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2014石家庄质检二数学(文)试题及参考答案


2014 年石家庄市高中毕业班复习教学质量检测(二) 高三数学(文科) 第 I 卷(选择题,共 60 分)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一个 选项符合题意的)

C.计算数列 {2n ?1} 前 5 项的和

D.计算数列 {2n ?1} 前 6 项的和

? ?y≥1 7.已知实数 x, y 满足?y≤2x-1,如果目标函数 z ? x ? y 的最小值为-2, ? ?x+y≤m 则实数 m 的值为 A.8 B.4 C.2 D.0
8.已知 F 是双曲线

3 1 1. 已知点 P( ,- )在角?的终边上,且?∈[0,2?) ,则?的值为 2 2 5? A. 6 2? B. 3 11? C. 6 5? D. 3

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0) 的右焦点,O 为坐标原点,设 P 是双曲线 C 上 3a 2 a 2

一点,则 ∠POF 的大小可能是 A.15° B.25° C.60°
9.点 A,

D.165°

2. 已知 M={0, 1, 2, 3, 4},N={1, 3, 5, 7},P=M∩N,则集合 P 的子集个数为 A. 2 个 B.3 个 C.4 个 D. 5 个 3.已知 i 为虚数单位,右图中复平面内的点 A 表示 z 复数 z,则表示复数 的点是 1? i A.M B. N C.P D. Q 4.利用计算机产生 0~1 之间的均匀随机数 a ,则 使关于 x 的一元二次方程 x2 ? x ? a ? 0 无实根 的概率为 1 2 1 4 3 4 2 3

B,C,D 在同一个球的球面上,AB=BC=2,AC=2 2 ,若四面体 ABCD 体 4 ,则该球的表面积为 3 B. 8? C.9? D. 12?

积的最大值为 16? 3

A.

10.已知两定点 A(-2,0)和 B(2,0),动点 P( x, y) 在直线 l : y ? x ? 3 上移动,椭圆 C 以 A,B 为焦点且经过点 P,则椭圆 C 的离心率的最大值 为

A.

B.

C.

D.

A.

2 26

B.

4 26

C.

2 13

D.

4 13

5 .等差数列 x1 , x2 , x3 ,?, x9 的公差为 1 ,若以上述数据

11.定义在区间[0,1]上的函数 f ( x) 的图象如右图所示,以
A (0,f (0)) 、 B ( 1,f (1)) 、 C(x,f ( x)) 为顶点的?ABC 的面积记为函数 S ( x) ,则函

x1 , x2 , x3 ,?, x9 为样本,则此样本的方差为
20 A. 3 10 B. 3 C.60 D.30

数 S ( x) 的导函数 S ?( x) 的大致图象为

6.阅读如右图所示的程序框图,则该算法的功能是

A.计算数列 {2n ?1} 前 5 项的和
B.计算数列 {2 ?1} 前 6 项的和
n

12.定义 max{a, b} 表示实数 a , b 中的较大的. 已知数列 {an } 满足 a1 ? a(a ? 0), a2 ? 1,
an? 2 ? 2 max{an?1 , 2} (n ? N ? ) ,若 a2014 ? 2a, 记数列 {an } 的前 n 项和为 Sn, an

18. (本小题满分 12 分) 某商场为了了解顾客的购物信息, 随机的在商场收集了 100 位顾客购物的相关数 据,整理如下: 一次购物款(单位: 元) 顾客人数

则 S2014 的值为 A.2014

[0,50) m

[50,100) [100,150) [150,200) [200,+∞) 20 30 n 10

B.2015

C.5235

D.5325

第 II 卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题: (每小题 5 分,共 20 分. ) 13.函数 y = f ( x) 的图象在点 P(3, f (3)) 处的切线方程为 y ? x ? 2 , f ?( x ) 为 f ( x) 的导 函数,则 f (3) ? f ?(3) ? .

统计结果显示 100 位顾客中购物款不低于 100 元的顾客占 60%,据统计该商场每 日大约有 5000 名顾客, 为了增加商场销售额度, 对一次性购物不低于 100 元的顾 客发放纪念品(每人一件).(注:视频率为概率) (Ⅰ)试确定 m,n 的值,并估计该商场每日应准备纪念品的数量; (Ⅱ)为了迎接店庆,商场进行让利活动,一次购物款 200 元及以上的一次返利 30 元;一次性购物款小于 200 元的按购物款的百分比返利,具体见下表: 一次购物款 (单位: 元) [0,50) 返利百分比 0 [50,100) [100,150) [150,200) 6% 8% 10%

14.若向量 a, b 是两个互相垂直的单位向量,则向量 a- 3b 在向量 b 方向上的投影 为 . 15.如右图所示,某几何体的正视图是平行四边形,侧视图和俯视图都是矩形,则该 几何体的体积为 .

请估计该商场日均让利多少元? 19. (本小题满分 12 分) 如图,在三棱锥 P-ABC 中, PA ? 面 ABC , ∠BAC=120°,且 AB=AC=AP=1,M 为 PB 的中点,N 在 BC 上,且 AN=BN. (Ⅰ)求证:AB⊥MN; (Ⅱ)求点 P 到平面 NMA 的距离.

1 2 ? ??4( x ? ) ? 1, 0 ? x ? 1, 16.已知函数 f ( x) ? ? ,若 f (a) ? f (b) ? f (c), a, b, c 互不相等, 2 ?log x , x ? 1. ? 2014
则 a ? b ? c 的取值范围是 .

三、 解答题 (本大题共 6 小题, 共 70 分.解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤)
17. (本小题满分 12 分)

在?ABC 中, 角 A、 B、 C 的对边长分别为 a, b, c ,且满足 (2c ? a)cos B ? b cos A ? 0
(Ⅰ)求角 B 的值; (Ⅱ)若 b ? 7, a ? c ? 13 ,求?ABC 的面积.

20. (本小题满分 12 分) 已知动圆 C 过定点 M(0,2),且在 x 轴上截得弦长为 4。设该动圆圆心的轨迹为 曲线 C。 (Ⅰ)求曲线 C 方程; (Ⅱ)点 A 为直线 l : x ? y ? 2 ? 0 上任意一点,过 A 作曲线 C 的切线,切点分 别为 P、Q,?APQ 面积的最小值及此时点 A 的坐标.

23. (本小题满分 10 分)极坐标与参数方程

? x ? ?2 ? t cos ? 已知直线 l 的参数方程为:? ? y ? t sin ?

?t为参数? ,以坐标原点为极点,x 轴

的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 2sin ? ? 2cos ? . (Ⅰ)求曲线 C 的参数方程; p (Ⅱ)当 a = 时,求直线 l 与曲线 C 交点的极坐标. 4

21. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ? ax ? 2(a ? R), 在 x ? (Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)若 F ( x) ? ? x2 ? 3x ? 2 ? f ( x)(? ? 0) 有唯一零点,求?的值. 24. (本小题满分 10) 已知函数 f ( x) ?| x ? a | ? 2x ?1 (a ? R). 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记 分,答时用 2B 铅笔在答题卡把所选题目的题号涂黑. 22. (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,已知 AB 为圆 O 的一条直径,以端点 B 为圆心的圆交直线 AB 于 C、D 两点, 交圆 O 于 E、F 两点,过点 D 作垂直于 AD 的直线,交直线 AF 于 H 点. (Ⅰ)求证: B 、 D 、 H 、 F 四点共圆;
(Ⅱ)若 AC=2,AF=2 2 ,求 D BDF 外接圆的半径.

1 时取得极值. 2

(Ⅰ)当 a = 1 时,求不等式 f(x)≥2 的解集; 1 (Ⅱ)若 f(x)≤2x 的解集包含[ ,1],求 a 的取值范围. 2

当 a ? [50,100) 时,顾客有 5000 ? 20%=1000 人,

2014 年石家庄市高中毕业班复习教学质量检测(二) 高三数学(文科答案) 一、 选择题:
1-5CCDCA 6-10DACCB 14. 9 3 11-12DC 3 .

当 a ?[100,150) 时,顾客有 5000 ? 30%=1500 人, 当 a ?[150, 200) 时,顾客有 5000 ? 20%=1000 人, 当 a ?[200, ??) 时,顾客有 5000 ?10%=500 人,…………………………7 分 所以估计日均让利为

二、 填空题:
13. 6 15. 16. ___ (2, 2015) _______

75 ? 6% ?1000+125 ? 8% ?1500 ? 175 ?10% ?1000 ? 30 ? 500
…………10 分 ? 52000 元……………12 分 19. 解: (1)取 AB 中点 Q,连接 MQ、NQ, ∵AN=BN∴ NQ ? AB , ……………2 分 ∵ PA ? 面 ABC ,∴ PA ? AB ,又 MQ ∥ PA ∴ MQ ? AB ,………………4 分 所以 AB⊥平面 MNQ,又 MN ? 平面 MNQ ∴AB⊥MN………………6 分 (2)设点 P 到平面 NMA 的距离为 h, ∵ M 为 PB 的中点,∴ S△PAM = Q

三、 解答题: (解答题按步骤给分,本答案只给出一或两种答案, 学生除标准答案的其他解法, 参照标准酌情设定,且只给整数分)
17.解:(1)由正弦定理得 (2sin C ? sin A) cos B ? sin B cos A ? 0, ……………………………………2 分

? 2sin C cos B ? sin( A ? B) ? 0,?sin C (2cos B ?1) ? 0 …………4 分

1 ? ? sin C ? 0,? cos B ? ,? B ? 2 3 ……………………………………6 分
(2)?b ? a ? c ? 2ac cos B ? (a ? c) ? 2ac ? 2ac cos B …………………………8 分
2 2 2 2

1 1 S △ PAB ? 2 4

又 NQ ? AB , NQ ? PA ,∴ NQ ? 面PAB , ∵ ?ABC ? 30? ∴ NQ ?

? b ? 7, a ? c ? 13, B ?
?S ?

?
3

? ac ? 40 ………………………………10 分

3 ……………………………7 分 6 3 2 3 , AN ? , AM ? , 3 2 3

1 ac sin B ? 10 3 2 ……………………………………12 分

又 MN ?

NQ 2 ? MQ 2 ?

18. 解: (Ⅰ)由已知,100 位顾客中购物款不低于 100 元的顾客有 n ? 10 ? 30 ? 100 ? 60% , n ? 20 ;…………………………………2 分

……………………………………………………………………………9 分 可得△NMA 边 AM 上的高为

m ? 100 ? ? 20 ? 30 ? 20 ?10? ? 20 .……………………3 分
该商场每日应准备纪念品的数量大约为 (II)设购物款为 a 元

5000 ?

60 ? 3000 .………………5 分 100

30 , 12

∴ S △ NMA ?

1 2 30 15 ? ? ? ………………10 分 2 2 12 24

由 VP? NMA ? VN ?PAM ∴h ?



1 1 ? S △ NMA ? h ? ? S △ PAM ? NQ 3 3

A(2k , - b) 到直线 PQ 的距离为 d =

| 2k 2 + 2b | k2 + 1

…………………………10 分

5 ……………………12 分 5

\ SD APQ =

20.解: (Ⅰ)设动圆圆心坐标为 C ( x, y) ,根据题意得

1 | PQ | ? d 2
3

3

4 | k2 + b |? k2
3

b = 4(k 2 + b) 2

x 2 + ( y - 2) 2 =
2

y 2 + 4 ,……………………2 分

= 4(k 2 - 2k + 2) 2 = 4[(k - 1)2 + 1]2

\ 当 k = 1时, SDAPQ 最小,其最小值为 4 ,此时点 A 的坐标为 (2, 0) . …………12 分
化简得 x = 4 y . …………4 分 解法二:设 A( x0 , y0 ) 在直线 x - y - 2 = 0 上,点 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) 在抛物线 x 2 = 4 y 上, (Ⅱ)解法一:设直线 PQ 的方程为 y = kx + b , 由? í 则以点 P 为切点的切线的斜率为 y1?= 即y=

ì ? x2 = 4 y 2 消去 y 得 x - 4kx - 4b = 0 ? y = kx + b ? ?

1 1 x1 ,其切线方程为 y - y1 = x1 ( x - x1 ) 2 2

1 x1 x - y1 2 1 x2 x - y2 …………………………6 分 2

ì ? x1 + x2 = 4k 2 设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) ,则 ? ,且 D = 16k + 16b ……………6 分 í ? ? ? x1 x2 = - 4b

同理以点 Q 为切点的方程为 y =

1 1 以点 P 为切点的切线的斜率为 y1?= x1 ,其切线方程为 y - y1 = x1 ( x - x1 ) 2 2 1 1 2 x1 即 y = x1 x 2 4 1 1 2 x2 同理过点 Q 的切线的方程为 y = x2 x 2 4
设两条切线的交点为 A( xA , yA ) 在直线 x - y - 2 = 0 上,

ì 1 ? ? y0 = x1 x0 - y1 ? ? 2 设两条切线的均过点 A( x0 , y0 ) ,则 í , ? 1 ? y0 = x1 x0 - y1 ? ? 2 ? ?

\ 点 P, Q 的坐标均满足方程
y0 = 1 1 xx0 - y ,即直线 PQ 的方程为: y = x0 x - y0 ……………8 分 2 2

ì x + x2 ? ? xA = 1 = 2k ? ? 2 ,即 A(2k , - b) Q x1 ? x2 ,解得 ? í ? x x 1 2 ? yA = =-b ? ? 4 ? ?
则: 2k + b - 2 = 0 ,即 b = 2 - 2k ……………………………………8 分 代入 D = 16k + 16b = 16k + 32 - 32k = 16(k - 1) + 16 > 0
2 2 2

代入抛物线方程 x 2 = 4 y 消去 y 可得:

x2 - 2x0 x + 4 y0 = 0
\ | PQ |= 1 + 1 2 1 x0 | x1 - x2 |= 1 + x0 2 4 x0 2 - 16 y0 4 4
|

\ | PQ |=

1 + k | x1 - x2 |= 4 1 + k

2

2

k +b

2

1 2 x0 - 2 y0 | ………………10 分 A( x0 , y0 ) 到直线 PQ 的距离为 d = 2 1 2 x0 + 1 4

\ SD APQ

1 = | PQ | ? d 2
3

1 2 | x0 - 4 y0 | ? x0 2 2
3

1 4 y0 = ( x0 2 - 4 y0 ) 2 2

3

又 DH ^ BD , 故 B 、 D 、 F 、 H 四点在以 BH 为直径的圆上 所以, B 、 D 、 F 、 H 四点共圆。……………4 分 (2)因为 AH 与圆 B 相切于点 F ,由切割线定理得

=

1 2 1 ( x0 - 4 x0 + 8) 2 = [( x0 - 2)2 + 4]2 2 2

AF 2 ? AC ? AD ,即 2 2

?

?

2

? 2 ? AD ,

\ 当 x0 = 2 时, SDAPQ 最小,其最小值为 4 ,此时点 A 的坐标为 (2, 0) .…………12 分
21.解: (Ⅰ)依题意 f ?( x ) ?

1 1 ? a, f ?( ) ? 2 ? a ? 0 ,则 a ? ?2, ………………2 分 x 2

经检验, a ? ?2 满足题意.…………………4 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) ? ln x ? 2 x ? 2, 则 F ( x) ? ? x2 ? ln x ? x,

AD =4 ,………………6 分 1 所以 BD = ? AD ? AC ? ? 1,BF ? BD ? 1 2 又 ?AFB ? ?ADH , DH AD ? 则 , 得 DH ? 2 ……………8 分 BF AF 连接 BH ,由(1)可知 BH 为 D BDF 的外接圆直径

1 2? x ? x ? 1 F '( x) ? 2? x ? ? 1? ? .………………………6 分 x x
2

令 t ( x) ? 2? x2 ? x ?1 。? ? ? 0 时,?? ? 1 ? 8? ? 0 , 方程 2? x ? x ? 1 ? 0 有两个异号的实根,设为 x1 ? 0, x2 ? 0 ,? x ? 0,? x1 应舍去.
2

3 ……………10 分 2 23.解:(1)由 ? ? 2sin ? ? 2cos ? ,可得 ? 2 ? 2? sin ? ? 2? cos? 所以曲线 C 的直角坐标方程为 x2 ? y 2 ? 2 y ? 2 x ,……………2 分

BH ? BD2 ? DH 2 ? 3 ,故 D BDF 的外接圆半径为

标准方程为 ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 2
2 2

曲线 C 的极坐标方程化为参数方程为 ?

? ? x ? ?1 ? 2 cos ?

则 F ( x) 在 (0, x2 ) 单调递减,在 ( x2 , ??) 上单调递增. 且当 x ? 0 时, F ( x) ? ?? ,当 x ??? 时, F ( x) ? ?? , 所以当 x ? x2 时, F ?( x2 ) ? 0, F ( x) 取得最小值 F ( x2 ) .

? ? y ? 1 ? 2 sin ? ? 2 x ? ?2 ? t ? p ? 2 (2)当 a = 时,直线 l 的方程为 : ? , 4 ?y ? 2 t ? ? 2 化成普通方程为 y ? x ? 2 ……………………………7 分
由?

??为参数? ………5 分

? F ( x) 有唯一零点,则 F ( x2 ) ? 0 .……………………8 分
2 ? ? F ( x2 ) ? 0 ?? x ? ln x2 ? x2 ? 0 ,即? 2 2 则? . 2 ? x ? x ? 1 ? 0 ? ? F ?( x2 ) ? 0 ? 2 2

? x2 ? y2 ? 2 y ? 2x ?y ? x ? 2

,解得 ?

? x ? 0 ? x ? ?2 或? …………………………9 分 y ? 0 y ? 2 ? ?
C
交 点 的 极 坐 标 分 别 为

所 以 直 线 l

与 曲 线

x2 1 x 1 ? ? ln x2 ? x2 ? ? ln x2 ? 2 ? 0 .……………10 分 2 2 2 2 1 x 1 1 又令 p( x ) ? ? ln x ? . p '( x) ? ? ? ? 0 ( x ? 0 ) 。故 p ( x) 在 (0, ??) 上单调递减,注意到 2 2 x 2
2 得 F ( x2 ) ? ? x2 ? ln x2 ? x2 ?

? k ? Z? ; ? 2, ? ? ???? , ? k ? Z? .………………………………10 分
24.解: (1)当 a = 1 时,不等式 f ( x) ? 2 可化为 | x + 1| + | 2 x - 1|? 2 ①当 x ?

? ? ? ? 2, ? 2k ? ? , ? 2 ?

p(1) ? 0 。故 x2 ? 1 .得 ? ? 1 .…………………12 分
请考生在 22~24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22. 解: (1)因为 AB 为圆 O 一条直径,所以 BF ? FH ,…………2 分

1 2 2 时,不等式为 3 x ? 2 ,解得 x ? ,故 x ? ; 2 3 3 1 ②当 ?1 ? x ? 时,不等式为 2 - x ? 2 ,解得 x ? 0 ,故 ?1 ? x ? 0 ; 2 2 ③当 x ? ?1 时,不等式为 - 3 x ? 2 ,解得 x ? ? ,故 x ? ?1 ;……………4 分 3

综上原不等式的解集为 ? x x ? 0, 或x ?

? ?

2? ? ………………5 分 3?

(2)因为 f ( x) ? 2 x 的解集包含 犏,1 不等式可化为 | x + a |? 1 ,………………………………7 分 解得 ?a ? 1 ? x ? ?a ? 1 ,

轾 1 犏 2 臌

1 ? ??a ? 1 ? 由已知得 ? 2 ,…………………………………9 分 ? ??a ? 1 ? 1 3 解得 ? ? a ? 0 2 ? 3 ? 所以 a 的取值范围是 ? ? , 0 ? .……………………………10 分 ? 2 ?



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