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高三数学第一轮复习 第8课时-函数的解析式及定义域教案


一.课题:函数的解析式及定义域
二.教学目标:掌握求函数解析式的三种常用方法:待定系数法、配凑法、换元法,能将一 些简单实际问题中的函数的解析式表示出来;掌握定义域的常见求法及其在实 际中的应用. 三.教学重点:能根据函数所具有的某些性质或所满足的一些关系,列出函数关系式;含字 母参数的函数,求其定义域要对字母参数分类讨论;实际问题确定的函数,其 定义域除满足函数有意义外,还要符合实际问题的要求. 四.教学过程: (一)主要知识:1.函数解析式的求解;2.函数定义域的求解. (二)主要方法: 1.求函数解析式的题型有: (1)已知函数类型,求函数的解析式:待定系数法; (2)已知 f ( x) 求 f [ g ( x)] 或已知 f [ g ( x)] 求 f ( x) :换元法、配凑法; (3)已知函数图像,求函数解析式; (4) f ( x) 满足某个等式,这个等式除 f ( x) 外还有其他未知量,需构造另个等式:解方 程组法; (5)应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等. 2.求函数定义域一般有三类问题: (1)给出函数解析式的:函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合; (2)实际问题:函数的定义域的求解除要考虑解析式有意义外,还应考虑使实际问题有 意义; (3)已知 f ( x) 的定义域求 f [ g ( x)] 的定义域或已知 f [ g ( x)] 的定义域求 f ( x) 的定义域: ①掌握基本初等函数(尤其是分式函数、无理函数、对数函数、三角函数)的定义域; ②若已知 f ( x) 的定义域 ? a , b ? ,其复合函数 f ? g ( x ) ? 的定义域应由 a ? g ( x) ? b 解出. 例 1.已知函数 f ( x) ? (三)例题分析:

( A) A ? B ? B

1? x 的定义域为 A ,函数 y ? f ? f ? x ? ? 的定义域为 B ,则 ? ? 1? x ( B) A ? B (C ) A ? B ( D) A ? B ? B ( D )
?

解法要点: A ? ? x | x ? 1? , y ? f [ f ( x)] ? f ( 令 ?1 ?

1? x 2 1 ) ? f (?1 ? )?? , 1? x 1? x x

2 ? 1 且 x ? 1 ,故 B ? ? x | x ? 1? ? ? x | x ? 0? . 1? x 1 1 3 例 2.(1)已知 f ( x ? ) ? x ? 3 ,求 f ( x) ; x x 2 (2)已知 f ( ? 1) ? lg x ,求 f ( x) ; x (3)已知 f ( x) 是一次函数,且满足 3 f ( x ? 1) ? 2 f ( x ? 1) ? 2 x ? 17 ,求 f ( x) ; 1 (4)已知 f ( x) 满足 2 f ( x) ? f ( ) ? 3x ,求 f ( x) . x 1 1 1 3 1 3 解:(1)∵ f ( x ? ) ? x ? 3 ? ( x ? ) ? 3( x ? ) , x x x x 3 ∴ f ( x) ? x ? 3x ( x ? 2 或 x ? ?2 ). 2 2 2 2 (2)令 ? 1 ? t ( t ? 1),则 x ? ,∴ f (t ) ? lg ,∴ f ( x) ? lg ( x ? 1) . x t ?1 t ?1 x ?1 (3)设 f ( x) ? ax ? b(a ? 0) , 则 3 f ( x ? 1) ? 2 f ( x ? 1) ? 3ax ? 3a ? 3b ? 2ax ? 2a ? 2b ? ax ? b ? 5a ? 2 x ? 17 ,
用心 爱心 专心 -1-

∴ a ? 2 , b ? 7 ,∴ f ( x) ? 2 x ? 7 . (4) 2 f ( x) ? f ( ) ? 3x ②, ① ?2 ? ②得 3 f ( x) ? 6 x ?

1 x

①,

把①中的 x 换成

1 1 3 ,得 2 f ( ) ? f ( x) ? x x x

3 1 ,∴ f ( x) ? 2 x ? . x x x ?1 ? log 2 ( x ? 1) ? log 2 ( p ? x) , x ?1

注:第(1)题用配凑法;第(2)题用换元法;第(3)题已知一次函数,可用待定系数 法;第(4)题用方程组法. 例 3.设函数 f ( x) ? log 2

(1)求函数的定义域; (2)问 f ( x) 是否存在最大值与最小值?如果存在,请把它写出来;如果不存在,请说明 理由.

? x ?1 ? x ?1 ? 0 ? ?x ? 1 解:(1)由 ? x ? 1 ? 0 ,解得 ? ① ?x ? p ? ?p? x ? 0 ? 当 p ? 1 时,①不等式解集为 ? ;当 p ? 1 时,①不等式解集为 ? x |1 ? x ? p? ,
∴ f ( x) 的定义域为 (1, p)( p ? 1) . (2)原函数即 f ( x) ? log 2 [( x ? 1)( p ? x)] ? log 2 [?( x ? 当

p ?1 ? 1 ,即 1 ? p ? 3 时,函数 f ( x) 既无最大值又无最小值; 2 p ?1 当1 ? ? p ,即 p ? 3 时,函数 f ( x) 有最大值 2log 2 ( p ? 1) ? 2 ,但无最小值. 2 例 4.《高考 A 计划》考点 8,智能训练 15:已知函数 y ? f ( x) 是定义在 R 上的周期函 数,周期 T ? 5 ,函数 y ? f ( x)(?1 ? x ? 1) 是奇函数.又知 y ? f ( x) 在 [0,1] 上是一次函数, 在 [1, 4] 上是二次函数,且在 x ? 2 时函数取得最小值 ?5 . ①证明: f (1) ? f (4) ? 0 ;②求 y ? f ( x), x ?[1, 4] 的解析式;③求 y ? f ( x) 在 [4,9] 上
的解析式. 解:∵ f ( x) 是以 5 为周期的周期函数,∴ f (4) ? f (4 ? 5) ? f (?1) , 又∵ y ? f ( x)(?1 ? x ? 1) 是奇函数,∴ f (1) ? ? f (?1) ? ? f (4) , ∴ f (1) ? f (4) ? 0 . ②当 x ? [1, 4] 时,由题意可设 f ( x) ? a( x ? 2) ? 5 (a ? 0) ,
2

p ? 1 2 ( p ? 1) 2 ) ? ], 2 4

由 f (1) ? f (4) ? 0 得 a(1 ? 2) ? 5 ? a(4 ? 2) ? 5 ? 0 ,∴ a ? 2 ,
2 2

∴ f ( x) ? 2( x ? 2) ? 5(1 ? x ? 4) .
2

③∵ y ? f ( x)(?1 ? x ? 1) 是奇函数,∴ f (0) ? 0 , 又知 y ? f ( x) 在 [0,1] 上是一次函数,∴可设 f ( x) ? kx(0 ? x ? 1) ,而

f (1) ? 2(1 ? 2) 2 ? 5 ? ?3 , ∴ k ? ?3 ,∴当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? ?3x , 从而当 ?1 ? x ? 0 时, f ( x) ? ? f (? x) ? ?3x ,故 ?1 ? x ? 1 时, f ( x) ? ?3x . ∴当 4 ? x ? 6 时,有 ?1 ? x ? 5 ? 1 ,∴ f ( x) ? f ( x ? 5) ? ?3( x ? 5) ? ?3x ? 15 .
用心 爱心 专心 -2-

当 6 ? x ? 9 时, 1 ? x ? 5 ? 4 ,∴ f ( x) ? f ( x ? 5) ? 2[( x ? 5) ? 2] ? 5 ? 2( x ? 7) ? 5
2 2

∴ f ( x) ? ?

??3 x ? 15,

4? x?6 6? x?9

2 ?2( x ? 7) ? 5,



例 5.我国是水资源比较贫乏的国家之一,各地采取价格调控等手段来达到节约用水的目 的,某地用水收费的方法是:水费=基本费+超额费+损耗费.若每月用水量不超过最低限 量 a m3 时,只付基本费 8 元和每月每户的定额损耗费 c 元;若用水量超过 a m3 时,除了付同 上的基本费和定额损耗费外,超过部分每 m 付 b 元的超额费.已知每户每月的定额损耗费不 超过 5 元. 该市一家庭今年第一季度的用水量和支付费如下表所示: 月份 用水量 ( m )
3

3

水费(元) 9 19 33

1 9 2 15 3 22 根据上表中的数据,求 a 、 b 、 c .
3

解:设每月用水量为 x m ,支付费用为 y 元,则有 y ? ?

(1) ?8 ? c, 0 ? x ? a ?8 ? b( x ? a) ? c, x ? a
3 3

(2)

由表知第二、第三月份的水费均大于 13 元,故用水量 15 m ,22 m 均大于最低限量

?19 ? 8 ? b(15 ? a) ? c ,解之得 b ? 2 ,从而 2a ? c ? 19 (3) a m3 ,于是就有 ? ?33 ? 8 ? b(22 ? a) ? c 3 再考虑一月份的用水量是否超过最低限量 a m ,不妨设 9 ? a ,将 x ? 9 代入(2)式, 得 9 ? 8 ? 2(9 ? a) ? c ,即 2a ? c ? 17 ,这与(3)矛盾.∴ 9 ? a . 从而可知一月份的付款方式应选(1)式,因此,就有 8 ? c ? 9 ,得 c ? 1 . 故 a ? 10 , b ? 2 , c ? 1 .
(四)巩固练习: 1.已知 f ( x ) 的定义域为 [?1,1] ,则 f (2 ) 的定义域为 (??,0] .
2 x

1 ? sin x k ? 2 2.函数 y ? 的定义域为 {x | x ? k? ? (?1) , k ? Z} . 1 6 ? sin x 2 五.课后作业:《高考 A 计划》考点 8,智能训练 4,5,10,11,12,13.

用心 爱心 专心

-3-



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