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2016届奉贤区高三一模数学卷(答案)


上海市奉贤区 2015-2016 高三一模数学试卷
2016.01 一. 填空题(本大题共 14 题,每题 4 分,共 56 分) 1. 复数 i(1 ? i) ( i 是虚数单位)的虚部是 ; ;

??? ? ? ? 2. 已点 A(?1,5) 和向量 a ? (2,3) ,若 AB ? 3a ,则点 B 的坐标为
3. 方程 9 ? 3 ? 6 ? 0 的实数解为
x x

; ;

4. 已知集合 M ? {x | x2 ? 2x ? 3 ? 0} , N ? {x | y ? lg x} ,则 M ? N ?
2 5. ( x ? ) 展开式中含 x 的项的系数是

1 x

8

; ; ;

6. 若圆 x ? y ? 2x ? 4 y ? 0 被直线 3x ? y ? a ? 0 平分,则 a 的值为
2 2

2 2 2 7. 若抛物线 y ? 2 px ( p ? 0) 的准线经过双曲线 x ? y ? 1的一个焦点,则 p ?
2

8. 数列 {an } 是等差数列, a 2 和 a2014 是方程 5 x ? 6 x ? 1 ? 0 的两根,则数列 {an } 的前 2015 项的和为 ;

9. 函数 y ? 3 cos x ? sin x , x ? [ ?

?
3

, ? ] 的值域是



10. 已知 a , b 是常数,ab ? 0 ,若函数 f ( x) ? ax3 ? b ? arcsin x ? 3 的最大值为 10,则 f ( x) 的最小值为 ;

) 在 ( , ? ) 上单调递减,则正实数 ? 的取值范围是 ; 2 4 1 5 3 12. 设 ? , ? 都是锐角, cos ? ? , cos(? ? ? ) ? ,请问 cos ? 是否可以求解,若能 7 14
11. 函数 f ( x ) ? sin(? x ? 求解,求出答案,若不能求解简述理由
2

?

?



13. 不等式 ( x ? 1)( x ? 4x ? 3) ? 0 有多种解法,其中有一种方法如下,在同一直角坐标系 中 作 出 y1 ? x ? 1 和 y2 ? x2 ? 4x ? 3 的 图 像 然 后 进 行 求 解 , 请 类 比 求 解 以 下 问 题 : 设

a, b ? Z ,若对任意 x ? 0 ,都有 (ax ? 2)( x2 ? 2b) ? 0 ,则 a ? b ?
14. 线段 AB 的长度为 2,点 A 、 B 分别在 x 非负半轴 和 y 非负半轴上滑动,以线段 AB 为一边,在第一象限 内作矩形 ABCD (顺时针排序), BC ? 1 ,设 O 为坐 标原点,则 OC ? OD 的取值范围是



???? ????



二. 选择题(本大题共 4 题,每题 5 分,共 20 分) 15. 下面四个条件中,使 a ? b 成立的必要而不充分条件是( ) 1

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A. a ? 1 ? b 16. 已知数列 an ? n ? sin A. ?48

a b B. 2 ? 2

C. a ? b
2

2

D. lg a ? lg b ) D. ?49

n? ,则 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a100 ? ( 2 B. ?50 C. ?52

17. 已知直角三角形的三边长都是整数且面积与周长在数值上相等,那么这样的直角三角形 有( A. 0 )个 B. 1 C. 2 D. 3

18. 设函数 f ( x) ? min{x2 ?1, x ? 1, ? x ? 1} ,其中 min{x, y, z} 表示 x, y , z 中的最小者,若

f (a ? 2) ? f (a) ,则实数 a 的取值范围为(
A. (?1, 0) B. [?2, 0]

) D. [?2, ??)

C. (??, ?2) ? (?1, 0)

三. 解答题(本大题共 5 题,共 12+14+14+16+18=74 分) 19. 如图, 已知四边形 ABCD 是矩形, AB ? 1,BC ? 2 ,PD ? 平面 ABCD , 且 PD ? 3 ,

PB 的中点 E ,求异面直线 AE 与 PC 所成角的大小(用反三角表示);

20. 设△ ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a , b, c , 且满足 cos (1)求△ ABC 的面积; (2)求 a 的最小值;

? ??? ? A 2 5 ??? ? ,AB ? AC ? 3 ; 2 5

2

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2 2 2 2 21. 设三个数 ( x ? 1) ? y 、 2 、 ( x ? 1) ? y 成等差数列,其中对应的曲线方程是 C ;

(1)求 C 的标准方程; (2)直线 l1 : x ? y ? m ? 0 与曲线 C 相交于不同两点 M 、 N ,且满足 ?MON 为钝角,其 中 O 为直角坐标原点,求出 m 的取值范围;

22. 已知函数 y ? f ( x) 是单调递增函数,其反函数是 y ? f ?1 ( x) ; (1)若 y ? x2 ?1 ( x ?

1 ) ,求 y ? f ?1 ( x) 并写出定义域 M ; 2

(2)对于(1)的 y ? f ?1 ( x) 和 M ,设任意 x1 ? M 、 x2 ? N ,且 x1 ? x2 ,求证:

| f ?1 ( x1 ) ? f ?1 ( x2 ) | ? | x1 ? x2 | ;;
(3)若 y ? f ( x) 和 y ? f ?1 ( x) 有交点,那么交点一定在 y ? x 上;

23. 设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若对任意正整数 n ,总存在正整数 m ,使得 Sn ? am , 则称 {an } 是“ H 数列”; (1)若数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? 2n , n ? N ,证明: {an } 是“ H 数列”;
*

(2)若等差数列 {an } ,公差 d ? 0 , a1 ? 2d ,证明: {an } 是“ H 数列”; (3)设点 ( Sn , an ?1 ) 在直线 (1 ? q) x ? y ? r 上,其中 a1 ? 2t ? 0 , q ? 0 ,若 {an } 是“ H 数 列”,求 q 、 r 满足的条件;

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3

2016 年奉贤区高三数学一模参考答案
一、填空题(每题 4 分,56 分) 1、 1 ; 3、 log3 2 5、 56 ; 7、 2 2 ; 9、 ? ? 3, 2 ? ; 2、 B ? 5,14? ; 4、 ? 0,3? ; 6、 a ? 1 ; 8、 1209 ; 10、 ?4 ;

?

?

?1 5? ? ? 12、 ? ,? ? ? ? ? 0, ? ? ,? ? ? ? ? ,? y ? cos x 在 ? 0, ? ? 上递减,而 cos ?? ? ? ? ? cos ? ,
11、 ? , ? 2 4 所以条件错误,不可解 13、 ?1 二、选择题(每题 5 分,20 分) 15、 A ; 16、 B ; 三、解答题(12+14+14+16+18=74 分) 14、 ?1,3?

17、 C ;

18、 C ;

4

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19、取 BC 的中点 F ,连接 EF , AF 、 AE

? E 、 F 是中点,? EF 是 ?PBD 的中位线 ? EF ∥ PB ? ? AEF (或者其补角)为异面直线 AE 与 PC 所成角 14 在 Rt ?PAB 中, PB ? 14, AE ? 5分 2 10 6分 PC ? 10, EF ? 2 5 14 , AE ? 7分 AF ? 2 , AE ? 2 2
由余弦定理可知

3分

P

cos ?AEF ?
2

AE 2 ? EF 2 ? AF 2 2 AE ? EF
2

D

E
C

? 14 ? ? 10 ? ? ? ?? ? ? 2 2 2 ? ? ? ?? 14 10 2? ? 2 2 4 35 ??AEF ? arccos 35

? ?

2

F
? 4 35 35
10 分

A

B

11 分

异面直线 AE 与 PC 所成角的大小 arccos

4 35 . 35

12 分

20、解:(1)因为 cos

3 A 2 5 2 A ?1 ? , ,所以 cos A ? 2 cos ? 2 5 2 5

2分 3分 4分 5分 7分

4 5 ??? ? ??? ? 又因为 AB ? AC ? 3 ,得 bc cos A ? 3 sin A ?
bc cos A ? 3 ? bc ? 5 1 ? S ?ABC ? bc sin A ? 2 2
(2)? bc ? 5,? a ? b ? c ? 2bc cos A ? b ? c ? 2 ? 5 ?
2 2 2 2 2

3 5

10 分 11 分 12 分

?

a 2 ? b2 ? c 2 ? 6

? ?

a 2 ? b2 ? c 2 ? 6 ? b2 ? c 2 ? 6 ? a 2 ? 2bc ? 10 amin ? 2
当且仅当 b ? c ? 5 时 a 最小值是 2

14 分 5

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21、(1)、依题意:

? x ?1? ? y 2 ? ( x ? 1)2 ? y 2 所以点 P ? x, y ? 对应的曲线方程 C 是椭圆
2

?4

1分 2分 3分 4分 5分 6分

2a ? 4,? a ? 2 . c ?1 ?a ? 2, c ? 1, b ? 3

x y ? ?1 4 3

2

2

?x ? y ? m ? 0 ? 2 2 (2)、联立方程组 ? x 2 y 2 消去 y ,得 7 x ? 8mx ? 4m ? 12 ? 0 ?1 ? ? ?4 3
2 ? ?6 4 m2 ? 2 ? 8 m 42 ? ? 1 2 ? 3 3? 6 m4 8?

7分

0

8分 9分

? m2 ? 7
设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) 得 x1 x2 ? 方法一 可计算 y1 y2 ?

4m 2 ? 12 7

10 分

3m 2 ? 12 7

11 分

由 ?MON 为钝角,则 OM ? ON ? 0 , x1 x2 ? y1 y2 ? 0

???? ? ????

4m2 ? 12 3m2 ? 12 ? ?0 7 7
所以 m ?
2

12 分

24 7

13 分

??

2 42 2 42 ?m? 7 7
2

14 分

方法二 或者 x1x2 ? y1 y2 ? x1x2 ? ? x1 ? m?? x2 ? m? ? 2x1x2 ? m ? x1 ? x2 ? ? m 11 分

?

2 4m2 ?12 7

?

? ? m 8m ? m
7

2

?

7m2 ? 24 ?0 7

12 分

6

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所以 m ?
2

24 7

13 分

??

2 42 2 42 ?m? , 7 7
?1

14 分

22、解:(1)、 f (2)、 f
?1

?x? ?

? 3 ? x ? 1, M ? ? ? ,?? ? ? 4 ?
x1 ? 1 ? x 2 ? 1 ? x1 ? x 2 x1 ? 1 ? x 2 ? 1

3+2=5 分 7分 9分 10 分

?x1 ? ? f ?1 ?x2 ? ?

3 1 3 1 ? x1 ? ? ,? x1 ? 1 ? , x 2 ? ? ,? x 2 ? 1 ? 4 2 4 2 1 ?1 ? x1 ? 1 ? x2 ? 1 ? 1,? 0 ? x1 ? 1 ? x2 ? 1

?
? f

x1 ? x 2 x1 ? 1 ? x 2 ? 1
?1

? x1 ? x 2
11 分

?x1 ? ? f ?1 ?x2 ? ? x1 ? x2 (3)、设 ?a, b ? 是 y ? f ?x ? 和 y ? f ?1 ? x ? 有交点 ?b ? f ?a ? 即? ,? a ? f ?b?, b ? f ?a ? ?1 ?b ? f ?a ?
当 a ? b ,显然在 y ? x 上 当 a ? b ,函数 y ? f ?x ? 是单调递增函数,? f (a) ? f ?b?,? b ? a 矛盾 当 a ? b ,函数 y ? f ?x ? 是单调递增函数,? f (a) ? f ?b?,? b ? a 矛盾 因此,若 y ? f ?x ? 和 y ? f
?1

12 分 13 分 15 分 16 分 16 分

? x? 的交点一定在 y ? x 上

23、解析:(1) n ? 1, a1 ? S1 ? 2

1 ? 2n ? 2n ? 1 1? 2 ? 2n ? 1 是奇数,2m 是偶数 m ? 2n ? 1? 2
当 n ≥ 2 时, Sn ? ∴ {an } 不是“H 数列” n(n ? 1) n(n ? 1) d ? 2dn ? d (2) Sn ? na1 ? 2 2 对任意 n ? N ? ,存在 m ? N? 使 Sn ? am ,即 na1 ?

1分 2分 3分 4分 6分
n(n ? 1) d ? a1 ? (m ? 1)d 2

m ? 2n ? 1 ?

n, n ? 1 是一奇一偶,?m 一定是自然数 (3) n ? 2 时

n( n ? 1 ) 2

8分 10 分

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7

?1? q? Sn ? an?1 ? r , ?1? q? Sn?1 ? an ? r ?1? q ? an ? an?1 ? an ? 0
? an?1 ? qan
12 分

?1? q? ? 2t ? a2 ? r
a2 ? r ? 2qt ? 2t ? p
13 分 14 分

? ?2t ? n ? 1? ? an ? ? n?2 ? ? p ? q ? n ? 2? ? ?2t ? n ? 1? q ? 1 时, an ? ? ? ?r ? n ? 2 ? Sn ? 2t ? ? n ?1? r ? r 不恒成立 显然 ?an ? 不是“H 数列” q ? 1时
S n ? 2t ? p 1 ? q n ?1

15 分

?

?an ? 是“H 数列”,所以对任意 n ? 2 时,存在 m ? N * 成立
p pq n?1 ? ? pq m?2 1? q 1? q ? q ? 2 , p ? 2t ,? r ? 4t ? 2t ? 2t , r ? 0 ? q ? 2, r ? 0, t ? 0 的正实数 ? Sn ? 2t ?

1? q n ? 1, S1 ? a1

? ? 2t ?

p pq n ?1 ? 1? q 1? q

16 分

18 分

8

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