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勾股定理逆定理优质课教案


勾股定理的逆定理 (1)教案
教学任务分析
班级 八(5) 班 知识 技能 教学内容 勾股定理的逆定理 (1) 主讲人 杨剑文 4.11 第 5 节

1.了解勾股定理的逆定理的证明方法和证明过程; 2.掌握勾股定理的逆定理,并能判定一个三角形是否为直角三角形; 3.会运用勾股定理的逆定理解决相关实际问题. 1.通过“创设情景—建立模型—实验探究—理论释意—拓展应用”的勾股定理

教 学 目 标

数学思考

的逆定理的探索过程,经历知识的发生、发展、形成和应用的过程; 2.通过三角形三边的数量关系来判断三角形的形状,体验数形结合法的应用.

解决问题

通过勾股定理的逆定理的证明及其应用,体会数形结合法在问题解决中的作 用,并能运用勾股定理的逆定理解决相关问题. 1.通过三角形三边的数量关系来判断三角形的形状,体验数与形的内在联系,

情感态度

感受定理与逆定理之间的关系; 2.在探究勾股定理的逆定理的证明及应用的活动中,通过一系列富有探究性的 问题,渗透与他人交流、合作的意识和探究精神.

重难点

勾股定理的逆定理及其应用.

教学过程设计
问题与情景 [活动 1] 创设情景: 1.同学们你们知道古埃及人用什 么方法得到直角? 用 13 个等距的结,把一根绳子分成 等长的 12 段,一个工匠同时握住绳子的 第 1 个结和第 13 个结,两个助手分别握 住第 4 个结和第 8 个结,拉紧绳子就得到 一个直角三角形, 处. 2.分别以 2.5cm、6cm、6.5cm 和 4cm、7.5cm、8.5cm 为三边画出两个三 角形,请观察并说出此三角形的形状? 3.结合三角形三边长度的平方关 系,你能猜一猜三角形的三边长度与三 角形的形状之间有怎样的关系吗? 其直角在第 4 个结 师生行为 学生分组活动,动手操作,并在组 内进行交流、讨论的基础上,作出实践 性预测. 教师深入小组参与活动,并帮助、 指导部分学生完成任务, 得出勾股定理 的逆命题.在此基础上,介绍:古埃及 和我国古代大禹治水都是用这种方法 来确定直角的. 在活动 1 中教师应重点关注: (1)学生在活动中的参与意识和 动手能力; (2)是否清楚三角形的三边长度 的平方关系是因,直角三角形是果,即 先有数,后有形. (3)数形结合的数学思想方法及 归纳能力. 通过动手实践、 介绍 数学史, 在对学生进行动 手能力培养和数学史教 育的同时, 体验数与形的 内在联系, 自然地得出勾 股定理的逆命题. 设计意图

[活动 2] 建立模型 1.你能证明以 2.5cm、6cm、6.5cm 为三边长的三角形是直角三角形吗? 2.如图 18.2-2,若△ABC 的三边 长 a 、 b 、 c 满足 a ? b ? c ,试证明
2 2 2

学生结合活动 1 的体验, 独立思考 问题 1,通过小组交流、讨论,完成问 题 2.在此基础上,说出问题 2 的证明 思路. 教师提出问题,并适时诱导,指导 学生完成问题 2 的证明.之后,归纳得 出勾股定理的逆定理.在此基础上,类 比定理与逆定理的关系,介绍逆命题 (定理)的概念,并与学生一起完成问 题. 在活动 2 中教师应关注: (1)学生能否联想到了“‘全
图 18.2-2

变“命题+证明=定 理” 的推理模式为定理的 发生、 发展、 形成的探究 过程, “构造直角三角 把 形” 这一方法的获取过程 交给学生, 让他们在不断 的尝试、探究的过程中, 亲身体验参与发现的愉 悦. 利用几何画板去验 证勾股定理的逆定理,让 理论上释意形象生动,可 强化学生的记忆,使学生 对定理的理解更深刻.

△是直角三角形,请简要地写出证明过 程.

[活动 3]理论释意 任意三角形的三边长 a 、 b 、 c , 只要满足 a 2 ? b 2 ? c 2 ,一定可以得到 此三角形为直角三角形。 1.教材 75 页练习第 1 题.

等’,进而设法构造全等三角形”这一 问题获解的关键; (2)学生在问题 2 中,所表现出 来的构造直角三角形的意识; (3)是否真正地理解了 AB=A B 特殊到一般的数学思想方法; 在活动 3 中 (1)利用几何画板,从理论上改 变三角形三边的大小, 度量∠BAC 是否 为直角.从实践上去检验命题的正确性, 加深学生对勾股逆定理的理解;
/ /

(如图 18.2-2) ;数形结合的意识和由

[活动 4] 拓展应用 1.例 1:判断由线段 a 、 b 、 c 组 成的三角形是不是直角三角形: (1) a ? 15, b ? 8, c ? 17 ; (2) a ? 13, b ? 14, c ? 15 . 小试牛刀 在活动 4 中 学生说出问题(1)的判断思路, 部分学生演板问题 2,剩下的学生在课 堂作业本上完成. 教师板书问题 1 的详细解答过程, 向学生介绍勾股数的概念. 在活动 4 中教师应重点关注: (1)学生的解题过程是否规范; (2)是不是用两条较小边长的平 方和与较大边长的平方进行比较; C.a=9,b=40,c=41 D. a ? 11, b ? 12, c ? 15 3.若△ABC 中,AB=13,AC=15,高 AD=12,则 BC 的长是_____. (3)活动 4 中的练习可视课堂情 形而定, 如果时间不允许, 可处理部分. 进一步熟悉和掌握 勾股定理的逆定理及其 运用,理解勾股数的概 念,突出本节的教学重 点.

最后 1.教材 76 页习题 18.2 第 1 题(1) 并纠正学生在练习中出现的问题, 、 (3) . 2. 在下列长度的四组线段中,不能 组成直角三角形的是( ) . A.a=5,b=12,c=13 B. a ? b ? 5, c ? 5 2

A.14 B.4C.14 或 4 D.以上都不对 例 2: “远航”号、 “海天”号轮船 同时离开港口,各自沿一固定方向航 行, “远航”号每小时航行 16 海里, “海 天”号每小时航行 12 海里,它们离开 港口一个半小时后相距 30 海里.如果 知道“远航”号沿东北方向航行,能知 道“海天”号沿哪个方向航行吗? 在活动 4 中教师应重点关注: (1)图形语言和符号语言的表述 是否准确; (2)知道三角形的三边,应用勾 股定理逆定理去探究三角形形状的意 识;
图 18.2-3

学生根据题意画出图形(如图 18.2-3) ,并在教师的启发下,给出例 2 的解答过程. 教师与学生一起完成建模与转化 过程,帮助、引导学生完成解答过程, 规范解题格式.

从实际生活中所遇 到的问题出发, 以本节的 知识为载体建立数学模 型, 在利用数学模型 (勾 股定理的逆定理) 去解决 实际问题, 让学生亲身经 历将实际问题抽象成数 学模型并进行解释与应 用的过程, 有效的培养学 生的应用意识.

(3)是否清楚解应用问题的三个 基本过程: 建立数学模型→求解数学模 型→回到实际问题中去; (4)学生在解决实际问题中所表 现出来的数学情感与态度.

跟踪练习: 如图 1,四边形 ABCD 中,AB=3 cm , BC=4 cm ,CD=12 cm ,DA=13 cm ,且 ∠ABC=90 ,则四边形 ABCD 的面积是 ________.
0

(5)补充练习,视时间而定,部 分学生演板, 剩余学生在课堂练习本上
图1

及时反馈教学效果, 查漏补缺. 对学有困难的 同学给予鼓励和帮助.

独立完成. (6)教师巡视,了解学生对知识

[活动 5] 小结: 1.勾股定理的逆定理的内容是什么? 2、勾股定理的逆定理的主要作用是什 么?

的掌握情况.

1.勾股定理的逆定理; 2. 勾股定理的逆定理的运用;

设计一个思考题的 目的是, 延续探究性学习 的时间与空间. (7)思考题主要看学生能否熟练 2. (思考题)如图 2,公路 MN 和公路 PQ 在点 P 处交汇, 且∠QPN=30 , A 点 处有一所中学,AP=160 米,假设拖拉
0

地应用勾股定理定理及逆定理去分析 和解决问题.

机行驶时,周围 100 米以内会受到噪音 的影响, 那么拖拉机在公路 MN 上沿 PN 方向行驶时,学校是否回受到噪声的影 响?说明理由.如果受影响,已知拖拉 机的速度为 18 千米/时,那么学校受影 响的时间为多少秒?

梳理学习内容, 养成 整理、系统知识的习惯.

图2

[活动 6]作业: 1.练习:教材 76 页练习题 1、3. 2.思考:教材 77 页习题 18.2 第 6 题.

在活动 6 中教师应重点关注: (1) 学生在练习中反映出的问题, 加强教、 学反思, 进一步 有针对性地讲解; 提高教、学效果.

教学设计说明
1.重难点的处理:本节课是安排在勾股定理之后,主要内容包括勾股定理的逆定理及其应用、勾股数的 概念,其中前者是重点,勾股定理的逆定理的证明是难点,鉴于学生现有的认知能力,对于勾股定理的证 明,笔者引导学生掌握直角三角形知道两条直边便可以求出斜边的长便可,而具体证明过程学生只需了解, 对于勾股定理的逆定理证明有兴趣的学生,可课下讨论、查阅资料、上网搜索资料等方式解决. 2. “数形结合”思想的渗透:勾股定理的逆定理既是对直角三角形的再认识,也是判断一个三角形是 不是直角三角形(确定直角)的一种重要方法,除此以外,它还是向学生渗透“数形结合”这一数学思想 方法的很好素材.作为一种数学模型,它在日常生活中(比如,测量等)也有着极其广阔的应用. 3.强化勾股定理的逆定理:在教学中,我们首先从勾股定理的反面出发,给出三组数据,让学生通过摆、 画三角形的实践,并结合观察、归纳、猜想等一系列探究性活动,得出勾股定理的逆命题,再通过几何画 板释意,让学生能够形象生动的掌握勾股定理的逆定理. 4.充分运用教材资源:对于勾股定理的逆定理应用的教学,利用课本提供的两道例题,着眼于“双基” 和“应用”这两个层面,来突出本节的教学重点,学生如果能够掌握这两个例题,并能解决这一类的问题, 学生的双基和应用已经得到了很好的落实. 5.情感态度价值观的培养:本节课立足于创新和学生可持续发展,把教学内容分解为一系列富有探究性 的问题,让学生在解决问题的过程中经历知识的发生、发展、形成的过程,把知识的发现权交给学生,让 他们在获取知识的过程中,体验成功的喜悦,真正体现学生是学习的主人,教师只是学习的参与者、合作 者、引导者.



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