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2018高考数学专题07 常考常新的分段函数-备战2018年高考数学之高三复习大一轮热点聚焦与扩展


专题 07

常考常新的分段函数

【热点聚焦与扩展】 分段函数是函数中比较复杂的一种函数,其要点在于自变量取不同范围的值时所使用的解析式不同,所以 在解决分段函数的问题时要时刻盯着自变量的范围是否在发生变化 .即“分段函数——分段看”.高考关于 分段函数的考查,往往与函数的图象和性质相结合,有时以小题的面目出现,有时渗透于解答题之中 .分 段函数表示一个函数,不是几个函数,从近几年高考命题看,考查力度有加大趋势,与之相关的题目,往 往有一定的难度,关键是与基本初等函数结合,要求不但要理解分段函数的概念,更要掌握基本初等函数 的图象和性质. 1、分段函数的定义域与值域——各段的并集. 2、分段函数单调性的判断:先判断每段的单调性,如果单调性相同,则需判断函数是连续的还是断开的, 如果函数连续,则单调区间可以合在一起,如果函数不连续,则要根据函数在两段分界点出的函数值(和 临界值)的大小确定能否将单调区间并在一起. 3、分段函数对称性的判断:如果能够将每段的图像作出,则优先采用图像法,通过观察图像判断分段函数 奇偶性。如果不便作出,则只能通过代数方法比较 f ? x ? , f ? ? x ? 的关系,要注意 x, ? x 的范围以代入到正 确的解析式. 4、分段函数分析要注意的几个问题 (1)分段函数在图像上分为两类,连续型与断开型,判断的方法为将边界值代入每一段函数(其中一段是 函数值,另外一段是临界值) ,若两个值相等,那么分段函数是连续的.否则是断开的.例如:

?2 x ? 1, x ? 3 ,将 x ? 3 代入两段解析式,计算结果相同,那么此分段函数图像即为一条连续的曲 f ? x? ? ? 2 x ? 4, x ? 3 ?
线,其性质便于分析.再比如 f ? x ? ? ? 的两段. (2)每一个含绝对值的函数,都可以通过绝对值内部的符号讨论,将其转化为分段函数.例如:

?2 x ? 1, x ? 3
2 ? x ? 1, x ? 3

中,两段解析式结果不同,进而分段函数的图像是断开

? x ? 1 ? 3, x ? 1 f ? x ? ? x ? 1 ? 3 ,可转化为: f ? x ? ? ? ?1 ? x ? 3, x ? 1
5、遇到分段函数要时刻盯住变量的范围,并根据变量的范围选择合适的解析式代入,若变量的范围并不完 全在某一段中,要注意进行分类讨论. 6、如果分段函数每一段的解析式便于作图,则在解题时建议将分段函数的图像作出,以便必要时进行数形

结合. 【经典例题】 例 1【2017 山东,文 9】设 f ? x ? ? ? A. 2 B. 4

? ? x ,0 ? x ? 1 ?1? ,若 f ? a ? ? f ? a ?1? ,则 f ? ? ? ( ?a? ? ? 2 ? x ? 1? , x ? 1
D. 8



C. 6

【答案】C 【解析】

【名师点睛】求分段函数的函数值,首先要确定自变量的范围,然后选定相应关系式代入求解;当给出函数 值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时 ,应根据每一段解析式分别求解,但要注意检验 所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围. 例2 【2017 天津, 文 8】 已知函数 f ( x) ? ? ? 恒成立,则 a 的取值范围是( )

?| x | ?2, x ? 1, x 设a?R , 若关于 x 的不等式 f ( x ) ?| ? a | 在 R 上 2 2 x ? , x ? 1. ? x ?

(A) [?2, 2] (B) [?2 3, 2] (C) [?2, 2 3] (D) [?2 3, 2 3] 【答案】 A 【解析】

【名师点睛】一般不等式恒成立求参数 1.可以选择参变分离的方法,转化为求函数最值的问题;2.也可以 画出两边的函数图象,根据临界值求参数取值范围;3.也可转化为 F ? x ? ? 0 的问题,转化讨论求函数的最 值求参数的取值范围. 例 3.已知 f ? x ? ? ?

? ? x ? 1. x ? ? ?1,0 ? ,则下列选项错误的是( 2 x ? 1, x ? 0,1 ? ? ? ?



A. ①是 f ? x ? 1? 的图像 C. ③是 f 【答案】D

B. ②是 f ? ? x ? 的图像 D. ④是 f ? x ? 的图像

? x ? 的图像

? x3 ? 1 , x ? 1 ? 例 4.函数 f ? x ? ? ? ,则下列结论正确的是( ? ? 2sin x, x ? 1 ? 2
A. 函数 f ? x ? 在 ?1, ?? ? 上为增函数 C. 函数 f ? x ? 是奇函数 【答案】A



B. 函数 f ? x ? 的最小正周期为 4 D. 函数 f ? x ? 无最小值

【名师点睛】 (1)本题利用数形结合是最为简便的方法,一方面是因为 f ? x ? 本身便于作图,另一方面四个 选项在图上也有具体的含义. (2)分段函数作图过程中,尤其在函数图象断开时,一定要注意端点处属于哪个解析式.本题中 x ? ?1 就 属于 y ? 2sin

?
2

x 部分,所以才存在最小值.

? x ? 1,x ? 0, 1 例5 【2017 课标 3, 文理】 设函数 f ( x) ? ? x 则满足 f ( x) ? f ( x ? ) ? 1 的 x 的取值范围是_________. 2 ?2 ,x ? 0,

【答案】 ? ?

? 1 ? , ?? ? ? 4 ?

3 ? 2x ? , x ? 0 ? 2 ? 1? ? x 1 1 ? 写成分段函数的形式: g ? x ? ? f ? x ? ? f ? x ? ? ? ?2 ? x ? , 0 ? x ? , 2? ? 2 2 ? 1 ? x ?1 ? 2 ?1 2 , x ? 2 ?

?

?

函数 g ? x ? 在区间 ? ??, 0? , ? 0, ? , ? , ?? ? 三段区间内均单调递增, 2 2 且: g ? ? ? ? 1, 20 ? 0 ?

? ?

1? ? 1 ? ?

? ?

? 1? ? 4?

1 ? 1, 2

?

2 ? 1 ? 20?1 ? 1 ,

?

据此 x 的取值范围是: ? ?

? 1 ? , ?? ? . ? 4 ?

【名师点睛】(1)求分段函数的函数值,要先确定要求值的自变量属于哪一段区间,然后代入该段的解析式 求值,当出现 f(f(a))的形式时,应从内到外依次求值. (2)当给出函数值求自变量的值时,先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上,然后求出相应自变量 的值,切记要代入检验,看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围. 例 6【2018 届河南省中原名校(即豫南九校)高三第六次考评】已知函数 f ? x ? ? { ( a ? 0 且 a ? 1) ,若 f ? x ? 有最小值,则实数 a 的取值范围是( )

? a ? 2? x ? 3a ? 1, x ? 3
2a x ?2 , x ? 3

A. ? 0, ? 6

? ?

5? ?

B. ?1,

? 5? ? ? 4?

C. ? 0, ? ? ?1, ? 6 4

? ?

5? ?

? 5? ? ?

D.

? 0,1? ? ? ?

5 ? , ?? ? ?4 ?

【答案】C

故选 C .

例 7【2018 届四川省广元市高高三第二次统考】已知函数 个不同的根,记最大的根的所有取值为集合 ,若函数 ( A. 【答案】B 【解析】画出图象如下图所示,由图可知, 过 时斜率最小,为 ,当 与 ,令 得 ,即 与 , ) B. C. D.

,方程

有四

有零点,则 的取值范围是

有交点,当 ,故斜率为 ,

相切时,斜率最大.设切点为

故有

斜率为

.故选 .

【名师点睛】本小题主要考查分段函数的图象与性质,考查函数的零点问题,考查利用导数研究函数零点问 题,考查求函数的切线方程的方法.分段函数的图象需要分成两段来画出, 和 有四个零点等价于

有四个不同的交点.在利用导数求切线方程时,要注意已知点是切点还是曲线外一点. 是在 上的减函数,则 的

例 8【2018 届广西高三下学期第二次模拟】若函数 取值范围是__________. 【答案】 【解析】由题意可得 ,则 .

? a,x ? 0, 例 9【2018 届北京市朝阳区高三 3 月一模】已知 a ? R ,函数 f ? x ? ? { sin πx 当 x ? 0 时,函 2 , x ? 0. 2 x ?1 ? 2? x ?1
数 f ? x ? 的最大值是_____;若函数 f ? x ? 的图象上有且只有两对点关于 y 轴对称,则 a 的取值范围是 ______. 【答案】

? x +1?

2

1 2

1? ? ? ?1, ? 2? ?

点,即方程 ?1 ? x ? ? a ?
2

sin 2
x ?1

?

2 有两个正根,即函数 y ? x ?1 2? x ?1 ? x 2 ? 2 x ? 1 ? a ? x ?1 ?2 2 ?2
? ? 1? 2?

x

sin

?x
有两个零

点,利用导数研究函数图像的走向,从而确定出所求的参数 a 的取值范围是 ? ?1, ? .

例 10【2018 届北京市汇文实验中学高三九月月考】已知函数 f ? x ?

? 4a ? 3 ? x ? a ? ?{

1 ,x?0 ,若函数 2 x a ,x ?0

? 1? f ? x ? 的图像经过点 ? 3, ? ,则 a ? ___________;若函数 f ? x ? 满足对任意 x1 ? x2 ,都有 ? 8?

f ? x1 ? ? f ? x2 ? x1 ? x2
【答案】

? 0 成立,那么实数 a 的取值范围是___________.
?1 3 ? ?2 , 4 ? ? ?
? 1? ? 8?

1 2

【解析】 ?1? 函数 f ? x ? 的图象经过点 ? 3, ? ,

1 1 3 ? 0 ,则 a 3 ? ,解得 a ? 8 2

? 2 ? 函数 f ? x ? 满足对任意 x1 ? x2 ,都有
? f ? x ? 为减函数

f ? x1 ? ? f ? x2 ? x1 ? x2

? 0 成立

x ? 0 时, f ? x ? ? a x 为减函数,则 0 ? a ? 1 ,且 f ? 0? ? 1
1 x ? 0 时, f ? x ? ? ? 4a ? 3? x ? a ? 为减函数, 2

故 4a ? 3 ? 0 , a ? 且 x 0 时, f ? x ?

3 , 4 1 1 a ? ? f ? 0 ? ? 1 ,则 a ? 2 2

综上所述可得实数 a 的取值范围是 ? , ?

?1 3 ? ?2 4 ?

【名师点睛】本题主要考查的是函数的连续性以及函数单调性的性质,还考查了分段函数的解析式的求法 及其图象的作法。对于 ?1? 函数 f ? x ? 的图象经过点 ? 3, ? ,且 3 ? 0 ,即可求得 a ? 给条件可得 f ? x ? 为减函数,只要考虑 x ? 0 时的单调性即可。 【精选精练】

? 1? ? 8?

1 ;对于 ? 2 ? ,根据所 2

1【2018 届河南省南阳市第一中学高三第十二次考】设函数 的 取值范围是( A. C. 【答案】C ) B. D.



,则实数

2【2018 届河北省邯郸市高三一模】若函数 f ? x ? ? { 为( A. ) B.

2x ? 1, x ? 1 ? x2 ? ax ? 1, x ? 1

在 R 上是增函数,则 a 的取值范围

?2,3?

?2, ???

C. 1,3

? ?

D. 1, ?? ?

?

【答案】A 【解析】由题意得

a ?1 { ? a ? ? 2,3? ,选 A. 2 ?1 ? a ? 1 ? 2 ? 1

3.函数 f ? x ? ? { A. a ? 0 【答案】A

log 2 x, x ? 0 ?2 x ? a, x ? 0
1 2

有且只有一个零点的充分不必要条件是

B. 0 ? a ?

C.

1 ? a ?1 2

D. a ? 0 或 a ? 1

【解析】函数 f ? x ? ? {

log 2 x, x ? 0 ?2 x ? a, x ? 0

,当 x ? 0 时,由 f ? x ? ? 0 ,得 log2 x ? 0 ,解得 x ? 1 .

x 由题意可知,当 x ? 0 时, f ? x ? ? 0 无解,即 ?2x ? a ? 0 无解,因为 2 ? ? 0,1 ,所以 a ? 0 或 a ? 1 .

?

所以 a ? 0 是 a ? 0 或 a ? 1 的充分不必要条件. 故选 A. 4【2018 年山西省高考测试】定义在 R 上的函数 f ? x ? 满足 f ? ?x ? ? f ? x ? ,且当 x ? 0 时,

f ? x? ? {

? x 2 ? 1,0 ? x ? 1 2 ? 2x , x ? 1


.若对任意的 x ? m, m ?1 ,不等式 f ?1 ? x ? ? f ? x ? m? 恒成立,则实数 m 的

?

?

最大值是( A. ?1 【答案】C

B. ?

1 2

C. ?

1 3

D.

1 3

2 将 x ? m ? 1 代入可得: 3m ? 4m ? 1 ? 0

解得: ?1 ? m ? ?

1 3

则实数 m 的最大值是 ? 故选 C

1 3

点睛:本题考查的知识点主要是分段函数的应用以及函数奇偶性的性质。分析当 x ? 0 时,当 x ? 0 时,可 得函数 f ? x ? 的单调性,由偶函数的性质可得 1 ? x ? x ? m ,结合二次函数的图象和不等式恒成立思想, 解不等式即可得到所求最大值。

5【2018 届江西省高三六校联考】已知 【答案】2 【解析】∵ 故答案为:2. = ,∴



=__________.

【名师点睛】(1)求分段函数的函数值,要先确定要求值的自变量属于哪一段区间,然后代入该段的解析式 求值,当出现 f(f(a))的形式时,应从内到外依次求值. (2)当给出函数值求自变量的值时,先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上,然后求出相应自变量的 值,切记要代入检验,看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围. 6【2018 年陕西省高三检测(二) 】设函数 f ? x ? ? { 【答案】 12

2 x , x ? 3, f ? x ? 1? , x ? 3

则 f ? log2 6? 的值为__________.

7. 【2018 届陕西省咸阳市高三二模】已知函数 f ? x ? ? {

log 2 ? 3 ? x ? , x ? 2 ,则 2 x ?2 , x ? 2

f ? log212? ? f ?1? ? __________.
【答案】 4 【解析】由函数 f ? x ? ? {

log 2 ? 3 ? x ? , x ? 2 ,得 f ?1? ? log2 2 ? 1 . 2 x ?2 , x ? 2
log2 12?2

又 log212 ? log2 3 ? 2 ? 2 ,所以 f ? log212? ? 2

? 2log2 3 ? 3 .

所以 f ? log212? ? f ?1? ? 4 . 故答案为:4. 8【2018 届吉林省长春市普通高中高三质量监测(三) 】已知函数 取值范围是___________. 【答案】 ,若 ,则实数 的

9【2018 届陕西省西安市八校高三上学期第一次联考】设函数 f ? x ? ? {

x ? 1, x ? 0 ,则满足 2x , x ? 0

f ? x ? ? f ? x ?1? ? 1的 x 的取值范围是__________.
【答案】 ? 0, ??? 【解析】①当 x ? 0 时,则 x ? 1 ? ?1 . ∴ f ? x ? ? f ? x ?1? ? x ?1 ? ? x ?1? ? 1 ? 2x ? 1 ? 1,即 x ? 0 ,此时无解 ②当 0 ? x ? 1 ,则 x ? 1 ? 0 . ∴ f ? x ? ? f ? x ?1? ? 2 ? ? x ?1? ? 1 ? 2 ? x
x x

∵ 2 ? 2 ?1
x 0

∴此时 f ? x ? ? f ? x ?1? ? 1恒成立 ③当 x ? 1 时,则 x ? 1 ? 0 . ∴ f ? x ? ? f ? x ?1? ? 2 ? 2
x x ?1

? 3? 2x?1

∵2

x ?1

? 20 ? 1

∴此时 f ? x ? ? f ? x ?1? ? 1恒成立

综上所示,满足 f ? x ? ? f ? x ?1? ? 1 的 x 的取值范围是 ? 0, ??? . 故答案为 ? 0, ??? . 【名师点睛】本题主要考查不等式的求解,结合分段函数的不等式,解答本题的的关键是利用分类讨论的 数学思想进行求解,将 x 分 x ? 0 , 0 ? x ? 1 , x ? 1 三种讨论,再结合初等函数的单调性解答. 10【2018 届江苏省徐州市高三第一次质量检测】已知函数 f ? x ? ? {

2 ? x ?1 , x ? 1

? x ? 1?

2

, x ?1

,函数

g ? x ? ? f ? x ? ? f ? ?x ? ,则不等式 g ? x ? ? 2 的解集为__________.
【答案】 ?2, 2

?

?
2 ? x ?1 , x ? 1

【解析】函数 f(x)= {

? x ? 1?

2

, x ?1



由 g(x)≤2,解得﹣2≤x<﹣1; ③当﹣1≤x≤1 时,﹣1≤﹣x≤1, 可得 g(x)=1﹣x+1+x=2, 由 g(x)≤2,解得﹣1≤x≤1, 综上可得,原不等式的解集为[﹣2,2]. 故答案为:[﹣2,2]. 11【2018 届山西省榆社中学高三诊断性模拟】设函数 f ? x ? ? { 的最大值为_______.

log 2 x, x ? 1 ,若 f ? x0 ? ? f ? log3 2? ,则 x0 3x ? 1, x ? 1

【答案】8 【解析】由题意,因为 0 ? log3 2 ? 1,所以 f ? log3 2? ? 3
log3 2

?1 ? 3 ,则 f ? x0 ? ? 3 ,若 x0 ? 1 时,有

log2 x0 ? 3 ,则 0 ? x0 ? 8 ,此时 x0 的最大值为 8,从而问题可得解.
12.已知函数 f ? x ? ? { 是________. 【答案】 m ? 0 或 m ? [2, ??) 【解析】作出函数 f(x)的图象如图,

2x , x ? 1 若直线 y ? m 与函数 f ? x ? 的图象只有一个交点,则实数 m 的取值范围 log 2 x, x ? 1


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