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高中数学苏教版选修2-1第1章《常用逻辑用语》章末复习提升

1.要注意全称命题、存在性命题的自然语言之间的转换. 2.正确理解“或”的意义,日常用语中的“或”有两类用法:其一是“不可兼”的“或” ; 其二是“可兼”的“或” ,我们这里仅研究“可兼”的“或” . 3.有的命题中省略了“且” “或” ,要正确区分. 4.常用“都是”表示全称肯定,它的存在性否定为“不都是” ,两者互为否定;用“都不是” 表示全称否定,它的存在性肯定可用“至少有一个是”来表示. 5.在判定充分条件、必要条件时,要注意既要看由 p 能否推出 q,又要看由 q 能否推出 p, 不能顾此失彼.证明题一般是要求就充要条件进行论证,证明时要分两个方面,防止将充分 条件和必要条件的证明弄混. 6.否命题与命题的否定的区别.对于命题“若 p,则 q” ,其否命题形式为“若綈 p,则綈 q” , 其否定为 “若 p, 则綈 q” , 即否命题是将条件、 结论同时否定, 而命题的否定是只否定结论. 有 时一个命题的叙述方式是简略式,此时应先分清条件 p,结论 q,改写成“若 p,则 q”的形 式再判断. 题型一 充分条件与必要条件的理解及判断方法 例 1 已知 p:-2<m<0,0<n<1;q:关于 x 的方程 x2+mx+n=0 有两个小于 1 的正实根.试 分析 p 是 q 的什么条件. 解 若关于 x 的方程 x2+mx+n=0 有两个小于 1 的正实根,设为 x1,x2,则 0<x1<1,0<x2<1, 有 0<x1+x2<2 且 0<x1x2<1. ? ?x1+x2=-m, 根据根与系数的关系得? ?x1x2=n, ? ?0<-m<2, ? 故? ?0<n<1, ? 即-2<m<0,0<n<1,故有 q?p. 1 1 1 1 1 1 反之,取 m=- ,n= ,那么方程变为 x2- x+ =0,则 Δ= -4× <0,此时方程 x2+mx 3 2 3 2 9 2 +n=0 无实根,所以 p q. 综上所述,p 是 q 的必要不充分条件. ? ?? ?x+2≥0, 跟踪演练 1 已知 p:?x?? ?x-10≤0 ? ?? (1)若 m=1,则 p 是 q 的什么条件? ? ?,q:{x|1-m≤x≤1+m,m>0}. ? (2)若 p 是 q 的充分不必要条件,求实数 m 的取值范围. ? ?? ?x+2≥0, 解 (1)因为 p:?x?? ?x-10≤0 ? ?? ? ?={x|-2≤x≤10}, ? q:{x|1-m≤x≤1+m,m>0}={x|0≤x≤2}, 显然{x|0≤x≤2}?{x|-2≤x≤10}, 所以 p 是 q 的必要不充分条件. (2)由(1),知 p:{x|-2≤x≤10},因为 p 是 q 的充分不必要条件, m>0, ? ?1-m≤-2, 所以? 1+m≥10, ? ?1-m=-2与1+m=10不同时相等. 解得 m≥9,即 m∈[9,+∞). 题型二 命题的否定与否命题 例 2 写出下列命题的否定. (1)所有人都晨练; 1 1 (2)?x∈Q, x2+ x+1 不是有理数. 3 2 解 (1)“所有人都晨练”的否定是“有的人不晨练” . 1 1 1 1 (2)“?x∈Q, x2+ x+1 不是有理数”的否定是“?x∈Q, x2+ x+1 是有理数” . 3 2 3 2 跟踪演练 2 写出下列命题的否命题,并判断其真假. (1)若 m>0,则关于 x 的方程 x2+x-m=0 有实根; (2)若 x,y 都是奇数,则 x+y 是奇数. 解 (1)若 m≤0,则关于 x 的方程 x2+x-m=0 无实根,假命题. (2)若 x,y 不都是奇数,则 x+y 不是奇数,假命题. 题型三 等价转化思想 对于含有逻辑联结词“非”的充分、必要条件的判断,往往利用“原命题与逆否命题是等价 命题”进行转化. x-1? 例 3 已知 p:?1- ≤2,q:x2-2x+1-m2≤0 (m>0),且綈 p 是綈 q 的必要而不充分条 3 ? ? 件,求实数 m 的取值范围. 解 方法一 由 q:x2-2x+1-m2≤0,m>0, 得 1-m≤x≤1+m, ∴綈 q:A={x|x>1+m 或 x<1-m,m>0}. x-1? 由?1- ≤2,解得-2≤x≤10, 3 ? ? ∴綈 p:B={x|x>10 或 x<-2}. ∵綈 p 是綈 q 的必要而不充分条件. m>0, ? ? ∴A ? B,∴?1-m<-2, ? ?1+m≥10, m>0, ? ? 或?1-m≤-2, ? ?1+m>10, 即 m≥9 或 m>9.∴实数 m 的取值范围是 m≥9. 方法二 ∵綈 p 是綈 q 的必要而不充分条件, ∴p 是 q 的充分而不必要条件, 由 q:x2-2x+1-m2≤0,得 1-m≤x≤1+m, ∴q:Q={x|1-m≤x≤1+m}. x-1? 由?1- ≤2,解得-2≤x≤10, 3 ? ? ∴p:P={x|-2≤x≤10}. ∵p 是 q 的充分而不必要条件, m>0, ? ? ∴P ? Q,∴?1-m<-2, ? ?1+m≥10, m>0, ? ? 或?1-m≤-2, ? ?1+m>10, 即 m≥9 或 m>9.∴实数 m 的取值范围是 m≥9. 跟踪演练 3 已知 a>0,设命题 p:函数 y=ax 在 R 上单调递减,q:不等式 x+|x-2a|>1 的 解集为 R,若 p 和 q 有且只有一个正确,求 a 的取值范围. 解 函数 y=ax 在 R 上单调递减知 0<a<1,由 p 真知 0<a<1,不等式:x+|x-2a|>1 的解 ? ?2x-2a, 集为 R,即 y=x+|x-2a|在 R 上恒大于 1,又∵x+|x-2a|=? ?2a,x<2a, ? x≥2a, ∴函数 y=x+|x-2a|在 R 上的最小值为 2a,故要使解集为 R,只需 2a>1, 1 1 1 ∴a> ,∴q 真时 a> ;若 p 真且 q 假,则 0<a≤ ;若


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