 2 2 2

(答: x ? 2 y ? 8 ? 0 ) ; (2)已知直线 y=-x+1 与椭圆
x a ? y b ? 1( a ? b ? 0 ) 相交于 A、B 两点,且线段

AB 的中点在直线 L:x-2y=0 上,则此椭圆的离心率为_______(答: (3)试确定 m 的取值范围,使得椭圆
? 2 13 2 13 , y ? 4 x ? m 对称(答: ? ? ? 13 13 ? ? ; ?) ? ?
x
2

2 2

) ;

?

y

2

? 1 上有不同的两点关于直线

4

3

(4)抛物线 y=2x2 截一组斜率为 2 的平行直线,所得弦中点的轨迹方程是
)) 2 特别提醒: 因为 ? ? 0 是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件, 故在求解有关弦长、 对称问题时,务必别忘了检验 ? ? 0 ! 2

(答: x ?

1

(y ?

1

12.你了解下列结论吗? (1)双曲线 x
a
2 2

?

y b

2 2

? 1 的渐近线方程为

x a

2 2
2 2

?
?

y b

2 2
2 2

? 0



(2)以 y ? ?
x a
2 2

b a

x 为渐近线(即与双曲线

x a

y b

? 1 共渐近线)的双曲线方程为

?

y b

2 2

? ? (?

为参数, ? ≠0)。
x
2

如与双曲线 (答:
4x 9
2

?

y

2

? 1 有共同的渐近线,且过点 (? 3 , 2 3 ) 的双曲线方程为_______

9

16

?

y

2

? 1)

4
2

(3)中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为 m x 2 ? ny 2 ? 1 ; (4)椭圆、双曲线的通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)为 相应准线的距离)为
b
2

2b a

,焦准距(焦点到

,抛物线的通径为 2 p ,焦准距为 p ;

c

(5)通径是所有焦点弦(过焦点的弦)中最短的弦; (6)若抛物线 y ? 2 px ( p ? 0) 的焦点弦为 AB, A ( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ) ,则
2
2

① | AB |? x1 ? x 2 ? p ;② x1 x 2 ?

p

4

, y1 y 2 ? ? p

2

(7)若 OA、OB 是过抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0) 顶点 O 的两条互相垂直的弦,则直线 AB 恒经过定点 (2 p , 0)

13.动点轨迹方程: (1)求轨迹方程的步骤:建系、设点、列式、化简、确定点的范围; (2)求轨迹方程的常用方法: ①直接法:直接利用条件建立 x , y 之间的关系 F ( x , y ) ? 0 ; 如已知动点 P 到定点 F(1,0)和直线 x ? 3 的距离之和等于 4,求 P 的轨迹方程. (答: 2 y ? ? 12( x ? 4)(3 ? x ? 4) 或 y ? 4 x (0 ? x ? 3) ); ②待定系数法:已知所求曲线的类型,求曲线方程――先根据条件设出所求曲线的方 程,再由条件确定其待定系数。 如线段 AB 过 x 轴正半轴上一点 M(m,0) ( m ? 0 ) ,端点 A、B 到 x 轴距离之积为 2m,以 x 轴为对称轴,过 A、O、B 三点作抛物线,则此抛物线方程为
2

(答: y 2 ? 2 x ) ; ③定义法:先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线,再由曲线的定义直接写出动 点的轨迹方程; 如(1)由动点 P 向圆 x 2 ? y 2 ? 1 作两条切线 PA、PB,切点分别为 A、B,∠APB=60 ,则 动点 P 的轨迹方程为 是_______ (答: y 2 ? 16 x ); (3) 一动圆与两圆⊙M: x 2 ? y 2 ? 1 和⊙N: x 2 ? y 2 ? 8 x ? 12 ? 0 都外切,则动圆圆 心的轨迹为 (答:双曲线的一支); ④代入转移法: 动点 P ( x , y ) 依赖于另一动点 Q ( x 0 , y 0 ) 的变化而变化, 并且 Q ( x 0 , y 0 ) 又在某已知曲线上,则可先用 x , y 的代数式表示 x 0 , y 0 ,再将 x 0 , y 0 代入已知曲线得要求 的轨迹方程; 如动点 P 是抛物线 y ? 2 x 2 ? 1 上任一点,定点为 A ( 0 , ? 1) ,点 M 分 则 M 的轨迹方程为__________(答: y ? 6 x 2 ?
1 3
? ? ?

0

(答: x 2 ? y 2 ? 4 );

(2)点 M 与点 F(4,0)的距离比它到直线 l: x ? 5 ? 0 的距离小于 1,则点 M 的轨迹方程

PA

所成的比为 2,

);

⑤参数法:当动点 P ( x , y ) 坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关动点可用时, 可考虑将 x , y 均用一中间变量(参数)表示,得参数方程,再消去参数得普通方程)。 如(1)AB 是圆 O 的直径,且|AB|=2a,M 为圆上一动点,作 MN⊥AB,垂足为 N,在 OM 上取点 P ,使 | O P |? | M N | ,求点 P 的轨迹。(答: x 2 ? y 2 ? a | y | ); (2)若点 P ( x1 , y 1 ) 在圆 x 2 ? y 2 ? 1 上运动,则点 Q ( x 1 y 1 , x 1 ? y 1 ) 的轨迹方程是____ (答: y 2 ? 2 x ? 1(| x |?
1 2 ) );

(3)过抛物线 x 2 ? 4 y 的焦点 F 作直线 l 交抛物线于 A、B 两点,则弦 AB 的中点 M 的 轨迹方程是________(答: x 2 ? 2 y ? 2 ); 注意:①如果问题中涉及到平面向量知识,那么应从已知向量的特点出发,考虑选择 向量的几何形式进行“摘帽子或脱靴子”转化,还是选择向量的代数形式进行“摘帽子或 脱靴子”转化。 如已知椭圆
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a ? b ? 0 ) 的左、右焦点分别是 F1

(-c,0) 2(c,0) 是椭圆外的动点,满足 | F1 Q |? 2 a . 点 P 是线段 F1Q 与该椭圆的 、F ,Q 交点,点 T 在线段 F2Q 上,并且满足 PT ? TF 2 ? 0 , | TF 2 |? 0 . (1)设 x 为点 P 的横坐标, 证明 | F1 P |? a ?
c a
b
2

(2)求点 T 的轨迹 C 的方程; (3)试问:在点 T 的轨迹 C 上,是 x;

否存在点 M,使△F1MF2 的面积 S= b 2 . 若存在,求∠F1MF2 的正切值;若不存在,请说明 理由. (答: (1)略; (2) x ? y ? a ; (3)当
2 2 2

? a 时不存在;当

b

2

? a 时存在,此

c

c

时∠F1MF2=2) ②曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念,寻求轨迹或轨迹方程时应注 意轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响. ③在与圆锥曲线相关的综合题中,常借助于“平面几何性质”数形结合(如角平分线 的双重身份――对称性、 利用到角公式)、 “方程与函数性质” 化解析几何问题为代数问题、 “分类讨论思想”化整为零分化处理、 “求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等. ④如果在一条直线上出现“三个或三个以上的点” ,那么可选择应用“斜率或向量” 为桥梁转化. 14、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容: ? ? (1) 给出直线的方向向量 u ? ?1, k ? 或 u ? ? m , n ? ; (2)给出 OA ? OB 与 AB 相交,等于已知 OA ? OB 过 AB 的中点; (3)给出 PM ? PN ? 0 ,等于已知 P 是 MN 的中点; (4)给出 AP ? AQ ? ? BP ? BQ ,等于已知 P , Q 与 AB 的中点三点共线; (5) 给出以下情形之一:① AB // AC ;②存在实数 ? , 使 A B ? ? A C ;③若存在实 数 ? , ? , 且 ? ? ? ? 1, 使 O C ? ? O A ? ? O B ,等于已知 A , B , C 三点共线. (6) 锐角,
? ? ? MA MB ? ? (8)给出 ? ? ? ? MP ,等于已知 MP 是 ? AMB 的平分线/ ? MA MB ? ? ?

?

?

?

?

?

????

??? ?

??? ?

给 出 MA ? MB ? 0 , 等 于 已 知 MA ? MB , 即 ? AMB 是 直 角 , 给 出

MA ? MB ? m ? 0 ,等于已知 ? AMB 是钝角, 给出 MA ? MB ? m ? 0 ,等于已知 ? AMB 是

(9)在平行四边形 ABCD 中,给出 ( AB ? AD ) ? ( AB ? AD ) ? 0 ,等于已知 ABCD 是菱形; (10) 在平行四边形 ABCD 中,给出 | A B ? A D |? | A B ? A D | ,等于已知 ABCD 是 矩形; (11)在 ? ABC 中,给出 OA ? OB ? OC ,等于已知 O 是 ? ABC 的外心(三角 形外接圆的圆心,三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点) ; (12) 在 ? ABC 中,给出 OA ? OB ? OC ? 0 ,等于已知 O 是 ? ABC 的重心(三角 形的重心是三角形三条中线的交点) ; (13)在 ? ABC 中,给出 OA ? OB ? OB ? OC ? OC ? OA ,等于已知 O 是 ? ABC 的 垂心(三角形的垂心是三角形三条高的交点) ;
2 2 2

??? ?

????

??? ?

????

??? ? AB ? (14)在 ? ABC 中,给出 OP ? OA ? ? ( ??? ? | AB | |

???? AC ???? ) ( ? ? R ? ) 等于已知 AP 通过 AC |

? ABC 的内心;

(15)在 ? ABC 中,给出 a ? OA ? b ? OB ? c ? OC ? 0 , 等于已知 O 是 ? ABC 的内心 (三角形内切圆的圆心,三角形的内心是三角形三条角平分线的交点) ; (16) 在 ? ABC 中,给出 A D ?
2 (1)已知双曲线 x ?

????

y

2

2

? 1 ??? ???? A B ? A C ,等于已知 AD 是 ? ABC 中 BC 边的中线; 2 ????? ????? ? 1 的焦点为 F1、F2,点 M 在双曲线上且 M F 1 ? M F 2 ? 0, 则

?

?

点 M 到 x 轴的距离为(C) (A)
? b =(x ?
4 3

(B)
? ?

5 3

(C)
?

2 3

3

(D) 3

? ? ? ? ? 3 ) i ? y j ,且满足 b ? i =| a |.求点 P(x,y)的轨迹. ? ? ? ? ? 解: ? b ? i ? ( x ? 3 ) i 2 ? yi ? j ? x ? 3 ,

(2)已知 i , j 是 x,y 轴正方向的单位向量,设 a = ( x ?

? ? 3 )i ? yj ,

∴x?

3 ?

(x ?

3 ) ? y ,化简得 y ? 4 3 x ,
2 2
2

故点 P 的轨迹是以( 3 ,0)为焦点以 x ? ? 3 为准线的抛物线

(3)已知 A,B 为抛物线 x2=2py(p>0)上异于原点的两点, O A ? O B ? 0 ,点 C 坐标为 (0,2p) (1)求证:A,B,C 三点共线; (2)若 AM = ? BM ( ? ? R )且 O M ? AB ? 0 试求点 M 的轨迹方程。 (1)证明:设 A ( x1 ,
x1 x 2 ? x1
2

??? ??? ? ?

???? ??? ? ?

x1

2

2p

), B ( x 2 ,

x2

2

??? ??? ? ? ) ,由 O A ? O B ? 0 得

2p

2 2 2 ???? ??? ? x x ? x1 2 ) ? 0 ,? x1 x 2 ? ? 4 p ,又? A C ? ( ? x1 , 2 p ? 1 ), A B ? ( x 2 ? x1 , 2 2p 2p 2p 2p

x2

2

? ? x1 ?

x 2 ? x1
2

2

? (2 p ?

x1

2

2p

2p

???? ??? ? ) ? ( x 2 ? x1 ) ? 0 ,? A C // A B ,即 A,B,C 三点共线。 ???? ??? ? ?

(2)由(1)知直线 AB 过定点 C,又由 O M ? AB ? 0 及 AM = ? BM ( ? ? R )知 OM?AB,垂足为 M,所以点 M 的轨迹为以 OC 为直径的圆,除去坐标原点。即点 M 的轨 迹方程为 x2+(y-p)2=p2(x?0,y?0)。 15.圆锥曲线中线段的最值问题: 例 1、(1)抛物线 C:y2=4x 上一点 P 到点 A(3,4 2 )与到准线的距离和最小,则点 P 的坐 标为______________ (2)抛物线 C: y2=4x 上一点 Q 到点 B(4,1)与到焦点 F 的距离和最小,则点 Q 的坐标 为 。

分析: (1)A 在抛物线外,如图,连 PF,则 PH ? PF ,因而易发现,
H

A Q P F B

当 A、P、F 三点共线时,距离和最小。 (2)B 在抛物线内,如图,作 QR⊥l 交于 R,则当 B、Q、R 三点共线 时,距离和最小。 解: (2, 2 ) ( (1) (2)
1 4 ,1 )

点评:这是利用定义将“点点距离”与“点线距离”互相转化的一个典型例题,请仔 细体会。 例 2、F 是椭圆
x
2

?

y

2

? 1 的右焦点,A(1,1)为椭圆内一定点,P 为椭圆上一动点。

4

3
y A F ′ 0 F P H x

(1) PA ? PF 的最小值为 (2) PA ? 2 PF 的最小值为 分析:PF 为椭圆的一个焦半径,常需将另一焦半径 P F ? 或 准线作出来考虑问题。 解: (1)4- 5 设另一焦点为 F ? ,则 F ? (-1,0)连 A F ? ,P F ?
PA ? PF ? PA ? 2 a ? P F ? ? 2 a ? ( P F ? ? PA ) ? 2 a ? A F ? ? 4 ?

5

当 P 是 F ? A 的延长线与椭圆的交点时, PA ? PF 取得最小值为 4- 5 。 (2)3 ∴ PF ?
1 2

作出右准线 l,作 PH⊥l 交于 H,因 a2=4,b2=3,c2=1, a=2,c=1,e=
PH , 即 2 PF ? PH

1 2



∴ PA ? 2 PF ? PA ? PH
a
2

当 A、P、H 三点共线时,其和最小,最小值为

c

? xA ? 4 ?1 ? 3


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