太和二中 2014 届高三第一次模拟考试数学(理)试题
注意事项: 1.答题前,考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,认真核对条形码上的 姓名、准考证号,并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置上。 2.选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦擦干净后,再选涂其它答案标号; 非选择题答案实用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚。 3.请按题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。 4.保持卡面清洁,不折叠,不破损。 5.做选考题时,考生按照题目要求作答,并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题 号涂黑。 一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.设集合 A={ x x ? 5k ? 1 , k ∈N},B={ x x ? 6, x ?Q },则 A∩B 等于
( )
A.{1,4} 1? i 2.复数 ? 1? i A. ? i
B.{1,6}
C.{4,6}
( ) C. i
D.{1,4,6}
B. ? 1
D.1
3.若 ?a n ? 是等差数列, a1 ? 0, 的最大正数 n 是 A. 48
a 23 ? a 24 ? 0,
a 23 ? a 24 ? 0 ,则使前 n 项和 S n ? 0 成立
( ) D.45
B.47
C.46
4. 在区间[- π ,π ]内随机取两个数分别记为 a, 则使得函数 f ( x ) ? x ? 2 ax ? b ? π 有 b,
2 2
零点的概率为 A.
( B.
) D.
7 8
3 4
C.
1 2 1 2
1 4
5. 设 min{ p, q } 表示 p , q 两者中的较小的一个,若函数 f ( x ) = min{3 则满足 f ( x ) < 1 的 x 的集合为 A. (0,
log 2 x, log 2 x } ,
( )
2)
B. (0, + ? )
C. (0, 2) U (16, +
)
D. (
1 16
, +
)
6.函数 f ( x ) 的定义域为 R, 且满足: f ( x ) 是偶函数, f ( x ? 1) 是奇函数, f (0.5) =9, 若
则 f (8.5) 等于 A. ? 9 B.9 C. ? 3 D.0
(
)
7. 已知 x、y 使方程 x2+y2-2x -4y + 4 = 0,则 3x + y 的最小值是
(
)
A. 2 +
3
B. 3
C. 2
D.3
8. 若动直线 x ? a 与函数 f ( x ) ? sin x 和 g ( x ) ? cos x 的图像分别交于 M ,N 两点,则
MN 的最大值为
A.1 9. 过原点与曲线 y ? A. y ? B. 2 C. 3
( D.2 ( C. y ? x D. y ?
)
x ? 1 相切的切线方程为
B. y ? 2 x
)
1 2
x
1 x
1 3
x
)
10. 已知 p : x ? 1, q : A. 充分不必要条件 C. 充要条件
? 1, 则 ?p 是 q 的
B. 必要充分不条件 D. 既非充分又非必要条件
(
? x?2?0 ? 11. 若实数 x, y 满足不等式组 ? y ? 1 ? 0 ,目标函数 t ? x ? 2 y 的最大值为 2,则实数 a ?2 ? 2 y ? a ? 0 ?
的值是 A.-2 B.0 C.1 ( D.2 )
12. 设 a,b 为大于 1 的正数,并且 ab ? a ? b ? 10 ? 0 ,如果 a ? b 的最小值为 m,则满足
3 x 2 ? 2 y 2 ? m 的整点 ? x , y ? 的个数为
A.5 B.7 C.9
( D.11
)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在横线上. 13. 设 l 为平面上过点 (0, 的直线, 的斜率等可能地取 ?2 2 、? 3 、? l) l
5 2
、 2 2、 0、
3、
5 2
用 ξ 表示坐标原点到直线 l 的距离,则随机变量 ξ 的数学期望 Eξ=_________.
14. 已知抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 与双曲线
2
x2 a2
?
y2 b2
? 1 有相同的焦点 F , A 是两曲线的 点
.
一个交点,且 AF ⊥ x 轴,则双曲线的离心率为 15. 设 a,b,c 依次是 ?ABC 的角 A、B、C 所对的边,若
tanA ? tan B tan A ? tan B
? 1005 tan C ,且
a 2 ? b 2 ? mc 2 ,则 m=________________.
16. 在平面直角坐标系中, 点集 A ? {( x, y ) | x 2 ? y 2 ? 1} ,B ? {( x, y ) | x ? 4, y ? 0,3x ? 4 y ? 0} ,
则(1)点集 P ? {( x, y ) x ? x1 ? 3, y ? y1 ? 1, ( x1 , y1 ) ? A} 所表示的区域的面积为_________; (2)点集 Q ? {( x, y ) x ? x1 ? x2 , y ? y1 ? y2 , ( x1 , y1 ) ? A, ( x2 , y2 ) ? B} 所表示的区域的面积为 _________ . 三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 10 分) 在 ?ABC 中, a、b、c 分别为角 A、B、C 所对的三边,已知 b +c ? a ? bc .
2 2 2
(Ⅰ)求角 A 的值; (Ⅱ)若 a ?
3 , cos C ?
3 3
,求 c 的长.
18. (本小题满分 12 分)如 图 , 四 棱 锥 P ? ABCD 的 底 面 为 正 方 形 , 侧 棱 PA ? 底面
ABCD ,且 PA ? AD ? 2 , E , F , H 分别是线段 PA, PD, AB 的中点.
(Ⅰ)求证: PB //平面 EFH ; (Ⅱ)求证: PD ? 平面 AHF ; (Ⅲ)求二面角 H ? EF ? A 的大小.
19. (本小题满分 12 分)为了参加广州亚运会,从四支较强的排球队中选出 18 人组成女子 排球国家队,队员来源人数如下表: 队别 北京 上海 天津 八一 4 6 3 5 人数 (Ⅰ)从这 18 名队员中随机选出两名,求两人来自同一支队的概率; (Ⅱ)中国女排奋力拼搏,战胜韩国队获得冠军.若要求选出两位队员代表发言,设其中来 自北京队的人数为 ? ,求随机变量 ? 的分布列,及数学期望 E? .
20. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x ) ? x ? ax ? b ln x ( x ? 0 ,实数 a , b 为常数) .
2
(Ⅰ)若 a ? 1, b ? ?1 ,求 f ( x ) 在 x ? 1 处的切线方程; (Ⅱ)若 a ? ?2 ? b ,讨论函数 f ( x ) 的单调性.
21. 本小题满分 12 分) 已知点 A(1, 2 ) 是离心率为 (
2 2
的椭圆 C :
x2 y2 ? ? 1( a ? b ? 0) b2 a2
上的一点.斜率为 2 的直线 BD 交椭圆 C 于 B 、 D 两点,且 A 、 B 、 D 三点不重合. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)?ABD 的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值; 若不存在,请说明理由? (Ⅲ)求证:直线 AB 、 AD 的斜率之和为定值.
22. ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 集 合 A ? {a1 , a 2 , ? , a n } 中 的 元 素 都 是 正 整 数 , 且
a1 ? a 2 ? ? ? a n ,对任意的 x, y ? A, 且 x ? y ,有 x ? y ?
(Ⅰ)求证:
xy 25
.
1
a1 a n 25 (Ⅱ)求证: n ? 9 ; (Ⅲ)对于 n ? 9 ,试给出一个满足条件的集合 A .
?
1
?
n ?1
;
太和二中 2014 届高三第一次模拟考试数学(理)试题 参考答案
一.选择题:每小题 5 分,满分 60 分. 题 号 答 案 1 D 2 C 3 C 4 B 5 C 6 B 7 B 8 B 9 A 10 A 11 D 12 A
二.填空题:每小题 5 分,满分 20 分. 13. 4 提示: 显然本程序框图反映的是统计产量大于 950 件的车间个数的一个算法流程图, 故答案 为 4. 14.
4 7
∵直线 l 的方程分别为:
y = ?2 2 x +1、 = ? 3 x +1、 = ? y y ∴原点到它们的距离分别为
5 2
x +1、 = 1、 = 2 2 x+1、 = 3 x+1、 = y y y y
5 2
x+1,
1 3
、
1 2
、
2 3
、1、
2 3
、
1 2
、
1 3
所以随机变量 ξ 的分布列为:
ξ P
1 3 2
7 2 7
× +
1 2 2
7
× +
2 3 2
7 4 7
1
1 7
所以 Eξ= 15.2011 提示:由已知
2 7
× +
1
1
2 7
2 3
1 7
3
2
× 1=
tan A ? tan B tan A ? tan B
?
sin A ? sin B sin A cos B ? cos A sin B
?
sin A ? sin B sin ? A ? B ?
? 1005
sin C cos C
即
sin A ? sin B sin C
? 1004
sin C cos C
,亦即
sin A ? sin B ? cos C sin 2 C
? 1005
由正余弦定理有
? a 2 ? b 2 ? c 2? ab ? ? ? 2 ab ? ? ? 1005 c2
即
a2 ? b2 ? c2 2c
2
? 1005 ,将 a 2 ? b 2 ? mc 2 代入
得
? m ? 1?
2
? 1005 ,于是 m ? 2011
16.π;18+π 提示:已知点集 A 表示以原点为圆心,半径为 1 的圆的边界及其内部,点集 B 表示以点 0 (0,0) ,M(4,0) ,N(4,3)为顶点的三角形及其内部, (1) 本题相当于把点集 A 中的圆向右平移 3 个单位, 向上平移 1 个单位, 因此其面积不变, 为 π. (2)相当于把点集 A 沿点集 B 扩大如图所示: 其面积为: S ?
1 2
3 ? 4 ? 5 ? 1 ? 4 ? 1 ? 3 ? 1 ? ? ? 18 ? ?
三.解答题: 17.本小题主要考查三角变换公式、正弦定理、余弦定理,考查三角基础知识和基本运算能 力.满分 10 分. 〖解析〗 (Ⅰ)? b +c ? a ? bc ,
2 2 2
cos ? A
b2 ? c 2? a 2bc
2
?
1 2
………………3 分
?0 ? A ? ? ? ∴A? …………………………………………………………5 分 3
(Ⅱ)在 ?ABC 中, A ?
?
3
,a ?
3 , cos C ?
3 3
∴ sin C ? 1 ? cos C ? 1 ?
2
1 3
?
,
6 3
………………………………………7 分
由正弦定理知:
a sin A
?
c sin C
∴c ?
a sin C sin A
3? ?
6 3 ? 2 6 .…………………………………………9 分 3 3
2
∴c ?
2 6 3
……………………………………………………………………10 分
18.本小题主要考查空间直线与平面的位置关系,线面平行与垂直的论证、二面角的计算等
基础知识,考查空间想象能力、思维能力和运算能力.满分 12 分. 〖解析〗建立如图所示的空间直角坐标系 A ? xyz ,
? A(0, 0, 0), B (2, 0, 0), C (2, 2, 0), D(0, 2, 0) , P (0,0,2) , E (0,0,1) , F (0,1,1) , H (1, 0, 0) .…………1 分
(Ⅰ)证明: ∵ PB ? (2, 0, ?2) , EH ? (1, 0, ?1) , ∴ PB ? 2 EH , ∵ PB ? 平面 EFH ,且 EH ? 平面 EFH , ∴ PB //平面 EFH .………………………………4 分 (Ⅱ)证明:
??? ?
????
??? ?
????
??? ? ???? ??? ? PD ? (0, 2, ?2) , AH ? (1, 0, 0) , AF ? (0,1,1) ,
??? ???? ? PD ? AF ? 0 ? 0 ? 2 ? 1 ? ( ? 2) ? 1 ? 0, ??? ???? ? PD ? AH ? 0 ? 1 ? 2 ? 0 ? ( ? 2) ? 0 ? 0.
? PD ? AF , PD ? AH , 又? AF ? AH ? A , ∴ PD ? 平面 AHF . ………………………………………………8 分
(Ⅲ)设平面 HEF 的法向量为 n ? ( x , y , z ) , 因为 EF ? (0,1, 0) , EH ? (1, 0, ?1) ,
??? ?
????
? ??? ? ? n ? EF ? y ? 0, ? 则 ? ? ???? 取 n ? (1,0,1). ? n ? EH ? x ? z ? 0, ?
又因为平面 AEF 的法向量为 m ? (1,0,0 ),
?? ? ?? ? ? m?n 1? 0 ? 0 1 2 ? ? , 所以 cos ? m , n ?? ?? ? ? 2 | m || n | 2 ?1 2
?? ? ? ?? m, n ?? 45? ,
所以二面角 H ? EF ? A 的大小为 45 .…………………………………12 分
?
19.本小题主要考查概率统计的概念,考查随机变量的分布列和数学期望的计算,以及利用 概率统计的基础知识解决实际问题的能力.满分 12 分. 〖解析〗
(Ⅰ)“从这 18 名队员中随机选出两名,两人来自于同一队”记作事件 A, . ………………………………………5 分 9 C (Ⅱ) ? 的所有可能取值为 0,1,2. …………………………………………………7 分
2 18
则 P ( A) ?
2 C 4 ? C62 ? C32 ? C52
?
2
∵ P (? ? 0) ?
2 C14
C
2 18
?
91 153
?
, P (? ? 1) ?
1 1 C 4 C14
C
2 18
?
56 153
, P (? ? 2) ?
2 C4
C
2 18
?
6 153
,
∴ ? 的分布列为: 0
91 153
1
56 153
2
6 153
P
……………………10 分 ∴ E (? ) ? 0 ?
91 153
? 1?
56 153
? 2?
6 153
?
4 9
. ……………………………12 分
20.本小题主要考查导函数的求法、导数的几何意义、函数单调区间的求法,考查运用基本 概念进行论证和计算的能力.满分 12 分. 〖解析〗 (Ⅰ)因为 a ? 1, b ? ?1 ,所以函数 f ( x ) ? x ? x ? ln x , f (1) ? 2
2
又 f ?( x ) ? 2 x ? 1 ?
1 x
, f (1) ? 2 ………………………………………………2 分
'
所以 y ? 2 ? 2( x ? 1) 即 f ( x ) 在 x ? 1 处的切线方程为 2 x ? y ? 0 …………………………………5 分 (Ⅱ)因为 a ? ?2 ? b ,所以 f ( x ) ? x ? (2 ? b ) x ? b ln x ,则
2
b ( 2 x? b ) ( ? 1 ) x ( x ? 0) f ?( x )? 2 x ( ? b? ) ? ? 2 x x b 令 f ?( x ) ? 0 ,得 x1 ? , x2 ? 1 .……………………………………………7 分 2 b (1)当 ? 0 ,即 b ? 0 时,函数 f ( x ) 的单调递减区间为 (0,1) , 2
单调递增区间为 (1, ?? ) ;…………………………………………8 分 (2)当 0 ?
b 2
? 1 ,即 0 ? b ? 2 时, f ?(x ) , f ( x ) 的变化情况如下表:
x
f ?( x ) f ( x)
b (0, ) 2
b ( ,1) 2
?
(1, ?? )
?
?
?
?
?
所以,函数 f ( x ) 的单调递增区间为 (0, ) , (1, ?? ) ,
b
2
单调递减区间为 ( ,1) ;…………………………9 分
b
2
(3)当 (4)当
b 2
? 1 ,即 b ? 2 时,函数 f ( x ) 的单调递增区间为 (0, ?? ) ;………10 分
b 2
? 1 ,即 b ? 2 时, f ?(x ) , f ( x ) 的变化情况如下表:
x
f ?( x ) f ( x)
(0,1)
b (1, ) 2
?
b ( , ?? ) 2
?
?
?
?
?
所以函数 f ( x ) 的单调递增区间为 (0,1) , ( , ?? ) ,
b
2
单调递减区间为 (1, ) ;……………………………………11 分
b
2
综上,当 b ? 0 时,函数 f ( x ) 的单调递减区间为 (0,1) ,单调递增区间为 (1, ?? ) ; 当 0 ? b ? 2 时, 函数 f ( x ) 的单调递增区间为 (0, ) ,(1, ?? ) , 单调递减区间为 ( ,1) ;
b
b
2
2
当 b ? 2 时,函数 f ( x ) 的单调递增区间为 (0, ?? ) ;当 b ? 2 时,函数 f ( x ) 的单调递增 区间为 (0,1) , ( , ?? ) ,单调递减区间为 (1, ) .…………………………12 分
b
b
2
2
21. 本小题主要考查椭圆的方程的求法, 考察弦长公式的应用和利用均值不等式求最值的方 法,考查思维能力、运算能力和综合解题的能力.满分 12 分. 〖解析〗 (Ⅰ)? e ?
2 c ? , 2 a
1 2 ? 2 ? 1, a 2 ? b 2 ? c 2 2 b a
2
∴ a ? 2,b ? ∴
2 ,c ?
x2 y2 ? ?1 2 4
………………………………………………4 分
(Ⅱ)设直线 BD 的方程为 y ?
2x ? b
? y ? 2x ? b ? 4 x 2 ? 2 2bx ? b 2 ? 4 ? 0 ?? 2 2 ?2 x ? y ? 4
2 ? ? ? ?8b ? 64 ? 0 ? ?2 2 ? b ? 2 2
x1 ? x2 ? ?
2 b, ………………………① 2
………………………②
b2 ? 4 x1 x2 ? 4
2
? 64 ? 8b 2 6 ? BD ? 1 ? ( 2 ) x1 ? x2 ? 3 ? 3 ? 8 ? b2 , 4 4 2
设 d 为点 A 到直线 BD: y ? ∴d ?
2 x ? b 的距离,
b 3
∴ S ?ABD ?
1 2 BD d ? 2 4
(8 ? b 2 )b 2 ?
2 ,当且仅当 b ? ?2 时取等号.
因为 ?2 ? (?2 2 , 2 2 ) ,所以当 b ? ?2 时, ?ABD 的面积最大,最大值为 2 ………9 分 (Ⅲ)设 D ( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) ,直线 AB 、 AD 的斜率分别为: k AB 、 k AD ,则
k AD ? k AB ?
y1 ? 2 y 2 ? 2 ? ? x1 ? 1 x2 ? 1
2 x1 ? b ? 2 ? x1 ? 1
2 x2 ? b ? 2 x2 ? 1
= 2 2 ? b[
x1 ? x2 ? 2 ] …………………………(*) x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1
将(Ⅱ)中①、②式代入(*)式整理得
2 2 ? b[
x1 ? x2 ? 2 ] =0, x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1
即 k AD ? k AB ? 0………………………………………………………………12 分 22.本小题考察对数学概念的阅读理解能力,考查不等式、集合知识的综合应用,考查运用 学过的数学知识解决问题的能力, 考查思维能力、 论证能力、 运算能力和综合解题的能力. 满 分 12 分. 〖解析〗 (Ⅰ) 证明:依题意有 a i ? a i ?1 ?
a i a i ?1 25
(i ? 1,2, ? , n ? 1) ,又 a1 ? a 2 ? ? ? a n ,
因此 a i ?1 ? a i ?
(i ? 1,2, ? , n ? 1) . 25 1 1 1 可得 ? ? (i ? 1,2, ? , n ? 1) . a i a i ?1 25
1 a1 ? ? 1 an 1 a2 ? ? 1 a2 25 ? 1 a3 ?? 1 ai ? 1 ai ?1 ?? ? 1 an ?1 ? 1 an ? n ?1 25
.
a i a i ?1
所以 即
1 a1
n ?1
.
…………………4 分
(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)可得
1 a1
?
n ?1 25
. ,因此 n ? 26 .
又 a1 ? 1 ,可得 1 ? 同理
n ?1 25
1 ai
?
1 an
?
n?i 25
,可知 ,
1 ai
?
n?i 25
.
i 25 所以 i ( n ? i ) ? 25 (i ? 1,2, ? , n ? 1) 均成立. 当 n ? 10 时,取 i ? 5 ,则 i ( n ? i ) ? 5( n ? 5) ? 25 , 可知 n ? 10 . i?n?i 2 n 又当 n ? 9 时, i ( n ? i ) ? ( ) ? ( ) 2 ? 25 . 2 2 所以 n ? 9 . ……………………………………………………8 分 (Ⅲ)解:对于任意 1 ? i ? j ? n , a i ? a i ?1 ? a j ,
由
又 a i ? i ,可得
1
?
n?i
1 ai
?
1 aj
1 a i ?1
? 1 ai
?
1 25
(i ? 1,2, ? , n ? 1) 可知,
? 1 25
,即 a i ? a j ?
1 ai
?
?
1 a i ?1
ai a j 25
.
因此,只需对 1 ? i ? n , 因为 1 ?
1 ai
?
1 a i ?1
;
?
1 25
成立即可.
1
2 25 2 3 25 3 4 25 4 5 25 因此可设 a1 ? 1 ; a 2 ? 2 ; a 3 ? 3 ; a 4 ? 4 ; a 5 ? 5 .
由 由 由 由
?
1
;
1
?
1
?
1
1
?
1
?
1
;
1
?
1
?
1
,
1 a5
1 a6
?
?
1 a6
1 a7
?
?
1 25
1 25
,可得 a 6 ? ,可得 a 7 ? ,可得 a 8 ?
25 4 18
,取 a 6 ? 7 . ,取 a 7 ? 10 .
175
1 a7
1 a8
?
?
1 a8
1 a9
?
?
1 25
1 25
50 3
,取 a 8 ? 20 .
,可得 a 9 ? 100 ,取 a 9 ? 100 .
1 所以满足条件的一个集合 A ? ? ,2,3,4,5,7,10 ,20 ,100 ? .……………12 分
其它解法,请酌情给分.