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成都七中高2014届一诊模拟数学试卷(文科)


绝密

2014 届成都一诊模拟试题文科数学

考试时间:2013.12.20

成都七中高 2014 届一诊模拟数学试卷(文科)
考试时间:120 分钟 命题人:张世永 刘在廷 总分:150 分 审题人:巢中俊
一.选择题(每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求. )

B 1.已知集合 A ? ??1, 0, a? , ? ? x | 0 ? x ? 1? , A ? B ? ? , 若 则实数 a 的取值范围是 ) (
A ?1? 2.复数 i ? ( A -2 3.定义行列式运算:
a1 a3

B (??, 0)

C (1, ?? ) ) C 0
? a1a4 ? a2 a3 , 将函数 f ( x) ?

D (0,1)

1? i ) 的虚部为( 1? i
B -1 a2
a4

D 1
3 1 cos x sinx

的图象向左平移 m )

个单位 (m ? 0) ,若所得图象对应的函数为偶函数,则 m 的最小值是( 2? ? ? 5 A B C D ? 3 6 3 8 4.阅读下边的程序框图,若输出 S 的值为-14,则判断框内可填写( A.i<6 ? B.i<8 ? C.i<5 ? D. i<7 ? 5.在平面直角坐标系中,若角 ? 的顶点在坐标原点,始边 在 x 轴的非负半轴上,终边经过点 P (3a , ?4a ) (其中 a ? 0 ) 则 sin? ? cos ? 的值为( )



3 4 1 B ? C D 5 5 5 x x 6.已知命题 p : ?x ? ( ??, 0), 3 ? 4 ; 命题 q : ?x ? (0, ??), x ? sin x 则下列命题中真命题是( ) A p?q B p ? (?q ) C p ? (?q ) D (?p) ? q

1 A? 5

7. 已知正项等比数列 {a n } 满足 a7 ? a6 ? 2a5 。若存在两项 am , an 使得 am an ? 4a1 ,则

1 9 ? 的最小值为( ) m n 8 11 A B 3 4

17 6 8.平面四边形 ABCD 中,AD=AB= 2 ,CD=CB= 5 ,且 AD ? AB ,现将 ?ABD 沿着对角 / / 线 BD 翻折成 ?A BD ,则在 ?A BD 折起至转到平面 BCD 内的过程中,直线 A/ C 与平面 BCD 所成的最大角的正切值为( ) 3 1 A1 B C D 3 3 2 / / 9.已知 f (x) 、 g (x ) 都是定义在 R 上的函数, g ( x) ? 0 , f ( x ) g( x ) ? f ( x ) g ( x ) ? 0 , f ( x) 5 f (1) f (?1) 5 ? ax , ? ? ,则关于 x 的方程 abx 2 ? 2 x ? ? 0(b ? (0,1)) 有两个 g( x ) 2 g (1) g (?1) 2
C D 不同实根的概率为( ) B

14 5

1 A 5

2 5

C

3 5

D

4 5

1

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2014 届成都一诊模拟试题文科数学

考试时间:2013.12.20

10.已知 f ( x ) 是定义在 [?1,1] 上的奇函数,当 x1 ? x2 时, f ( x1 ) ? f ( x2 ) 。当 x ? [0,1] 时, 2 f ( ) ? f ( x ), 且 f ( x ) 图象关于点 ( , ) ,则 f ( A

x 5

1 4

B

1 2

1 1 2 2 1 C 3

1 )?( 15

) D

1 5

二、填空题(每小题 5 分,共 25 分,把答案填在题中的横线上。 ) 3 11. 已知一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为___________ cm

? 1 2? ? ? ) ? ,则 cos( ? 2? ) ? ___________ 6 3 3 13.已知正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 棱长为 1,点 M 是 BC 1 的
12.若 sin(
2

中点, P 是 BB1 一动点,则 ( AP ? MP ) 的最小值为______________ 14. 已知偶函数 f ( x ) 满足对任意 x ? R , 均有 f (1 ? x ) ? f (3 ? x ) 且 f ( x ) ? ?

? m (1 ? x 2 ), x ? [0,1] ? x ? 1, x ? (1, 2]

,若

方程 3 f ( x ) ? x 恰有 5 个实数解,则实数 m 的取值范围是______; 15.已知平行六面体 ABCD ? A1 B1C1 D1 , AC 1 与 平面 A1 BD , CB1 D1 交于 E , F 两点。给出以下命题, 其中真命题有________(写出所有正确命题的序号) ①点 E , F 为线段 AC 1 的两个三等分点;

D1 A1 F D A E C B B1

C1

???? ? ? ? 2 ???? 1 ??? 1 ???? ② ED1 ? ? DC ? AD ? AA1 ; 3 3 3 ③设 A1 D1 中点为 M , CD 的中点为 N ,则 直线 MN 与面 A1 DB 有一个交点;
④ E 为 ?A1 BD 的内心;
0

⑤若 ?A1 AD ? ?A1 AB ? ?BAD ? 60 , 且AA1 ? AB ? AD ? 1 , 则三棱锥 A1 ? ABD 为正三棱锥,且 | AC1 |?

6.

2

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2014 届成都一诊模拟试题文科数学

考试时间:2013.12.20

三.解答题(16-19 每小题 12 分,20 题 13 分,21 题 14 分,共 75 分.解答应写出文字说明,证 明过程或演算步骤.) ??? ? ??? ? ??? ??? ? ? 16.已知 O 为坐标原点, OA ? (2sin 2 x,1), OB ? (1, ?2 3 sin x cos x ? 1) , f ( x) ? OA ? OB ? m . (Ⅰ)若 f (x) 的定义域为 [ ?

?
2

, ? ] ,求 y ? f (x) 的单调递增区间;

(Ⅱ)若 f (x) 的定义域为 [ , ? ] ,值域为 [2,5] ,求 m 的值. 2

?

17.甲乙两人拿两颗骰子做投掷游戏,规则如下:若掷出的点数之和为 3 的倍数,原掷骰子 的人再继续掷,否则,由对方接着掷。第一次由甲开始掷。 (1)分别求第二次、第三次由甲掷的概率; (2)求前 4 次抛掷中甲恰好掷两次的概率.

18. 如图四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 是平行四边形,PG ? 平面 ABCD , 垂足为 G , 1 G 在 AD 上且 AG ? GD , BG ? GC ,GB ? GC ? 2 ,E 是 BC 的中点,四面体 P ? BCG 3 的体积为 . (1)求过点 P,C,B,G 四点的球的表面积; (2)求直线 DP 到平面 PBG 所成角的正弦值; (3)在棱 PC 上是否存在一点 F ,使 DF ? GC ,若存在, 确定点 F 的位置,若不存在,说明理由.
A P

8 3

G

D

B

E

C

1 3 x ? x 2 ? ax . 3 (1)若 f ( x ) 在区间 [1, ??) 单调递增,求 a 的最小值; 1 1 1 (2)若 g ( x ) ? x ,对 ?x1 ? [ , 2], ?x2 ? [ , 2] ,使 f ? ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,求 a 的范围. e 2 2
19.已知函数 f ( x ) ?

3

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2014 届成都一诊模拟试题文科数学

考试时间:2013.12.20

20.已知数列 {an },( n ? N ) 满足 a1 ? 1 ,且对任意非负整数 m, n(m ? n) 均有:

1 am ? n ? am ? n ? m ? n ? 1 ? ( a 2 m ? a 2 n ) . 2 (1)求 a0 , a2 ;
(2)求证:数列 {am ?1 ? am }( m ? N ) 是等差数列,并求 an ( n ? N ) 的通项;
* *

(3)令 cn ? an ? 3n ? 1( n ? N ) ,求证:
*

?c
k ?1

n

1
k

?

3 . 4

a ln x 为 f ( x ) 的 k 阶函数. xk (1)求一阶函数 f1 ( x ) 的单调区间;
21. 定义函数 f k ( x ) ? (2)当 a ? 0 时,讨论方程 f 2 ( x ) ? 1 的解的个数; (3)求证: 3ln x ? x 3e x ?1 .

4

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2014 届成都一诊模拟试题文科数学

考试时间:2013.12.20

成都七中高 2014 届一诊模拟 数学试卷(文科参考答案)
1-10:DCABD 11. DBCBA

10 7 7 8 4 4 8 ? 12. ? 13. 14. ( ? , ? ) ? ( , ) 15.①⑤ 2 3 9 3 3 3 3

16. 解: (Ⅰ) f ( x) ? 2 sin 2 x ? 2 3 sin x cos x ? 1 ? m = 1 ? cos 2 x ? 3 sin x ? 1 ? m = ? 2 sin(2 x ? 由

?
6

) ? 2 ? m ??????3 分

?
2

? 2k? ? 2 x ?

?
6

?

3? ? 2k? (k ? Z ) 2

得 y ? f (x) 在 R 上的单调递增区间为 [k? ? 又 f (x) 的定义域为 [ ?

?
6

, k? ?

2? ] (k ? Z ) 3

?
2

,? ] ,

? ? 2? , ? ],[ , ] (中间若用“ ? ”扣 2 分)?????7 分 2 3 6 3 ? 7? ? 13? ? 1 (Ⅱ)当 ? x ? ? 时, ∴ ? 1 ? sin(2 x ? ) ? ? 2x ? ? 2 6 6 6 6 2 ?1 ? m ? 2 ? m ? 1 ????????????12 分 ∴ 1 ? m ? f ( x) ? 4 ? m ,∴ ? ?4 ? m ? 5
∴ y ? f (x) 的增区间为: [? 17.解: (1)投两颗骰子包含的基本事件为: (1,1) , (1, 2) , (1, 3) , ? , (6, 6) 共 36 种。 点数和为 3 的倍数有:(1, 2) ,(1, 5) ,(2,1) ,(2, 4) ,(3, 3) ,(3, 6) ,(4, 2) ,(4, 5) ,(5,1) ,

?

(5, 4) , (6, 3) , (6, 6) 共 12 种
两骰子点数之和为 3 的倍数概率为: 第二次由甲投的概率为: P ?

5? 2 ? 2 1 ? ????????2 分 36 3

1 3 1 2 2 5 第三次由甲投的概率为: P ? ( )2 ? ? ? ????????6 分 3 3 3 9
(2)求前 4 次抛掷中甲恰好掷两次的概率为

P ? P (甲甲乙乙) ? P (甲乙甲乙) ? P(甲乙乙甲) 1 2 1 2 2 2 2 1 2 P? ? ? + ? ? + ? ? 3 3 3 3 3 3 3 3 3 14 ∴P ? ??????????????????12 分 27 8 18.解: (1)由四面体 P ? BCG 的体积为 .∴ PG ? 4 3 以 GP , GB, GC 构造长方体,外接球的直径为长方体的体对角线。
∴ (2 R)2 ? 16 ? 4 ? 4 ∴ R ? 6 ∴ V ? 4? ? 6 ? 24? ????????????????3 分 (2)由 GB ? GC ? 2 ∴ ?BGC 为等腰三角形,GE 为 ?BGC 的角平分线,作 DK ? BG 交 BG 的延长线于 K,
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2014 届成都一诊模拟试题文科数学

考试时间:2013.12.20

∴ DK ? 面BPG 。由平面几何知识可知: DK ? GK ?
PBG 所成角为 ?

3 PD ? 2

41 2

设直线 DP 与平面

∴ sin ? ?

DK 3 82 ??????????????????????8 分 ? DP 82

(法二:建系) (3)? GB, GC , GP 两两垂直,分别以 GB, GC , GP 为 x, y, z 轴建立坐标系 假设 F 存在且设 F (0, y,4 ? 2 y )(0 ? y ? 2) ? D( ? ∴ DF ? ( , y ?

??? ? 3 3 , 4 ? 2 y ), GC ? (0, 2, 0), 又直线 DF 与 GC 所成的角为 900 2 ???? ??? 2 ? 3 | DF ? GC | |2y ? 3| ? ? ∴ cos 900 ? ???? ??? ? ???? ??? ? 0 ∴ y ? 2 | DF || GC | | DF || GC |

????

3 3 , , 0), G(0, 0, 0), C (0, 2, 0) 2 2

CF 1 ? 时满足条件????????????????????12 分 CP 4 2 19.解: (1)由 f ? ( x ) ? x ? 2 x ? a ? 0 在 [1, ??) 恒成立
∴当 得: a ? ?( x ? 1) ? 1
2

而 y ? ?( x ? 1) ? 1 在 [1, ??) 单调递减,从而 ymax ? ?3 ,
2

∴ a ? ?3 ∴ amin ? ?3

??????????????????6 分

1 2 1 f ?( x ) ? ( x ? 1)2 ? a ? 1 在 [ , 2] 单调递增 2 ?( x )max ? f ?(2) ? 8 ? a ??????????8 分 ∴f

(2)对 ?x1 ? [ , 2], ?x2 ? [ , 2] ,使 f / ( x1 ) ? g( x2 ) ∴ [ f ?( x )]max ? [ g( x )]max

1 2

1 e 1 g( x ) 在 [ , 2] 上单调递减,则 g( x )max ? g( ) ? 2 e 2 e e ∴8? a ? ,则a ? ? 8 ????????????????12 分 e e 20. 解: (1)令 m ? n 得 a0 ? 1 ,??????????1 分
令 n ? 0 ,得 a2 m ? 4am ? 2m ? 3 ,∴ a2 ? 3 ????????3 分 (2)令 n ? 1 ,得: am ?1 ? am ?1 ? m ? 2 ? ∴ am ? 1 ? am ? am ? a m ? 1 ? 2 ∴ am ?1 ? am ? 2m( m ? N )
*

1 (a ? a2 ) ? 2am ? m 2 2m ,又 a2 ? a1 ? 2 ,

∴数列 {am ?1 ? am } 是以 2 为首项,2 为公差的等差数列.
m ?1 k ?1

∴ am ? a1 ?

? (a

k ?1

? ak ) ? m( m ? 1) ? 1( m ? N * )
*

∴ an ? n( n ? 1) ? 1( n ? N ) ????????????9 分
2 * (3)? cn ? an ? 3n ? 1 ? n ? 2n( n ? N ) ∴

1 1 ? cn n( n ? 2)

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2014 届成都一诊模拟试题文科数学

考试时间:2013.12.20

1 1 1 1 1 1 3 1 1 3 (1 ? ? ? ? ? ? ? )? ? ? ? ????13 分 2 3 2 4 n n? 2 4 2 n ? 1 2( n ? 2) 4 ( ) k ?1 k a ln x a ? a ln x a(1 ? ln x) 21.解(1) f1 ( x) ? ( x ? 0) , f1?( x) ? ? ( x ? 0) x x2 x2 令 f1?( x) ? 0 ,当 a ? 0 时, x ? e. ?当 a ? 0 时, f1 ( x) 无单调区间; 当 a ? 0 时, f1 ( x) 的单调增区间为 (0, e), 单减区间为 (e, ??) . 当 a ? 0 时, f1 ( x) 的单调增区间为 (e, ??) ,单减区间为 (0, e) . ?????? 4 分. a ln x ln x 1 (2)由 2 ? 1, ? 2 ? . x x a ln x x ? 2 x ln x 1 ? 2ln x 令 g ( x) ? 2 ( x ? 0). 则 g ?( x) ? ? . 由 g ?( x) ? 0 得 x ? e , x x4 x3 1 从而 g ( x) 在 (0, e ) 单调递增,在 ( e , ??) 单调递减. g ( x)max ? g ( e ) ? . 2e 当 x ? 0 时, g ( x) ? ?? ,当 x ? ?? g ( x) ? 0. 1 1 ,即 a ? 2e 时,方程有两个不同解. ?当 0 ? ? a 2e 1 1 当 ? ,即 0 ? a ? 2e 时,方程有 0 个解. a 2e 1 1 当 ? ,或即 a ? 2e 时,方程有唯一解. a 2e


?c

1

?

综上,当 a ? 2e 时,方程有两个不同解.当 0 ? a ? 2e 时,方程有 0 个解.当 a ? 2e ,方程有唯一 解. ??? 9 分. (3)特别地,当 a ? 1 时 ln x x 2 ? 3x 2 ln x 1 ? 3ln x 由 f3 ( x) ? 3 ( x ? 0) 得 f3?( x) ? . ? x6 x4 x 由 f3?( x) ? 0 得 x ? e 3 , 则 f3 ( x) 在 (0, e 3 ) 单调递增,在 (e 3 , ??) 单调递减. f3 ( x)max ? f3 (e 3 ) ?
1 1
1
1

1 . 3e

? f 3 ( x) ?

ln x 1 x3 ? , 即 3ln x ? .又 x ? 0 时, e x ? 1. ?3ln x ? x3e x ?1 ?????? 14 分. e x3 3e

7


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