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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版必修2【配套备课资源】第一章 1.1.7


1.1.7

1.1.7
【学习要求】
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柱、锥、台和球的体积

1.理解祖暅原理的内容. 2.了解柱、锥、台体的体积公式的推导. 3.掌握柱、锥、台体和球的体积公式. 4.能运用公式求柱体,锥体,台体和球的体积. 【学法指导】 通过柱、锥、台和球体的体积公式的推导,提高空间思维 能力和空间想象能力,增强探索问题和解决问题的信心.

填一填· 知识要点、记下疑难点

1.1.7

1.柱体的体积:一般柱体的体积公式 V= Sh ,其中 S 为底
本 1 课 2.棱锥的体积:V = 3Sh (S 为底面面积,h 为高),圆锥的 时 1 2 栏 体积为:V 圆锥= 3πR h . 目 1 开 关 3.棱台的体积:V= 3(S′+ S′S+S)h ,其中 S′,S 分

面面积,h 为棱柱的高.

别为上、下底面面积,h 为棱台的高.
1 πh(r2+rR+R2) . 圆台的体积公式为:V 圆台= 3
4 3 4. 球的体积: 设球的半径为 R, 那么它的体积为 V 球= 3πR .

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1.1.7

[问题情境]
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上一节我们学习了几何体的表面积,一般地,面积是相对 平面图形来说的,对于空间图形需要研究它们的体积,本 节我们就来研究柱体、锥体、台体、球的体积和球的表面 积问题.

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1.1.7

探究点一 问题 1
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原理

我们已经学习了正方体、长方体、圆柱、圆锥的体

积计算公式,它们的体积公式是什么?
1 2 答 V 正方体=a ,V 长方体=abc,V 圆柱=πr h,V 圆锥=3πr h.
3 2

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1.1.7

问题 2 取一摞纸张放在桌面上(如下图所示) ,并改变它们 的放置方法,观察改变前后的体积是否发生变化?从这个 事实中你得到什么启发?
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答 体积没有发生变化, 从这个事实中能够猜测出两等高的 几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等, 则这两个几 何体的体积相等.

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1.1.7

小结 祖暅原理: 夹在两个平行平面间的两个几何体, 被平行
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于这两个平面的任意平面所截, 如果截得的两个截面的面积总 相等,那么这两个几何体的体积相等.

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1.1.7

探究点二 棱柱、圆柱和球的体积 问题 1 等底、等高的棱柱、圆柱的体积关系如何?
答 应用祖暅原理可以说明它们的体积相等.
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问题 2 根据正方体、长方体、圆柱的体积公式,推测柱体的 体积计算公式?
答 如果设 S 为底面面积,h 为高,一般柱体的体积公式为 V 柱=Sh.
问题 3


底面半径是 r,高是 h 的圆柱体的体积的计算公式如
V 圆柱=Sh=πr2h.

何表示?

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1.1.7

问题 4

观察下面的图,用同样大小的三个三棱锥能拼成一

个三棱柱,说明了什么问题?
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说明三棱锥的体积是等底面积、等高的三棱柱体积的

三分之一.

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1.1.7

问题 5 由问题 4,你能得到锥体体积的计算公式吗?
答 如果一个锥体的底面积是 S,高是 h,那么它的体积是 1 V 锥体=3Sh.

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问题 6 由锥体的体积公式,你能得出圆锥的体积公式吗?
答 1 2 V 圆锥= πR h. 3

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1.1.7

问题 7 台体的上底面积 S′,下底面积 S, 高 h,则台体的 体积是如何计算的?

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台体的体积可以用两个锥体体积的差得

到(如图), S′ h S′ x ∵ = ,∴x= . x+h S S- S′
1 1 1 1 1 V 台=3S(h+x)-3S′x=3Sh+3Sx-3S′x h S′ 1 1 1 1 = Sh+ (S-S′)x= Sh+ (S-S′) 3 3 3 3 S- S′

1 1 1 =3Sh+3( S+ S′)h S′=3h(S+ SS′+S′).

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1.1.7

问题 8 由台体的体积公式,你能得出圆台的体积公式吗? 1 1 2 答 V 圆台= (S′+ S′S+S)h= π(r +rR+R2) (r、R 分别 3 3
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为圆台上底、下底的半径)

问题 9 如何求球的体积呢?

答 应用圆柱和圆锥的体积公式, 根据祖暅原理可以得到球 4 3 的体积公式:V 球=3πR .其中 R 为球的半径.

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1.1.7

问题 10 柱体、锥体、台体的体积公式间有怎样的关系?


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1.1.7

例 1 如图所示,在长方体 ABCD— A′B′C′D′中,用截面截下一个棱锥 C—A′DD′, 求棱锥 C—A′DD′的体积
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与剩余部分的体积之比. 解 已知长方体可以看成直四棱柱 ADD′A′—BCC′B′,
设它的底面 ADD′A′面积为 S,高为 h,则它的体积为 V =Sh.
1 因为棱锥 C—A′DD′的底面面积为2S,高是 h,所以棱 1 1 1 锥 C—A′DD′的体积 VC—A′DD′=3×2Sh=6Sh. 1 5 余下的体积是 Sh-6Sh=6Sh. 所以棱锥 C—A′DD′的体积与剩余部分的体积之比为
1∶5.

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1.1.7

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1 小结 由 V 锥体= Sh,在计算三棱锥的体积时,任何一个面都 3 可以作底面,所以寻找底面和对应高易求的底是关键.

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1.1.7

跟踪训练 1 正三棱柱侧面的一条对角线长为 2 且与该侧面 内的底边所成角为 45° ,求此三棱柱体积.

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如图为正三棱柱 ABC—A1B1C1, 则有 AB1=2,

∠B1AB=45° ,∴AB=BB1= 2,
1 3 3 ∴S△ABC= × 2× × 2= . 2 2 2 3 6 6 ∴V 三棱柱= 2 × 2= 2 .即此三棱柱的体积为 2 .

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1.1.7

例 2 有一堆相同规格的六角螺帽毛坯(如图), 共重 5.8 kg,已知螺帽的底面六边形边长是 12 mm,高是 10 mm,内孔直径是 10 mm,这
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一堆螺帽约有多少个(铁的密度是 7.8 g/cm3, π≈3.14)? 解 六角螺帽毛坯的体积是一个正六棱柱的体积和一个圆

柱的体积的差.

1 因为 V 正六棱锥=6×2×12×(12×sin 60° )×10 3 2 =3×12 × 2 ×10≈3.74×103(mm3), V 圆柱≈3.14×(10÷ 2×10=0.785×103(mm3). 2)

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1.1.7

所以一个螺帽的体积 V=3.74×103-0.785×103≈2.96×103(mm3) =2.96(cm3). 因此约有 5.8×103÷ (7.8×2.96)≈2.5×102(个).
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答 这堆螺帽约有 250 个.
小结 不规则几何体的体积可通过对几何体分割,使每部分

都能够易求得其体积,或者使所求体积等于整体几何体体积 减去部分几何体体积.

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1.1.7

跟踪训练 2 如图, 圆柱的底面直径与高都等于球 的直径.求证: 2 (1)球的体积等于圆柱体积的 ; 3
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(2)球的表面积等于圆柱的侧面积.

证明 (1)设球的半径为 R,则圆柱的底面半径为 R,高 为 2R.
4 3 2 2 3 因为 V 球=3πR ,V 圆柱=πR · 2R=2πR ,所以,V 球=3V 圆柱. (2)因为 S 球=4πR2,S 圆柱侧=2πR· 2R=4πR2,
所以 S 球=S 圆柱侧.

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1.1.7

例 3 在球面上有四个点 P、A、B、C,如果 PA、PB、PC 两两垂直且 PA=PB=PC=a,求这个球的体积.
解 ∵PA、PB、PC 两两垂直, PA=PB=PC=a.
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∴以 PA、PB、PC 为相邻三条棱可以构造正方体. 又∵P、A、B、C 四点是球面上四点,
∴球是正方体的外接球 ,正方体的对角线是球的直径.
3 ∴2R= 3a,R= a. 2
4 3 4 ? 3 ?3 3 ∴V=3πR =3π? a? = 2 πa3. ? 2 ? ? ?

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1.1.7

小结
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球既是中心对称又是轴对称的几何体,它的任何截面

均为圆,过球心的截面都是轴截面,因此球的问题常转化为 圆的有关问题解决.

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1.1.7

跟踪训练 3 球与圆台的上、下底面及侧面都相切,且球面 面积与圆台的侧面积之比为 3∶4, 则球的体积与圆台的体积 之比为 A.6∶13
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( B.5∶14 D.7∶15

)

C.3∶4

解析

如图所示,作圆台的轴截面等腰梯形

ABCD,球的大圆 O 内切于梯形 ABCD.
设球的半径为 R,圆台的上、下底面半径分别 为 r1、r2,由平面几何知识知,圆台的高为 2R, 母线长为 r1+r2.
∵∠AOB=90° ,OE⊥AB(E 为切点),
∴R2=OE2=AE· BE=r1·2. r

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1.1.7

由已知 S 球∶S 圆台侧=4πR2∶π(r1+r2)2=3∶4,

16 2 (r1+r2) = 3 R .
2

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V 球∶V 圆台=1 π?r2+r1r2+r2?· 2 2R 3 1
2R2 2R2 6 = = = ,故选 A. 13 ?r1+r2?2-r1r2 16 2 2 R -R 3
答案 A

4 3 3πR

练一练· 当堂检测、目标达成落实处

1.1.7

1.设正六棱锥的底面边长为 1,侧棱长为 5,那么它的体积
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为 A.6 3 B. 3 C.2 3 D.2

( B )

解析 因正六棱锥的高为 5-12=2,
1 1 3 所以 V=3Sh=3×6× 4 ×2= 3.

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1.1.7

2.把球的表面积扩大到原来的 2 倍,那么体积扩大到原来的 ( B ) A.2 倍
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B.2 2倍

C. 2倍

D. 2倍

3

解析 由面积扩大的倍数可知半径扩大为原来的 2倍,

则体积扩大到原来的 2 2倍.

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1.1.7

3.直三棱柱 ABC—A1B1C1 的体积为 V,已知点 P、Q 分别为 AA1、 1 上的点, CC 而且满足 AP=C1Q, 则四棱锥 B—APQC
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的体积是 1 A. V 2

( B ) 1 B. V 3 1 C. V 4 2 D. V 3

1.1.7

1.求几何体的体积,需要求与其体积有关的各个量,但有时
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各个量不一定都要求出, 而只需求出与其体积有关的各量 的组合. 2.“割补”是求体积的一种常用策略,运用时,要注意弄清 “割补”前后几何体体积之间的数量关系.

1.1.7

3.解答组合体问题要注意知识的横向联系,善于把立体几何
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问题转化为平面几何问题,运用方程思想与函数思想解 决,融计算、推理、想象于一体. 4.柱体、锥体、台体的体积之间的内在关系为 V 柱 体 = 1 1 S′=S S′=0 Sh――――V 台体= h(S+ SS′+S′)―――→V 锥体= Sh. 3 3


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