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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年高中数学苏教版必修4【备课资源】第1章1.3.4三角函数的应用


1.3.4

1.3.4
【学习要求】
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三角函数的应用

会用三角函数解决一些简单的实际问题,体会三角函数是描 述周期变化现象的重要函数模型. 【学法指导】 三角函数是刻画周期现象的重要模型,利用三角函数模型解 决实际问题时,要注意充分依据收集的数据,画出“散点 图”,观察“散点图”的特征,当“散点图”具有波浪形的 特征时,可以考虑应用正、余弦函数进行拟合.

填一填·知识要点、记下疑难点

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1.三角函数的周期性

2π y=Asin(ωx+φ) (ω≠0)的周期是 T= |ω| ; 2π y=Acos(ωx+φ) (ω≠0)的周期是 T= |ω| ; π y=Atan(ωx+φ) (ω≠0)的周期是 T= |ω| .

填一填·知识要点、记下疑难点

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2.函数 y=Asin(ωx+φ)+k (A>0,ω>0)的性质 (1)ymax= A+k ,ymin= -A+k .
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ymax+ymin ymax-ymin 2 (2)A= ,k= . 2
确定, 其中周期 T 可观察图象获得. π (4)由 ωx1+φ= 0 ,ωx2+φ= 2 ,ωx3+φ= π ,ωx4 3 +φ= 2π ,ωx5+φ= 2π 中的一个确定 φ 的值.

2π ω= T (3)ω 可由

填一填·知识要点、记下疑难点

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3.三角函数的应用
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三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型, 可以用来研究很多问题,在刻画周期变化规律、预测其未 来等方面都发挥着十分重要的作用.

研一研·问题探究、课堂更高效

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探究点一 利用基本三角函数的图象研究其它函数
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一些函数图象可以通过基本三角函数图象翻折得到. 例如: (1)由函数 y=f(x)的图象要得到 y=|f(x)|的图象,只需将 y =f(x)的图象在 x 轴下方的部分翻折到 x 轴上方,x 轴上方 的图象保持不动,即“上不动,下翻上”.(2)由函数 y= f(x)的图象要得到 y=f(|x|)的图象,应保留 y=f(x)位于 y 轴 右侧的图象,去掉 y 轴左侧的图象,再由 y 轴右侧的图象 翻折得到 y 轴左侧的图象,即“右不动,右翻左”.

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例如,作出函数 y=|sin x|的图象,根据图象判断其周期并写 出单调区间.

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函数 y=sin x 位于 x 轴上方的图象不动, 位于 x 轴下方的

图象沿 x 轴翻折到 x 轴上方即可得到函数 y=|sin x|的图象, 如 下图所示:

根据图象可知,函数 y=|sin x|的周期是 π,函数在区间 ? ? ? π? π ?kπ,kπ+ ?, 在区间?kπ-2,kπ?, k∈Z 上递减. 2? k∈Z 上递增; ? ? ?

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探究点二 利用三角函数模型解释自然现象 在客观世界中,周期现象广泛存在.潮起潮落、星月运转、
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昼夜更替、四季轮换,甚至连人的情绪、体力、智力等心 理、生理状况都呈现周期性变化.而三角函数模型是刻画 周期性问题的最优秀的数学模型. 利用三角函数模型解决实际问题的具体步骤如下: (1)收集数据,画出“散点图”; (2)观察“散点图”,进行函数拟合,当散点图具有波浪形 的特征时, 便可考虑应用正弦函数和余弦函数模型来解决;

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(3)注意由第二步建立的数学模型得到的解都是近似的,需要 具体情况具体分析.
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例如, 如图, 某地一天从 6~14 时的温度 变化曲线近似满足函数 y=sin(ωx+φ) +b. 根据图象可知,一天中的温差是 20℃ ; 这段曲线的函数解析式是 y= ?π 3π? 10sin?8x+ 4 ?+20,x∈[6,14] ? ?



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探究点三 三角函数模型在物理学中的应用 在物理学中,当物体做简谐运动时,可以用正弦型函数 y =Asin(ωx+φ)来表示运动的位移 y 随时间 x 的变化规律,
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其中: (1)A 称为简谐运动的振幅,它表示物体运动时离开平衡位 置的最大位移; 2π (2)T= ω 称为简谐运动的周期,它表示物体往复运动一次 所需的时间; 1 ω (3)f=T= 称为简谐运动的频率,它表示单位时间内物体 2π 往复运动的次数.

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例如,一根细线的一端固定,另一端悬挂一个小球,小球来 回摆动时,离开平衡位置的位移 s(单位:cm)与时间 t(单位: ? π? s)的函数关系是:s=6sin?2πt+6 ?. ? ?
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(1)画出它的图象; (2)回答以下问题: ①小球开始摆动(即 t=0),离开平衡位置是多少? ②小球摆动时,离开平衡位置的最大距离是多少? ③小球来回摆动一次需要多少时间?

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解 2π (1)周期 T= =1 (s) 2π 1 6 π 2 6 5 12 π 2 11 1 3 12 3π π 2π+ 2 2π 6 3

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列表: t
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0 π 6 3

π 2πt+ 6
? π? 6sin?2πt+6 ? ? ?

0 -6 0

描点、连线,如下图所示:

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(2)①小球开始摆动(t=0),离开平衡位置为 3 cm. ②小球摆动时离开平衡位置的最大距离是 6 cm. ③小球来回摆动一次需要 1 s(即周期).

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[典型例题] 例1

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(1)作出函数 y=|cos x|的图象,判断其奇偶性、周期性

并写出单调区间. (2)作出函数 y=sin|x|的图象并判断其周期性.
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(1)y=|cos x|的图象如图所示.

由图象可知:T=π;y=|cos x|是偶函数; π 单调递增区间为[-2+kπ,kπ],k∈Z, π 单调递减区间为[kπ,2+kπ],k∈Z.

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(2)∵sin(-x)=-sin x,
?sin x ? ∴y=sin|x|=? ?-sin ?

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x

?x≥0?, ?x<0?.

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∴其图象如图.

由图象可知,函数 y=sin|x|不是周期函数.
小结 结合三角函数图象的特点,一般地有以下结论: ①y=|sin x|的周期是 π;②y=|cos x|的周期是 π;③y=|tan x| π 的周期是 π;④y=|Asin(ωx+φ)|(Aω≠0)的周期是|ω|;⑤y= 2π |Asin(ωx+φ)+k|(Aωk≠0)的周期是 . |ω|

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跟踪训练 1 求下列函数的周期: ? ?1 π? 1? ? ? ①y=|sin 2x|;②y=?sin?2x+6 ?+3?;③y=|tan 2x|. ? ? ? ?
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π 2π π 解 ①T=2;②T= 1 =4π;③T=2. 2

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例 2 交流电的电压 E(单位:伏)与时间 t(单位:秒)的关系可 ? π? 用 E=220 3sin?100πt+6 ?来表示,求: ? ? (1)开始时的电压;
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(2)最大电压值重复出现一次的时间间隔; (3)电压的最大值和第一次取得最大值的时间.
解 (1)当 t=0 时,E=110 3(伏), 即开始时的电压为 110 3伏. 2π 1 (2)T= = (秒),即时间间隔为 0.02 秒. 100π 50
(3)电压的最大值为 220 3伏. π π 1 当 100πt+ = ,即 t= 秒时第一次取得最大值. 6 2 300

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小结
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三角函数模型在物理学科中有着广泛的应用.在应用

三角函数知识解决物理问题时,应当注意从复杂的物理背景 中提炼基本的数学关系,还要调动相关物理知识来帮助理解 问题.

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跟踪训练 2

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下图表示电流 I 与时间 t 的函数关系式:I= ? π? Asin(ωt+φ)?|φ|<2 ?在同一周期内的图象. ? ? (1)据图象写出 I=Asin(ωt+φ)的解析式; 1 (2)为使 I=Asin(ωt+φ)中 t 在任意一段 的时间内电流 I 能 100 同时取得最大值和最小值,那么正整数 ω 的最小值是多少? 1 1 解 (1)由题图知,A=300,t1=-300,t2=150,

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1 1 1 2π ∵T=2(t2-t1)=2( + )= ,∴ω= T =100π. 150 300 50 π 由 ωt1+φ=0 知 φ=-ωt1=3, π ∴I=300sin(100πt+3). 1 2π 1 (2)问题等价于 T≤100,即 ω ≤100,也即 ω≥200π,
故最小正整数为 ω=629.

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例 3 某港口水深 y(米)是时间 t (0≤t≤24,单位:小时)的函 数,下面是水深数据: t(小时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y(米) 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0 据上述数据描成的曲线如图所示,经拟 合,该曲线可近似的看成正弦函数模型 y=Asin ωt+B 的图象. (1)试根据数据表和曲线,求出 y=Asin ωt+B 的解析式; (2)一般情况下,船舶航行时船底与海底的距离不小于 4.5 米是安全的,如果某船的吃水度(船底与水面的距离)为 7 米,那么该船在什么时间段能够安全进港?若该船欲当天 安全离港,它在港内停留的时间最多不能超过多长时间? (忽略离港所用的时间)

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(1)从拟合的曲线可知,函数 y=Asin ωt+B 的一个周期 2π π 为 12 小时,因此 ω= T = .又 ymin=7,ymax=13, 6 1 1 ∴A=2(ymax-ymin)=3,B=2(ymax+ymin)=10. π ∴函数的解析式为 y=3sin6t+10 (0≤t≤24). (2)由题意,水深 y≥4.5+7, π 即 y=3sin6t+10≥11.5,t∈[0,24], π 5π? π 1 π ? ∴sin6t≥2,6t∈?2kπ+6,2kπ+ 6 ?,k=0,1, ? ? ∴t∈[1,5]或 t∈[13,17],

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所以,该船在 1∶00 至 5∶00 或 13∶00 至 17∶00 能安
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全进港. 若欲于当天安全离港,它在港内停留的时间最多不能超
过 16 小时.
小结 确定函数关系式 y=Asin ωt+B(A>0),就是确定其 中的参数 A,ω,B 等,可从所给的数据中寻找答案.由 于函数的最大值与最小值不是互为相反数,若设最大值 M-m M+m 为 M,最小值为 m,则 A= ,B= . 2 2

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跟踪训练 3 设 y=f(t)是某港口水的深度 y(米)关于时间 t(时) 的函数,其中 0≤t≤24.下表是该港口某一天从 0 时至 24 时 记录的时间 t 与水深 y 的关系:
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t

0

3

6

9

12

15

18

21

24

y 12 15.1 12.1 9.1 11.9 14.9 11.9 8.9 12.1 经长期观察,函数 y=f(t)的图象可以近似地看成函数 y=k+ Asin(ωt+φ)的图象.下面的函数中,最能近似表示表中数据 间对应关系的函数是________. ?π ? π ①y=12+3sin t,t∈[0,24] ②y=12+3sin?6t+π?,t∈[0,24] 6 ? ? ?π π? π ③y=12+3sin t, t∈[0,24] ④y=12+3sin?12t+2 ?, t∈[0,24] 12 ? ?

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解析 在给定的四个选项①②③④中我们不妨代入 t=0 及 t =3,容易看出最能近似表示表中数据间对应关系的函数是①.
答案 ①

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1.方程|x|=cos x 在(-∞,+∞)内有________个根. 2

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2.一根长 l cm 的线,一端固定,另一端悬挂一个小球,小 球摆动时离开平衡位置的位移 s(cm)与时间 t(s)的函数关 ? g π? ? ? 系式为 s=3cos? t+ ?,其中 g 是重力加速度,当小球 l 3? ? g
4π2 摆动的周期是 1 s 时,线长 l 等于________ cm.

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2π 解析 T= =1,∴ g l

g g l =2π,∴l=4π2.

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3. 如图所示,设点 A 是单位圆上的一定点,动 点 P 从点 A 出发在圆上按逆时针方向旋转一 周,点 P 所旋转过的弧 A P 的长为 l,弦 AP 的

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③ 长为 d, 则函数 d=f(l)的图象大致是________.
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(

解析

l d=f(l)=2sin 2.

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4. 如图所示,一个摩天轮半径为 10 m,轮子 的底部在地面上 2 m 处,如果此摩天轮按逆 时针转动,每 30 s 转一圈,且当摩天轮上某
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人经过点 P 处(点 P 与摩天轮中心高度相同)时开始计时. (1)求此人相对于地面的高度关于时间的关系式; (2)在摩天轮转动的一圈内, 约有多长时间此人相对于地面 的高度不小于 17 m.
解 (1)设在 t s 时,摩天轮上某人在高 h m 处.这时此人所 2π π 转过的角为30 t=15 t,故在 t s 时,此人相对于地面的高度 π 为 h=10sin t+12(t≥0). 15

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π π 1 (2)由 10sin t+12≥17,得 sin t≥ , 15 15 2 5 25 则 ≤t≤ . 2 2

故此人有 10 s 相对于地面的高度不小于 17 m.

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1.三角函数模型是研究周期现象最重要的数学模型.三角函
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数模型在研究物理、生物、自然界中的周期现象(运动)有 着广泛的应用. 2.三角函数模型构建的步骤 (1)收集数据, 观察数据, 发现是否具有周期性的重复现象. (2)制作散点图,选择函数模型进行拟合. (3)利用三角函数模型解决实际问题. (4)根据问题的实际意义,对答案的合理性进行检验.



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