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Dfjqny数学精英解“平面向量”题


生活需要游戏,但不能游戏人生;生活需要歌舞, 生活需要游戏,但不能游戏人生;生活需要歌舞,但不需醉 生梦死;生活需要艺术,但不能投机取巧;生活需要勇气, 生梦死;生活需要艺术,但不能投机取巧;生活需要勇气,但不 能鲁莽蛮干;生活需要重复,但不能重蹈覆辙。 能鲁莽蛮干;生活需要重复,但不能重蹈覆辙。
-----无名
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(5) 数学精英解“平面向量”题 数学精英解“平面向量”
? x π? ? π ? + ? 的图象按向量 a= ? ? ,?2 ? 平移,则平移后所得图 ?3 6? ? 4 ?

1.(湖北卷第 2 题)将 y = 2 cos? 湖北卷第 湖北卷 象的解析式为 A. y = 2 cos?

? x π? + ??2 ?3 4? ?x π ? ? ??2 ? 3 12 ?

B. y = 2 cos?

? x π? ? ?+2 ?3 4?

C. y = 2 cos?

D. y = 2 cos?

?x π ? + ?+2 ? 3 12 ?

解答:看向量 a= ? ?

? π ? ,指令图象左移和下移,按“同旁相减,异旁相 ,?2 ? 的数据“符号” ? 4 ?

加”的口诀,立可否定 B、C、D.答案为 A. 【说明】 口诀是经验的总结.直用口诀可不讲道理.沿向量 a=(m,n)移动 y=f(x)图象的结果是 y-n=f(x-m) (同旁相减) 或 y=f(x-m)+n (异旁相加)

2. 北京卷第 4 题) (北京卷 北京卷第 已知 O 是△ABC 所在平面内一点, 为 BC 边中点, 2OA + OB + OC =0, D 且 , 那么 A. AO = OD C. AO = 3OD B. AO = 2OD D. 2 AO = OD

解答: 解答: OB + OC = 2OD, 因此 AO = OD. 答案 A. 3.(湖南卷第 4 题)设 a,b 是非零向量,若函数 f(x)=(xa+b)·(a-xb)的图象是一条直线, 湖南卷第 湖南卷 则必有 ( ) A. a ⊥ b B. a ∥ b C. | a |=| b | D. | a |≠| b |

2 解答: 解答: f(x)的图象是一直线,则 f(x)是 x 的一次式.而 f(x)展开后有 x 的二次-x a·b,故 -a·b=0 ? a⊥b,故选 A. ⊥

4.(全国卷Ⅰ第 3 题)已知向量 a = ( ?5, , b = (6, ,则 a 与 b ( 全国卷Ⅰ 6) 5) 全国卷 A.垂直 B.不垂直也不平行 C.平行且同向 解答: 解答: ? 5 × 6 + 6 × 5 = 0 ,即 a·b=0. 答案为 A. · 5.(浙江卷第 7 题)若非零向量 a,b 满足 a + b = b ,则( 浙江卷第 浙江卷 A. 2a > 2a + b C. 2b > a + 2b B. 2a < 2a + b D. 2b < a + 2b



D.平行且反向



解答: 解答: a + b = b ,∴|a+b|2=|b|2,即(a+b)2=b2,整理得 a·b=-

1 2 |a| . 2

∴(|a+2b|-|2b|)2=a2+4a·b=-|a|2<0,∴|a+2b|<|2b|. 答案为 C. 6. 全国卷Ⅱ第 5 题) (全国卷Ⅱ 在?ABC 中, 已知 D 是 AB 边上一点, AD =2 DB , = CA + λCB , 若 CD 全国卷 则λ=

1 3

1 1 2 (C) (D) 3 3 3 uuur uuu r uuu uuu r r uuu uuu r r uuu 1 uuu 2 uuu r r r 解答: 解答: AD = 2 DB ? CD ? CA = 2(CB ? CD ) ? CD = CA + CB ,故选 A 3 3
(A) (B) 【说明】 本题在正常运算的情况下,基本不会出现错误,除非在马虎大意的情况下,将向 说明】 量“移项”过程中没有变号. 7. 全国卷Ⅱ第 9 题)把函数 y=ex 的图象按向量 a=(2,3)平移,得到 y=f(x)的图象,则 f(x)= (全国卷 全国卷Ⅱ (A) ex-3+2 (B) ex+3-2 (C) ex-2+3 (D) ex+2-3 解答: 解答: 按“左加右减,上加下减”法则和所给向量易知,答案为 C. 说明】 【说明】 如果法则和向量平移问题连接不好,易选错为 A 或 B 或 D.

2 3

8.(天津卷第 10 题 )设两个向量 a = (λ + 2,λ 2 ? cos 2 α ) 和 b = ? m, + sin α ? ,其中 天津卷第 天津卷

? ?

m 2

? ?

λ,m,α 为实数.若 a = 2b ,则
A.[-6,1] B. [4, 8]

λ
m

的取值范围是( C.[-1,1]



D.[-1,6] ① ②

解答: 解答: 由题意知λ+2=2m,

λ2 ? cos 2 α = m + 2 sin α ,

由①得

λ 2 = 2? . m m
2 2 2

由①②得 4m ? 9m = 2 sin α + cos α ? 4 = ? sin α + 2 sin α ? 3, ∴-6≤4m2-9m≤-2. ∴

1 ≤m≤2. 4 λ 2 ∴ = 2 ? ∈ [ ?6,1] m m

答案为 A. 【说明】 两个参数的比值转化为只含一个参数,再求其范围. 9.(重庆卷第 10 题)如题(10)图,在四边形 ABCD 中, 重庆卷第 重庆卷

uuu uuu uuur r r AB + BD + DC = 4 ,

D

C

| AB | ? | BD | + | BD | ? | DC |= 4, AB ? BD = BD ? DC = 0 ,
则 ( AB + DC ) ? AC 的值为( A. 2 B. 2 2 ) C. 4 D. 4 2 A B 题 (10) 图

解答: 解答: 由 | BD | + (| AB | + | DC |) = 4, 以及 | BD | ?(| AB | + | DC |) = 4, 得 | BD |=| AB | + | DC |= 2.

( AB + DC ) ? AC = ( AB + DC ) ? ( AB + BD + DC )


= AB 2 + AB ? BD + AB ? DC + DC ? AB + DC ? BD + DC 2 = AB 2 + 2 ? AB ? DC + DC 2 = (| AB | + | DC |) 2 = 2 2 = 4.

答案为 C. 【说明】 向量积的简单运用. 10.(辽宁卷第 3 题)若向量 a 与 b 不共线,a·b≠0,且 c = a ? ? 辽宁卷第 辽宁卷 夹角为( A.0
? ?
? a ?b ? ?b ,则向量 a 与 c 的 ? a ?b ?

) B.
π 6

C.

π 3

D.

π 2

解答: 解答: a ? c = a ? ?a ? ?

? a?b ? ? ? a?a ? ?b ? = a ? a ? a ? b ? ? = a ?a ?a ?a = 0 . ? a?b ? ? ? a ?b ? π . 2

则 a 与 c 的夹角为

答案为 D. 11.(辽宁卷第 6 题)若函数 y=f(x)的图象按向量 a 平移后,得到函数 y=f(x+1)-2 的图象,则 辽宁卷第 辽宁卷 向量 a=( ) A. (-1,-2) B. (1,-2) C. (-1,2) D. (1,2) 解答: 得 可知它是由函数 y=f(x)的图象向左平移一个单位, 解答: 由 y=f(x+1)-2, y+2=f(x+1), 再向下平移两个单位得到的,所以向量 a=(-1,-2). 答案为 A. 12.(福建卷第 4 题)对于向量 a,b,c 和实数 λ ,下列命题中真命题是( 福建卷第 福建卷 B.若 λ a = 0 ,则 λ = 0 或 a = 0 A.若 a·b=0,则 a = 0 或 b = 0 C.若 a = b ,则 a = b 或 a = ?b
2 2



D.若 a·b=a·c,则 b = c

解答: 解答: 对于 A,可举反例:当 a⊥b 时,a ? b=0, 对于 C,a2=b2 只能推得|a|=|b|,而不能推出 a=±b. 对于 D,a ? b= a ? c 可以移项整理推得 a⊥(b - c). 答案为 B.



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