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椭圆的简单几何性质学案


椭圆的简单几何性质
高二数学组 刘金林

学习目标:1 掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率、理解 a,b,c,e 的几何意义 2 通过对椭圆标准方程的讨论,理解在解析几何中是怎样用代数方法研究几 何问题的。 3 初步利用椭圆的几何性质解决问题。 学习重点:椭圆的几何性质 学习重点 学习难点:椭圆的几何性质的探讨以及 a,b,c,e 的关系 学习难点 思想方法:数形结合的方法、分类讨论的思想 思想方法 一 、复习 1 、椭圆的定义 ____________________________________________________ 2 、椭圆的标准方程 焦点在 x 轴上时: _________________ ,焦点在 y 轴上时: __________ 3、椭圆中 a,b,c 的关系是 ___________________ 二 、新授课

探究一

观察椭圆

x2 y2 + = 1(a > b > 0) 的形状, 的形状, a 2 b2

你能从图形上看出它的范围吗? 你能从图形上看出它的范围吗?它具有怎样的对 称性?椭圆上哪些点比较特殊? 称性?椭圆上哪些点比较特殊? 1 、范围 : (1)从图形上看,椭圆上点的横坐标的范围是 _________________ 。 椭圆上点的纵坐标的范围是 ____________________ . 。

x2 y2 (2)由椭圆的标准方程 2 + 2 = 1( a > b > 0) 知 a b


x2 y2 ____ 1,即 ____ ≤ x ≤ ____ ;② 2 ____ 1;即 ____ ≤ y ≤ ___ a2 b

因此

x2 y2 + = 1(a > b > 0) 位于直线 ___________ 和 __________ 围成的矩形里。 a 2 b2

2 、对称性 (1)从图形上看,椭圆关于 _________ , __________ , __________ 对称 (2)在椭圆的标准方程

x2 y2 + = 1(a > b > 0) 中 a 2 b2

① 把 x 换成-x 方程不变,说明图像关于 __________ 轴对称

1

②把 y 换成-y 方程不变,说明图像关于 __________ 轴对称 ③把 x 换成-x,同时把 y 换成-y 方程不变,说明图形关于 __________ 对称, 因此 ____________ 是椭圆的对称轴, _________ 是椭圆的对称中心,椭圆 的对称中心叫做 ___________ 3 、顶点 (1)椭圆的顶点: 椭圆与对称轴有 ______ 个交点,分别为:

A1 (

,

)

A2 (

,

)

B1 (

,

)

B2 (

,

)

(2)线段 A1 A2 叫做椭圆的 _______ ,其长度为 __________ 线段 B1 B2 叫做椭圆的 ________ ,其长度为 __________ a 和 b 分别叫做椭圆的 ________ 和 ___________ 及时反馈: 及时反馈: (1) 椭圆 x 2 + 4 y 2 = 16 的长轴长是: ________ 短轴长是; _______ 焦距是:_______ 焦点坐标是: __________ 顶点坐标是: __________ (2) 在下列方程表示的曲线中,关于 x, A C y 轴都对称的是 ( )

x2 = y x 2 ? 4 y 2 = 5x

B D

x 2 + 2 xy + y = 0 9x 2 + y 2 = 4

圆的形状都是相同的,而椭圆却有些比较“ ,有些比较接近于圆, 探究二 圆的形状都是相同的,而椭圆却有些比较“扁” 有些比较接近于圆,用什么样的 量来刻画椭圆的“ 程度呢? 量来刻画椭圆的“扁平”程度呢? 4 、椭圆的离心率 (1)定义: ______________________________ 叫做椭圆的离心率,用 ____ 表示, 即 ______ = ______ (2)由于 a>c>0,所以离心率 e 的取值范围是 _____________ (3)若 e 越接近 1,则 c 越接近 a,从而 b =

a 2 ? c 2 越 ____ ,因而椭圆越 _______ . a 2 ? c 2 越 ____ ,因而椭圆越接近于

若 e 越接近 0,则 c 越接近 0,从而 b =

_______ .
及时反馈:下列两个椭圆中,哪一个更接近于圆? 及时反馈

4 x 2 + 9 y 2 = 36



x2 y2 + =1 25 20

下面把焦点在 x 轴和在 y 轴上的两种标准方程的几何性质作以比较:

2

标准方程

x2 y2 + = 1, (a > b > 0) a 2 b2

y2 x2 + = 1, (a > b > 0) a2 b2

图形

范围 对称性 顶点坐标 焦点坐标 轴长 离心率 三、综合跃升 例 1 求适合下列条件的椭圆的标准方程 (1)一焦点坐标为(-3,0) ,一顶点坐标为(0,5); (2)长轴长等于 20,离心率为 短轴长 ___________ ,长轴长 _________________ .

3 。 5

x2 y2 1 例 2 .若椭圆 + = 1 的离心率为 ,求 k 的值. k +8 9 2
四 小结 自测题: 1 椭圆

x2 y2 + = 1 上点 p(x,y)的横坐标的范围为 _____________ 25 9

x2 y2 2 若点 p(2,4)在椭圆 2 + 2 = 1, ( a > b > 0) 上,下列在椭圆上的点有 a b
(1) p ( -2, 4 ) (2) p ( -4, 2 ) (3) p ( -2, -4 ) (4) p ( 2, -4 )

3 求中心在原点,焦点在 x 轴上,长轴、短轴的长分别为 8 和 6 的椭圆方程 4 写出椭圆 4 x 2 + y 2 = 16 的长轴长,短轴长,离心率,顶点和焦点坐标.

3


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