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2017_18学年高中数学第三章圆锥曲线与方程1.1椭圆及其标准方程课件北师大版选修_图文

理解教材 新知

知识点一 知识点二 考点一 考点二 考点三

第 三 章

§ 1 椭 圆

1.1 椭圆 及其 标准 方程

把握热点 考向

应用创新 演练

§ 1
1.1

椭 圆

椭圆及其标准方程

椭圆的定义

设计游戏时, 要考虑游戏的公平性. 某电视台少儿节目欲设 计如下游戏.规则是:参赛选手站在椭圆的一个焦点处,快速跑 到随机出现在椭圆上的某一点处, 然后再跑向另一个焦点, 用时 少者获胜.考验选手的反应能力与速度.

问题 1:参赛选手要从椭圆的一焦点跑向椭圆上随机一点再 跑向椭圆的另一焦点,每个参赛选手所跑的路程相同吗?
提示:相同.

问题 2:这种游戏设计的原理是什么?
提示:椭圆的定义.椭圆上的点到两焦点距离之和为定值.

问题 3:在游戏中,选手所跑的路程能否等于两焦点间的距 离?为什么?
提示:不能.椭圆上的点到两焦点距离之和一定大于两焦点 间的距离.

椭圆的定义

定义 焦点 焦距 集合 语言

平面内到两个定点F1,F2的 距离之和等于常数 (大于
|F1F2|)的点的集合叫作椭圆 两个 定点 F1,F2叫作椭圆的焦点 两焦点F1,F2间的 距离 叫作椭圆的焦距

P={M| |MF1|+|MF2|=2a ,2a>|F1F2|}

椭圆的标准方程

在平面直角坐标系中,已知 A(-2,0),B(2,0),C(0,2),D(0, -2). 问题 1:若动点 P 满足|PA|+|PB|=6,则 P 点的轨迹方程是 什么?
x2 y2 提示: + =1. 9 5

问题 2:若动点 P 满足|PC|+|PD|=6,则动点 P 的轨迹方程 是什么?
y2 x2 提示: + =1. 9 5

椭圆的标准方程

焦点在x轴上 标准方程
x2 y2 + =1(a>b>0) ___________________ a2 b2
(± c,0) _______

焦点在y轴上
y2 x2 + =1(a>b>0) ___________________ a2 b2
(0,± c) _________

焦点坐标 a、b、c的关系

_____________ a2-b2=c2

1.平面内点 M 到两定点 F1,F2 的距离之和为常数 2a, 当 2a>|F1F2|时,点 M 的轨迹是椭圆; 当 2a=|F1F2|时,点 M 的轨迹是一条线段 F1F2; 当 2a<|F1F2|时,点 M 的轨迹不存在. 2.椭圆的标准方程有两种形式,若含 x2 项的分母大于含 y2 项的分母,则椭圆的焦点在 x 轴上,反之焦点在 y 轴上.

椭圆的标准方程

[例 1]

写出适合下列条件的椭圆的标准方程:

(1)a=4,c=3,焦点在 y 轴上; (2)a+b=8,c=4; (3)经过点 A( 3,-2)和点 B(-2 3,1).
[思路点拨] 求椭圆的标准方程时,要先判断焦点位置, 确定椭圆标准方程的形式,最后由条件确定 a 和 b 的值.

y2 x2 [精解详析] (1)焦点在 y 轴上,设标准方程为 2+ 2=1(a>b>0), a b 则 a2=16,b2=a2-c2=16-9=7. y2 x2 ∴椭圆的标准方程为 + =1. 16 7
? ?a+b=8, (2)? 2 2 ? ?a -b =16 ? ?a+b=8, ?? ? ?a-b=2 ? ?a+b=8, ?? ? ??a+b??a-b?=16 ? ?a=5, ?? ? ?b=3.

x2 y2 y2 x2 ∴椭圆的标准方程为 + =1 或 + =1. 25 9 25 9

(3)法一:①当焦点在 x 轴上时,设椭圆的标准方程为 x2 y2 + =1(a>b>0). a2 b2
2 2 ? - 2 ? ? ? 3 ? ? 2 + 2 =1, b ? a 依题意有? 2 ??-2 3? 1 + 2 = 1, 2 ? a b ? 2 ? ?a =15, 解得? 2 ? ?b =5.

x2 y2 所以所求椭圆的方程为 + =1. 15 5

y2 x2 ②当焦点在 y 轴上时,设椭圆的标准方程为 2+ 2=1(a>b> a b 0).依题意有
2 2 ? - 2 ? ? ? 3 ? ? 2 + 2 = 1, b ? a ? 2 ? - 2 3 ? 1 ? + = 1, ? b2 ?a2 2 ? ?a =5, 解得? 2 ? ?b =15.

舍去,

x2 y2 故所求椭圆的方程为 + =1. 15 5

法二: 设所求椭圆的方程为 mx2 + ny2 = 1(m > 0 , n > 0 ,且 m≠n). 1 ? ? ?m=15, ?3m+4n=1, 依题意有? 解得? ? ?12m+n=1, ?n=1. 5 ? x2 y2 所以所求椭圆的方程为 + =1. 15 5

[一点通] 求椭圆标准方程的一般步骤为:

x2 y2 1.如果方程 2+ =1 表示焦点在 x 轴上的椭圆,则实数 a a a+6 的取值范围是 A.(3,+∞) C.(-∞,-2)∪(3,+∞) B.(-∞,-2) D.(-6,-2)∪(3,+∞)
2 ? a ? >a+6, 轴上,所以? ? ?a+6>0,

(

)

解析:由于椭圆的焦点在 x
? ??a+2??a-3?>0, ? ? ?a>-6.



解得 a>3 或-6<a<-2,故选 D.

答案:D

2.已知椭圆的焦点在 y 轴上,其上任意一点到两焦点的距离和 为 8,焦距为 2 15,则此椭圆的标准方程为______________.

解析:由已知,2a=8,2c=2 15,∴a=4,c= 15,
2 y ∴b2=a2-c2=16-15=1,∴椭圆的标准方程为 +x2=1. 16 y2 答案: +x2=1 16

3.求焦点在坐标轴上,且过点 A(2,0)和 方程.

? B? ?1, ?

3? ? 的椭圆的标准 ? 2?

x2 y2 解: 法一: 若焦点在 x 轴上, 设椭圆方程为 2+ 2=1(a>b>0), a b ?4 ?a2=1, 依题意,有? ? 12+ 3 2=1, ?a 4b
2 ? a =1, ? x 2=1(a>b>0),同理? 2 b ? ?b =4, 2

解得 a2=4,b2=1.

这与 a>b 矛盾.

x2 2 故所求椭圆方程为 +y =1. 4 法二:设椭圆的方程为 mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n). 4m = 1, ? ? 将 A,B 坐标代入得? 3 m+ n=1, ? 4 ? 1 ? 2 ?m= , x 4 解得? 故所求椭圆方程为 +y2=1. 4 ? ?n=1,

椭圆的定义及应用

[例 2]

x2 y2 如图所示,已知椭圆的方程为 + 4 3

= 1, 若点 P 在椭圆上, F1 , F2 为椭圆的两个焦点, 且∠PF1F2=120° ,求△PF1F2 的面积.
[思路点拨 ] 因为∠ PF1F2 = 120° , |F1F2|= 2c,所以要求 S△

PF1F2,只要求|PF1|即可.可由椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2a,并结合 余弦定理求解.

[精解详析] 由已知 a=2,b= 3, 所以 c= a2-b2=1,|F1F2|=2c=2, 在△PF1F2 中,由余弦定理得 |PF2|2=|PF1|2+|F1F2|2-2|PF1|· |F1F2|· cos 120° , 即|PF2|2=|PF1|2+4+2|PF1|.① 由椭圆定义,得|PF1|+|PF2|=4, 即|PF2|=4-|PF1|.② 6 将②代入①解得|PF1|= , 5 1 1 6 3 3 3 ∴S△PF1F2= |PF1|· |F1F2|· sin 120° = × ×2× = . 2 2 5 2 5 3 因此所求△PF1F2 的面积是 3. 5

[一点通] 椭圆上一点 P 与椭圆的两焦点 F1、F2 构成的△F1PF2 称为焦 点三角形, 解关于椭圆中的焦点三角形问题时要充分利用椭圆的定 义、三角形中的正弦定理、余弦定理、勾股定理等知识.对于求焦 1 点三角形的面积,若已知∠ F1PF2 ,可利用 S = |PF1|· |PF2|sin ∠ 2 F1PF2 求面积,这时可把|PF1|· |PF2|看成一个整体,运用公式|PF1|2 +|PF2|2=4a2-2|PF1||PF2|及余弦定理求出|PF1|· |PF2|,而无需单独 求出|PF1|和|PF2|,这样可以减少运算量.

4.平面内有一个动点 M 及两定点 A,B.设 p:|MA|+|MB|为定 值,q:点 M 的轨迹是以 A,B 为焦点的椭圆.那么( A.p 是 q 的充分不必要条件 B.p 是 q 的必要不充分条件 C.p 是 q 的充要条件 D.p 既不是 q 的充分条件,又不是 q 的必要条件 )

解析:若|MA|+|MB|为定值,只有定值>|AB|时,点 M 轨迹 才是椭圆.故 p 为 q 的必要不充分条件.
答案:B

x2 y2 5.已知 F1,F2 为椭圆 + =1 的两个焦点,过 F1 的直线交椭 25 9 圆于 A,B 两点.若|AF2|+|BF2|=12,则|AB|=________.

解析: 由题意, 知(|AF1|+|AF2|)+(|BF1|+|BF2|)=|AB|+|AF2| +|BF2|=2a+2a, 又由 a=5, 可得|AB|+(|AF2|+|BF2|)=20, 即|AB|=8.
答案:8

x2 2 6.点 P 在椭圆 +y =1 上,且 PF1⊥PF2,求 S△PF1F2. 4
解:∵点 P 在椭圆上,∴|PF1|+|PF2|=4, 即|PF1|2+|PF2|2+2|PF1||PF2|=16, 又 PF1⊥PF2,∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=12, ∴|PF1||PF2|=2, 1 ∴S△PF1F2= |PF1||PF2|=1. 2

与椭圆有关的轨迹问题
[例 3] 已知圆 B:(x+1)2+y2=16 及点 A(1,0),C 为圆 B 上任

意一点,求 AC 的垂直平分线 l 与线段 CB 的交点 P 的轨迹方程.
[思路点拨] P 为 AC 垂直平分线上的点,则|PA|=|PC|,而 BC

为圆的半径,从而 4=|PA|+|PB|,可得点 P 轨迹为以 A,B 为焦点 的椭圆.

[精解详析] 如图所示,连接 AP,∵l 垂直平分 AC, ∴|AP|=|CP|. ∴|PB|+|PA|=|BP|+|PC|=4, ∴P 点的轨迹是以 A,B 为焦点的椭圆. ∵2a=4,2c=|AB|=2, ∴a=2,c=1,b2=a2-c2=3. x2 y2 ∴点 P 的轨迹方程为 + =1. 4 3

[一点通] 求解有关椭圆的轨迹问题,一般有如下两种思路: (1)首先通过题干中给出的等量关系列出等式,然后化简等式 得到对应的轨迹方程; (2)首先分析几何图形所揭示的几何关系,对比椭圆的定义, 然后设出对应椭圆的标准方程,求出其中 a,b 的值,得到标准方 程.

7.△ABC 的两个顶点坐标分别是 B(0,6)和 C(0,-6),边 AB, 2 AC 所在直线的斜率的乘积是- ,求顶点 A 的轨迹方程. 3 解:设顶点 A 的坐标为(x,y),由题意得
y-6 y+6 2 x2 y2 x · x =-3,化简整理,得54+36=1, 又 A,B,C 是△ABC 的三个顶点,所以 A,B,C 三点不共 x2 y2 线, 因此 y≠± 6, 所以顶点 A 的轨迹方程为 + =1(y≠± 6). 54 36

8.已知动圆 M 过定点 A(-3,0),并且在定 圆 B:(x-3)2+y2=64 的内部与其相内 切,求动圆圆心 M 的轨迹方程.

解:设动圆 M 和定圆 B 内切于点 C, 由 |MA|= |MC|得 |MA|+ |MB|= |MC|+ |MB|= |BC|= 8,即动 圆圆心 M 到两定点 A(-3,0),B(3,0)的距离之和等于定圆的 半径, ∴动圆圆心 M 的轨迹是以 A,B 为焦点的椭圆, 且 2a=8,2c=6,b= a2-c2= 7, x2 y2 ∴M 的轨迹方程是 + =1. 16 7

1.用待定系数法求椭圆的标准方程时,若已知焦点的位 置,可直接设出标准方程;若焦点位置不确定,可分两种情 况求解;也可设为 Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B)求解. 2.解决与椭圆有关的轨迹问题时,要注意检验所得到的 方程的解是否都在曲线上. 3.涉及椭圆的焦点三角形问题,可结合椭圆的定义列出 |PF1|+|PF2|=2a 求解,因此回归定义是求解椭圆的焦点三角 形问题的常用方法.



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