太和二中2014届高三第一次模拟考试数学(理)试题及答案

太和二中 2014 届高三第一次模拟考试数学（理）试题
注意事项： 1.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的 姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置上。 2.选择题答案使用 2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号； 非选择题答案实用 0.5 毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3.请按题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。 4.保持卡面清洁，不折叠，不破损。 5.做选考题时，考生按照题目要求作答，并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题 号涂黑。 一.选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的． 1．设集合 A={ x x ? 5k ? 1 ， k ∈N}，B={ x x ? 6, x ?Q }，则 A∩B 等于

( )

A．{1，4} 1? i 2．复数 ? 1? i A． ? i

B．{1，6}

C．{4，6}
（ ） C． i

D．{1，4，6}

B． ? 1

D．1

3．若 ?a n ? 是等差数列， a1 ? 0, 的最大正数 n 是 A. 48

a 23 ? a 24 ? 0,

a 23 ? a 24 ? 0 ，则使前 n 项和 S n ? 0 成立
（ ） D.45

B.47

C.46

4． 在区间[－ π ，π ]内随机取两个数分别记为 a， 则使得函数 f ( x ) ? x ? 2 ax ? b ? π 有 b，
2 2

零点的概率为 A.

（ B.

） D.

7 8

3 4

C.

1 2 1 2

1 4

5. 设 min{ p, q } 表示 p ， q 两者中的较小的一个，若函数 f ( x ) = min{3 则满足 f ( x ) < 1 的 x 的集合为 A. (0,

log 2 x, log 2 x } ，
（ ）

2)

B. (0, + ? )

C. (0, 2) U (16, +

)

D. (

1 16

, +

)

6．函数 f ( x ) 的定义域为 R， 且满足： f ( x ) 是偶函数， f ( x ? 1) 是奇函数， f (0.5) =9， 若

则 f (8.5) 等于 A． ? 9 B．9 C． ? 3 D．0

（

）

7. 已知 x、y 使方程 x2+y2-2x -4y + 4 = 0，则 3x + y 的最小值是

（

）

A. 2 +

3

B. 3

C. 2

D.3

8. 若动直线 x ? a 与函数 f ( x ) ? sin x 和 g ( x ) ? cos x 的图像分别交于 M ，N 两点，则

MN 的最大值为
A．1 9. 过原点与曲线 y ? A. y ? B． 2 C． 3

（ D．2 （ C. y ? x D. y ?

）

x ? 1 相切的切线方程为
B. y ? 2 x

）

1 2

x
1 x

1 3

x
）

10. 已知 p : x ? 1, q : A. 充分不必要条件 C. 充要条件

? 1, 则 ?p 是 q 的
B. 必要充分不条件 D. 既非充分又非必要条件

（

? x?2?0 ? 11. 若实数 x, y 满足不等式组 ? y ? 1 ? 0 ，目标函数 t ? x ? 2 y 的最大值为 2，则实数 a ?2 ? 2 y ? a ? 0 ?
的值是 A.-2 B.0 C.1 （ D.2 ）

12. 设 a，b 为大于 1 的正数，并且 ab ? a ? b ? 10 ? 0 ，如果 a ? b 的最小值为 m，则满足

3 x 2 ? 2 y 2 ? m 的整点 ? x , y ? 的个数为
A.5 B.7 C.9

（ D.11

）

二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在横线上． 13. 设 l 为平面上过点 （0， 的直线， 的斜率等可能地取 ?2 2 、? 3 、? l） l

5 2

、 2 2、 0、

3、

5 2

用 ξ 表示坐标原点到直线 l 的距离，则随机变量 ξ 的数学期望 Eξ＝_________.

14. 已知抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 与双曲线
2

x2 a2

?

y2 b2

? 1 有相同的焦点 F ， A 是两曲线的 点
．

一个交点，且 AF ⊥ x 轴，则双曲线的离心率为 15. 设 a，b，c 依次是 ?ABC 的角 A、B、C 所对的边，若

tanA ? tan B tan A ? tan B

? 1005 tan C ，且

a 2 ? b 2 ? mc 2 ，则 m=________________.
16． 在平面直角坐标系中， 点集 A ? {( x, y ) | x 2 ? y 2 ? 1} ，B ? {( x, y ) | x ? 4, y ? 0,3x ? 4 y ? 0} ，

则（1）点集 P ? {( x, y ) x ? x1 ? 3, y ? y1 ? 1, ( x1 , y1 ) ? A} 所表示的区域的面积为_________； （2）点集 Q ? {( x, y ) x ? x1 ? x2 , y ? y1 ? y2 , ( x1 , y1 ) ? A, ( x2 , y2 ) ? B} 所表示的区域的面积为 _________ . 三.解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17． （本小题满分 10 分） 在 ?ABC 中， a、b、c 分别为角 A、B、C 所对的三边，已知 b +c ? a ? bc ．
2 2 2

（Ⅰ）求角 A 的值； （Ⅱ）若 a ?

3 ， cos C ?

3 3

，求 c 的长．

18． （本小题满分 12 分）如 图 ， 四 棱 锥 P ? ABCD 的 底 面 为 正 方 形 ， 侧 棱 PA ? 底面

ABCD ，且 PA ? AD ? 2 ， E , F , H 分别是线段 PA, PD, AB 的中点．
（Ⅰ）求证： PB //平面 EFH ； （Ⅱ）求证： PD ? 平面 AHF ； （Ⅲ）求二面角 H ? EF ? A 的大小．

19． （本小题满分 12 分）为了参加广州亚运会，从四支较强的排球队中选出 18 人组成女子 排球国家队，队员来源人数如下表： 队别 北京 上海 天津 八一 4 6 3 5 人数 （Ⅰ）从这 18 名队员中随机选出两名，求两人来自同一支队的概率； （Ⅱ）中国女排奋力拼搏，战胜韩国队获得冠军．若要求选出两位队员代表发言，设其中来 自北京队的人数为 ? ，求随机变量 ? 的分布列，及数学期望 E? ．

20． （本小题满分 12 分）已知函数 f ( x ) ? x ? ax ? b ln x （ x ? 0 ，实数 a ， b 为常数） ．
2

（Ⅰ）若 a ? 1, b ? ?1 ，求 f ( x ) 在 x ? 1 处的切线方程； （Ⅱ）若 a ? ?2 ? b ，讨论函数 f ( x ) 的单调性．

21． 本小题满分 12 分) 已知点 A(1, 2 ) 是离心率为 (

2 2

的椭圆 C ：

x2 y2 ? ? 1( a ? b ? 0) b2 a2

上的一点．斜率为 2 的直线 BD 交椭圆 C 于 B 、 D 两点，且 A 、 B 、 D 三点不重合． （Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）?ABD 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值； 若不存在，请说明理由？ （Ⅲ）求证：直线 AB 、 AD 的斜率之和为定值．

22. ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 集 合 A ? {a1 , a 2 , ? , a n } 中 的 元 素 都 是 正 整 数 ， 且

a1 ? a 2 ? ? ? a n ，对任意的 x, y ? A, 且 x ? y ，有 x ? y ?
（Ⅰ）求证：

xy 25

．

1

a1 a n 25 （Ⅱ）求证： n ? 9 ； （Ⅲ）对于 n ? 9 ，试给出一个满足条件的集合 A ．

?

1

?

n ?1

；

太和二中 2014 届高三第一次模拟考试数学（理）试题 参考答案
一．选择题：每小题 5 分，满分 60 分． 题 号 答 案 1 D 2 C 3 C 4 B 5 C 6 B 7 B 8 B 9 A 10 A 11 D 12 A

二．填空题：每小题 5 分，满分 20 分． 13. 4 提示： 显然本程序框图反映的是统计产量大于 950 件的车间个数的一个算法流程图， 故答案 为 4. 14.

4 7

∵直线 l 的方程分别为：

y = ?2 2 x +1、 = ? 3 x +1、 = ? y y ∴原点到它们的距离分别为

5 2

x +1、 = 1、 = 2 2 x+1、 = 3 x+1、 = y y y y

5 2

x+1，

1 3

、

1 2

、

2 3

、1、

2 3

、

1 2

、

1 3

所以随机变量 ξ 的分布列为：

ξ P

1 3 2
7 2 7
× +

1 2 2
7
× +

2 3 2
7 4 7

1

1 7

所以 Eξ= 15．2011 提示：由已知

2 7

× +

1

1

2 7

2 3

1 7

3

2

× 1=

tan A ? tan B tan A ? tan B

?

sin A ? sin B sin A cos B ? cos A sin B

?

sin A ? sin B sin ? A ? B ?

? 1005

sin C cos C

即

sin A ? sin B sin C

? 1004

sin C cos C

，亦即

sin A ? sin B ? cos C sin 2 C

? 1005

由正余弦定理有

? a 2 ? b 2 ? c 2? ab ? ? ? 2 ab ? ? ? 1005 c2

即

a2 ? b2 ? c2 2c
2

? 1005 ，将 a 2 ? b 2 ? mc 2 代入

得

? m ? 1?
2

? 1005 ，于是 m ? 2011

16．π；18+π 提示：已知点集 A 表示以原点为圆心，半径为 1 的圆的边界及其内部，点集 B 表示以点 0 （0，0） ，M（4，0） ，N（4，3）为顶点的三角形及其内部， （1） 本题相当于把点集 A 中的圆向右平移 3 个单位， 向上平移 1 个单位， 因此其面积不变， 为 π. （2）相当于把点集 A 沿点集 B 扩大如图所示： 其面积为： S ?

1 2

3 ? 4 ? 5 ? 1 ? 4 ? 1 ? 3 ? 1 ? ? ? 18 ? ?

三．解答题： 17．本小题主要考查三角变换公式、正弦定理、余弦定理，考查三角基础知识和基本运算能 力．满分 10 分． 〖解析〗 （Ⅰ）? b +c ? a ? bc ，
2 2 2

cos ? A

b2 ? c 2? a 2bc

2

?

1 2

………………3 分

?0 ? A ? ? ? ∴A? …………………………………………………………5 分 3
（Ⅱ）在 ?ABC 中， A ?

?
3

，a ?

3 ， cos C ?

3 3

∴ sin C ? 1 ? cos C ? 1 ?
2

1 3

?
,

6 3

………………………………………7 分

由正弦定理知：

a sin A

?

c sin C

∴c ?

a sin C sin A

3? ?

6 3 ? 2 6 ．…………………………………………9 分 3 3

2
∴c ?

2 6 3

……………………………………………………………………10 分

18．本小题主要考查空间直线与平面的位置关系，线面平行与垂直的论证、二面角的计算等

基础知识，考查空间想象能力、思维能力和运算能力．满分 12 分． 〖解析〗建立如图所示的空间直角坐标系 A ? xyz ，

? A(0, 0, 0), B (2, 0, 0), C (2, 2, 0), D(0, 2, 0) , P (0,0,2) ， E (0,0,1) ， F (0,1,1) ， H (1, 0, 0) ．…………1 分
（Ⅰ）证明： ∵ PB ? (2, 0, ?2) ， EH ? (1, 0, ?1) ， ∴ PB ? 2 EH , ∵ PB ? 平面 EFH ，且 EH ? 平面 EFH ， ∴ PB //平面 EFH ．………………………………4 分 （Ⅱ）证明：

??? ?

????

??? ?

????

??? ? ???? ??? ? PD ? (0, 2, ?2) ， AH ? (1, 0, 0) ， AF ? (0,1,1) ，
??? ???? ? PD ? AF ? 0 ? 0 ? 2 ? 1 ? ( ? 2) ? 1 ? 0, ??? ???? ? PD ? AH ? 0 ? 1 ? 2 ? 0 ? ( ? 2) ? 0 ? 0.
? PD ? AF , PD ? AH ， 又? AF ? AH ? A ， ∴ PD ? 平面 AHF ． ………………………………………………8 分

（Ⅲ）设平面 HEF 的法向量为 n ? ( x , y , z ) , 因为 EF ? (0,1, 0) ， EH ? (1, 0, ?1) ，

??? ?

????

? ??? ? ? n ? EF ? y ? 0, ? 则 ? ? ???? 取 n ? (1,0,1). ? n ? EH ? x ? z ? 0, ?
又因为平面 AEF 的法向量为 m ? (1,0,0 ),

?? ? ?? ? ? m?n 1? 0 ? 0 1 2 ? ? , 所以 cos ? m , n ?? ?? ? ? 2 | m || n | 2 ?1 2
?? ? ? ?? m, n ?? 45? ,
所以二面角 H ? EF ? A 的大小为 45 ．…………………………………12 分
?

19．本小题主要考查概率统计的概念，考查随机变量的分布列和数学期望的计算，以及利用 概率统计的基础知识解决实际问题的能力．满分 12 分． 〖解析〗

（Ⅰ）“从这 18 名队员中随机选出两名，两人来自于同一队”记作事件 A， . ………………………………………5 分 9 C （Ⅱ） ? 的所有可能取值为 0，1，2. …………………………………………………7 分
2 18

则 P ( A) ?

2 C 4 ? C62 ? C32 ? C52

?

2

∵ P (? ? 0) ?

2 C14

C

2 18

?

91 153
?

， P (? ? 1) ?

1 1 C 4 C14

C

2 18

?

56 153

， P (? ? 2) ?

2 C4

C

2 18

?

6 153

，

∴ ? 的分布列为： 0
91 153

1
56 153

2
6 153

P

……………………10 分 ∴ E (? ) ? 0 ?

91 153

? 1?

56 153

? 2?

6 153

?

4 9

. ……………………………12 分

20．本小题主要考查导函数的求法、导数的几何意义、函数单调区间的求法，考查运用基本 概念进行论证和计算的能力．满分 12 分． 〖解析〗 （Ⅰ）因为 a ? 1, b ? ?1 ，所以函数 f ( x ) ? x ? x ? ln x ， f (1) ? 2
2

又 f ?( x ) ? 2 x ? 1 ?

1 x

， f (1) ? 2 ………………………………………………2 分
'

所以 y ? 2 ? 2( x ? 1) 即 f ( x ) 在 x ? 1 处的切线方程为 2 x ? y ? 0 …………………………………5 分 （Ⅱ）因为 a ? ?2 ? b ，所以 f ( x ) ? x ? (2 ? b ) x ? b ln x ，则
2

b ( 2 x? b ) ( ? 1 ) x ( x ? 0) f ?( x )? 2 x ( ? b? ) ? ? 2 x x b 令 f ?( x ) ? 0 ，得 x1 ? ， x2 ? 1 ．……………………………………………7 分 2 b （1）当 ? 0 ，即 b ? 0 时，函数 f ( x ) 的单调递减区间为 (0,1) ， 2
单调递增区间为 (1, ?? ) ；…………………………………………8 分 （2）当 0 ?

b 2

? 1 ，即 0 ? b ? 2 时， f ?(x ) ， f ( x ) 的变化情况如下表：

x
f ?( x ) f ( x)

b (0, ) 2

b ( ,1) 2
?

(1, ?? )

?
?

?
?

?

所以，函数 f ( x ) 的单调递增区间为 (0, ) ， (1, ?? ) ，

b

2

单调递减区间为 ( ,1) ；…………………………9 分

b

2

（3）当 （4）当

b 2

? 1 ，即 b ? 2 时，函数 f ( x ) 的单调递增区间为 (0, ?? ) ；………10 分

b 2

? 1 ，即 b ? 2 时， f ?(x ) ， f ( x ) 的变化情况如下表：

x
f ?( x ) f ( x)

(0,1)

b (1, ) 2
?

b ( , ?? ) 2

?
?

?
?

?

所以函数 f ( x ) 的单调递增区间为 (0,1) ， ( , ?? ) ，

b

2

单调递减区间为 (1, ) ；……………………………………11 分

b

2

综上，当 b ? 0 时，函数 f ( x ) 的单调递减区间为 (0,1) ，单调递增区间为 (1, ?? ) ； 当 0 ? b ? 2 时， 函数 f ( x ) 的单调递增区间为 (0, ) ，(1, ?? ) ， 单调递减区间为 ( ,1) ；

b

b

2

2

当 b ? 2 时，函数 f ( x ) 的单调递增区间为 (0, ?? ) ；当 b ? 2 时，函数 f ( x ) 的单调递增 区间为 (0,1) ， ( , ?? ) ，单调递减区间为 (1, ) ．…………………………12 分

b

b

2

2

21． 本小题主要考查椭圆的方程的求法， 考察弦长公式的应用和利用均值不等式求最值的方 法，考查思维能力、运算能力和综合解题的能力．满分 12 分． 〖解析〗 （Ⅰ）? e ?

2 c ? ， 2 a

1 2 ? 2 ? 1， a 2 ? b 2 ? c 2 2 b a
2

∴ a ? 2，b ? ∴

2 ，c ?

x2 y2 ? ?1 2 4

………………………………………………4 分

（Ⅱ）设直线 BD 的方程为 y ?

2x ? b

? y ? 2x ? b ? 4 x 2 ? 2 2bx ? b 2 ? 4 ? 0 ?? 2 2 ?2 x ? y ? 4
2 ? ? ? ?8b ? 64 ? 0 ? ?2 2 ? b ? 2 2

x1 ? x2 ? ?

2 b, ………………………① 2
………………………②

b2 ? 4 x1 x2 ? 4
2

? 64 ? 8b 2 6 ? BD ? 1 ? ( 2 ) x1 ? x2 ? 3 ? 3 ? 8 ? b2 ， 4 4 2
设 d 为点 A 到直线 BD： y ? ∴d ?

2 x ? b 的距离，

b 3

∴ S ?ABD ?

1 2 BD d ? 2 4

(8 ? b 2 )b 2 ?

2 ，当且仅当 b ? ?2 时取等号.

因为 ?2 ? (?2 2 , 2 2 ) ，所以当 b ? ?2 时， ?ABD 的面积最大，最大值为 2 ………9 分 （Ⅲ）设 D ( x1 , y1 ) ， B ( x2 , y2 ) ，直线 AB 、 AD 的斜率分别为： k AB 、 k AD ，则

k AD ? k AB ?

y1 ? 2 y 2 ? 2 ? ? x1 ? 1 x2 ? 1

2 x1 ? b ? 2 ? x1 ? 1

2 x2 ? b ? 2 x2 ? 1

= 2 2 ? b[

x1 ? x2 ? 2 ] …………………………（*） x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1

将（Ⅱ）中①、②式代入（*）式整理得

2 2 ? b[

x1 ? x2 ? 2 ] =0， x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1

即 k AD ? k AB ? 0………………………………………………………………12 分 22．本小题考察对数学概念的阅读理解能力，考查不等式、集合知识的综合应用，考查运用 学过的数学知识解决问题的能力， 考查思维能力、 论证能力、 运算能力和综合解题的能力． 满 分 12 分． 〖解析〗 (Ⅰ) 证明：依题意有 a i ? a i ?1 ?

a i a i ?1 25

(i ? 1,2, ? , n ? 1) ，又 a1 ? a 2 ? ? ? a n ，

因此 a i ?1 ? a i ?

(i ? 1,2, ? , n ? 1) ． 25 1 1 1 可得 ? ? (i ? 1,2, ? , n ? 1) ． a i a i ?1 25
1 a1 ? ? 1 an 1 a2 ? ? 1 a2 25 ? 1 a3 ?? 1 ai ? 1 ai ?1 ?? ? 1 an ?1 ? 1 an ? n ?1 25
．

a i a i ?1

所以 即

1 a1

n ?1

．

…………………4 分

（Ⅱ）证明：由(Ⅰ)可得

1 a1

?

n ?1 25

． ，因此 n ? 26 ．

又 a1 ? 1 ，可得 1 ? 同理

n ?1 25

1 ai

?

1 an

?

n?i 25

，可知 ，

1 ai

?

n?i 25

．

i 25 所以 i ( n ? i ) ? 25 (i ? 1,2, ? , n ? 1) 均成立． 当 n ? 10 时，取 i ? 5 ，则 i ( n ? i ) ? 5( n ? 5) ? 25 ， 可知 n ? 10 ． i?n?i 2 n 又当 n ? 9 时， i ( n ? i ) ? ( ) ? ( ) 2 ? 25 ． 2 2 所以 n ? 9 ． ……………………………………………………8 分 （Ⅲ）解：对于任意 1 ? i ? j ? n ， a i ? a i ?1 ? a j ，
由

又 a i ? i ，可得

1

?

n?i

1 ai

?
1 aj

1 a i ?1
? 1 ai

?

1 25

(i ? 1,2, ? , n ? 1) 可知，
? 1 25
，即 a i ? a j ?

1 ai

?

?

1 a i ?1

ai a j 25

．

因此，只需对 1 ? i ? n ， 因为 1 ?

1 ai

?

1 a i ?1
；

?

1 25

成立即可．

1

2 25 2 3 25 3 4 25 4 5 25 因此可设 a1 ? 1 ； a 2 ? 2 ； a 3 ? 3 ； a 4 ? 4 ； a 5 ? 5 ．
由 由 由 由

?

1

；

1

?

1

?

1

1

?

1

?

1

；

1

?

1

?

1

，

1 a5
1 a6

?
?

1 a6
1 a7

?
?

1 25
1 25

，可得 a 6 ? ，可得 a 7 ? ，可得 a 8 ?

25 4 18

，取 a 6 ? 7 ． ，取 a 7 ? 10 ．

175

1 a7
1 a8

?
?

1 a8
1 a9

?
?

1 25
1 25

50 3

，取 a 8 ? 20 ．

，可得 a 9 ? 100 ，取 a 9 ? 100 ．

1 所以满足条件的一个集合 A ? ? ,2,3,4,5,7,10 ,20 ,100 ? ．……………12 分
其它解法，请酌情给分.