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8.2椭圆的几何性质


复习思考
? 椭圆的定义、标准方程是什么? 椭圆的定义、标准方程是什么?
平面上到两个定点的 距离的和( ) 距离的和(2a)等于 定长(大于|F1F2 |) 定长(大于 ) 的点的轨迹叫椭圆。 的点的轨迹叫椭圆。 定点F 定点 1、F2叫做椭圆 的焦点。 的焦点。 两焦点之间的距离叫 做焦距( )。 做焦距(2C)。 标准方程为
2 2

x y + 2 = 1 (a > b > 0) 2 a b y x + 2 = 1 (a > b > 0) 2 a b
2 2

2004年9月15日 年 月 日

一、椭圆的范围


x a

2 2

y + = 1 ? 2 b

2

x a

2 2

y ≤ 1和 ≤ 1 2 b
y
y=b X=a

2



x ≤ a和 y ≤ b
X=-a

o
y=-b

说明: 说明:椭圆位于直线 X=± y=± X=±a和y=±b所围成的 矩形之中。 矩形之中。

x

二、椭圆的对称性


x a

2 2

y + = 1( a > b > 0 ) 2 b
y

2

之中, 换成---, 之中,把---换成 ,方程不 换成 说明: 变,说明: 椭圆关于---轴对称; 椭圆关于 轴对称; 轴对称 椭圆关于---轴对称; 椭圆关于 轴对称; 轴对称 椭圆关于---点对称; 椭圆关于 点对称; 点对称 o

x

故,坐标轴是椭圆的对称轴, 中心:椭圆的对称中心 坐标轴是椭圆的对称轴, 中心: 原点是椭圆的对称中心 叫做椭圆的中心

三、椭圆的顶点 2 2


x a

2

y + = 1( a > b > 0 ) 2 b
y B1(0,b)


?,说明椭圆与 轴的交点 轴的交点? 中,令 x=0,得 y=?,说明椭圆与 y轴的交点? , ?, 轴的交点? 令 y=0,得 x=?说明椭圆与 x轴的交点? , ? 轴的交点 *顶点:椭圆与它的对称轴 顶点: 顶点 的四个交点, 的四个交点,叫做椭圆的 顶点。 顶点。 *长轴、短轴:线段A1A2、 长轴、短轴:线段 长轴 、 B1B2分别叫做椭圆的长轴 和短轴。 和短轴。 a、b分别叫做椭圆的长半 、 分别叫做椭圆的长半 轴长和短半轴长。 轴长和短半轴长。

A1
(-a,0)

F1

o



F2

A2 x
(a,0)

B2(0,-b)

c 离心率:椭圆的焦距与长轴长的比: 离心率:椭圆的焦距与长轴长的比:e = a 叫做椭圆的离心率。 叫做椭圆的离心率。
(1)离心率的取值范围: 离心率的取值范围: 离心率的取值范围 因为 a > c > 0,所以 ,所以0<e<1 (2)离心率对椭圆形状的影响: 离心率对椭圆形状的影响: 离心率对椭圆形状的影响 y o x

四、椭圆的离心率

1)e 越接近 1,c 就越接近 a,从而 b就越小(?),椭 ) 就越小(?), , , 就越小(?),椭 圆就越扁(?) 圆就越扁(?) 2)e 越接近 0,c 就越接近 0,从而 b就越大(?),椭 ) 就越大(?), , , 就越大(?),椭 圆就越圆(?) 圆就越圆(?) 3)特例:e =0,则 a = b,则 c=0,两个焦点重合,椭圆 )特例: , , ,两个焦点重合, 方程变为(?) 方程变为(?)

方程 图形

x y + 2 =1 2 a b

2

2

y B1


y a

2 2

+
_

A2 Y
_

x b

2 2

= 1

0



A1

F1

F2

A2

x

B1

F1 O F2

B2

X

B2 范围 对称性 顶点 离心率

? a ≤ x ≤ a,?b ≤ y ≤ b
关于x轴,y轴,原点 对称。
1 2 1 2

?b≤x≤b,?a≤ y≤a
关于x轴,y轴,原点对称
1 2 1 2

A1

A(?a,0), A(a,0),B(0,?b), B (0,b) A(0,?a), A(0,a),B(?b,0), B (b,0)
c e = (0 < e < 1) a c e = (0 < e < 1) a

小结一: 小结一:基本元素
(1)基本量:a、b、c、e、(共四个量) 基本量: 、 、 、 、(共四个量) 、(共四个量 基本量 (2)基本点:顶点、焦点、中心(共七个点) 基本点:顶点、焦点、中心(共七个点) 基本点 (3)基本线:对称轴、准线(共四条线) 基本线:对称轴、准线(共四条线) 基本线 y B1(0,b) 请考虑: 请考虑:基本量之 基本点之间、 间、基本点之间、 基本线之间以及它 o A1 们相互之间的关系 F1 F2 位置、 (位置、数量之间 B2(0,-b) 的关系) 的关系)

A2x

例1

x y + = 1 解:把已知方程化成标准方程 2 2 5 4 这里, 这里, a = 5 , b = 4 , c = 25 ? 16 = 3
焦点坐标分别是

的长轴和短轴的长、 求椭圆 16 x2 + 25y2 =400的长轴和短轴的长、离 的长轴和短轴的长 心率、 心率、焦点和顶点坐标 2 2

因此,椭圆的长轴长和短轴长分别是 2 a = 10 , 2 b = 8 因此,

c 3 离心率 e = = = 0 .6 a 5

F 1 ( ? 3 , 0 ), F 2 ( 3 , 0 )

四个顶点坐标是

A1 ( ? 5 , 0 ), A2 ( 5 , 0 ), B1 ( 0 , ? 4 ), B 2 ( 0 , 4 )

说明: 是一种常见的题型, 说明:例1是一种常见的题型,在以后的 是一种常见的题型 有关圆锥曲线的问题中, 有关圆锥曲线的问题中,经常要用到这 种题型, 种题型,说它是一种题型不如说它是一 种要经常用到的“基本计算” 种要经常用到的“基本计算”


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