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2013年普通高等学校招生全国统一考试数学(文)(北京卷)


2013 年普通高等学校招生全国统一考试数学(文)(北京卷) 一、选择题 1.已知集合 A={-1,0,1},B={x|-1≤x<1},则 A∩B=( A.{0} C.{0,1} 1 1 A.ac>bc B. < a b C.a2>b2 D. a3>b3 3.下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递减的是( 1 A.y= x B.y=e
-x

)

B.{-1,0} D. {-1,0,1} )

2.设 a,b,c∈R,且 a>b,则(

)

C.y=-x2+1 D. y=lg|x| 4.在复平面内,复数 i(2-i)对应的点位于( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 1 5.在△ABC 中,a=3,b=5,sin A= ,则 sin B( 3 1 A. 5 5 5 B. C. D. 1 9 3 ) ) )

6.执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为(

2 A.1 B. 3 13 C. 21 610 D. 987
2

y2 7.双曲线 x - =1 的离心率大于 2的充分必要条件是( m 1 A.m> 2 B. m≥1

)

C.m>1 D. m>2 8.如图,在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,P 为对角线 BD1 的三等分点,则 P 到各顶点的 距离的不同取值有( )

A.3 个 B.4 个 C.5 个 D.6 个 二、填空题 9.若抛物线 y2=2px 的焦点坐标为(1,0),则 p=________,准线方程为________. 10.某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的体积为________.

11.若等比数列{an}满足 a2+a4=20,a3+a5=40,则公比 q=________;前 n 项和 Sn =________. x≥0, ? ? 12.设 D 为不等式组?2x-y≤0, ? ?x+y-3≤0, 的距离的最小值为________. 1 ? ?log2x, x≥1, 13.函数 f(x)=? 的值域为________. ?2x, x<1 ? 14.已知点 A(1,-1),B(3,0),C(2,1).若平面区域 D 由所有满足 (1≤λ≤2,0≤μ≤1)的点 P 组成,则 D 的面积为________. 三、解答题 1 15.已知函数 f(x)=(2cos2x-1)sin 2x+ cos 4x. 2 (1)求 f(x)的最小正周期及最大值; π ? 2 (2)若 α∈? ?2,π?,且 f(α)= 2 ,求 α 的值. 16. 下图是某市 3 月 1 日至 14 日的空气质量指数趋势图. 空气质量指数小于 100 表示空 气质量优良,空气质量指数大于 200 表示空气重度污染,某人随机选择 3 月 1 日至 3 月 13 日中的某一天到达该市,并停留 2 天.

所表示的平面区域,区域 D 上的点与点(1,0)之间

(1)求此人到达当日空气质量优良的概率; (2)求此人在该市停留期间只有 1 天空气重度污染的概率; (3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?(结论不要求证明) 17. 如图, 在四棱锥 PABCD 中, AB∥CD, AB⊥AD, CD=2AB, 平面 PAD⊥底面 ABCD, PA⊥AD,E 和 F 分别为 CD 和 PC 的中点,求证:

(1)PA⊥底面 ABCD; (2)BE∥平面 PAD; (3)平面 BEF⊥平面 PCD. 18.已知函数 f(x)=x2+xsin x+cos x. (1)若曲线 y=f(x)在点(a,f(a))处与直线 y=b 相切,求 a 与 b 的值; (2)若曲线 y=f(x)与直线 y=b 有两个不同交点,求 b 的取值范围. x2 2 19.直线 y=kx+m(m≠0)与椭圆 W: +y =1 相交于 A,C 两点,O 是坐标原点. 4 (1)当点 B 的坐标为(0,1),且四边形 OABC 为菱形时,求 AC 的长; (2)当点 B 在 W 上且不是 W 的顶点时,证明:四边形 OABC 不可能为菱形. 20.给定数列 a1,a2,??,an.对 i=1,2,3,?,n-1,该数列前 i 项的最大值记为 Ai, 后 n-i 项 ai+1,ai+2,??,an 的最小值记为 Bi,di=Ai-Bi. (1)设数列{an}为 3,4,7,1,写出 d1,d2,d3 的值; (2)设 a1,a2,??,an(n≥4)是公比大于 1 的等比数列,且 a1>0,证明:d1,d2,??, dn-1 是等比数列; (3)设 d1,d2,??,dn-1 是公差大于 0 的等差数列,且 d1>0,证明 a1,a2,??,an-1 是等差数列.

2013 年普通高等学校招生全国统一考试 数学(文)(北京卷) 1.解析:选 B 集合 A 中共有三个元素-1,0,1,而其中符合集合 B 的只有-1 和 0,故 选 B. 2.解析:选 D 当 c=0 时,选项 A 不成立;当 a>0,b<0 时,选项 B 不成立;当 a=1, b 3b2 a+ ?2+ >0,故选 D. b=-5 时,选项 C 不成立;a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)=(a-b)? ? 2? 4 3.解析:选 C 本题主要考查一些常见函数的图象和性质,意在考查考生对幂函数、二 1 次函数、指数函数、对数函数以及函数图像之间的变换关系的掌握情况.y= 是奇函数,选 x 项 A 错;y=e x 是指数函数,非奇非偶,选项 B 错;y=lg |x|是偶函数,但在(0,+∞)上单


调递增,选项 D 错;只有选项 C 是偶函数且在(0,+∞)上单调递减. 4.解析:选 A 本题主要考查复数的运算法则和几何意义,属于容易题,意在考查考生 根据复数的乘法运算法则进行运算化简的能力,并根据复数的几何意义判断出复数在复平面 内对应的点所在的象限.因为 i(2-i)=1+2i,所以对应的点的坐标为(1,2),在第一象限,故 选 A. 5. 解析: 选 B 本题主要考查正弦定理, 意在考查考生对正、 余弦定理掌握的熟练程度, 属于容易题.依题意,由 a b 3 5 5 = ,即 = ,得 sin B= ,选 B. sin A sin B 1 sin B 9 3

6.解析:选 C 本题主要考查程序框图的知识,意在考查考生正确理解循环次数,通过 2 13 逐次循环操作计算出结果.初始条件 i=0,S=1,逐次计算结果是 S= ,i=1;S= ,i=2, 3 21 13 此时满足输出条件,故输出 S= ,选 C. 21 7.解析:选 C 本题主要考查双曲线的几何性质,意在考查考生的运算求解能力.依题 c c2 意,e= ,e2= 2>2,得 1+m>2,所以 m>1,选 C. a a 8.解析:选 B 本题主要考查空间几何体及三角形中的边角关系,意在考查考生的空间 想象能力和空间构造能力.解决本题的关键是构造直角三角形.在直角三角形 D1DB 中,点 P 到点 D1,D,B 的距离均不相等,在直角三角形 D1CB 中,点 P 到点 C 的距离与点 P 到点 D1,D,B 的距离均不相等,在直角三角形 D1A1B 中,点 P 到点 A1 的距离与点 P 到点 D 的 距离相等,在直角三角形 D1C1B 中,点 P 到点 C1 的距离与点 P 到点 D 的距离相等,故选 B. 9.解析:本题主要考查抛物线的方程及其简单的几何性质,意在考查考生的运算求解能 p p 力.因为抛物线的焦点坐标为(1,0),所以 =1,p=2,准线方程为 x=- =-1. 2 2 答案:2 x=-1 10.解析:本题主要考查三视图的相关知识及椎体的体积公式,意在考查考生的运算求 解能力,空间想象能力及推理论证能力,解题时先由三视图得到直观图,再进行求解.由三 视图可知直线观图是一个底面是边长为 3 的正方形,高为 1 的四棱锥,由棱锥的体积公式得 1 V 四棱锥= ×32×1=3. 3 答案:3

11.解析:本题主要考查等比数列的基础知识,意在考查考生的计算能力.
3 ? ? ?a1q+a1q =20, ?q=2, ? 由题知? 2 解得 4 ?a1q +a1q =40, ? ? ?a1=2,

2?1-2n? n+1 故 Sn= =2 -2. 1-2 答案:2 2n 1-2


12.解析:本题主要考查线性规划的简单应用,意在考查考生的运算能力、作图能力及 数形结合思想和转化思想.作出可行域,如图中阴影部分所示,则根据图形可知,点 B(1,0) |2×1-0| 2 5 2 5 到直线 2x-y=0 的距离最小,d= = <1,故最小距离为 . 2 5 5 2 +1

2 5 答案: 5 13.解析:本题主要考查分段函数的概念、性质以及指数函数、对数函数的性质,意在 考查考生对函数定义域、值域掌握的熟练程度.分段函数是一个函数,其定义域是各段函数 1 定义域的并集,值域是各段函数值域的并集.当 x≥1 时,log x≤0,当 x<1 时,0<2x<2,故 2 值域为(0,2)∪(-∞,0]=(-∞,2). 答案:(-∞,2) 14.解析:本题主要考查平面向量、线性规划以及考生利用函数方程的思想解答问题的 能力,是一道综合性较强的题目,意在考查考生分析问题、解决问题的能力.

设点 P(x,y),由
?x-1=2λ+μ, ? 故? ? ?y+1=λ+2μ,

,得(x-1,y+1)=λ(2,1)+μ(1,2),

?λ=2x-3y-3, 得? -x+2y+3 ?μ= 3 , ?1≤2x-3y-3≤2, 由 1≤λ≤2,0≤μ≤1 得,? -x+2y+3 ?0≤ 3 ≤1,

? ?3≤2x-y-3≤6, 即? 画出可行域如图中阴影部分所示, 点 B(3,0)到直线 x-2y=0 的距 ?-3≤x-2y-3≤0. ?

离 d=

|3| 3 5 = ,点 B,N 之间的距离|BN|= 5,故阴影部分的面积为 3. 5 1+4

答案:3 15.解:本题主要考查三角函数的诱导公式、二倍角公式、三角函数的周期和最值等相 关知识,意在考查考生的推理论证能力、运算求解能力、转化与化归能力. 1 1 (1)因为 f(x)=(2cos2x-1)sin 2x+ cos 4x=cos 2xsin 2x+ cos 4x 2 2 1 = (sin 4x+cos 4x) 2 = π 2 ? sin?4x+4? ?, 2

π 2 所以 f(x)的最小正周期为 ,最大值为 . 2 2 (2)因为 f(α)= π 2 4α+ ?=1. ,所以 sin? 4? ? 2

π ? 因为 α∈? ?2,π?, π 9π 17π? , 所以 4α+ ∈? 4 ?. 4 ?4 π 5π 9π 所以 4α+ = .故 α= . 4 2 16 16.解:本题主要考查考生利用古典概型处理较为热点的环境问题的能力,意在考查考 生的推理论证能力、识图能力、等价转化能力. (1)在 3 月 1 日至 3 月 13 日这 13 天中,1 日、2 日、3 日、7 日、12 日、13 日共 6 天的 6 空气质量优良,所以此人到达当日空气质量优良的概率是 . 13 (2)根据题意,事件“此人在该市停留期间只有 1 天空气重度污染”等价于“此人到达该 市的日期是 4 日,或 5 日,或 7 日,或 8 日”, 4 所以此人在该市停留期间只有 1 天空气重度污染的概率为 . 13 (3)从 3 月 5 日开始连续三天的空气质量指数方差最大. 17.解:本题主要考查空间中点、线、面的位置关系,意在考查考生的空间想象能力和 推理论证能力. (1)因为平面 PAD⊥底面 ABCD, 且 PA 垂直于这两个平面的交线 AD, 所以 PA⊥底面 ABCD.

(2)因为 AB∥CD,CD=2AB,E 为 CD 的中点,

所以 AB∥DE,且 AB=DE. 所以 ABED 为平行四边形. 所以 BE∥AD. 又因为 BE?平面 PAD,AD?平面 PAD, 所以 BE∥平面 PAD. (3)因为 AB⊥AD,而且 ABED 为平行四边形. 所以 BE⊥CD,AD⊥CD, 由(1)知 PA⊥底面 ABCD. 所以 PA⊥CD. 所以 CD⊥平面 PAD. 所以 CD⊥PD. 因为 E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点, 所以 PD∥EF. 所以 CD⊥EF. 所以 CD⊥平面 BEF. 所以平面 PEF⊥平面 PCD. 18.解:本题主要考查导数的几何意义和函数的零点等问题,意在考查考生的运算求解 能力、转化与化归能力. 由 f(x)=x2+xsin x+cos x,得 f′(x)=x(2+cos x). (1)因为曲线 y=f(x)在点(a,f(a))处与直线 y=b 相切, 所以 f′(a)=a(2+cos a)=0,b=f(a). 解得 a=0,b=f(0)=1. (2)令 f′(x)=0,得 x=0. f(x)与 f′(x)的情况如下: x f′(x) f(x) 的最小值. 当 b≤1 时,曲线 y=f(x)与直线 y=b 最多只有一个交点; 当 b>1 时,f(-2b)=f(2b)≥4b2-2b-1>4b-2b-1>b, f(0)=1<b, 所以存在 x1∈(-2b,0),x2∈(0,2b),使得 f(x1)=f(x2)=b. 由于函数 f(x)在区间(-∞,0)和(0,+∞)上均单调,所以当 b>1 时曲线 y=f(x)与直线 y =b 有且仅有两个不同交点. 综上可知, 如果曲线 y=f(x)与直线 y=b 有两个不同交点, 那么 b 的取值范围是(1, +∞). 19.解:本题主要考查直线与椭圆的位置关系、函数与方程的思想,意在考查考生的运 算求解能力、转化与化归能力、数形结合能力. (1)因为四边形 OABC 为菱形,所以 AC 与 OB 相互垂直平分. 1 t2 1 t, ?,代入椭圆方程得 + =1,即 t=± 3. 所以可设 A? ? 2? 4 4 所以|AC|=2 3. (2)假设四边形 OABC 为菱形. 因为点 B 不是 W 的顶点,且 AC⊥OB,所以 k≠0. (-∞,0) - ? 0 0 1 (0,+∞) + ?

所以函数 f(x)在区间(-∞,0)上单调递减,在区间(0,+∞)上单调递增,f(0)=1 是 f(x)

2 2 ? ?x +4y =4, 由? 消去 y 并整理得 ?y=kx+m ?

(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0. 设 A(x1,y1),C(x2,y2),则 x1+x2 y1+y2 x1+x2 4km m =- =k· +m= . 2, 2 2 2 1+4k 1+4k2 4km m 所以 AC 的中点为 M?-1+4k2,1+4k2?.

?

?

1 因为 M 为 AC 和 OB 的交点,且 m≠0,k≠0,所以直线 OB 的斜率为- . 4k

?- 1 ?≠-1,所以 AC 与 OB 不垂直. 因为 k· ? 4k?
所以 OABC 不是菱形,与假设矛盾. 所以当点 B 不是 W 的顶点时,四边形 OABC 不可能是菱形. 20.解:本题主要考查数列的相关知识及对新定义题型的理解,意在考查考生的推理论 证能力、运算求解能力、转化与化归能力. (1)d1=2,d2=3,d3=6. (2)因此 a1>0,公比 q>1, 所以 a1,a2,?,an 是递增数列. 因此,对 i=1,2,?,n-1,Ai=ai,Bi=ai+1. 于是对 i=1,2,?,n-1. di=Ai-Bi=ai-ai+1=a1(1-q)qi 1.


di+1 因此 di≠0 且 =q(i=1,2,?,n-2), di 即 d1,d2,?,dn-1 是等比数列. (3)设 d 为 d1,d2,?,dn-1 的公差. 对 1≤i≤n-2,因为 Bi≤Bi+1,d>0, 所以 Ai+1=Bi+1+di+1≥Bi+di+d>Bi+di=Ai. 又因为 Ai+1=max{Ai,ai+1},所以 ai+1=Ai+1>Ai≥ai. 从而 a1,a2,?,an-1 是递增数列.因此 Ai=ai(i=1,2,?,n-1). 又因为 B1=A1-d1=a1-d1<a1,所以 B1<a1<a2<?<an-1. 因为 an=B1. 所以 B1=B2=?=Bn-1=an. 所以 ai=Ai=Bi+di=an+di. 因此对 i=1,2,?,n-2 都有 ai+1-ai=di+1-di=d, 即 a1,a2,?,an-1 是等差数列.


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