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广西平南县六陈高级中学2013届高三5月模拟考试数学理试题 3星

六陈高级中学 2013 届高三 5 月模拟考试数学理试题

一.选择题:(本大题 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知复数 z ? i (1 ? i ) ( i 为虚数单位) ,则复数 z 在复平面上所对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 2 2. “ m ? 1 ”是“直线 x ? m y ? 0 与直线 x-y ? 1 垂直”的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.函数 y ? log2 ( x ? 3 ) 的反函数是( ) x A. y ? 2 ? 3 ( x ? ?3 ) B. y ? 2 x ? 3 ( x ? R ) C. y ? 2 x?3 ( x ? ?3 ) D . y ? 2 x ?3 ( x ? R ) ( ) D.第四象限 )

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 4.设变量 x , y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 4 ? 0 ,则目标函数 z ? 3x ? 2 y 的最小值 ?x ?1 ? 0 ?

为 ( A. ?6 B. ?4 C. 2 D. 3 2 5.若 ? N (1, ? ) ,且 P(? ? ?2) ? P(? ? 6) ? 0.1998 ,则 P(?4 ? ? ? 4) =( A. 0.8002 B 0.4001 C
0.1998




0 .0 9 9 9

D

6.若 ?an ? 为等差数列, S n 是其前 n 项的和,且 S11 ? A. 3 B. ? 3 C. ? 3
3

22 ? ,则 tan a6 =( 3



D. ? 3

1 7. M 为曲线 y ? x 3 ? x 2 ? 2 x ? 3 上的任意一点,在点 M 处的切线的斜率为 k , 3

则 k 的取值范围是(
(0, 1] A.

)
(1, ? ?) B. [1, ? ?) C. (??, ? ?) D.

8.已知正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E 、 F 分别为 BC 、 CC1 的中点,则异面直 线 EF 与 AC1 所成角的余弦值为( A.
1 3

) C.

B.

3 3

6 3

D. 0

1 9. 已知 f ( x) ?| x ? 2 | ? | x ? 4 | 的最小值为 n , 则二项式 ( x ? ) n 展开式中 x 2 项的系 x

数为( A. 15

) B. ?15 C. 30 D. ?30

? 10. 函数 y ? cos 2 ( x ? ) 的图象沿 x 轴向右平移 a 个单位 (a ? 0) , 所得图象关于 y 4 轴对称,则 a 的最小值为( ) 3? ? ? A. ? B. C. D. 4 2 4
11. 给一个正方体的六个面涂上四种不同颜色(红、黄、绿、蓝) ,要求相邻两 个面涂不同的颜色,则共有涂色方法( ) (涂色后,任意翻转正方体,

能使正方体各面颜色一致,我们认为是同一种涂色方法) A. 6 种 B. 12 种 C. 24 种 D. 48 种

12.已知函数 y ? f ( x) 的图象关于 y 轴对称,且当 x ? (??, 0), f (x ) ? xf '(x ) ? 0 成 立, a ? 20.2 ? f 20.2 , b ? ?log? 3? ? f ?log? 3?, c ? ?log3 9? ? f ?log3 9? ,则 a, b, c 的 大小关系是( A. b ? a ? c ) B. c ? a ? b C. c ? b ? a D. a ? c ? b

? ? ? ?

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在指定位置上) 13.已知错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。(0,π ),则错误!未找 到引用源。= 14. 已知椭圆 .

x2 y 2 5 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率 e ? , 其中一个顶点坐标为 ?0,2? , 2 5 a b
.

则椭圆的方程为

15 . 已 知 向 量 a ? ?x ? 1,2? , b ? ?4, y? , 若 a ? b , 则 9 x ? 3 y 的 最 小 值 为 .

16.四棱锥 P ? ABCD 的各顶点都在同一球面上,且矩形 ABCD 的各顶点都在同 一

个大圆上,球半径为 R ,则此四棱锥的体积的最大值为

.

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤(本大题共 6 小题, 0 共 70 分) . 0 17. (本小题满分 10 分) 9 在 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a0 、b、c,且 a2 ? (b ? c)2 ? (2 ? 3)bc , C 5 sin A sin B ? cos 2 , BC 边上中线 AM 的长为 7. 2 1
3

2

(1) 求角 A 和角 B 的大小; (2) 求 ?ABC 的面积.

18. (本小题满分 12 分) 中央电视台星光大道某期节目中,有 5 位实力均等的选手参加比赛,经过四 轮比赛决出周冠军(每一轮比赛淘汰 l 位选手) . (1)求甲、乙两位选手都进入第三轮比赛的概率; (2)设甲选手参加比赛的轮数为 X,求 X 的分布列及数学期望.

19. (本小题满分 12 分) 已知斜三棱柱 ABC — A1B1C1 ,侧面 ACC1 A1 与底面 ABC 垂直,∠ ABC ? 90o ,

BC ? 2, AC ? 2 3 ,且 AA1 ⊥ A1C , AA1 = A1C . (1)试判断 A1 A 与平面 A1BC 是否垂直,并说明理由; (2)求侧面 BB1C1C 与底面 ABC 所成锐二面角的余弦值.

20. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? (1)求函数 f ( x) 的极值; (2)求证:当 x ? 0 时, ln x ?

1 2 x ? ln x , 2

3 1 ? x ? 0. 2 4x e

21. (本小题满分 12 分) x2 y 2 1 已知椭圆 C1 : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的长轴长为 4 ,离心率为 , F1 , F2 分别为 2 a b 其左右焦点.一动圆过点 F2 ,且与直线 x ? ?1 相切. (1)求椭圆 C1 及动圆圆心轨迹 C 的方程; (2) 在曲线 C 上有两点 M 、N ,椭圆 C1 上有两点 P 、Q ,满足 MF2 与 NF2 共线, PF2 与 QF2 共线,且 PF2 ? MF2 ? 0 ,求四边形 PMQN 面积的 最小值.

22. (本小题满分 12 分) 已知数列 ?an? 的首项 a1 ? 5, 前 n 项和为 Sn ,且 Sn?1 ? 2Sn ? n ? 5(n ? N * ) (1)证明数列 ?an ? 1? 是等比数列; (2)令 f ( x) ? a1 x ? a2 x 2 ? ? ? an x n ,求函数 f ( x) 在点 x ? 1 处的导数 f ?(1) , 并比较 2 f ?(1) 与 23n2 ? 13n 的大小.

2013 年 5 月份月考试题(理科数学)参考答案

4.做出不等式对应的可行域如图,由 z ? 3 x ? 2 y 得 y ? 知当直线 y ?

3 z x ? ,由图象可 2 2

3 z x ? 经 过 点 C (0, 2) 时 , 直 线 的 截 距 最 大 , 而 此 时 2 2 z ? 3x ? 2 y 最小值为 ?4 ,选 B。 5.由对称轴为 x ? 1 , 知 P(?4 ? ? ? 4) ? P(?2 ? ? ? 6) ? 1 ? 0.1998? 0.8002选 A. 11?a1 ? a11 ? 22? 2? 2? ? S11 ? ? 11a6 ? ,? a6 ? , tan ? ? tan ? ? 3 6. 2 3 3 3 3
选 D。 7. k ? f ' ( x) ? x 2 ? 2x ? 2 ? ?x ? 1? ? 1 ? 1 ,故选 C.
2

8.如图, EF // BC1 , ?AC1 B 是异面直线 EF 与 AC1 所成的角,

BC1 2 6 ,选 C。 ? ? AC1 3 3 9.因为函数 f ( x) ?| x ? 2 | ? | x ? 4 | 的最小值为 4 ? (?2) ? 6 ,即 n ? 6 。展开式 1 k k 6? k k 6?2 k (?1) k ,由 6 ? 2 k ? 2 ,得 k ? 2 ,所 的通项公式为 Tk ?1 ? C6 x (? ) ? C6 x x 2 2 以 T3 ? C6 x (?1)2 ? 15x2 ,即 x 2 项的系数为 15,选 A. ? cos ?AC1 B ?

D1 A1 B1

C1 F

A

D 第8题 B

E

C

11.由于涂色过程中,要保证满足条件(用四种颜色,相邻的面不同色),正方体的三对面, 必然有两对同色,一对不同色,而且三对面具有“地位对等性”,因此,只需从四种颜色中 选择 2 种涂在其中一对面上,剩下的两种颜色涂在另外两个面即可。因此共有 C 4 =6 种不同 的涂法。选 A.
2

14 . 因 为 顶 点 坐 标 为

?0,2?

, ?b ? 2

, 又 由

e?

5 5



c a2 ? b2 a2 ? 4 5 x2 y2 ?1 ? ? ? ? a 2 ? 5 所以椭圆的方程为 ? 5 4 a a a 5
15 . 因 为 a ? b , 所 以 a ? b ? 4 ( x ?1 ) ? 2 y , ? 即 0 2x ? y ? 2 , 所 以

9x ? 3y ? 2 9x ? 3y ? 2 32 x? y ? 2 32 ? 6 ,所以 9 x ? 3 y 的最小值为 6. 16.点 P 到面 ABCD 的 最大距 离 为 R , 设 矩 形 A B CD 的长宽分别为 x, y ,则 1 R x2 ? y2 2 3 2 2 2 P ? ABCD V ? xyR ? ? ? R ,当且 , 四棱锥 的体积 x ? y ? 4R 3 3 2 3
仅当 x ? y ? 2R 时, V max ?

2 3 R . 3

17.解: (1)由 a2 ? (b ? c)2 ? (2 ? 3)bc得

a2 ? b2 ? c2 ? ? 3bc,

? b2 ? c 2 ? a 2 3 A? . ---3 分 ? cos A ? ? , 6 2bc 2 ?0 ? A ? ? 1 1 ? cos C 2 C 由 sin A sin B ? cos ,得 sin B ? 即 sin B ? 1 ? cos C 2 2 2 5 则 cos C ? 0 ,即 C 为钝角,故 B 为锐角,且 B ? C ? ? ---5 分 6 ? 5 ? 2 则 sin( ? ? C ) ? 1 ? cos C ? cos( C ? ) ? ?1 ? C ? ? 故 B ? .---7 分 6 6 3 3 2 2 x x 1 2 2 ? 2 x ? ? (? ) ? 7 (2)设 AC ? x , 由(1)和余弦定理得 AM ? x ? 4 2 2 1 3 解得 x ? 2 故 S ?ABC ? ? 2 ? 2 ? ---------10 分 ? 3. 2 2 18. (1)由于甲、乙两位选手都进入第三轮比赛,故第一、第二轮淘汰的是另三 1 C 1 C2 3 位选手中的两位选手,? P ? 3 . ? ?????????4 分 1 1 C5 C 2 10 (2) x 的所有可能取值为 1、2、3、4?????????5 分 C1 1 1 1 1 P( x ? 2) ? 4 ? P( x ? 1) ? 1 ? 1 1 5 C5 5 C5 C4
P( x ? 3) ?
1 1 C3 C4 1 1 . 1 ? 1 1 C5 C 4 C3 5

P( x ? 4) ?

1 1 1 C3 C4 C2 2 . ? ???????9 1 1 1 C5 C 4 C3 5

分 随机变量 X 的分布列为

X P

1 1 5

2 1 5

3 1 5

4 2 5

????10 分 1 1 1 2 14 Ex ? 1 ? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 5 5 5 5 5
19.解法一:如图建立空间直角坐标系,

?????????12 分

(1)由条件知 B(0,0,0),C(0,2,0), A(2 2,0,0), 由面 ACC1 A1 ⊥面 ABC,AA1⊥A1C,AA1=A1C,知 A1 ( 2,1, 3)

1分 2分

AA , 3), BC ? (0,2,0), 1 ? (? 2 ,1
∵ AA 1 ? BC ? 2 ? 0 ?????3 分 ∴ AA 1 与 BC 不垂直,即 AA1 与 BC 不垂直, ∴AA1 与平面 A1BC 不垂直??5 分 (2)由 ACC1A1 为平行四边形, 知 CC1 = AA , 3) ?7 分 1 = (? 2 ,1 设平面 BB1C1C 的法向量 n ? ( x1 , y1 , z1 ) , 由?

? ?n1 ? BC

? ?2 y1 ? 0 ?n1 ? BC ? 0 , 得? ,即? ? ?? 2 x1 ? y1 ? 3z1 ? 0 ?n1 ? CC1 ? ?n1 ? CC1 ? 0

令 x1 ? 3 ,则 y1 ? 0, z1 ?

2,得n1 ? ( 3,0 2 )
2 5 10 5

9分 10 分

另外,平面 ABC 的法向量 n2 ? (0,0,1)

cos ? n1 , n2 ??

n1 ? n2 | n1 | ? | n2 |

?

?

所以侧面 BB1C1C 与底面 ABC 所成锐二面角的余弦值为

10 5

12 分

在 Rt△EFC 中,cos∠ CFE ?

2 5

?

10 5
10 12 分 5
1 x 2
? 1

所以,侧面 BB1C1C 与底面 ABC 所成锐二面角的余弦值为

20.解:(1)函数 f ( x) 的定义域为 {x x ? 0} ,且 f ' ( x) ? x ln x ? 由 f ' ( x) ? 0 得 x ? e 2 ,由 f ' ( x) ? 0 得 0 ? x ? e 在
? 1 ? 1 2

,? 函数 f ( x) 在 (0, e 2 ) 递减,

1 ,无极大值;???6 分 4e x2 3 1 (2)问题等价于 x 2 ln x ? x ? ,由(1)知 g ( x) ? x 2 ln x 的最小值为 ? ,设 2e 4 e x2 3 x( x ? 2) ,所以 h( x) 在 (0,2) 上递增,在 (2,??) 上递减, h( x) ? x ? ,则 h ' ( x) ? ? 4 ex e 4 3 1 4 3 (3e ? 8)( e ? 2) ? h( x) max ? h(2) ? 2 ? , 而 ? ?0 ,所以 -( 2 ? ) ? 4 2e 4 e e 4e 2 x2 3 3 1 g ( x) min ? h( x) max , 从 而 对 x ? 0 必 有 x 2 ln x ? x ? , 即 ln x ? 2 ? x ? 0 成 4 4x e e 立。???12 分

(e ,??) 递增,故 f ( x) 的极小值为 f (e ) ? ?

?

1 2

?

1 2

?2a ? 4 ?a ? 2 ? 21.解: (1) (ⅰ)由已知可得 ? ? b2 ? a2 ? c2 ? 3, c 1 ?? e? ? ?c ? 1 ? ? a 2

设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ), P( x3 , y3 ),Q( x4 , y4 ) 由?

? y ? k ( x ? 1) ? y ? 4x
2

,消去 y 可得 k x ? (2k ? 4) x ? k ? 0 ---8 分
2 2 2 2

由抛物线定义可知:

2k 2 ? 4 4 | MN |?| MF2 | ? | NF2 |? x1 ? 1 ? x2 ? 1 ? ?2 ? 4? 2 2 k k

9分

1 ? y ? ? ( x ? 1) ? ? k 由? 2 消去 y 得 (3k 2 ? 4) x 2 ? 8x ? 4 ? 12k 2 ? 0 , 2 x y ? ? ?1 ? 3 ?4

12(1 ? k 2 ) 3k 2 ? 4 1 1 4 12(1 ? k 2 ) (1 ? k 2 ) 2 ? 24 4 ∴ S PMQN ? | MN | ? | PQ |? (4 ? 2 ) 2 2 k 3k 2 ? 4 3k ? 4k 2 2 令 1 ? k ? t ,∵ k ? 0, 则 t ? 1
从而 | PQ |? 1 ? (? ) | x3 ? x4 |?
2

1 k

---10 分

则 S PMQN ?

24t 2 24t 2 1 ? ? | MN | ? | PQ |? 2 3(t ? 1) 2 ? 4(t ? 1) 3t 2 ? 2t ? 1

24 2 1 3? ? 2 t t
----11 分

3?

1 2 1 ? 2 = 4 ? (1 ? ) 2 ? (0,3) ,所以 S PMQN = t t t

24 >8 2 1 3? ? 2 t t

所以四边形 PMQN 面积的最小值为 8

----12 分

= 3(1? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? n ? 2 ) - ?1 ? 2 ?
2 n

? n ? = 3 ? n ? 1? ? 2n?1 ?

2 n 2 由上 2 f ?(1) ? 23n ? 13n ? 12 ? n ? 1? ? 2 - 12 2n ? n ? 1 =

?

?

?

?

n(n ? 1) ? 6 ----9 分 2

n 12? n ?1? ? 2n ?12 ? n ?1? (2n ?1) =12 (n ? 1) ? ? 2 ? (2n ? 1) ? ? ①----10 分

当 n ? 1 时,①式=0 所以 2 f ?(1) ? 23n ?13n ;
2

当 n ? 2 时,①式=-12 ? 0 所以 2 f ?(1) ? 23n ? 13n
2
n 0 1 当 n ? 3 时, n ? 1 ? 0 又 2 ? ?1 ? 1? ? Cn ? Cn ? n n ?1 n ? Cn ? Cn ? 2n ? 2 ? 2n ? 1 n 2 所以 ? n ? 1? ? ? 2 ? ? 2n ? 1? ? ? ? 0 即① ? 0 从而 2 f ?(1) ? 23n ? 13n ----12 分



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