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重庆市万州三中2019届高三数学上学期第一次月考试题理

重庆市万州三中 2019 届高三数学上学期第一次月考试题 理
第一部分 选择题(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的,请将正确答案使用 2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上。 1、已知集合 A ? x | x2 ? 2x ? 3 ? 0 , B ? ?x ?2 ? x ? 2? ,则 A A. ? ?2, ?1? 2、 sin 600 ? A.
1 2

?

?

B?



▲ )

B. ? ?1,2?

C. ? ?1,1?

D. ?1, 2? ( ▲ )

B. ?

1 2

C.

3 2

D. ?

3 2

3 、已知 i 是虚数单位,复数 z 满足 z ?3 ? 4i ? ? 1 ? i ,则复平面内表示 z 的共轭复数的点在 ( ▲ ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

4、三角形 ABC 中,A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知下列条件: ①b=3,c=4, B ? 30 ;
?

②a=5,b=8, A ? 30 ;
? ?

③c=6,b= 3 3 , B ? 60 ;

④c=9,b=12, C ? 60

?

其中满足上述条件的三角形有两解的是: A.①② B.①④ C.①②③ D.③④







?log3 ( x ? m), x ? 0 ? 5、已知函数 f ( x) ? ? 1 与 x 轴交点为 ? 3,0 ? ,则 f ? f ? 6 ? ? 2 ? ? , x ? 0 ? ? 2018 1 A. 2018 B. C. 2 D. 1 2018
值为 A. B.



▲ )

6、已知角 的顶点在坐标原点,始边与 轴的非负半轴重合,终边经过点 ? ?1,3? ,则 cos2 ? 的 ( ▲ )

4 C. 5

4 D. ? 5

7、已知两曲线 C1 : f ( x) ? sin 2 x ? cos 2 x ,C2 : y ? f '( x) ,则下面结论正确的是( ▲ )

? 个单位,然后将所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍,可得 C2 4 ? B.将 C1 向左平移 个单位,然后将所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍,可得 C2 4 ? C.将 C1 向右平移 个单位,然后将所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍,可得 C2 2
A.将 C1 向右平移

-1-

D.将 C1 向左平移

? 个单位,然后将所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍,可得 C2 2
1

8、已知 a ? 3 , b ? 125 6 , c ? log4 7 ,则下列不等关系正确的是 A. b ? a ? c B. a ? b ? c C. b ? c ? a



▲ )

D. c ? a ? b ( ▲ )

9、执行右面的程序框图,如果输入的 t=0.01,则输出的 n=

A.5

B. 6

C.7

D.8

10、某珠宝店丢了一件珍贵珠宝,以下四人中只有一人说真话,只有一人偷了珠宝. 甲:我 没有偷;乙:丙是小偷;丙:丁是小偷;丁:我没有偷. 根据以上条件,可以判断偷珠宝的 人是 A.甲 11、设 f ( x) ? A. B. 乙 C.丙 D.丁 ( ▲ ) ( ▲ )

cos x ,则 f (1? ) ? f (2? ) ? ? ? f (59? ) 的值是 ? cos(30 ? x)
B.0 C.59 D.

59 3 2

59 2

12、若函数 f ( x) 在区间 A 上,对 ?a, b, c ? A, f (a), f (b), f (c) 可以为一个三角形的三边长,则

?1 ? 称函数 y ? f ( x) 为 “三角形函数” 。 已知函数 f ( x) ? x ln x ? m在区间? 2 , e? 上是 “三角形函数” , ?e ?
则实数 m 的取值范围为 ( ▲ )

? 1 e2 ? 2 ? ? A. ? ?e, e ? ? ?

?2 ? B. ? ,?? ? e ? ?
第二部分

?1 ? C. ? ,?? ? e ? ?
非选择题(共 90 分)

? e2 ? 2 ? ? D. ? , ? ? ? e ? ? ?

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请将正确答案填在答题卡的横线上. 13、 lg

5 1 ? 2 lg 2 ? ( ) ?1 ? 2 2

▲ ▲ .

14、函数 y ? log0.5 (4x2 ? 3x) 的定义域为

15、已知函数 f ( x) = A sin(?x ? ? ) ( A ? 0, ? ? 0,| ? |? 象如图所示,则 y ? A cos(?x ? ? ) 的单调增区间为 WWW.ziyuanku.com

π ) 的部分图 2


-2-

16、已知函数 y ? f ? x?? x ? R? ,对函数 y ? g ? x?? x ? I ? ,定义 g ? x ? 关于 f ? x ? 的“对称 函数”为 y ? h ? x ?? x ? I ? , y ? h ? x ? 满足:对任意 x ? I ,两个点 x, h ? x ? , x, g ? x ? 关 于点 x, f ? x? 对称,若 h ? x ? ? ?a sin x 是 g ? x ? 关于 f ? x ? ? cos(x ? 称函数” ,且 g ( x) 在 (

?

? ?

?

?

?

?
4

) cos(x ?
.

?
4

) 的“对

? ?

, ) 上是减函数,则实数 a 的取值范围是 6 2



三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答题应写出文字说明、证明过程或 演算步骤. 17. (本题满分 12 分)

1 ? ? ,求 sin( ? ? ) ? cos( ? ? ) 的值; 5 2 2 2 0 2 0 0 0 (2) (1)求 sin 10 ? cos 40 — sin10 cos140 的值。
(1)已知 sin ? ? cos ? ? ?

18. (本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ?

1 3 3 2 x ? x ? 2x ? 5 3 2

(1)求函数 f ( x ) 的图像在点(3,f (3)) 处的切线方程; (2)若曲线 y ? f ( x) 与 y ? 2 x ? m 有三个不同的交点,求实数 m 的取值范围。

19. (本题满分 12 分) 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,满足 c ? 2 3 , c cos B ? (b ? 2a ) cos C ? 0 . (1)求角 C 的大小; (2)求△ABC 面积的最大值.

20、 (本题满分 12 分) 请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为 1m 的正六 棱柱,上部的形状是侧棱长为 3m 的正六棱锥(如右 图所示) 。试问当帐篷的顶点 O 到底面中心 o1 的距离 为多少时,帐篷的体积最大?

-3-

21. (本题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? ax ? bx ? xlnx 在 1, f ?1? 处的切线方程为 3x ? y ? 2 ? 0 .
2

?

?

(1)求实数 a , b 的值; (2) 设 g ?x ? ?x 最大值。
2

? x ,若 k ? Z ,且 k ?x ? 2?? f x ? ??g x?

? 对任意的 x ? 2 恒成立,求 k 的

请考生在第 22,23 题中任选一题作答.作答时一定要用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目 对应的题号涂黑(都没涂黑的视为选做第 22 题)。 22. (本题满分 10 分) 选修 4-4:坐标系与参数方程 在极坐标系中, 已知圆 C 的极坐标方程为 ? ? 4cos ? , 以极点为原点, 极轴方向为 轴正方向, 取与极坐标系相同单位长度建立平面直角坐标系,直线 l 的参数方程为

? 1 2 t ?x ? ? ? 2 2 t 为参数 ? ?. ? ? y? 2t ? ? 2
(Ⅰ)写出圆 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程; (Ⅱ)已知点 M ? , 0 ? ,直线 l 与圆 C 交于 A 、 B 两点,求 MA ? MB 的值.

?1 ?2

? ?

23、 (本题满分 10 分)

选修 4-5:不等式选讲

已知函数错误!未找到引用源。. (Ⅰ)求不等式错误!未找到引用源。的解集; (Ⅱ)若关于错误!未找到引用源。的不等式错误!未找到引用源。的解集非空,求实数错 误!未找到引用源。的取值范围.

-4-

数学(理)参考答案 1--5、ADAAB 13、-1 6--10、DBDCA 1 3 14、 [? ,0) ( ,1] . 4 4 11--12、AD

15、
1 6

16. (??, 2]

8、 【解析】 b ? 125 ? 5 , c ? log 4 7 ? 9 、 C

1 3 log 2 7 ? ,故 c ? a ? b ,选 D. 2 2 【 解 析 】【 2015 高 考 新 课 标 1 , 理 9 】 执 行 第 1 次 ,

1 m =0.5,S=S-m=0.5, m ? =0.25,n=1,S=0.5>t=0.01,是,循环, 2 2 m 执行第 2 次,S=S-m=0.25, m ? =0.125,n=2,S=0.25>t=0.01,是,循环, 2 m 执行第 3 次,S=S-m=0.125, m ? =0.0625,n=3,S=0.125>t=0.01,是,循环, 2 m 执行第 4 次,S=S-m=0.0625, m ? =0.03125,n=4,S=0.0625>t=0.01,是,循环, 2 m 执行第 5 次,S=S-m=0.03125, m ? =0.015625,n=5,S=0.03125>t=0.01,是,循环, 2 m 执行第 6 次,S=S-m=0.015625, m ? =0.0078125,n=6,S=0.015625>t=0.01,是,循环, 2 m 执行第 7 次, S=S-m=0.0078125, m ? =0.00390625,n=7,S=0.0078125>t=0.01,否, 输出 n=7, 2
t=0.01,S=1,n=0,m=
故选 C.

15、

16 、 【解析】 :根据对称函数的定义可知

g ( x) ? c o s 2 x? a s i n x , 故

g ? x ? ? a sin x ? ? ? cos( x ? ) cos( x ? ) , 即 2 4 4 g '( x) ? ?2sin 2 x ? a cos x ? ?4sin x cos x ? a cos x ,

?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? Q x ? ? , ? ,? cos x ? 0 Q g '( x) ? 0 在 ? , ? 恒成立,即 ?4sin x ? a ? 0 在 ? , ? 恒 ?6 2? ?6 2? ?6 2? ?? ? ? 成立,?a ? (4sin x)min 又 Q y ? 4sin x 在 ? , ? 的最小值接近 2,故 a ? 2 ?6 2? 1 1 1 2 17.解: (1)∵ sin ? ? cos ? ? ? ,∴ (sin ? ? cos ? ) ? ,即 1 ? 2sin ? cos ? ? , 25 5 25 ? ? 12 ∴ sin( ? ? ) ? cos( ? ? )= sin ? ? cos ? ? ? ………………6 分 2 2 25
(2) (解法 1)原式=sin 10°+cos 40°+sin 10°cos 40°
2 2

-5-

=sin 10°+cos (30°+10°)+sin 10°cos(30°+10°) 3 1 3 1 ? 3 ?2 2 = sin 10 ° + ? cos 10°- sin 10°? + sin 10°( cos 10 ° - sin 10 ° ) = 2 2 4 2 ?2 ? 3 2 2 (sin 10°+cos 10°)= . 4 (解法 2)对偶法。 2 2 2 2 设 x =原式= sin 10 °+ cos 40 °+sin 10°cos 40°, y = cos 10 °+ sin 40 °+ cos 10°sin 40°, 则 x+y=1+1+sin 10°cos 40°+cos 10°sin 40°=2+sin 50°, 1 1 x-y=cos 80°-cos 20°- =cos(50°+30°)-cos(50°-30°)- =-sin 50° 2 2 1 - , 2 3 3 3 上述两式相加得 2x= ,即 x= ,故原式= . 2 4 4 18、解: (1)? 函数 f ( x) ?

2

2

? g ( x) 在 ?? ?,0?, ?3,??? 单调递增,在 ?0,3? 单调递减, ………………………9 分 1 1 ? g (0) ? 5, g (3) ? 即 g ( x) 极大值 ? 5,g ( x) 极小值 ? , ……………11 分 2 2 1 1 ? 实数 m 的取值范围为 ? ?m ? 5 ,即 ? 5 ? m ? ? ……………12 分 2 2 19.解: (1)∵ c cos B ? 2a cos C ? b cos C ? 0 由正弦定理得: sin C cos B ? sin B cos C ? 2sin A cos C ? 0 ……………………2 分 ∴ sin A ? 2sin A cos C ? 0 1 ∵ sin A ? 0 ∴ ………………………………………………… 4 分 cos C ? 2


1 3 3 2 x ? x ? 2 x ? 5 ? f ?( x) ? x 2 ? 3x ? 2 …………1 分 3 2 13 ? f ?(3) ? 2, f (3) ? ………………………3 分 2 13 f ( x) 在 ?3, f (3)? 处的切线方程是 y ? ? 2( x ? 3) …………………4 分 2 即 4x ? 2 y ?1 ? 0 ………………………5 分 1 3 3 2 (2)令 f ( x) ? 2 x ? m, 即 x ? x ? 2 x ? 5 ? 2 x ? m , 3 2 1 3 3 2 1 3 ? x ? x ? 5 ? ?m 设 g ( x) ? x 3 ? x 2 ? 5 3 2 3 2 ? 曲线 y ? f ( x) 与 y ? 2 x ? m 有三个不同的交点, ? 函数 y ? g ( x) 与 y ? ? m 有三个不同的交点, 令 g ?( x) ? 0, 解得 x ? 0 或 x ? 3 , 当 x ? 0, 或x ? 3时 , g ?( x) ? 0 当 0 ? x ? 3 时, g ?( x) ? 0

C?

?

3

…………………………………………………………………… 6 分

(2)由正弦定理得

a b c 2 3 ? ? ? 得, sin A sin B sin C sin ? 3

-6-

2? 2? ? A ,…………………………… 8 分 ,B ? 3 3 1 2? ? △ABC 面积 S ? ab sin C ? 4 3 sin A sin B ? 4 3 sin A sin( ? A) , 2 3

a ? 4sin A, b ? 4sin B, 又 A ? B ?

化简得: S ? 2 3 sin(2 A ? 当A?

?

? 时, S 有最大值, Smax ? 3 3 。 ………………………………………… 12 分 3

6

) ? 3 ………………………………………………… 10 分

(另解:用基本不等式) 20、解:设 OO1 为 x m ,则 1 ? x ? 4 由题设可得正六棱锥底面边长为: 3 ? ( x ? 1) ?
2 2

8 ? 2x ? x 2 , (单位: m )

故底面正六边形的面积为: 6 ? 帐篷的体积为:

3 3 3 2 ? (8 ? 2 x ? x 2 ) , ? ( 8 ? 2x ? x 2 ) 2 = (单位: m ) 2 4

1 3 3 3 (8 ? 2 x ? x 2 ) [ ( x ? 1) ? 1] ? (16 ? 12x ? x 3 ) (单位: m 3 ) 3 2 2 3 (x) ? (12 ? 3x 2 ) 。 求导得 V' 2 (x) ? 0 ,解得 x ? ?2 (不合题意,舍去) 令 V' ,x ? 2, (x) ? 0 , V ( x) 当 1 ? x ? 2 时, V' 为增函数; (x) ? 0 , V ( x) 当 2 ? x ? 4 时, V' 为减函数。 ∴当 x ? 2 时, V(x) 最大。 3 答:当 OO1 为 2 m 时,帐篷的体积最大,最大体积为 16 3 m 。 21. 解: (1) f ? ? x ? ? 2ax ? b ? 1 ? lnx , 所以 2a ? b ? 1 ? 3 且 a ? b=1 , 解得 a =1 , b ? 0 ………………3 分 f ? x ? ? g ? x ? x ? xlnx ? (2)由(1)与题意知 k ? 对任意的 x ? 2 恒成立, ………4 分 x?2 x?2 x ? xlnx x ? 4? 2ln x ( x ? 2) , 则 h? ? x ? ? 设 h ? x? ? , 令 m ? x? ? x?4 ?2lnx ( x ? 2) ,则 2 x?2 ? x ? 2?

V(x) ?

m? ? x ? ? 1 ?

因为 m ?8? ? 4 ? 2ln8 ? 4 ? 2lne ? 4 ? 4 ? 0 , m ?10? ? 6 ? 2ln10 ? 6 ? 2lne ? 6 ? 6 ? 0
2 3

2 x?2 ? ? 0 ,所以函数 m ? x ? 为 ? 2, ??? 上的增函数.………………6 分 x x

所以函数 m ? x ? 在 ?8,10? 上有唯一零点 x0 ,即有 x0 ? 4 ? 2lnx0 ? 0 成立, 所以 x0 ? 4 ? 2lnx0 ? 0 ………………8 分 故当 2 ? x ? x0 时, m ? x ? ? 0 ,即 h? ? x ? ? 0 ;当 x0 ? x 时, m ? x ? ? 0 ,即 h? ? x ? ? 0 所以函数 h ? x ? 在 ?1, x0 ? 上单调递减,在 ? x0 , ??? 上单调递增………………10 分

? x ?4? x0 ?1 ? 0 x ? x0lnx 0 2 ? ? ? x 0 所以 k ? x0 ,因为 x ? 8,10 , ? ? 所以 h ? x ?min ? h ? x0 ? ? 0 ? ? 0 2 x0 ? 2 x0 ? 1 2 x 所以 0 ? ? 4, 5 ? ,又因 k ? Z 所以 k 最大值为 4 ………………12 分 2
22、解: (Ⅰ)由 得 ,化为直角坐标方程为 ,
-7-

所以圆 的直角坐标方程为 的普通方程为 (Ⅱ)显然直线 l 过点 . , 将

.



消t得

,所以直线 l

代入圆 的直角坐标方程







根据直线参数方程中参数的几何意义知:

23、解: (Ⅰ)原不等式等价于 错误!未找到引用源。或错误!未找到引用源。 解之得错误!未找到引用源。. 即不等式的解集为错误!未找到引用源。. ………………5 分 (Ⅱ)错误!未找到引用源。. 错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。, 解 此 不 等 式 得 错 误 ! 未 找 到 引 用 源。. ………………10 分

-8-



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