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2010年普通高等学校招生全国统一考试数学理科试题(江西卷)精校版


2010 年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)理科数学试题 第Ⅰ卷
一.选择题:本小题共 12 题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. (2010 年江西卷理 1).已知 ( x ? i)(1 ? i) ? y ,则实数 x, y 分别为 A. x ? ?1, y ? 1 C. x ? 1, y ? 1 答案:D
2 (2010 年江西卷理 2) .若集合 A ? x | x ? 1, x ? R , B ? y | y ? x , x ? R ,则 A

B. x ? ?1, y ? 2 D. x ? 1, y ? 2

?

?

?

?

B?

A. ?x | ?1 ? x ? 1? C. ?x | 0 ? x ? 1 ? 答案:C (2010 年江西卷理 3) .不等式

B. ?x | x ? 0? D. ?

x?2 x?2 的解集是 ? x x
B. (??, 0) D. (??,0)

A. (0, 2) C. (2, ??) 答案:A (2010 年江西卷理 4) . lim(1 ?
n ??

(0, ??)

1 1 1 ? 2 ? ??? ? n ) ? 3 3 3
C. 2 D.不存在

A.

5 3

B.

3 2

答案:B ( 2010 年 江 西 卷 理 5 ). 等 比 数 列

?an ?

中 , a1 ? 2, a8 ? 4 , 函 数

f ( x) ? x( x ? a1 )( x ? a2 ) ??? ( x ? a8 ) ,则 f '(0) ?
A. 2
6

B. 2

9

C. 2

12

D. 2

15

答案:C (2010 年江西卷理 6) . (2 ? x )8 展开式中不含 ..x 项的系数的和为
4

A. ?1 答案:B

B. 0

C. 1

D. 2

(2010 年江西卷理 7.E,F 是等腰直角 ?ABC 斜边 AB 上的三等分点,则 tan ?ECF ? A.

16 27

B.

2 3

C.

3 3

D.

3 4

答案:D (2010 年江西卷理 8) .直 线 y ? kx ? 3 与圆 ( x ? 3)2 ? ( y ? 2)2 ? 4 相交于 M,N 两点,若

MN ? 2 3 ,则 k 的取值范围是
A. ? ?

? 3 ? ,0 ? 4 ? ?
? ? 3 3? , ? 3 3 ?

B. ? ??, ? ? 4

? ?

3? ?

?0, ?? ?

C. ? ?

D. ? ?

? 2 ? ,0 ? 3 ? ?

答案:A (2010 年江西卷理 9) .给出下列三个命题: ①函数 y ?

1 1 ? cos x x ln 与 y ? ln tan 是同一函数; 2 1 ? cos x 2

② 若 函 数 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 的 图 像 关 于 直 线 y ? x 对 称 , 则 函 数 y ? f (2 x) 与

y?

1 g ( x ) 的图像也关于直线 y ? x 对称; 2

③若奇函数 f ( x ) 对定义域内任意 x 都有 f ( x) ? f (2 ? x) ,则 f ( x ) 为周期函数. 其中真命题是 A.①② 答案:C

B.①③

C.②③

D.②

(2010 年江西卷理 10) .过正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的顶点 A 作直线 l ,使 l 与棱 AB, AD, AA1 所成的角都相等,这样的直线

l 可以作
A.1 条 C.3 条 B.2 条 D.4 条

答案:D (2010 年江西卷理 11) . 一位国王的铸币大臣在每箱 100 枚的硬币中各参入了一枚劣币, 国 王怀疑大臣作弊,他用两种方法来检测.方法一:在 10 箱中各任意抽查一枚;方法二:在 5 箱中各任意抽查两枚. 国王用方法一、 二能发现至少一枚劣币的概率分别记为 p1 和 p2 . 则 A. p1 ? p2 B. p1 ? p2 C. p1 ? p2 D.以上三种情况都有可能

答案:B (2010 年江西卷理 12) .如图,一个正五角星薄片(其对称轴与水 面垂直)匀速地升出水面,记 t 时刻五角星露出水面部分的图形面 积为 S (t )( S (0) ? 0) ,则导函数 y ? S '(t ) 的图像大致为

答案:A

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.请把答案填写在答题卡上. ( 2010 年 江 西卷 理 13 ) . 已 知 向 量 a, b 满 足 a ? 1, b ? 2, a与 b 的 夹角 为 60 °, 则

a ? b ? ___ ___________.
答案: 3 (2010 年江西卷理 14) .将 6 位志愿者分成 4 组,其中两个组各 2 人,另两个组各 1 人,分 赴世博会的四个不同场馆服务,不同的分配方案有_________种(用数字作答) . 答案:1080 (2010 年江西卷理 15) .点 A( x0 , y0 ) 在双曲线 离等于 2 x0 ,则 x0 ? __________. 答案:2 (2010 年江西卷理 16) .如图,在三棱锥 O ? ABC 中,三条棱 OA, OB, OC 两两 垂直,且 OA ? OB ? OC ,分别经过三条棱 OA, OB, OC 作一个截面平分三棱锥 的体积, 截面面积依次为 S1 , S2 , S3 , 则 S1 , S S 的大小关系为________________. 2 ,3 答案: S3 ? S2 ? S1 三.解答题:本大题共小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (2010 年江西卷理 17) . (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? (1 ? cot x) sin x ? m sin( x ?
2

x2 y 2 ? ? 1 的右支上,若点 A 到右焦点的距 4 32

?

) sin( x ? ) . 4 4

?

(1)当 m ? 0 时,求 f ( x ) 在区间 ?

? ? 3? ? 上的 取值范围; , ?8 4 ? ?

(2)当 tan ? ? 2 时, f (? ) ?

3 ,求 m 的值. 5

答案:17. (本小题满分 12 分) 解: (1)当 m ? 0 时, f ( x) ? sin 2 x ? sin x cos x

1 1 2 ? 1 ? (sin 2 x ? cos 2 x) ? ? sin(2 x ? ) ? 2 2 2 4 2
又由 x ? ?

? ? 2 ? ? ? 5? ? ? ? 3? ? ,1? , , ? 得 2 x ? ? ?0, ? ,所以 sin(2 x ? ) ? ? ? 4 ? 2 ? 4 ? 4 ? ?8 4 ?
2 ? 1 ? 1? 2 ? sin(2 x ? ) ? ? ?0, ?. 2 4 2 ? 2 ?

从而 f ( x) ?

(2010 年江西卷理 18) . (本小题满分 12 分) 某迷宫有三个通道,进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门.首次到达此门,系统会 随机(即等可能)为你打开一个通道.若是 1 号通道,则需要 1 小时走出迷宫;若是 2 号、 3 号通道,则分别需要 2 小时、3 小时返回智能门.再次到达智能门时,系统会随机打开一 个你未到过的通道,直至走出迷宫为止.令 ? 表示走出迷宫所需的时间. (1)求 ? 的分布列; (2)求 ? 的数学期望. 答案:18. (本小题满分 12 分) 解: (1) ? 的所有可 能取值为:1,3,4,6

1 1 1 1 P(? ? 1) ? , P(? ? 3) ? , P(? ? 4) ? , P(? ? 6) ? ,所以 ? 的分布列为: 3 6 6 3

?

1

3

4

6

P
(2) E? ? 1?

1 3

1 6

1 6

1 3

1 1 1 1 7 ? 3 ? ? 4 ? ? 6 ? ? (小时) 3 6 6 3 2

(2010 年江西卷理 19) . (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? ln x ? ln(2 ? x) ? ax(a ? 0) . (1)当 a ? 1 时,求 f ( x ) 的单调区间; (2)若 f ( x ) 在 ? 0,1? 上的最大值为 答案:

1 ,求 a 的值. 2

(2010 年江西卷理 20) . (本小题满分 12 分) ? BCD ? 如图, 与 MCD 都是边长为 2 的正三角形,平面

MCD ? 平面 BCD , AB ? 平面 BCD, AB ? 2 3 .
(1)求点 A 到平面 MBC 的距离; (2)求平面 ACM 与平面 BCD 所成二面角的正弦值.

答案:20. (本小题满分 12 分) 解法一: (1)取 CD 中点 O,连 OB,OM, 则 OB ? OM ? 3, OB ? CD, MO ? CD . 又平面 MCD ? 平面 BCD,则 MO ? 平面 BCD,所以 MO//AB,

MO//平面 ABC.M,O 到平面 ABC 的距离相等. 作 OH ? BC 于 H,连 MH,则 MH ? BC. 求得 OH ? OC ? sin 60 ?

3 3 2 15 , MH ? ( 3)2 ? ( . ) ? 2 2 2

设点 A 到平面 MBC 的距离为 d ,由 VA?MBC ? VM ? ABC 得

1 1 ? S?MBC ? d ? ? S?ABC ? OH . 3 3
即 ?

1 1 15 1 1 3 2 15 ,解得 d ? . ?2? d ? ? ? 2? 2 3 ? 3 2 2 3 2 2 5

(2)延长 AM、BO 相交于 E,连 CE、DE,CE 是平面 ACM 与平面 BCD 的交线. 由(1)知,O 是 BE 的中点,则四边形 BCED 是棱形.

AFB 作 BF ? EC 于 F,连 AF,则 AF ?EC , ?
面角 A ? EC ? B 的平面角,设为 ? . 因为 ?BCE ? 120 ,所以 ?BCF ? 60 .

就是二

BF ? 2sin 60 ? 3 , tan ? ?

AB 2 5 . ? 2,sin ? ? BF 5

解 法 二 : 取 CD 中 点 O , 连 OB , OM , 则

O B? C, D O?M

C又 D平 面 M C D? 平 面 BCD , 则 .

MO ? 平面 BCD.取 O 为原点,直线 OC、BO、OM 为 x 轴、 y 轴、 z 轴,建立空间直角
坐标系如图. OB ? OM ? 3 ,则各点坐标分别为

(2010 年江西卷理 21) . (本小题满分 12 分) 设椭圆 C1 :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,抛物线 C2 : x2 ? by ? b2 . a 2 b2

(1) 若 C2 经过 C1 的两个焦点, 求 C1 的离心率; (2)

5 b) , 又 M、 N 为 C1 与 C2 不在 y 轴上 4 3 M N 的两个交点, 若 ?AMN 得垂心为 B (0, b ) , 且 ?Q 4
设 A(0, b), Q(3 3, 的重心在 C2 上,求椭圆 C1 和抛物线 C2 的方程. 答案:21. (本小题满分 12 分) 解: ( 1 ) 因为 抛 物线 C2 经 过 椭圆 C1 的 两 个焦 点 F1 (?c,0) ,

2 可得 c ? b , 由 a ?b ?c ? c F2 (c,0) ,
2 2 2 2 2

2

, 有

c2 1 ? , a2 2

所以椭圆 C1 的离心率 e ?

2 . 2

(2)由题设可知 M,N 关于 y 轴对称,设 M (? x1 , y1 ), N ( x1, y1 ),( x1 ? 0) ,则由 ?AMN 的垂心为 B,有 BM ? AN ? 0 ,所以 ? x1 ? ( y1 ?
2

3 b)( y1 ? b) ? 0 4
……① ……②

2 由于点 N ( x1 , y1 ) 在 C2 上,故有 x1 ? by1 ? b2

(2010 年江西卷理 22) . (本小题满分 14 分) 证明以下命题: (1)对任一正整数 a ,都存在正整数 b, c(b ? c) ,使得 a , b , c 成等差数列;
2 2 2

2 2 2 (2)存在无穷多个互不相似的三角形 ? n ,其边长 an , bn , cn 为正整数且 an 成等 , bn , cn

差数列. 答案:证明: (1)易知 1 ,5 ,7 成等差数列,则 a ,(5a) ,(7a) 也成等差数列,所以对任一正整数
2 2 2 2 2 2

a ,都存在正整数 b ? 5a, c ? 7a,(b ? c) ,使得 a 2 , b2 , c2 成等差数列.
2 2 2 2 2 2 2 (2)若 an 成等差数列,则有 bn , , bn , cn ? an ? cn ? bn

即 (bn ? an )(bn ? an ) ? (cn ? bn )(cn ? bn )

……①

选取关于 n 的一个多项式,例如 4n(n2 ?1) ,使得它可按两种方式分解因式,由于

4n(n2 ?1) ? (2n ? 2)(2n2 ? 2n) ? (2n ? 2)(2n2 ? 2n)

?an ? n2 ? 2n ? 1 ? ? ?an ? bn ? 2n ? 2n ? ?c ? b ? 2 n ? 2 n ,? n n 因此令 ? ,可得 ?bn ? n2 ? 1 (n ? 4) ? ?bn ? an ? 2n ? 2 ? ?cn ? bn ? 2n ? 2 ? 2 ?cn ? n ? 2n ? 1
2 2

易 验证 an , bn , cn 满足①,因此 a 2 , b2 , c 2 成等差数列, 当 n ? 4 时,有 an ? bn ? cn 且 an ? bn ? cn ? n2 ? 4n ? 1 ? 0 因此以 an , bn , cn 为边长可以构成三角形,将此三角形记为 ?n (n ? 4) . 其次,任取正整数 m, n(m, n ? 4, 且m ? n) ,假若三角形 ? m 与 ? n 相似,则有:

m 2 ? 2m ? 1 m 2 ? 1 m 2 ? 2 m ? 1 ? ? n 2 ? 2 n ? 1 n 2 ? 1 n 2 ? 2n ? 1
据此例性质有:

m2 ? 1 m2 ? 2m ? 1 m2 ? 2m ? 1 ? (m2 ? 1) m ? 1 ? ? 2 ? n 2 ? 1 n 2 ? 2n ? 1 n ? 2n ? 1 ? (n 2 ? 1) n ?1 m2 ? 1 m2 ? 2m ? 1 m2 ? 2m ? 1 ? (m2 ? 1) m ? 1 ? ? 2 ? n 2 ? 1 n 2 ? 2n ? 1 n ? 2n ? 1 ? (n 2 ? 1) n ?1
所以

m ?1 m ?1 ? ,由此可得 m ? n ,与假设 m ? n 矛盾,即任两个三角形 ? m 与 n ?1 n ?1

? n (m, n ? 4, m ? n) 互不相似,所以存在无穷多个互不相似的三角形 ? n ,其边长
2 2 2 成等差数列. an , bn , cn 为正整数且以 an , bn , cn

理科数学试题参考答案
一.选择题;本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 1. D 2. C 3. A 4. B 5. C 6. B 7. D 11.B 12.A 二.填空题:本小题 共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 13. 3 14.1080 15.2 16. S3 ? S2 ? S1 8. A 9. C 10. D

三.解答题:本大题共 6 小题,共 74 分. 17. (本小题满分 12 分) 解: (1)当 m ? 0 时, f ( x) ? sin 2 x ? sin x cos x

1 1 2 ? 1 ? (sin 2 x ? cos 2 x) ? ? sin(2 x ? ) ? 2 2 2 4 2
又由 x ? ?

? ? 2 ? ? ? 5? ? ? ? 3? ? ,1? , , ? 得 2 x ? ? ?0, ? ,所以 sin(2 x ? ) ? ? ? 4 ? 2 ? 4 ? 4 ? ?8 4 ?
2 ? 1 ? 1? 2 ? sin(2 x ? ) ? ? ?0, ?. 2 4 2 ? 2 ?

从而 f ( x) ?

18. (本小题满分 12 分) 解: (1) ? 的所有可 能取值为:1,3,4,6

1 1 1 1 P(? ? 1) ? , P(? ? 3) ? , P(? ? 4) ? , P(? ? 6) ? ,所以 ? 的分布列为: 3 6 6 3

?
P

1

3

4

6

1 3

1 6

1 6

1 3

(2) E? ? 1?

1 1 1 1 7 ? 3 ? ? 4 ? ? 6 ? ? (小时) 3 6 6 3 2

20. (本小题满分 12 分) 解法一: (1)取 CD 中点 O,连 OB,OM, 则 OB ? OM ? 3, OB ? CD, MO ? CD . 又平面 MCD ? 平面 BCD,则 MO ? 平面 BCD,所以 MO//AB, MO//平面 ABC.M,O 到平面 ABC 的距离相等. 作 OH ? BC 于 H,连 MH,则 MH ? BC. 求得 OH ? OC ? sin 60 ?

3 3 2 15 , MH ? ( 3)2 ? ( . ) ? 2 2 2

设点 A 到平面 MBC 的距离为 d ,由 VA?MBC ? VM ? ABC 得

1 1 ? S?MBC ? d ? ? S?ABC ? OH . 3 3
即 ?

1 1 15 1 1 3 2 15 ?2? d ? ? ? 2? 2 3 ? ,解得 d ? . 3 2 2 3 2 2 5

(2)延长 AM、BO 相交于 E,连 CE、DE,CE 是平面 ACM 与平面 BCD 的交线. 由(1)知,O 是 BE 的中点,则四边形 BCED 是棱形.

AFB 作 BF ? EC 于 F,连 AF,则 AF ?EC , ?
面角 A ? EC ? B 的平面角,设为 ? . 因为 ?BCE ? 120 ,所以 ?BCF ? 60 .

就是二

BF ? 2sin 60 ? 3 , tan ? ?

AB 2 5 ? 2,sin ? ? . BF 5

解 法 二 : 取 CD 中 点 O , 连 OB , OM , 则

OB ? CD, OM ? CD .又平面 MCD ? 平面 BCD,则 MO ? 平面 BCD.取 O 为原点,
直线 OC、BO、OM 为 x 轴、 y 轴、 z 轴,建立空间直角坐标系如图. OB ? OM ? 3 , 则各点坐标分别为

21. (本小题满分 12 分) 解: ( 1 )因为抛物线 C2 经过椭圆 C1 的两个焦点 F1 (?c , 0),
2 2 2 2 c2 ? c2 2 , 可得 c ? b , 由 a ?b ? 有 F2 (c,0) ,

c2 1 ? , a2 2

所以椭圆 C1 的离心率 e ?

2 . 2

( 2 ) 由 题 设 可 知 M , N 关 于 y 轴 对 称 , 设

M (? x1, y1 ), N ( x1, y1 ),( x1 ? 0) ,则由 ?AMN 的垂心
为 B,有 BM ? AN ? 0 ,所以 ? x1 ? ( y1 ?
2

3 b)( y1 ? b) ? 0 4
……①
2

由于点 N ( x1 , y1 ) 在 C2 上,故有 x1 ? by1 ? b
2

……②

22. (本小题满分 14 分) 证明: (1)易知 12 ,52 ,72 成等差数列,则 a2 ,(5a)2 ,(7a)2 也成等差数列,所以对任一正整数

a ,都存在正整数 b ? 5a, c ? 7a,(b ? c) ,使得 a 2 , b2 , c2 成等差数列.
2 2 2 2 2 2 2 (2)若 an 成等差数列,则有 bn , , bn , cn ? an ? cn ? bn

即 (bn ? an )(bn ? an ) ? (cn ? bn )(cn ? bn )
2

……①

选取关于 n 的一个多项式,例如 4n(n ?1) ,使得它可按两种方式分解因式,由于

4n(n2 ?1) ? (2n ? 2)(2n2 ? 2n) ? (2n ? 2)(2n2 ? 2n)

?an ? n2 ? 2n ? 1 ?an ? bn ? 2n ? 2n ? ?c ? b ? 2 n ? 2 n ? ? 2 ,? n n 因此令 ? ,可得 ?bn ? n ? 1 (n ? 4) b ? a ? 2 n ? 2 c ? b ? 2 n ? 2 ? n ? n n n ? ? ? 2 ?cn ? n ? 2n ? 1
2 2

易 验证 an , bn , cn 满足①,因此 a , b , c 成等差数列, 当 n ? 4 时,有 an ? bn ? cn 且 an ? bn ? cn ? n ? 4n ? 1 ? 0
2

2

2

2

因此以 an , bn , cn 为边长可以构成三角形,将此三角形记为 ?n (n ? 4) . 其次,任取正整数 m, n(m, n ? 4, 且m ? n) ,假若三角形 ? m 与 ? n 相似,则有:

m 2 ? 2m ? 1 m 2 ? 1 m 2 ? 2 m ? 1 ? ? n 2 ? 2 n ? 1 n 2 ? 1 n 2 ? 2n ? 1
据此例性质有:

m2 ? 1 m2 ? 2m ? 1 m2 ? 2m ? 1 ? (m2 ? 1) m ? 1 ? ? 2 ? n 2 ? 1 n 2 ? 2n ? 1 n ? 2n ? 1 ? (n 2 ? 1) n ?1 m2 ? 1 m2 ? 2m ? 1 m2 ? 2m ? 1 ? (m2 ? 1) m ? 1 ? ? 2 ? n 2 ? 1 n 2 ? 2n ? 1 n ? 2n ? 1 ? (n 2 ? 1) n ?1
所以

m ?1 m ?1 ? ,由此可得 m ? n ,与假设 m ? n 矛盾,即任两个三角形 ? m 与 n ?1 n ?1

? n (m, n ? 4, m ? n) 互不相似,所以存在无穷多个互不相似的三角形 ? n ,其边长
2 2 2 成等差数列. an , bn , cn 为正整数且以 an , bn , cn



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