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甘肃省河西五地市2015届高三第一次联考数学(理)+试卷


甘肃省河西五地市 2015 届高三第一次联考 数学(理) 试卷
一.选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.) 1. (5 分)设集合 M={x|x +3x+2<0},集合
2

【考点】 : 平面向量数量积的运算. 【专题】 : 平面向量及应用. 【分析】 : 由已知将,| +2 |=2
2

,两边平方,得到 , 的模的等式,解之即可. ,所以| | +4| || |× +4=12,所以| |=2;
2

【解析】 : 解:由已知,| +2 | =12,即

,则 M∪N=(



A. {x|x≥﹣2} B. {x|x>﹣1} C. {x|x<﹣1} D. {x|x≤﹣2} 【考点】 : 并集及其运算;指数函数的单调性与特殊点;一元二次不等式的解法. 【专题】 : 计算题. 【分析】 : 根据题意先求出集合 M 和集合 N,再求 M∪N. 【解析】 : 解:∵集合 M={x|x +3x+2<0}={x|﹣2<x<﹣1}, 集合 ={x|2 ≤2 }={x|﹣x≤2}={x|x≥﹣2},
﹣x

故选 D. 【点评】 : 本题考查了向量的模的求法;一般的,要求向量的模,先求向量的平方. 4. (5 分)下列推断错误的是(
2


2

2

A. 命题“若 x ﹣3x+2=0,则 x=1”的逆否命题为“若 x≠1 则 x ﹣3x+2≠0” 2 2 B. 命题 p:存在 x0∈R,使得 x0 +x0+1<0,则非 p:任意 x∈R,都有 x +x+1≥0 C. 若 p 且 q 为假命题,则 p,q 均为假命题 D. “x<1”是“x ﹣3x+2>0”的充分不必要条件 【考点】 : 命题的真假判断与应用. 【专题】 : 简易逻辑. 【分析】 : A,写出命题“若 x ﹣3x+2=0,则 x=1”的逆否命题,可判断 A; 2 B,写出命题 p:“存在 x0∈R,使得 x0 +x0+1<0”的否定¬p,可判断 B; C,利用复合命题的真值表可判断 C; D,x ﹣3x+2>0?x>2 或 x<1,利用充分必要条件的概念可判断 D. 2 2 【解析】 : 解:对于 A,命题“若 x ﹣3x+2=0,则 x=1”的逆否命题为“若 x≠1 则 x ﹣3x+2≠0”,正确; 2 2 对于 B,命题 p:存在 x0∈R,使得 x0 +x0+1<0,则非 p:任意 x∈R,都有 x +x+1≥0,正确; 对于 C,若 p 且 q 为假命题,则 p,q 至少有一个为假命题,故 C 错误; 对于 D,x ﹣3x+2>0?x>2 或 x<1,故“x<1”是“x ﹣3x+2>0”的充分不必要条件,正确. 综上所述,错误的选项为:C, 故选:C. 【点评】 : 本题考查命题的真假判断与应用,着重考查全称命题与特称命题的理解与应用,考查复合命题与充分必要条 件的真假判断,属于中档题.
2 2 2 2 2

2

∴M∪N={x|x≥﹣2}, 故选 A. 【点评】 : 本题考查集合的运算,解题时要认真审题,仔细解答. 2. (5 分)下面是关于复数 p1:|z|=2, 2 p2:z =2i, p3:z 的共轭复数为﹣1+i, p4:z 的虚部为 1. 其中真命题为( ) A. p2,p3 B. p1,p2 C. p2,p4 D. p3,p4 【考点】 : 命题的真假判断与应用;复数代数形式的乘除运算. 【专题】 : 计算题;函数的性质及应用. 【分析】 : 求出|z|,可判断 p1 的真假;化简 z ,可判断 p2 的真假; 为 1,由此可得结论. 【解析】 : 解:p1:|z|= p2:z =
2 2

的四个命题:

,可得 z 的共轭复数为 1﹣i,z 的虚部

5. (5 分)若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示,则这个棱柱的体积为(



=

,故命题为假;

=

=2i,故命题为真; A. B. C. D. 6

,∴z 的共轭复数为 1﹣i,故命题 p3 为假; ∵ ,∴p4:z 的虚部为 1,故命题为真.

故真命题为 p2,p4 故选 B. 【点评】 : 本题考查命题真假的判定,考查复数知识,考查学生的计算能力,属于基础题.

【考点】 : 由三视图求面积、体积. 【专题】 : 计算题;压轴题;图表型. 【分析】 : 由三视图及题设条件知,此几何体为一个三棱柱,其高已知,底面正三角形的高为 底面积,再由体积公式求解其体积即可. 【解析】 : 解:此几何体为一个三棱柱,棱柱的高是 4,底面正三角形的高是 设底面边长为 a,则 ,∴a=6, . ,

,故先解三角形求出

3. (5 分)已知平面向量 与 的夹角为 A. 1 B. C. 3 D. 2

,且| |=1,| +2 |=2

,则| |=(

) 故三棱柱体积 故选 B

【点评】 : 本题考点是由三视图求几何体的面积、体积,考查对三视图的理解与应用,主要考查三视图与实物图之间的 关系,用三视图中的数据还原出实物图的数据,再根据相关的公式求表面积与体积,本题求的是本棱柱的体积.三视图 的投影规则是:“主视、俯视 长对正;主视、左视高平齐,左视、俯视 宽相等”.三视图是新课标的新增内容,在以后 的高考中有加强的可能. 6. (5 分) (2014?广西)等比数列{an}中,a4=2,a5=5,则数列{lgan}的前 8 项和等于( A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【考点】 : 等比数列的前 n 项和. 【专题】 : 等差数列与等比数列. 【分析】 : 利用等比数列的性质可得 a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=10.再利用对数的运算性质即可得出. 【解析】 : 解:∵数列{an}是等比数列,a4=2,a5=5, ∴a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=10. ∴lga1+lga2+…+lga8 =lg(a1a2?…?a8) = 4lg10 =4. 故选:C. 【点评】 : 本题考查了等比数列的性质、对数的运算性质,属于基础题. )

当 x<0 时,z=|x|+2y 化为

,表示斜率为 ,截距为 ,的平行直线系,

当直线过点(﹣4,5)时直线在 y 轴上的截距最大,z 最大,zmax=4+2×5=14. ∴z=|x|+2y 的最大值是 14. 故选:D. 【点评】 : 本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题. 8. (5 分) 抛物线 x = y 在第一象限内图象上一点 (ai, 2ai ) 处的切线与 x 轴交点的横坐标记为 ai+1, 其中 i∈N , 若 a2=32, 则 a2+a4+a6 等于( ) A. 64 B. 42 C. 32 D. 21 【考点】 : 抛物线的简单性质. 【专题】 : 综合题;导数的综合应用. 【分析】 : 由 y=2x (x>0) ,求出 x = y 在第一象限内图象上一点(ai,2ai )处的切线方程是:y﹣2ai =4ai(x﹣ai) , 再由切线与 x 轴交点的横坐标为 ai+1, 知 ai+1= ai, 所以{a2k}是首项为 a2=32, 公比 q= 的等比数列, 由此能求出 a2+a4+a6. 【解析】 : 解:∵y=2x (x>0) , ∴y′ =4x, ∴x = y 在第一象限内图象上一点(ai,2ai )处的切线方程是:y﹣2ai =4ai(x﹣ai) , 整理,得 4aix﹣y﹣2ai =0, ∵切线与 x 轴交点的横坐标为 ai+1, ∴ai+1= ai,
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 *

7. (5 分)若实数 x、y 满足不等式组

则 z=|x|+2y 的最大值是(



A. 10 B. 11 C. 13 D. 14 【考点】 : 简单线性规划. 【专题】 : 不等式的解法及应用. 【分析】 : 由约束条件作出可行域,分类化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,求出最优解的坐标, 代入目标函数得答案.

∴{a2k}是首项为 a2=32,公比 q= 的等比数列, ∴a2+a4+a6=32+8+2=42. 故选:B. 【点评】 : 本题考查数列与函数的综合,综合性强,难度大,容易出错.解题时要认真审题,注意导数、切线方程和等 比数列性质的灵活运用.

【解析】 : 解:由约束条件

作出可行域如图,

9. (5 分)定义行列式运算:

.若将函数 )

的图象向左平移 m(m>0)

个单位后,所得图象对应的函数为奇函数,则 m 的最小值是( A. B. C. D.

【考点】 : 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 【专题】 : 新定义;三角函数的图像与性质. 【分析】 : 利用所给行列式展开法则求出 f(x) ,化简为一个解答一个三角函数的形式,再由函数的平移公式能够得到 f (x+m) ,然后由偶函数的性质求出 m 的最小值. 【解析】 : 解:f(x)= 当 x≥0 时,z=|x|+2y 化为 y=﹣ x+ z,表示的是斜率为﹣ ,截距为 的平行直线系, 当过点(1,5)时,直线在 y 轴上的截距最大,z 最大,zmax=1+2×5=11; 得 f(x+m)= sin(x+m﹣ ) , sinx﹣cosx= sin(x﹣ ) ,图象向左平移 m(m>0)个单位,

则由 m﹣

=kπ,可解得 m=k

,k∈Z,

则当 m 取得最小值

时,函数为奇函数.

【分析】 : 首先求出 F2 到渐近线的距离,利用 F2 关于渐近线的对称点恰落在以 F1 为圆心,|OF1|为半径的圆上,可得直 角三角形 MF1F2,运用勾股定理,即可求出双曲线的离心率. 【解析】 : 解:由题意,F1(0,﹣c) ,F2(0,c) , 一条渐近线方程为 y= x,则 F2 到渐近线的距离为 =b.

故选:A. 【点评】 : 本题考查二阶行列式的展开法则,解题时要注意函数的平移和偶函数的合理运用,属于基础题.
k 2

10. (5 分)设 k 是一个正整数, (1+ ) 的展开式中第四项的系数为

,记函数 y=x 与 y=kx 的图象所围成的阴影部分 )

为 S,任取 x∈[0,4],y∈[0,16],则点(x,y)恰好落在阴影区域内的概率为(

A.

B.

C.

D.

设 F2 关于渐近线的对称点为 M,F2M 与渐近线交于 A, ∴|MF2|=2b,A 为 F2M 的中点, 又 0 是 F1F2 的中点,∴OA∥F1M,∴∠F1MF2 为直角, ∴△MF1F2 为直角三角形, 2 2 2 ∴由勾股定理得 4c =c +4b 2 2 2 2 2 ∴3c =4(c ﹣a ) ,∴c =4a , ∴c=2a,∴e=2. 故选 C. 【点评】 : 本题主要考查了双曲线的几何性质以及有关离心率和渐近线,考查勾股定理的运用,考查学生的计算能力, 属于中档题.

【考点】 : 几何概型;定积分在求面积中的应用. 【专题】 : 概率与统计. 【分析】 : 先利用二项式定理求出 k 值,再利用积分求阴影部分的面积,那积分的上下限由求方程组得到.然后利用几 何概型的概率公式解答. 【解析】 : 解:根据题意得 解得:k=4 或 k= (舍去) ,

12. (5 分)已知实数 a,b,c,d 满足 为( ) A. 4 B. 8 C. 12 D. 18 【考点】 : 两点间的距离公式. 【专题】 : 直线与圆.

=

=1,其中 e 是自然对数的底数,则(a﹣c) +(b﹣d) 的最小值

2

2

【分析】 : 由已知得点(a,b)在曲线 y=x﹣2e 上,点(c,d)在曲线 y=2﹣x 上, (a﹣c) +(b﹣d) 的几何意义就 x 2 2 是曲线 y=x﹣2e 到曲线 y=2﹣x 上点的距离最小值的平方.由此能求出(a﹣c) +(b﹣d) 的最小值. 【解析】 : 解:∵实数 a,b,c,d 满足 = =1,∴b=a﹣2e ,d=2﹣c,
a

x

2

2

解方程组 解得:x=0 或 4



∴阴影部分的面积为

=



任取 x∈[0,4],y∈[0,16],则点(x,y)对应 区域面积为 4×16=64, 由几何概型概率求法得点(x,y)恰好落在阴影区域内的概率为 ;

∴点(a,b)在曲线 y=x﹣2e 上,点(c,d)在曲线 y=2﹣x 上, 2 2 x (a﹣c) +(b﹣d) 的几何意义就是曲线 y=x﹣2e 到曲线 y=2﹣x 上点的距离最小值的平方. x 考查曲线 y=x﹣2e 平行于直线 y=2﹣x 的切线, x x ∵y′ =1﹣2e ,令 y′ =1﹣2e =﹣1, 解得 x=0,∴切点为(0,﹣2) , 该切点到直线 y=2﹣x 的距离 d=
2 2 2

x

故选 C. 【点评】 : 本题主要考查了定积分、二项式定理和几何概型的概率求法,应用定积分求平面图形面积时,积分变量的选 取是至关重要的,属于基础题.

=2

就是所要求的两曲线间的最小距离,

故(a﹣c) +(b﹣d) 的最小值为 d =8. 故选:B. 【点评】 : 本题考查代数式的最小值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意两点间距离公式的合理运用. 二.填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,请把正确的答案填写在各小题的横线上.) 13. (5 分)定义某种运算?,S=a?b 的运算原理如图;则式子 5?3+2?4= 14 .

11. (5 分)已知 F2、F1 是双曲线



=1(a>0,b>0)的上、下焦点,点 F2 关于渐近线的对称点恰好落在以 F1 为 )

圆心,|OF1|为半径的圆上,则双曲线的离心率为( A. 3 B. C. 2 D.

【考点】 : 双曲线的简单性质. 【专题】 : 计算题;直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程.

∴满足条件的事件数是 84﹣35=49, 故答案为:49. 【点评】 : 本题考查排列组合的实际应用,是一个综合题,题目中带有两个限制条件,注意限制条件的应用,先做满足 一个条件的事件数,再做满足另一个条件的事件数,把不合题意的舍去. 16. (5 分)在平面直角坐标系 xoy 中,圆 C 的方程为 x +y ﹣8x+15=0,若直线 y=kx+2 上至少存在一点,使得以该点为 圆心,半径为 1 的圆与圆 C 有公共点,则 k 的最小值是 ﹣ .
2 2

【考点】 : 选择结构. 【专题】 : 图表型. 【分析】 : 通过程序框图判断出 S=a?b 的解析式,求出 5?3+2?4 的值. 【解析】 : 解:有框图知 S=a?b= ∴5?3+2?4=5×(3﹣1)+4×(2﹣1)=14 故答案为 14 【点评】 : 新定义题是近几年常考的题型,要重视.解决新定义题关键是理解题中给的新定义. 14. (5 分)正四棱锥 P﹣ABCD 的五个顶点在同一球面上,若该正四棱锥的底面边长为 4,侧棱长为 表面积为 36π . 【考点】 : 球的体积和表面积. 【专题】 : 计算题;作图题. 【分析】 : 画出图形,正四棱锥 P﹣ABCD 的外接球的球心在它的高 PO1 上,记为 O,求出 PO1,OO1,解出球的半径, 求出球的表面积. 【解析】 : 解:正四棱锥 P﹣ABCD 的外接球的球心在它的高 PO1 上, 记为 O,PO=AO=R,PO1=4,OO1=R﹣4,或 OO1=4﹣R(此时 O 在 PO1 的延长线上) , 2 2 在 Rt△AO1O 中,R =8+(R﹣4) 得 R=3,∴球的表面积 S=36π 故答案为:36π ,则这个球的

【考点】 : 直线与圆相交的性质. 【专题】 : 直线与圆. 【分析】 : 化圆 C 的方程为(x﹣4) +y =1,求出圆心与半径,由题意,只需(x﹣4) +y =4 与直线 y=kx+2 有公共点 即可. 【解析】 : 解:圆 C 的方程为 x +y ﹣8x+15=0 即 圆 C 的方程为(x﹣4) +y =1,即圆 C 是以(4,0)为圆心,1 为半 径的圆; 又直线 y=kx+2 上至少存在一点,使得以该点为圆心,1 为半径的圆与圆 C 有公共点, ∴只需圆 C′ : (x﹣4) +y =4 与直线 y=kx+2 有公共点即可. 设圆心 C(4,0)到直线 y=kx+2 的距离为 d,则 d= ≤2,即 3k ≤﹣4k,
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

求得﹣ ≤k≤0,故 k 的最小值是﹣ , 故答案为: .
2 2

【点评】 : 本题考查直线与圆的位置关系,将条件转化为“(x﹣4) +y =4 与直线 y=kx+2 有公共点”是关键,考查学生灵 活解决问题的能力,体现了转化的数学思想,是中档题. 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明或演算步骤.) 17. (12 分)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 bcosC=3acosB﹣ccosB. (Ⅰ)求 cosB 的值; (Ⅱ)若 ,且 ,求 a 和 c 的值.

【考点】 : 正弦定理;平面向量数量积的运算;两角和与差的正弦函数;余弦定理. 【专题】 : 计算题;转化思想. 【分析】 : (1)首先利用正弦定理化边为角,可得 2RsinBcosC=3×2RsinAcosB﹣2RsinCcosB,然后利用两角和与差的正 弦公式及诱导公式化简求值即可. 【点评】 : 本题考查球的表面积,球的内接体问题,考查计算能力,是基础题. 15. (5 分)从某校数学竞赛小组的 10 名成员中选 3 人参加省级数学竞赛,则甲、乙 2 人至少有 1 人入选,而丙没有入 选的不同选法的种数为 49 (用数字作答) . 【考点】 : 计数原理的应用. 【专题】 : 排列组合. 【分析】 : 先做出满足丙没有入选的结果数,丙没有入选相当于从 9 人中选 3 人,要求甲、乙至少有 1 人入选,可以先 做出甲、乙都没入选的结果,相当于从 7 人中选 3 人,用所有的事件数减去不合题意的事件数,得到满足条件的事件数. 【解析】 : 解:丙没有入选相当于从 9 人中选 3 人,共有选法 C9 =84, 3 甲、乙都没入选相当于从 7 人中选 3 人共有 C7 =35,
3

(2)由向量数量积的定义可得 accosB=2,结合已知及余弦定理可得 a +b =12,再根据完全平方式易得 a=c= 【解析】 : 解: (I)由正弦定理得 a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC, 则 2RsinBcosC=6RsinAcosB﹣2RsinCcosB, 故 sinBcosC=3sinAcosB﹣sinCcosB, 可得 sinBcosC+sinCcosB=3sinAcosB, 即 sin(B+C)=3sinAcosB, 可得 sinA=3sinAcosB.又 sinA≠0, 因此 (II)解:由 . (6 分) ,可得 accosB=2,

2

2



, 由 b =a +c ﹣2accosB, 2 2 可得 a +c =12, 2 所以(a﹣c) =0,即 a=c, 所以 . (13 分) 【点评】 : 本题考查了正弦定理、余弦定理、两角和与差的正弦公式、诱导公式、向量数量积的定义等基础知识,考查 了基本运算能力. 18. (12 分)甲、乙两人进行围棋比赛,约定每局胜者得 1 分,负者得 0 分,比赛进行到有一人比对方多 2 分或下满 6 局时停止.设甲在每局中获胜的概率为 p(p> ) ,且各局胜负相互独立.已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为 . (1)求 p 的值; (2)设 ξ 表示比赛停止时已比赛的局数,求随机变量 ξ 的分布列和数学期望 Eξ. 【考点】 : 互斥事件的概率加法公式;离散型随机变量及其分布列. 【分析】 : (1)已知各局胜负相互独立,第二局比赛结束时比赛停止,包含甲连胜 2 局或乙连胜 2 局,写出甲连胜两局 的概率和乙连胜两局的概率求和为 .解出关于 P 的方程. (2)因为比赛进行到有一人比对方多 2 分或下满 6 局时停止,所以 ξ 的所有可能取值为 2,4,6,而 ξ=2 已经做出概率, 只要求出 ξ=4 或 ξ=6 时的概率即可,最后求出期望. 【解析】 : 解: (1)当甲连胜 2 局或乙连胜 2 局时, 第二局比赛结束时比赛停止,故 解得 (2)依题意知 ξ 的所有可能取值为 2,4,6, 设每两局比赛为一轮,则该轮结束时比赛停止的概率为 , 若该轮结束时比赛还将继续,则甲、乙在该轮中必是各得一分, 此时,该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响,从而有 , 则随机变量 ξ 的分布列为: 令 x=1.所以 .…(9 分) , . 因为 …(4 分) ,所以 A1C⊥BN…(6 分)
2 2 2

【考点】 : 与二面角有关的立体几何综合题. 【专题】 : 综合题;空间位置关系与距离;空间角. 【分析】 : (I)以 O 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,证明 BN; (Ⅱ)求出平面 A1BN 的法向量、平面 A1NC 的法向量,利用向量的夹角公式求二面角 B﹣A1N﹣C 的余弦值. 【解析】 : (Ⅰ)证明:取 AC 的中点 O,连结 BO,A1O,由题意知 BO⊥AC,A1O⊥AC. 又因为 平面 A1ACC1⊥平面 ABC,所以 A1O⊥平面 ABC 以 O 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系 O﹣xyz.…(2 分) 则 O(0,0,0) , , , ,C(0,1,0) , ,可得 A1C⊥

(Ⅱ)解:取 AC 的中点 O,连结 BO,A1O,由题意知 BO⊥AC,A1O⊥AC. 又因为 平面 A1ACC1⊥平面 ABC,所以 A1O⊥平面 ABC 以 O 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系 O﹣xyz.…(7 分) 则 O(0,0,0) , . , , , ,

设平面 A1BN 的法向量为 n1=(x,y,z) ,则



又平面 A1NC 的法向量 n2=(1,0,0)…(10 分) 设二面角 B﹣A1N﹣C 的平面角为 θ,则 故 . .…(12 分)

【点评】 : 求离散型随机变量的分布列和期望是近年来理科高考必出的一个问题,题目做起来不难,运算量也不大,只 要注意解题格式就问题不大. 19. (12 分) 己知斜三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的底面是边长为 2 的正三角形, 侧面 A1ACC1 为菱形, ∠A1AC=60°, 平面 A1ACC1 ⊥平面 ABC,N 是 CC1 的中点. (I)求证:A1C⊥BN; (Ⅱ)求二面角 B﹣A1N﹣C 的余弦值. 【点评】 : 本题考查线线垂直,考查面面角,考查向量知识的运用,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.

20. (12 分)已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,左右焦点分别为 F1,F2,且|F1F2|=2,点(1, )在椭圆 C 上. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 过 F1 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A, B 两点,且△AF2B 的面积为 ,求以 F2 为圆心且与直线 l 相切的圆的方程.

所以 化简,得 17k +k ﹣18=0, 2 2 即(k ﹣1) (17k +18)=0,解得 k=±1 所以, ,
2 2 4 2



【考点】 : 椭圆的标准方程;圆的标准方程;直线与圆锥曲线的综合问题. 【专题】 : 计算题. 【分析】 : (Ⅰ)先设出椭圆的方程,根据题设中的焦距求得 c 和焦点坐标,根据点(1, )到两焦点的距离求得 a, 进而根据 b= 求得 b,得到椭圆的方程.

故圆 F2 的方程为: (x﹣1) +y =2. 【点评】 : 本题主要考查了椭圆的标准方程和椭圆与直线,椭圆与圆的关系.考查了学生综合运用所学知识,创造性地 解决问题的能力.

(Ⅱ)先看当直线 l⊥x 轴,求得 A,B 点的坐标进而求得△AF2B 的面积与题意不符故排除,进而可设直线 l 的方程为: y=k(x+1)与椭圆方程联立消 y,设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,根据韦达定理可求得 x1+x2 和 x1?x2,进而根据表示出|AB| 的距离和圆的半径,求得 k,最后求得圆的半径,得到圆的方程. 【解析】 : 解: (Ⅰ)设椭圆的方程为 椭圆 C 两焦点坐标分别为 F1(﹣1,0) ,F2(1,0) . ∴ ∴a=2,又 c=1,b =4﹣1=3, 故椭圆的方程为 .
2

21. (12 分)已知函数 (1)当 时,求 f(x)的单调递减区间;

,由题意可得:

(2)若当 x>0 时,f(x)>1 恒成立,求 a 的取值范围; (3)求证: .



【考点】 : 数列与不等式的综合;函数恒成立问题;利用导数研究函数的单调性. 【专题】 : 综合题;导数的综合应用. 【分析】 : (1)求导数,利用导数小于 0,即可求 f(x)的单调递减区间; (2)由 即可求 a 的取值范围; 得 a>(x+2)﹣(x+2)ln(x+1) ,记 g(x)=(x+2)[1﹣ln(x+1)],确定函数的最值,

(Ⅱ)当直线 l⊥x 轴,计算得到: , 当直线 l 与 x 轴不垂直时,设直线 l 的方程为:y=k(x+1) ,
2 2 2 2

(3)先证明 ,不符合题意. 【解析】 : (1)解:当

,取

,即可证得结论.

时,

(x>﹣1)



,消去 y 得(3+4k )x +8k x+4k ﹣12=0

令 f′ (x)<0,可得 (2)解:由

,∴f(x)的单调递减区间为 得 a>(x+2)﹣(x+2)ln(x+1)

…(4 分)

显然△>0 成立,设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 则 ,

记 g(x)=(x+2)[1﹣ln(x+1)],则 当 x>0 时 g′ (x)<0,∴g(x)在(0,+∞)递减 又 g(0)=2?[1﹣ln1]=2,∴g(x)<2(x>0) ,∴a≥2…(8 分)



(3)证明:由(Ⅱ)知 ∴

(x>0)





又圆 F2 的半径







,即



…(12 分)

【点评】 : 本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性,考查不等式的证明,属于中档题. 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题 目的题号涂黑.选修 4-1:几何证明选讲 22. (10 分)如图所示,PA 为圆 O 的切线,A 为切点,PO 交圆 O 于 B,C 两点,PA=20,PB=10,∠BAC 的角平分线 与 BC 和圆 O 分别交于点 D 和 E. (Ⅰ)求证 AB?PC=PA?AC (Ⅱ)求 AD?AE 的值.

(Ⅱ)直线 l 的极坐标方程是 求线段 PQ 的长.

,射线 OM:θ=

与圆 C 的交点为 O、P,与直线 l 的交点为 Q,

【考点】 : 简单曲线的极坐标方程;点的极坐标和直角坐标的互化. 【专题】 : 坐标系和参数方程. 【分析】 : 解: (I)利用 cos φ+sin φ=1,即可把圆 C 的参数方程化为直角坐标方程.
2 2

(II)设(ρ1,θ1)为点 P 的极坐标,由

,联立即可解得.设(ρ2,θ2)为点 Q 的极坐标,同理可解得.利

用|PQ|=|ρ1﹣ρ2|即可得出. 【解析】 : 解: (I)利用 cos φ+sin φ=1,把圆 C 的参数方程 【考点】 : 与圆有关的比例线段. 【专题】 : 直线与圆. 【分析】 : (1)由已知条件推导出△PAB∽△PCA,由此能够证明 AB?PC=PA?AC. (2)由切割线定理求出 PC=40,BC=30,由已知条件条件推导出△ACE∽△ADB,由此能求出 AD?AE 的值. 【解析】 : (1)证明:∵PA 为圆 O 的切线, ∴∠PAB=∠ACP,又∠P 为公共角, ∴△PAB∽△PCA, ∴ , ∵θ1=θ2,∴|PQ|=|ρ1﹣ρ2|=2. ∴|PQ|=2. 【点评】 : 本题考查了利用极坐标方程求曲线的交点弦长,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 选修 4-5:不等式选讲 24.已知函数 f(x)=|2x+1|,g(x)=|x|+a (Ⅰ)当 a=0 时,解不等式 f(x)≥g(x) ; (Ⅱ)若存在 x∈R,使得 f(x)≤g(x)成立,求实数 a 的取值范围. 【考点】 : 绝对值不等式的解法;带绝对值的函数. 【专题】 : 不等式的解法及应用. . (10 分) 【分析】 : (Ⅰ)当 a=0 时,由 f 不等式可得|2x+1|≥x,两边平方整理得 3x +4x+1≥0,解此一元二次不等式求得原不等式 的解集.
2 2 2

为参数)化为(x﹣1) +y =1,

2

2

∴ρ ﹣2ρcosθ=0,即 ρ=2cosθ.

2

(II)设(ρ1,θ1)为点 P 的极坐标,由

,解得



设(ρ2,θ2)为点 Q 的极坐标,由

,解得



∴AB?PC=PA?AC.…(4 分) (2)解:∵PA 为圆 O 的切线,BC 是过点 O 的割线, ∴PA =PB?PC, ∴PC=40,BC=30, 又∵∠CAB=90°,∴AC +AB =BC =900, 又由(1)知 ,
2 2 2 2

∴AC=12 ,AB=6 , 连接 EC,则∠CAE=∠EAB, ∴△ACE∽△ADB,∴ ∴ ,

(Ⅱ)由 f(x)≤g(x) 得 a≥|2x+1|﹣|x|,令 h(x)=|2x+1|﹣|x|,则 h(x)= 【点评】 : 本题考查三角形相似的证明和应用,考查线段乘积的求法,是中档题,解题时要注意切割线定理的合理运用. 的最小值,即可得到从而所求实数 a 的范围. 选修 4-4:坐标系与参数方程 23. (10 分)在直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程 建立极坐标系. (Ⅰ)求圆 C 的极坐标方程; 为参数) .以 O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴 【解析】 : 解: (Ⅰ)当 a=0 时,由 f(x)≥g(x)得|2x+1|≥x,两边平方整理得 3x +4x+1≥0, 解得 x≤﹣1 或 x≥﹣ ∴原不等式的解集为 (﹣∞,﹣1]∪[﹣ ,+∞)
2

,求得 h(x)

(Ⅱ)由 f(x)≤g(x) 得 a≥|2x+1|﹣|x|,令 h(x)=|2x+1|﹣|x|,即 h(x)=



故 h(x)min=h(﹣ )=﹣ ,故可得到所求实数 a 的范围为(﹣ ,+∞) . 【点评】 : 本题主要考查带有绝对值的函数,绝对值不等式的解法,求函数的最值,属于中档题.


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